CUERPOS GEOMÉTRICOS. VOLÚMENES. 2º E.S.O. A = π r 2 ( ) ( ) ÁREAS DE POLÍGONOS ÁREA Y LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA ÁREAS DE POLÍGONOS 360º 360º A =

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María Pilar Aranda Macías
hace 6 años
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1 CUERPOS GEOMÉTRICOS. ÁRES Y VOLÚMENES. º E.S.O. b h = b h ÁRES DE POLÍGONOS = b h b h = b h b h ÁRES DE POLÍGONOS ÁRE Y LONGITUD DE L CIRCUNFERENCI b d D h a r nº r = D d B ( ) + = B b h l n = nº de lados ( ) n l a p a = = = π r l = π r π r nº = 60º l = π r nº 60º

SUPERFICIE DE UN PRISM SUPERFICIE DE UN PRISM

prisma de base hexagonal de un panal de abejas,

+ a = 4 = 1 a = 1 = ' 46 p p p ÁRE LTERL =

ÁRE DE L BSE BSE p a 4 '46 = = = 41'5 mm p = + = 19

ORTOEDRO SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO Hallar el área

2 SUPERFICIE DE UN PRISM SUPERFICIE DE UN PRISM Hallar el área total de una celda con forma de prisma de base hexagonal de un panal de abejas, según el dibujo: = p h = = 19 mm LTERL 4 = a + a = 4 = 1 a = 1 = ' 46 p p p ÁRE LTERL = Perímetro de la base altura ÁRE TOTL = ÁRE LTERL + ÁRE DE L BSE BSE p a 4 '46 = = = 41'5 mm p = + = '5 = '5 mm TOTL LTERL BSE SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO SUPERFICIE DE UN ORTOEDRO Hallar el área total de este ortoedro: c a b TOTL ( ) = ab + bc + ac TOTL ( ) = = 7 cm

SUPERFICIE DE UN PIRÁMIDE SUPERFICIE DE UN PIRÁMIDE Hallar la

h =160 m l = 40 m a = 10 m LT 1 1 Perímetro de la base a = n l a

= LT + BSE = + LT ( a' ) a = + = + = = h 160 10 40000 00 m ( 4

TRONCO DE PIRÁMIDE TRONCO DE PIRÁMIDE Hallar el área lateral y

( ) ( Lado base 1 + Lado base nº de lados ) = TOTL = LT + BSES H

3 SUPERFICIE DE UN PIRÁMIDE SUPERFICIE DE UN PIRÁMIDE Hallar la superficie de la pirámide de Keops que se detalla a continuación: h =160 m l = 40 m a = 10 m LT 1 1 Perímetro de la base a = n l a = ( n l) a = Perímetro de la base a Perímetro de la base a' TOTL = LT + BSE = + LT ( a' ) a = + = + = = h m ( 4 40) 00 Perímetro de la base a = = = m SUPERFICIE DE UN TRONCO DE PIRÁMIDE TRONCO DE PIRÁMIDE Hallar el área lateral y total del siguiente tronco de pirámide cuandrangular regular: LT ( ) ( Lado base 1 + Lado base nº de lados ) = TOTL = LT + BSES H a = 1 = '8 m ( 4 + ) '8 LTERL = 4 = '96 m = + = ' = 5'96 m TOTL LTERL BSES

SUPERFICIE DE UN CILINDRO SUPERFICIE DE UN

(en centímetros): 1 = π 1 = 18'85 cm LT 1 =

TOTL LTERL BSE = π 5 + π = 94'5 + 56'55 =

TOTL FIGUR SUPERFICIE DE UN CONO SUPERFICIE

del cono de la figura: g = 1 + 5 = 1 cm = π

78'54 cm BSE LTERL = π r g TOTL = LTERL +

4 SUPERFICIE DE UN CILINDRO SUPERFICIE DE UN CILINDRO Hallar el área total de la figura (en centímetros): 1 = π 1 = 18'85 cm LT 1 = π 5 = 6'8 cm LT = πr h LTERL = + = π rh + πr TOTL LTERL BSE = π 5 + π = 94'5 + 56'55 = 150'8cm TOTL = 18' '8 + 6'8 = '48 cm TOTL FIGUR SUPERFICIE DE UN CONO SUPERFICIE DE UN CONO Hallar el área lateral y total del cono de la figura: g = = 1 cm = π r g = π 5 1 = 04'0 cm LTERL = π r = π 5 = 78'54 cm BSE LTERL = π r g TOTL = LTERL + BSE = π r g + π r = + = 04' '54 = 8'74 cm TOTL LTERL BSE

SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO SUPERFICIE DE

total del tronco de cono de la figura: LTERL (

cm LTERL TOTL LTERL BSE ( r + r' ) = π g ( r +

r r' = π + π + π = 100,5 + π 15 + π 10 = 041

superficie de la esfera y la del cilindro que

5 SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO SUPERFICIE DE UN TRONCO DE CONO Hallar el área lateral y total del tronco de cono de la figura: LTERL ( r + r' ) g = ( ) = π π = 5 π = 100,5 cm LTERL TOTL LTERL BSE ( r + r' ) = π g ( r + r' ) g r r' = + = π + π + π TOTL ( r + r' ) g r r' = π + π + π = 100,5 + π 15 + π 10 = 041 cm SUPERFICIE DE L ESFER La superficie de la esfera se llama superficie esférica. Coincide con la superficie lateral del cilindro que la envuelve. SUPERFICIE DE L ESFER La relación entre la superficie de la esfera y la del cilindro que la envuelve también se cumple para porciones de esfera. LTERL DEL CILINDRO = πr R = 4πR = πr ESFER 4

