Estudio de la Frontera de la Estabilidad en los Convertidores DC DC Buck y Boost con Control PWM

Transcripción

1 ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA INGENIERÍA TÉCNICA EN ELECTRÓNICA INDUSTRIAL PROYECTO FINAL DE CARRERA Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC DC Buck y Boos con Conrol PWM Alumno: Gonçal Pellicena Terroba Profesor ponene: Abdelali El Aroudi Curso: 00/03

2 Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC-DC con conrol PWM Buck y Boos ÍNDICE. Índice. i Objeivo del Proyeco. Inroducción. 3 Converidores DC-DC con Conrol PWM Descripción del Conrol PWM Normalización de los Parámeros del Circuio Descripción del Converidor DC-DC Buck Modo de Conducción Coninua Fronera enre el Modo de Conducción Coninua 0 y el Modo de Conducción Disconinua Modo de Conducción Disconinua Descripción del Converidor DC-DC Boos Modo de Conducción Coninua Fronera enre el Modo de Conducción Coninua 8 y el Modo de Conducción Disconinua Modo de Conducción Disconinua Descripción de los Tipos de Modelos Uilizados Modelo Conmuado Expresión del Modelo Conmuado para el Converidor Buck Expresión del Modelo Conmuado para el Converidor Boos Modelo Promediado Modelo Promediado del Converidor Buck Modelo Promediado del Converidor Boos Definición de la Curva Caracerísica para Converidores DC-DC 39 i

3 Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC-DC con conrol PWM Buck y Boos Definición de Puno de Equilibrio Curva Caracerísica a parir del Modelo Promediado en el Converidor Buck Curva Caracerísica a parir del Modelo Promediado en el Converidor Boos Modelo Discreo Esudio de la Esabilidad Crierios de Esabilidad para el Modelo promediado Cálculo del Puno de Equilibrio en el Converidor Buck Cálculo de la mariz Jacobiana en el Converidor Buck Cálculo del Puno de Equilibrio en el Converidor Boos Cálculo de la mariz Jacobiana en el Converidor Boos Crierios de Esabilidad para el Modelo Discreo Definición de Mapa de un Inervalo Definición de Órbia y de Gráfico Tipos de Órbias Puno Fijo Órbia p-periódica Órbia de Puno Fijo con Preperíodo Órbia Periódica con Preperíodo Puno Asinóicamene Fijo Órbia Asinóicamene p-periódica Órbia Aperiódica Esabilidad de un Puno Fijo: Muliplicador Mapa Lineal Bidimensional Mapa Lineal D 58 ii

4 Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC-DC con conrol PWM Buck y Boos Forma de Suma y Produco de Auovalores Forma de Ecuación en Diferencias de Segundo Grado Puno Fijo Mapa no lineal Bidimensional Mapa no lineal de dos Dimensiones Cálculo del Jacobiano a parir del Modelo Discreo Auovalores Reales y Diferenes Auovalores Reales e Iguales Auovalores Complejos Esabilidad del Mapa D según la Posición de sus Auovalores Definición de Bifurcación Teoría de las Bifurcaciones Tipos de Bifurcaciones Bifurcación Transcríica Bifurcación Tangene Bifurcación Horca Bifurcación Horca en la Cascada de Doblamieno de Periodo Bifurcación de Auovalores Complejos Conjugados 7 6 Búsqueda de la Fronera de la Región Esable en el Converidor Buck mediane la Simulación del Sisema Esudio de la Fronera a parir del Modelo Promediado del Circuio Esudio de la Fronera a parir del Modelo Discreo del Circuio Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y in para familias de k v. 76 iii

5 Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC-DC con conrol PWM Buck y Boos 6... Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia k v = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia k v = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia k v = Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y in para familias de ref Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia ref = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia ref = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia ref = 7 Búsqueda de la Fronera de la Región Esable en el Converidor Boos mediane la Simulación del Sisema Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y z, para familias de, mediane la raza del jacobiano Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y z, para familias de, mediane el deerminane del jacobiano Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = Comprobación de la fronera obenida para el Parámero de Familia = iv

6 Esudio de la Fronera de la Esabilidad en los Converidores DC-DC con conrol PWM Buck y Boos 8 Conclusiones Anexos Anexo A Anexo B Bibliografía. 90 v

7 OBJETIO DEL PROYECTO. El Objeivo principal de ese proyeco es realizar un programa informáico que simule el comporamieno de sisemas dinámicos no lineales converidores DC-DC buck y boos conrolados mediane un conrol de anchura de pulsos, PWM. No se realiza el esudio del converidor buck-boos porque el comporamieno de ése es muy parecido al del converidor boos. Para poder simular esos circuios, se deberá modelar primero su comporamieno, ya que sino, no podría llevarse a cabo ese esudio. Los modelos que se uilizaran para ese efeco serán el modelo promediado y el modelo discreo. Tano de los modelos como de los circuios se hará una explicación más deallada en poseriores aparados. Una vez obenidos los modelos de los dos sisemas, se podrá ver que para el converidor buck, solo se puede obener fronera uilizando el modelo discreo. El ipo de bifurcación que se encuenra es la de ipo de doblamieno de periodo, Flip. Con el converidor boos, uilizando el modelo promediado se podrá ver que se puede enconrar dos ipos de bifurcación, una por la desaparición del uno de equilibrio, Saddle Node, y la ora por seguir una órbia quasi-periódica, Hopf. Eso es debido a que en ese converidor con el modelo promediado, el jacobiano depende del puno de equilibrio en el cual se esá evaluando el sisema. El siguiene paso es realizar un programa que simula su comporamieno eniendo en cuena los parámeros que caracerizan dichos circuios. De esa familia de parámeros, se escogerá uno de ellos, para realizar un barrido en un inervalo acoado, y poseriormene, se escogerá oro de ellos para que sea calculado su valor, en el cual se produce un cambio en la esabilidad del sisema. Ese procedimieno es ineresane realizarlo para diferenes valores de un ercer parámero del circuio, para así, obener una familia de curvas que delimiarán la fronera enre la región esable y la región inesable del sisema. Una vez realizada esá operación para cada uno de los converidores, y haber obenido diferenes gráficas de familias para variaciones de diferenes parámeros, se verificarán las froneras obenidas evaluando, con una aplicación informáica de gran precisión, los punos de las froneras obenidas. Para realizar esas comprobaciones, evaluaremos la dinámica del sisema, ano en el dominio emporal como en el plano de fase, para ver que en un lado de la fronera, la dinámica es esable y en el oro lado es inesable o viceversa. Con las froneras obenidas y, con las correspondienes comprobaciones, se podrán sacar las conclusiones perinenes sobre el comporamieno de esos circuios, y así faciliar el posible diseño de los mismos, ya que se habrá acoado su región de funcionamieno.

8 INTRODUCCIÓN. Los converidores coninua-coninua son circuios que ienen como principal uso regular la ensión proporcionada por una fuene de energía coninua a una carga conocida. Para que esos circuios no funcionen en ciclo abiero y se desesabilicen fácilmene, se les suele añadir un circuio de conrol como puede ser el PWM. La opología de esos circuios es basane simple ya que esán formados bien con osciladores LCR o con filros paso bajo LR y CR. Esos circuios no ienen un comporamieno lineal ya que se caracerizan por ener dos esados de funcionamieno. La conmuación enre esos esados viene deerminada por dos inerrupores, un ransisor y un diodo. El inerrupor principal es el ransisor ya que es el que permie que en el primer esado de conmuación, ON, la energía que proporciona la fuene se ransfiera a la bobina, produciendo su carga. Cuando el ransisor esá en esado OFF, la energía que ha acumulado la bobina es ransferida a la carga. El inerrupor normalmene es gobernado por la lógica de conrol, que provocará que conmue de un esado a oro. El segundo inerrupor uilizado es el diodo que realiza la acción opuesa al ransisor. Cuando el ransisor esá en esado ON el diodo esá en esado OFF. Cuando los dos inerrupores conmuan enre los dos esados anes ciados, el converidor rabaja en el modo de conducción coninua. Pero se puede dar el caso que los dos inerrupores esén en esado OFF ya que el diodo no sopora ensiones inversas. Cuando eso sucede, se dice que el converidor rabaja en modo de conducción disconinua. El conrol que se uiliza, consise en amplificar el error producido enre el valor de las variables de salida y su valor deseado, obeniendo una ensión de conrol. Esa ensión es comparada con una forma de onda repeiiva produciendo una señal de conmuación que es la que gobierna al inerrupor. Como ya se ha especificado anes, el comporamieno de esos circuios siguen una dinámica no lineal, de hecho, cada esado por separado es lineal, pero la acción de conmuar enre un esado y oro produce un fuere no-linealidad. Ese hecho hace que el análisis del sisema esé fuera del alcance de las eorías conocidas para el raamieno de sisemas dinámicos. Los converidores básicos son sisemas de dos dimensiones, pero la señal de conmuación produce que el sisema sea no auónomo. Como ya es conocido, los sisemas de dos dimensiones no auónomos ienen propiedades comunes a los sisemas de res dimensiones. El comporamieno de esos sisemas puede producir una amplia variedad de dinámicas con sus correspondienes bifurcaciones. Esas dinámicas incluyen punos de equilibrio, orbias periódicas y quasiperiodicas y por supueso el caos. Las posibles bifurcaciones que nos podemos enconrar son, por ejemplo, una bifurcación del ipo Hopf seguida de una rua quasiperiodica al caos, o una bifurcación del ipo Flip seguida de una rua de desdoblamieno de periodo al caos, o una bifurcación del ipo Saddle Node o bifurcación angene y el fenómeno implicado cuando se produce mas de una conmuación durane un periodo. Además de esas bifurcaciones, nos podemos enconrar con oras de más complejas relacionadas con los límies de los circuios de conrol por ejemplo, cuando se alcanza el modo de conducción disconinua o cuando el conrol evia la conmuación al valor máximo o mínimo de la señal de modulación. Ese caso puede llevar a que la dinámica del converidor se siúe en uno de los dos esados de conmuación, sin volver a conmuar o que pueda parar de conmuar durane algunos de los periodos de la señal de modulación.

9 En ese proyeco se realizará un análisis de ese ipo de bifurcaciones, ya que el hecho de buscar una fronera de la región esable, posibilia el esudio de las mismas. Un análisis cuaniaivo es difícil de raar debido a la dependencia de las variables del sisema con el iempo. Por ano, será más facible si se realizan aproximaciones de la dinámica en pequeños periodos de iempo, eniendo en cuena las consanes de iempo del circuio. Para ese efeco, si se uiliza el modelo promediado, se pueden obener aproximaciones basane reales de sisemas conmuados. Para que los resulados sean lo más fiables posible, nos ayudaremos de herramienas gráficas y analíicas como son la curva caracerísica y la impedancia críica del circuio que se lleva a esudio. Tano una como la ora, esán asociadas al puno de equilibrio obenido a parir del modelo promediado. Además, esas herramienas nos faciliarán enender las diferenes bifurcaciones que se puedan obener. El análisis a ravés del modelo promediado, se limia al esudio de los punos de equilibrio del sisema, los cuales corresponden a la órbia de un periodo. Por ano, se analizará la mariz jacobiana alrededor del puno para que, según sus auovalores, se pueda conocer la región de rabajo del circuio. Ese esudio, se realizará para dos de los converidores básicos, buck y el boos, pero nos enconramos con el inconveniene que el modelo promediado del converidor buck es lineal y su comporamieno es basane simple, en derimeno del converidor boos, el cual su modelo es no lineal. Debido a que los sisemas promediados son sisemas auónomos de dos dimensiones el iempo ha sido suprimido de las ecuaciones del modelo, algunas de las dinámicas y de las bifurcaciones asociadas al sisema, como el comporamieno caóico o la bifurcación de Flip, con periodos grandes de modulación de señal, no se podrán explicar. Ese es el principal inconveniene de uilizar el modelo promediado. El inconveniene anes ciado, nos lleva a la uilización de oro ipo de modelo para realizar el esudio de bifurcaciones o dinámicas donde el periodo de modulación de la señal sea alo. Ese modelo es el llamado modelo discreo en el cual la señal de conmuación es esencialmene discrea. Por ano, se realizará la modelización discrea de los converidores con un conrol PWM con una frecuencia de conmuación fija. Se propondrán las ecuaciones que describen el circuio en el modo de conducción coninua para realizar el modelo. También se deberá modelar la función rampa que se uiliza en el conrol ya que es muy imporane para el esudio de la dinámica del sisema. Para el esudio de la esabilidad, se realizará alrededor de un puno de la órbia de un periodo, por ano, se deberá esudiar la mariz jacobiana para que según sus auovalores se pueda deerminar la dinámica del sisema. Cabe decir que las herramienas, ano analíicas como gráficas, que se uilizan en el modelo promediado, ambién podrán ser muy úiles para enender las dinámicas y las bifurcaciones que se puedan hallar mediane su uilización El uso de ese modelo provoca que se pueda enconrar bifurcaciones del ipo Flip, ya que depende del periodo de modulación de la señal. 3

10 3 CONERTIDORES DC-DC CON CONTROL PWM. En ese aparado se describen los dos converidores DC-DC que se llevan a esudio y el conrol uilizado. 3. Descripción del Conrol PWM En los converidores DC-DC, la ensión coninua de salida debe ser conrolada para manener un valor deseado de dicha ensión, frene a flucuaciones de la ensión de enrada y de la carga. Para ello, se puede conrolar mediane el conrol de la duración de los esados ON y OFF de los inerrupores T on y T off. Ese ipo de conrol es conocido como conrol por modulación de anchura de pulsos o PWM, en el cual, se varía la relación de conmuación. Esa relación ambién es conocida por duy cycle, D, y se define como la relación enre la duración del esado ON del inerrupor y su periodo de conmuación. T on D = T r La conmuación en ese ipo de conrol, a una frecuencia de conmuación consane, se genera comparando el volaje de una señal de conrol con una forma de onda repeiiva, en ese caso una diene de sierra. De esa comparación se deerminará el esado de la conmuación ON o OFF. La señal diene de sierra que uilizamos esará acoada enre dos valores de ensión fijos, uno para el máximo, u y oro para el mínimo l.. La señal de conrol se obiene a parir de la siguiene expresión: v conrol = a k v k i v c i l ref En la siguiene figura, se muesra el diagrama de bloques del circuio PWM. Figura. Diagrama de bloques del modulador de anchura de pulsos. La frecuencia de la señal en diene de sierra, con un valor de pico consane, es la que esablece la frecuencia de conmuación, ésa suele escogerse enre unos pocos khz y unos cienos khz. 4