SUPERFICIE DE L ESFER La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde a una esfera de 9m de

S = π 9 4 = 6 m S = π 9 4 = 6 m VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO Los prismas y los cilindros son figuras

VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 0 cm y 1

6 SUPERFICIE DE L ESFER La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie. SUPERFICIE DE L ESFER La cúpula de un edificio tiene una altura de 4m y corresponde a una esfera de 9m de radio. Calular su superficie. S = π 9 4 = 6 m S = π 9 4 = 6 m VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO Los prismas y los cilindros son figuras prismáticas. VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO Hallar el volumen de un prisma hexagonal regular de lado de la base 0 cm y 1 m de altura. apotema = cm BSE Perímetro apotema = = = 40 cm V = BSE ltura V = BSE ltura =πr a VPRISM = BSE ltura = 40 cm 10 cm = 4000 cm = 4 litros

VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO VOLUMEN DE L

= 8600 cm = 8, 6 litros V Pirámide 1 = Área de

TRONCO DE PIRÁMIDE Hallar el volumen de una

La base es un triángulo rectángulo de 10 cm de

c = 10 6 = 8 cm 0 cm BSE 1 VPRISM = 4 0 = 160

7 VOLUMEN DEL PRISM Y DEL CILINDRO VOLUMEN DE L PIRÁMIDE Hallar el volumen de un cilindro de 0 cm de radio y 1 m de altura. 0 cm 1 m VCILINDRO = BSE ltura = πr a = π = 8600 cm = 8, 6 litros V Pirámide 1 = Área de la base ltura VOLUMEN DE L PIRÁMIDE VOLUMEN DEL TRONCO DE PIRÁMIDE Hallar el volumen de una pirámide de altura 0 cm. La base es un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa y 6 cm un cateto. c = 10 6 = 8 cm 0 cm BSE 1 VPRISM = 4 0 = 160 cm 6 8 = = 4 cm VTronco de Pirámide = VPirámide grande VPirámide pequeña V 1 Pirámide pequeña = a a V Pirámide grande

VOLUMEN DE L PIRÁMIDE VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO Hallar

PIRÁMIDE GRNDE V Cono 1 1 Área de la base ltura = = πr a 6 V =

VTronco de Cono = VCono grande VCono pequeño VOLUMEN DEL TRONCO

cono de 10 cm de altura cuyas bases tienen radios de 6 cm y cm.

cm V = V V = Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño 1 1 = π 6

8 VOLUMEN DE L PIRÁMIDE VOLUMEN DEL CONO Y TRONCO DE CONO Hallar el volumen del siguiente tronco de pirámide: 1 V = 8 1 = 56 cm PIRÁMIDE GRNDE V Cono 1 1 Área de la base ltura = = πr a 6 V = 56 cm cm PIRÁMIDE PEQUEÑ = 1 V = 56 = 4 cm TRONCO DE PIRÁMIDE VTronco de Cono = VCono grande VCono pequeño VOLUMEN DEL TRONCO DE CONO VOLUMEN DE L ESFER Hallar el volumen de un tronco de cono de 10 cm de altura cuyas bases tienen radios de 6 cm y cm. x + 10 x = x + 0 = 6x 4x = 0 x = 5 cm 6 ltura cono grande = 15 cm V = V V = Tronco de Cono Cono grande Cono pequeño 1 1 = π 6 15 π 5 = 544 cm V Esfera 4 = Volumen del cilindro que la contiene = πr

VOLUMEN DE L ESFER Hallar el volumen de un sector esférico de 60º

VOLUMEN DE L ESFER El radio de un balón es 5 cm, y sabemos que el grosor de la

4 4 VEsfera = π R = π 9 = 97 π 05, 6 cm x = 509 cm 60º 60º 05, 6 cm 60º 05, 6

6090 = 7 cm =,7 litros VSECOR ESFÉRICO 509 cm Solución: Se necesitarán, litros

MERIDINOS Y PRLELOS Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos

9 VOLUMEN DE L ESFER Hallar el volumen de un sector esférico de 60º correspondiente a una esfera de 9 cm de radio. VOLUMEN DE L ESFER El radio de un balón es 5 cm, y sabemos que el grosor de la goma es mm. Cuántos litros de goma son necesarios para fabricar un balón? 4 4 VEsfera = π R = π 9 = 97 π 05, 6 cm x = 509 cm 60º 60º 05, 6 cm 60º 05, 6 60º x 4 V = π cm BLÓN 4 VESFER INTERIOR = π 4, cm VGOM = = 7 cm =,7 litros VSECOR ESFÉRICO 509 cm Solución: Se necesitarán, litros de goma aproximadamente. L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS Los meridianos son semicircunferencias cuyos extremos coinciden con los polos. L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS Los paralelos son circunferencias sobre la superficie terrestre tales que el plano que las contiene es perpendicular al eje terrestre.

formado por el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich.

10 L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS La longitud de un lugar M es la medida en grados del arco, medido sobre el Ecuador, formado por el meridiano del lugar y el meridiano de Greenwich. Latitud Longitud L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS L TIERR. MERIDINOS Y PRLELOS La latitud del lugar M es la medida en grados del arco, medido sobre el meridiano que pasa por M, formado por el Ecuador y el paralelo de M. Latitud Longitud

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