11 Cuando la señal amplificada del error, v conrol, la cual varía muy poco respeco del periodo de conmuación, es mayor que la onda en diene de sierra, v rampa, la señal de conrol se pone en esado alo, causando la conmuación a esado ON, y viceversa. Lo comenado se puede ver en la siguiene figura. v rampa v conrol v u - v l 0 v conrol < v rampa ON ON OFF OFF v conrol > v rampa T off T on T r Figura. Señales de comparación del modulador de anchura de pulsos. En érmino de ensión de conrol, v conrol, y de la ensión de pico de la señal en diene de sierra,, el duy cycle se puede expresar como sigue: u l D T on conrol = = 3 T r v u l La expresión del duy cycle como la relación enre la ensión de conrol definida en la ecuación y la señal en diene de sierra definiendo la ampliud como u - l, eniendo en cuena que l >0 y u>l, queda según la siguiene ecuación: T D = T on r = u a k v v u c k i l i l ref 4 T on en el eje de iempo se corresponde a la diferencia enre el valor máximo de la ensión de la rampa y la ensión de conrol en el eje de ensión. El periodo de la rampa, T r, en el eje de iempo se corresponde a la ampliud de la rampa en el eje de ensión. El hecho de ener la rampa acoada, nos permie inroducir el concepo de la banda de conmuación ya que si la señal de conmuación, conrol - rampa, es mayor que el exremo superior de la función rampa o es menor que el exremo inferior, el converidor no conmuará de esado quedándose en un esado permanenemene o durane unos ciclos de funcionamieno. Por ano, para el esudio que llevaremos a cabo, el converidor deberá rabajar denro de las bandas de conmuación. 5

12 El valor de los bordes de la banda de conmuación se pueden calcular si comparamos la expresión con cada uno de los exremos de la rampa. u a kv vc ki il ref <> u kv vc ki il <> ref 5 a l a kv vc ki il ref <> l kv vc ki il <> ref 6 a Los circuios que simularemos, raamos ano con realimenación de ensión como con los dos ipos, de corriene y de ensión. A parir de las comparaciones aneriores, podemos calcular las expresiones de los exremos de la banda para cada uno de los dos casos. El primer caso será cuando el conrol solo enga realimenación de corriene, donde el valor de k v es igual a 0. Calcularemos cada uno de los bordes, llamando bh al borde correspondiene al valor máximo de la rampa, y bl al borde correspondiene al valor mínimo. u u ki il <> ref il = ref = bh a k a l l ki il <> ref il = ref = bl a k a i i 7 8 Si se represena la banda calculada en el plano v,i, podemos ver que ienen la siguiene forma. i bh bl Figura 3. Represenación en el plano v,i de la banda de conmuación para una realimenación de corriene. v 6

13 Si raamos el circuio solo con realimenación de ensión, calcularemos los bordes de la banda correspondiene con la misma noación uilizada en el caso anerior. u u kv vc <> ref vc = ref = bh a k a l l k v vc <> ref vc = ref = bl a k v a v 9 0 Si se represena gráficamene: i bl bh v Figura 4. Represenación en el plano v,i de la banda de conmuación para una realimenación de ensión En el caso en que el circuio enga realimenación de corriene y de ensión, deberemos calcular las coordenadas x,y del puno inicial y del puno final de cada borde. Llamaremos ano a la coordenada del eje x como del eje y correspondiene al valor de la banda en el valor máximo de la rampa como bhx y bhy respecivamene, y, blx y bly, a las coordenadas de los ejes en el valor mínimo dela rampa. Como se puede ver solo calculamos un puno en cada coordenada porque el cálculo se realiza omando como 0 una de las dos coordenadas. u u kv vc ki il <> ref si i l =0 v = ref bhx a c k a = u u kv vc ki il <> ref si v c =0 i = ref bhy a l k a = l l kv vc ki il <> ref si i l =0 v = ref blx a c k a = v i v 3 7

14 l l kv vc ki il <> ref si v c =0 i = ref bly a l k a = i 4 Si se represenan las bandas a parir de los punos calculados aneriormene, i bly blx blx bhx v Figura 5. Represenación en el plano v,i de la banda de conmuación para realimenación de ensión y de corriene. 3. Normalización de los Parámeros del circuio. El gran número de parámeros asociados a los converidores DC-DC con conrol PWM es el mayor inconveniene para el esudio de odas las posibles dinámicas. Los parámeros asociados a esos circuios sin ener en cuena el modelo que se uilice, son in, R, L, C y Rs, para el circuio, y ref, l, u, kv, ki, a y T, para el conrol PWM. Como se puede ver el elevado número de parámeros puede dificular el esudio. Para solucionar ese problema, definiremos parámeros adimensionales para reducir el número de parámeros independienes del circuio. El primer paso será realizar una ransformación lineal de las variables de esado para obener como resulado final los nuevos parámeros adimensionales. Escogemos las variables T s, s y I s como parámeros de escala con dimensiones físicas de iempo, ensión y corriene, respecivamene. La normalización de variables y parámeros de un sisema facilia el análisis del sisema, permie ver las diferencias enre los converidores y muesra como el facor de calidad, que esá relacionado con la resisencia de carga, y el facor de calidad asociado a la resisencia serie de la bobina inervienen en la dinámica del sisema. 8

15 De odas las posibilidades que se pueden adopar, escogemos las siguienes expresiones para los parámeros de escala. T s = π L C 5 s = in 6 I = in s L 7 C Una vez definidos los parámeros de escala, definimos las variables de esado normalizadas del converidor, v v c = 8 in y los parámeros normalizados. L C i = il 9 T s in τ = 0 R = L C L C s = R s es el facor de calidad asociado a la resisencia de carga del circuio, s es el facor de calidad asociado a la resisencia serie de la bobina, y τ es una variable adimensional de iempo. El siguiene paso es normalizar las variables que perenecen al conrol PWM. Normalizando la condición de conmuación se obiene que, v, i, τ = v z i h τ = 0 f s R D 3 El parámero R es la ensión de referencia normalizada. D, es la ampliud de la ensión de la rampa normalizada. z, es la impedancia normalizada. hτ, es una función diene de sierra de ampliud la unidad, con valor máximo de /, y de valor mínimo /, periodo T N. 9

16 Expresamos los aneriores parámeros normalizados en función de los parámeros del circuio y del conrol. R = in ref k v u l a k v in 4 D u l = 5 a k v in ki z = 6 k L v C T T N = 7 T 0 Una vez se ienen odas las variables normalizadas, se puede definir nuevamene el duy cycle en función de esas nuevas variables, siendo por ano, d v z i R = 8 D Al normalizar los parámeros del conrol, la banda de conrol ambién se normaliza, por ano obendremos las nuevas expresiones de los bordes para los nuevos parámeros. En la siguiene figura se muesra la función rampa normalizada. hτ / -/ 0 pt T τ Figura 6. Represenación de la rampa normalizada 0

17 Si consideramos que la función hτ oma el valor de los exremos de la rampa, y uilizando la misma noación, para cada una de ellas, como cuando no esaba normalizada, sus expresiones serán las siguienes. Para el caso que el conrol solo iene realimenación de ensión. D z i <> D i = R z R = z D i <> D i = R z bh R = bl 9 30 Represenando gráficamene la banda de conmuación para parámeros normalizados. i bh bl Figura 7. Represenación en el plano v,i de las banda normalizada para realimenación de corriene. En el caso que solo haya realimenación de ensión, los bordes de la banda se expresarán como: v D v <> R D v = R = bh v <> D D v = R R = bl 3 3

18 Y expresada gráficamene: i bl bh v Figura 8. Represenación en el plano v,i de la banda normalizada para realimenación de ensión. Realizamos la misma operación para una realimenación de corriene y de ensión. D v z i <> R D si i=0 v = R = bhx D v z i <> R D si v=0 i = R = bhy z <> D v z i R D si i=0 v = R = blx <> D v z i R D si v=0 i = R = bly z

19 Represenamos gráficamene la nueva banda de conmuación con parámeros normalizados. Según el signo de la variable normalizada z, variará el signo de la pendiene de la banda, de esa forma, si z>0, i bhy bly blx bhx v Figura 9. Represenación en el plano v,i de la banda normalizada para realimenación de ensión y de corriene para z>0. y en caso conrario, i bly bhy blx bhx v Figura 0. Represenación en el plano v,i de la banda normalizada para realimenación de ensión y de corriene para z>0. 3

20 3.3 Descripción del Converidor DC-DC Buck. Ese ipo de circuio, conviere una ensión coninua de enrada a una ensión coninua de salida menor. En la siguiene figura se muesra el circuio básico que consiuye ese ipo de converidor con una carga puramene resisiva. Figura. Circuio básico de un converidor DC-DC. Suponiendo el inerrupor ideal, el volaje de salida depende de la posición del inerrupor, de esa forma, se puede calcular el valor medio de dicha ensión en función del duy cycle. Tr Ton Tr on 0 = v0 d = in d 0 d = in = D in 37 T 0 0 Ton r T De esa forma, se puede conrolar la ensión de salida a parir de duy cycle. En el circuio anerior, exisen dos inconvenienes para su uilización. En la prácica, se puede ener una carga resisiva con una fuere componene induciva. Ese hecho, provoca que el inerrupor enga que absorber o disipar la energía de dicha bobina parásia y pueda ser desruido el inerrupor. Por úlimo, es que el volaje de salida pueda flucuar enre 0 y in, siendo inacepable en muchas aplicaciones. Para solucionar esos dos inconvenienes, se inroducen modificaciones en el circuio. Si se inroduce un diodo enre el inerrupor y la carga provoca que la energía en la bobina se pueda ransferir a la carga. Ese efeco se explica ya que si el inerrupor esá en esado ON, el diodo no conduce y la enrada suminisra energía a la carga y a la respeciva bobina. Cuando el inerrupor se encuenra en esado OFF, el diodo conduce, provocando que la corriene del inducor circule a ravés del diodo y se pueda ransferir energía a la carga. Para disminuir las flucuaciones de la ensión de salida, se inroduce un filro paso bajo formado por una bobina y un condensador. La frecuencia de core del filro iene que ser mucho mayor que la frecuencia de conmuación para así, eliminar el rizado provocado por dicha frecuencia en el volaje de salida. 4

21 Tras las modificaciones anes descrias, el converidor DC-DC del ipo buck, presena la siguiene forma: Figura. Converidor DC-DC del ipo Buck. Cabe decir que el valor del condensador deberá ser de un valor elevado para eliminar el rizado de la señal de salida y así obener que v 0 = 0. También se puede observar que el promedio de la corriene en la bobina es igual al promedio de la corriene de salida. Eso es debido a que el promedio de la corriene en el condensador es 0 en el esado esacionario Modo de Conducción Coninua. Cuando el converidor funciona en ese modo de conducción, la corriene que pasa por la bobina fluye consanemene, siendo. Como se puede ver en la siguiene figura, omando que d = in, Figura 3. Gráfica de la corriene en la bobina en el converidor buck rabajando en modo de conducción coninua. 5

22 En el esado esacionario, la forma de onda se repie de un periodo a oro, siendo la inegral del volaje en la bobina igual a 0. así, de esa forma: Tr Ton v d = v d v d = 0 38 l 0 0 l De la ecuación anerior, se puede concluir que las áreas A y B ienen que ser iguales, por ano: Tr Ton in 0 on 0 r on l T = T T 39 0 in T = T on r = D 40 De ese modo, la ensión de salida varía linealmene con el duy cycle del inerrupor para un volaje dado. Así no se depende de oro parámero del circuio. Para buscar las expresiones de las variables de esado del circuio, la corriene en la bobina y la ensión en el condensador, esudiamos cada una de las opologías por separado, para T on, y para T off. Durane el periodo de iempo T on, el inerrupor esá en esado ON, suminisrando corriene a la bobina, y el diodo se encuenra en esado de core. Eso provoca que en la bobina, la ensión sea posiiva, in - 0. Por ano, el circuio queda de la siguiene manera, Figura 4. Converidor buck en esado ON. Si aplicamos un KL al circuio obenemos que, in = R i v R i i 4 s l l l c 6

23 7 Consideramos que la expresión ano de la ensión de una bobina como la corriene en un condensador son: d di L v l l = 4 y d dv C i c c = 43 Susiuimos las expresiones 4 y 43 en la expresión 4. d dv C R i R d di L i R c l l l s in = 44 La expresión de la ensión en el condensador sabemos que iene la siguiene expresión. d dv C R i R v c l c = 45 Despejando la derivada de la ensión en el condensador. l c c i C v C R d dv = 46 Susiuimos la expresión de la derivada de la ensión del condensador de la ecuación 46 en la ecuación 44, y despejamos la derivada de la corriene en la bobina, obeniendo. = = = L i L R i L R i L R v L d di v i R i R d di L i R v C R i C C R i R d di L i R in l l l s c l c l l l l s in c l l l l s in L i L R v L d di in l s c l = 47

24 Por ano, las ecuaciones de las variables de esado para el converidor Buck, cuando esá opología ON son: dv c d = v R C c il C 48 di l Rs in = vc il 49 d L L L Si expresamos las ecuaciones aneriores, 48 y 49, con parámeros normalizados, las ecuaciones de esado quedan de la siguiene manera: dv d di d = v i = v i s 50 5 Ahora buscamos la expresión de las variables para la opología OFF. En esa opología el circuio presena de la siguiene forma: Figura 5. Converidor buck en esado OFF. El procedimieno que uilizaremos es el mismo que para buscar las expresiones de las ecuaciones de las variables de esado para la opología anerior. Si aplicamos un KL al circuio obenemos que, 0 s l l l c = R i v R i i 5 Susiuimos las expresiones de la ensión en la bobina, 43, y la de la corriene en el condensador, 4, en la expresión 5. dil dvc 0 = Rs il L R il R C d d 53 8

25 9 La expresión de la ensión en el condensador sabemos que iene la siguiene expresión. d dv C R i R v c l c = 54 Despejando la derivada de la ensión en el condensador. l c c i C v C R d dv = 55 Susiuimos la expresión anerior, 55, en la ecuación 53, y despejamos la derivada de la corriene en la bobina, obeniendo. = = = l l l s c l c l l l l s c l l l l s i L R i L R i L R v L d di v i R i R d di L i R v C R i C C R i R d di L i R 0 0 l s c l i L R v L d di = 56 Por ano, las ecuaciones de las variables de esado para el converidor buck, cuando esá opología OFF son: l c c i C v C R d dv = 57 l s c l i L R v L d di = 58 Si expresamos las ecuaciones aneriores, 57 y 58, con parámeros normalizados, las ecuaciones de esado quedan de la siguiene manera: i v d dv = 59 i v d di s = 60

26 3.3. Fronera enre el Modo de Conducción Coninua y el Modo de Conducción Disconinua. En ese aparado, se desarrollan las ecuaciones que muesran la influencia de varios parámeros del circuio a la corriene de la bobina en el modo de conducción coninua o disconinua, y así, poder inroducir la fronera enre ambos modos de conducción. La forma de la onda de la corriene y la ensión en la bobina en la fronera enre ambos modos de conducción, omando in = d es: Figura 6. Forma de onda de la corriene en la bobina en la fronera delos dos modos de conducción Como se puede ver, en la fronera enre el modo de conducción coninua y disconinua, la corriene en la bobina, i l, se hace 0 al final del iempo T off. Teniendo en cuena que el subíndice B se uiliza para referirse a la fronera, la ecuación que deermina la corriene en la bobina en dicha fronera es: T D T = = = = = 6 L L on r I lb il, pico in 0 in 0 I 0B Por ano, si durane el modo de conducción, la corriene media en la bobina es menor que I LB, enonces, i l se converirá en disconinua y se siuará en la fronera enre ambos modos de conducción Modo de Conducción Disconinua. Dependiendo de la aplicación de esos converidores, o la ensión de enrada in, o la ensión de salida 0 se conrola ajusando el duy cycle, D. El primer caso que raamos es cuando se maniene la ensión de enrada consane. Ese caso se puede enconrar, por ejemplo, en un conrol de velocidad de un moor DC, donde la ensión de enrada in permanece consane, mienras 0 se conrola ajusando el duy cycle, D. De 0 = D in, la corriene media en el inducor en la fronera del modo de conducción coninua: I LB Tr = D D 6 L 0

27 Usando esa ecuación, se puede mosrar en la siguiene figura, I LB en función del duy cycle, maneniendo in d y odos los parámeros del circuio consanes. Figura 7. Relación enre la corriene de la bobina en la fronera y el duy cycle para d consane. Como se puede ver en la figura, la corriene de salida es máxima para un duy cycle de D = 0. 5 en el modo de conducción coninua. I LB De las ecuaciones 6 y 63: Tr in = 63, max 8 L I LB = 4 I LB, max D D 64 Se procede al cálculo de la relación 0 / in en el modo disconinuo. Inicialmene, se oma que el converidor rabaja en la fronera del modo coninuo con unos valores de T, L, in y D dados. Si se manienen esos parámeros consanes, la salida se decremena, la corriene en el inducor ambién se verá decremenada. Como se muesra en la siguiene figura, el efeco anes descrio, produce un aumeno de la ensión en la carga y una corriene disconinua en el inducor. Figura 8. Modo de conducción disconinua en el converidor Buck.

28 Durane el inervalo D T r, donde la corriene en el inducor es 0, la poencia suminisrada a la carga resisiva es suminisrada por el filro capaciivo. El volaje en la bobina durane ese inervalo es 0. ambién en ese caso, la inegral del volaje en la bobina durane un periodo es 0. T 65 in 0 D Tr 0 r Si se despeja: 0 in D = D 66 Donde D D <. 0. De la figura anerior: i 0 l, pico = Tr 67 L Por ano: I 0 D = il, pico 68 usando 68 T 0 r = D L 69 usando 66 in Tr = D L 70 usando 63 = 4 I LB D 7,max si se despeja: I LB 7 0 = 4 I,max D se obiene que: I = D I LB,max

29 de las ecuaciones 66 y 73: 0 in = D 4 D I I 0 LB,max 74 El segundo caso que raamos será cuando se maniene la ensión de salida consane. En aplicaciones como la regulación del suminisro de poencia DC, se puede enconrar ese caso ya que la ensión de enrada, in, puede flucuar, pero 0 debe manenerse consane ajusando el duy cycle. De in = 0 /D, la corriene media en el inducor en la fronera del modo de conducción coninua es: I LB Tr 0 = D 75 L De esa ecuación, se puede sacar la conclusión que si 0 se maniene consane, el valor máximo de I LB ocurre cuando el duy cycle es 0. I LB Tr 0, max = 76 L Se puede ver que la operación correspondiene para un duy cycle igual a 0 y una 0 finia es hipoéica, ya que, in endría que ser infinio. De las ecuaciones 7 y 7 se puede sacar: I LB = 77 D I LB,max Para el converidor donde 0 se maniene consanemene, puede ser úil obener el duy cycle requerido como función de I 0 /I LB,max. Usando las ecuaciones 66, 67 y 76, para el caso de 0 se maniene consane. D I I 0 0 LB,max = 78 in 0 d 3

30 3.4 Descripción del Converidor DC-DC Boos. Ese ipo de circuio, conviere una ensión coninua de enrada en una ensión coninua de salida mayor. En la siguiene figura, se muesra el esquema de ese ipo de circuios: Figura 9. Esquema del converidor DC-DC del ipo boos. Cuando el inerrupor esá en esado ON, el diodo esá en core, produciendo que la fuene de enrada suminisre energía a la bobina. Cuando el inerrupor esá en esado OFF, el diodo conduce, y la carga recibe energía ano de la fuene de enrada como de la bobina. En el esado esacionario, presenado aquí, el condensador, que forma el filro de salida, se oma lo suficienemene grande como para que la ensión de salida sea consane, v Modo de Conducción Coninua. En la siguiene figura se muesra la forma de onda, omando como d = in, en ese ipo de modo de conducción donde la corriene en el inducor fluye consanemene i l > 0. Figura 0. Gráfica de la corriene en la bobina en el converidor boos rabajando en modo de conducción coninua. 4

31 Como en el converidor buck, en ese converidor en esado esacionario, la inegral en el iempo del volaje en la bobina más allá de un periodo iene que ser 0, por ano: Tr 0 Ton v d = v d v d = 0 79 l 0 l Tr Ton l T 0 T = 0 80 d on Dividiendo cada uno por T r y reordenando los érminos, se iene que: d off 0 d T = T r off = D 8 Para buscar las ecuaciones de esado del circuio, uilizaremos el mismo méodo que con el converidor buck. Para ello, esudiamos cada una de las opologías del circuio por separado, para T on, y para T off. Durane el periodo de iempo T on, el ransisor esá conduciendo y el diodo esá en core, por ano oda la corriene que suminisra la fuene, es ransferida a la bobina. En esa opología el circuio queda de la siguiene forma. Figura. Converidor boos en esado ON. Aplicando un KL a cada malla del circuio, obenemos las siguienes expresiones. = R i v 8 in s l l v = R 83 c i c Si susiuimos en las ecuaciones aneriores, la expresión de la ensión en la bobina, 4, y la expresión de la corriene en el condensador, 43, in dil = Rs il L 84 d 5

32 v c dvc = R C 85 d Despejando las derivadas correspondienes, se obienen las ecuaciones para cada una de las variables de esado. di l d Rs = L i l L in 86 dv c d = v R C c 87 Si normalizamos las expresiones aneriores, di l d i = l s 88 dv c d = v c 89 Durane el periodo de iempo T off, el ransisor esá en core y el diodo conduce, eso produce que oda la energía almacenada por la bobina durane el periodo de iempo on, se ransfiera al condensador, que se compora como una fuene de ensión, y a la carga, al mismo que la fuene no deja de suminisrarle energía. Durane T off, la opología del circuio iene la siguiene forma. Figura. Converidor Boos en esado OFF. Aplicamos el mismo méodo que con la opología anerior, en ese caso podemos ver que en la malla de enrada, = R i v v 90 in s l l c 6

33 Si susiuimos en la expresión anerior, la ensión en la bobina por su ecuación correspondiene, 4, la expresión de la malla endrá la siguiene forma. Despejando la derivada de la corriene, di d l in = R s i l L v c 9 di l d = v L c Rs L i l L in 9 Se consigue la ecuación de esado para la corriene de la bobina. Analizando el circuio, vemos que la ensión en el condensador se puede expresar como, v c = R i i 93 l c Si se susiuye la corriene en el condensador por se ecuación correspondiene, 43, podemos ver que v c dvc = R il C 94 d Despejando la derivada de la ensión en el condensador, dv c d = v R C c il C 95 Por ano, podemos decir que las ecuaciones de esado para el converidor en su opología OFF, corresponden a las ecuaciones 9 y 95. Si normalizamos esas ecuaciones, obenemos que, dv c d = v c i l 96 di l d = vc il s 97 7

34 3.4. Fronera enre el Modo de Conducción Coninua y el Modo de Conducción Disconinua. Por definición, el converidor boos rabajará en la fronera enre los modos de conducción coninuo y disconinuo, cuando la corriene de la bobina, i l, sea 0 al final del inervalo OFF. Por ano, las formas de onda en esa región serán: Figura 3. Forma de onda de la corriene en la bobina en la fronera delos dos modos de conducción. y el valor medio de la corriene en esa fronera será: I LB = i d l, pico = Ton 98 L y usando la ecuación 8: I LB Tr 0 = D D 99 L Si se supone que en un converidor boos, la corriene en el inducor es la misma que la corriene de enrada i d =i l podemos ver que el valor de la corriene de salida en la fronera del modo de conducción coninua es: I T = D D 00 L r 0 0 B 8

35 En muchas aplicaciones en las que se usa el converidor boos, requieren que 0 se manenga consane. Por ano, con 0 consane, se puede expresar I LB e I 0B en función del duy cycle. Como se puede ver: Figura 4. Relación enre la corriene en la bobina y el duy cycle. Así, maneniendo consane 0 y variando el duy cycle implicará que el volaje en la enrada ambién varíe. Como se puede ver en la figura, I LB alcanza un valor máximo cuando D=0.5: I LB Tr 0, max = 0 8 L También, I 0B iene un valor máximo cuando D =. 3 T T I r 0 s 0 0B,max = = L L Así, en érminos de valores máximos, I LB e I 0B se puede expresar como: I LB = 03 4 D D I LB,max e I 7 = B D D I OB,max Así, al como muesra la figura anerior, para un duy cycle dado, con 0 consane, si el valor medio de la corriene en la carga es menor de I 0B, el converidor esará rabajando en modo disconinuo. 9

36 3.4.3 Modo de Conducción Disconinua. Para enender ese modo de conducción, se supone el caso que la carga puede decremenar maneniéndose consanes in y el duy cycle. En la siguiene figura, se muesra la forma de onda en la fronera enre el modo de conducción coninua y el modo de conducción disconinua con in, en la gráfica d, y el duy cycle consanes. Figura 5. Forma de onda de la corriene en la bobina en la fronera delos dos modos de conducción. Y en esa figura, se muesra la forma de onda cuando el converidor funciona en modo de conducción disconinua. Figura 6. Forma de onda de la corriene de la bobina cuando el converidor rabaja en modo de conducción disconinua. Como se ve, la diferencia enre los dos modos, es debido a que la poencia en la carga, decremena, y por ano, disminuye i l, maneniéndose in consane, ya que la corriene de pico en la bobina es la misma en cada caso, y un valor bajo de i l solo es posible si aumena la ensión en la carga. Si se oma la inegral de la ensión en la bobina más allá de un periodo. d D T r 0 d 0 Tr = 0 = 05 D d y I I = 0 d D 06 30

37 De la figura anerior, se puede ver que la corriene de enrada promediada, la cual es igual a la corriene de la bobina, es: y usando la ecuación 06. d I d = D Tr D 07 L I 0 d Tr = D L 08 En la prácica, 0 se maniene consane, y el duy cycle varía como respuesa a la variación de in. Eso es más úil para obener un valor requerido del duy cycle como función de la corriene de la carga para variar valores de in / 0. Así usando las ecuaciones 06, 08 y 0 se ve que: D = 09 d d I I 0B,max En el modo disconinuo, 0, no se puede conrolar en cada ciclo de conmuación, como mínimo es ransferido desde la enrada a la salida del condensador y la carga. Si la carga no permie disipar esa energía, la ensión en el condensador, 0, disminuirá hasa que el balance de energía se esablezca, Por ano, D T L d s il, pico = w s 0 L 3

38 4 DESCRIPCIÓN DE LOS TIPOS DE MODELOS UTILIZADOS. En ese aparado se describen los modelos uilizados en ese proyeco. Aunque el primero no se uiliza, se hace mención porque, a parir de él, se obienen los siguienes. 4. Modelo Conmuado. El primer modelo que se describe es el puno de origen de los aneriores. Con ése no se puede realizar un esudio del sisema, ya que al ser la conmuación enres dos esados, no se puede esudiar como conjuno. El esado de un sisema dinámico es el conjuno más pequeño de variables de modo que el conocimieno de esas variables en = 0 juno con el conocimieno de la enrada para 0, deermina por compleo el comporamieno del sisema para cualquier iempo 0. Las variables de esado de un sisema dinámico, son las que forman el conjuno más pequeño de variables que deerminan el esado del sisema dinámico. Si se necesian al menos n variables x, x,...,x n para describir por compleo el comporamieno de un sisema dinámico, ales n variables son un conjuno de variables de esado. Si se necesian n variables de esado para describir por compleo el comporamieno de un sisema deerminado, esas n variables de esado se consideran los n componenes de un vecor x. Tal vecor se denomina vecor de esado. Por ano, un vecor de esado es aquel que deermina de manera única el esado del sisema x para cualquier iempo 0, una vez que se obiene el esado en = 0 y se especifica la enrada u para 0. En el análisis en el espacio de esados, nos concenramos en res ipos de variables involucradas en el modelado de sisemas dinámicos: variables de enrada, variables de salida y variables de esado. El sisema dinámico debe incorporar elemenos que memoricen los valores de la enrada para. Dado que los inegradores de un sisema de conrol en iempo coninuo funcionan como disposiivos de memoria, las salidas de ales inegradores se consideran las variables que definen el esado inerno del sisema dinámico. Por ano, las salidas de los inegradores funcionan como variables de esado. La canidad de variables de esado necesarias para definir compleamene la dinámica del sisema es igual a la canidad de inegradores que coniene el sisema. La descripción de un sisema dinámico mediane las ecuaciones de esado es: x & = f x, u, y = g x, u, Si las funciones vecoriales f y/o g involucran explíciamene el iempo, el sisema se denomina variane con el iempo. Si f y g son lineales, las ecuaciones aneriores son de la forma, x& = A x B u 3 y = C x D u 4 en donde A se denomina la mariz de esado, B mariz de enrada, C mariz de salida y D mariz de ransmisión direca. 3

39 Si las funciones vecoriales f y g no involucran el iempo explíciamene, el sisema se denomina sisema invariane con el iempo. En ese caso, las ecuaciones 3 y 4 se simplifican a x& = A x B u 5 y = C x D u 6 La ecuación 5 es la ecuación de esado del sisema lineal e invariane con el iempo. La ecuación 6 es la ecuación para el mismo sisema. En el caso que se raa en ese proyeco, cada uno de los circuios descrios ienen dos esados diferenciados por el esado del inerrupor, y a su vez por la variable u, que deermina el esado en el cual rabaja el converidor. Cuando el inerrupor se encuenra en esado ON, la variable u oma por valor, y cuando el inerrupor se encuenra en esado OFF, la variable u oma por valor 0. Cada esado por separado es lineal e invariane con el iempo, ya que cada uno de ellos se describe con la ecuación de una reca, y no se involucran direcamene con el iempo. Las ecuaciones que describen cada uno de los esados son: x & = A x 7 ON B ON x & = A x 8 OFF B OFF Siendo la ecuación 7 la que ranscurre durane el inervalo [0,T on ], y las ecuación 8 la que ranscurre durane el inervalo [T on,t]. La ecuación del sisema compleo, eniendo en cuena cada uno de los dos esados, viene descrio por siguiene ecuación: x& = A x B u A x B u ON ON OFF OFF 9 Operando la ecuación anerior, el modelo conmuado en nuesro caso oma la siguiene forma: x & = A A x u A x B B u B ON OFF OFF ON OFF OFF 0 Dependiendo del valor de u={0,}, el sisema acuará en un esado o en oro, ya que esa variable se encargará de la conmuación. Como se puede ver en la ecuación anerior, aunque las ecuaciones en cada esado son lineales, el conjuno de odo el sisema no es lineal. Eso es debido a la conmuación del sisema. 33

40 Expresión del Modelo Conmuado para el Converidor Buck. El primer paso para definir el modelo conmuado del converidor buck, es definir la forma de los vecores de las variables de esado, x y x&. En nuesro caso las variables de esado son la ensión en el condensador y la corriene en la bobina, las dos normalizadas. Por ano, dichos vecores serán: = d di d dv x & = i v x Teniendo en cuena las ecuaciones de esado de la opología ON del converidor con los parámeros normalizados, 50 y 5, se pueden definir la mariz A ON, y el vecor B ON. = s ON A 3 = 0 ON B 4 Realizamos lo mismo para la opología OFF a parir de las ecuaciones correspondienes, 59 y 60. = s OFF A 5 = 0 0 OFF B 6 Si susiuimos cada una de las marices y vecores en la expresión general del modelo conmuado, su forma es: = u x u x x s s s &

41 Operando la expresión, el modelo queda como sigue, y de forma general: 0 x& = x u 7 s x & = A x B u 8 ON Siendo A=A ON =A OFF, para ese converidor. 4.. Expresión del Modelo Conmuado para el Converidor Boos. Para obener el modelo conmuado para el converidor boos, realizamos las mismas operaciones para el converidor buck La forma de los vecores de la variables de esado, x y x&, y, es la misma. Las ecuaciones de esado de la opología ON del converidor con los parámeros normalizados, 88 y 89, definidas como mariz A ON, y vecor B ON son. A ON = 0 0 s 9 0 B ON = 30 olvemos a parir de las ecuaciones de esado del converidor, pero para la opología OFF, 96 y 97. A OFF = s 3 0 B OFF = 3 35

42 36 Si susiuimos cada una de las marices y vecores en la expresión general del modelo conmuado, su forma es: = u x u x x s s s & Operando la expresión, el modelo queda como sigue, = x u x x s & 33 y de forma general: OFF OFF OFF ON B x A u x A A x = & Modelo Promediado. El promediado de una variable x denro de un ciclo de conmuación se obiene a parir de: = T d x T x τ τ 35 para un valor fijo de periodo de conmuación T. El hecho de promediar, produce que la nueva variable promediada, sea menos complicada y que haya una coninuidad en el iempo si la variable sin promediar impulsaba a ello. Ora venaja del promediado es que la derivada de una variable promediada es igual al promedio de la derivada de una variable, produciendo que no se vea modificado el análisis del sisema. En nuesro caso, es un promediado local ya que se promedia el modelo conmuado durane un periodo de la rampa, siendo el periodo del circuio mucho mayor ya que sino se verían cambios de la señal de conrol respeco de la rampa. Ese hecho produce que el nuevo modelo sea coninuo y auónomo. Por ano, las ecuaciones obenidas, después de aplicar ese procedimieno, para cada esado son u B x A x ON ON = & 36 u B x A x OFF OFF = & 37

43 37 Evaluando el sisema compleo, se obiene la expresión del modelo promediado, expresándose de la siguiene forma: u B x A u B x A x OFF OFF ON ON = & 38 Donde x& es el valor promediado de x&, x es el valor promediado de x y u es el valor promediado de la función del conrol. En ese caso, la variable promediada anes ciada adquiere valores coninuos enre 0 y. Operando la ecuación anerior, 38, el modelo promediado en nuesro caso es el siguiene. OFF OFF ON OFF OFF ON B u B B x A u x A A x = & Modelo Promediado del Converidor Buck. Como ya se ha dicho en el aparado anerior, el hecho de promediar el circuio no afeca a su análisis, por ano las marices y vecores de los parámeros del circuio no se verán afecadas. Primero, se definen los vecores de las variables de esado promediadas, x y x&. Dichos vecores se expresan de la siguiene forma: = d i d d dv x & 40 = i v x 4 La función del conrol promediada con parámeros normalizados es: τ h i z v u D R = 4 Al realizar un promediado del modelo conmuado, las marices de los parámeros del circuio no se ven afecadas, por ano se uilizan las marices 3 y 4 para el esado ON, y las 5 y 6 para el esado OFF. Si susiuimos cada una de las marices y vecores en la expresión general del modelo conmuado, su forma es: = u x u x x s s s &

44 38 Operando la expresión, el modelo queda como sigue, 0 u x x s = & 43 y de forma general: u B x A x ON = & 44 Siendo A=A ON =A OFF, para ese converidor. 4.. Modelo Promediado del Converidor Boos. Se definen los vecores de las variables de esado promediadas, x y x&, los cuales serán los mismos que en el aparado anerior, 40 y 4. La función del conrol uilizado, ampoco varía de un converidor a oro, por ano se uiliza la ecuación descria como 4. Como se ha especificado en el aparado anerior, para ese converidor las marices correspondienes serán las 9 y 30 para el esado ON, y las 3 y 3 para el esado OFF. Si susiuimos cada una de las marices y vecores en la expresión general del modelo conmuado, su forma es: = u x u x x s s s & Operando la expresión, el modelo queda como sigue, = x u x x s & 45 y de forma general: OFF OFF OFF ON B x A u x A A x = & 46

45 4..3 Definición de la Curva Caracerísica para Converidores DC-DC. Como se ha podido ver en aparados aneriores, los converidores DC-DC del ipo buck y boos, son sisemas que se caracerizan por ener dos configuraciones básicas con dos variables de esado. El sisema conmua de una configuración a ora dependiendo de una señal de conrol. Dicha señal de conrol, depende del cruce enre una ensión de conrol, definida en aparados aneriores, y una rampa. La curva caracerísica es el conjuno de punos de equilibrio posibles del sisema cuando el ciclo de rabajo varía enre 0 y. El objeivo principal de ese aparado será mosrar un camino sencillo para enconrar la función asociada con dicha curva que une las dos configuraciones básicas. La curva caracerísica esa relacionada con una combinación especifica de los parámeros del converidor, y se puede decir que no exisen punos de equilibrio que no esén siuados en la curva caracerísica, para esos parámeros. Ese nuevo concepo es muy ineresane para el análisis del sisema y para la validación de los resulados obenidos, porque si los punos de equilibrio calculados no perenecen a la curva, se podrá decir que no son correcos. Si se represena la banda de conmuación, y los punos de equilibrio no se encuenran enre sus bordes, producirá que el sisema no conmue, siendo inesable Definición de Puno de Equilibrio. Se define como puno de equilibrio x eq a la solución consane de la siguiene función para odo. x& = f x x = x siendo enonces la solución del sisema en ese puno, x & = 0 f x eq = x eq Curva Caracerísica a parir del Modelo Promediado en el Converidor Buck. El primer paso para el cálculo de la curva caracerísica, es especificar la forma del modelo promediado para el converidor DC-DC del ipo buck, calculado en aparados aneriores, x& = x u s 39

46 Teniendo en cuena que x es un vecor columna, definido en, formado por variables de esado correspondienes a las variables normalizadas del volaje en el condensador y de la corriene en la bobina, y u es la función promediada del duy cycle, la condición en el puno de equilibrio es: 0 x& = 49 0 Por ano, omando las variables de esado en el puno de equilibrio en mayúsculas, se puede decir que 0 = 0 s X 0 U 50 Mosrando cada ecuación, correspondiene a la ensión del condensador y a la corriene en la bobina, por separado e imponiendo la condición de equilibrio, 0 = I 5 0 = I U 5 s De la ecuación 5, se puede obener la forma de la curva caracerísica para el converidor buck, siendo: I = 53 La expresión anerior nos da la relación enre el volaje normalizado del condensador y la corriene normalizada de la bobina en el puno de equilibrio. Como se puede ver, la curva caracerísica en ese converidor, se raa de una línea reca con pendiene /, en el plano normalizado v,i. 40

47 En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica para el converidor buck con unos valores concreos de sus parámeros y incluyendo la banda de conmuación, solo para realimenación de ensión, para esos mismos parámeros. i Configuración ON CC Configuración OFF bl bh v Figura 7. Forma de la Curva caracerísica para un converidor del ipo Buck con parámeros fijos, y con la correspondiene banda de conmuación para esos mismos parámeros. Como se muesra en la figura anerior, los punos que deerminan las dos configuraciones del circuio esán separados por la banda de conmuación, asegurando una mejor conmuación enre esas dos configuraciones. Es fácil ver que ese hecho es un crierio muy imporane cuando se realiza el diseño de ese converidor, ya que si el puno de equilibrio del mismo no esá denro la banda de conmuación, se corre el riesgo que el sisema no conmue, y provoque que el circuio no realice su función Curva Caracerísica a parir del Modelo Promediado en el Converidor Boos. El procedimieno uilizado para el cálculo de la curva caracerísica en el converidor boos, es el mismo que el uilizado en el aparado anerior. Por ano, la forma del modelo promediado con las variables y los parámeros normalizados es el obenido en la ecuación x& = x u x 0 s Teniendo en cuena que ano el vecor x como la función u son los mismos que el aparado anerior, ambién las condiciones para ese converidor en el puno de equilibrio son las descrias en la expresión 53. Por ano, imponiendo la condición de equilibrio, 0 0 = 0 X U 0 s X

48 Mosrando cada ecuación, correspondiene a la ensión del condensador y a la corriene en la bobina, por separado, 0 = I U I 55 0 = U I U 56 A parir de la ecuación 55 y susiuyendo la variable correspondiene a la expresión del duy cycle por su función correspondiene, se obiene que la expresión de la curva caracerísica para el converidor DC-DC del ipo boos, es la siguiene: s I = I 57 s La expresión anerior nos da la relación enre el volaje normalizado del condensador y la corriene normalizada de la bobina en el puno de equilibrio. En ese caso no se raa de una reca, sino de un ramo de una elipse en el plano v,i. En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica para el converidor boos con unos valores concreos de sus parámeros y incluyendo la banda de conmuación, ano para realimenación de corriene como para ensión, para esos mismos parámeros. i Configuración ON bhy CC bly Configuración OFF blx bhx v Figura 8. Forma de la Curva caracerísica para un converidor del ipo boos con parámeros fijos, y con la correspondiene banda de conmuación para esos mismos parámeros. 4

49 4.3 Modelo Discreo. La descripción del espacio de esados en iempo discreo, viene de un muesreo periódico de las variables de esado del sisema en iempo coninuo. Debido a la periodicidad de los circuios que se llevan a esudio, se realiza un muesreo del modelo conmuado omando una muesra por cada ciclo del periodo naural. Suponiendo que la descripción del sisema que se preende discreizar es el modelo conmuado, y que se muesrea cada T segundos, se escribe x i [k] para indicar x i [kt], donde k es un enero que indexa las muesras. Para obener ese ipo de modelo, se supone que las enradas en el modelo conmuado son deerminadas por un juego finio de variables en cada inervalo de muesro, y con una dependencia enre ellas que permia que varíen ciclo a ciclo. Ese ipo de variables se noan como p [k],...,p r [k], en cada inervalo. Los corchees sirven para indicarnos que esas canidades son discreas. La discreización del modelo conmuado en ktt, obenido a parir del puno anerior calculado en el inervalo de iempo kt < ktt, se especifica en la siguiene ecuación, x x x [ k ] = φ x[ k], x[ k],..., xn [ k], p[ k], p[ k],... pn [ k], [ k ] = φ x [ k], x [ k],..., x [ k], p [ k], p [ k],... p [ k], k n n k [ k ] = x [ k], x [ k],..., x [ k], p [ k], p [ k],... p [ k], x φ n n n k siendo φ, la función discrea equivalene a la función f en el modelo conmuado. Para calcular el modelo discreo para los circuios que se llevan a esudio, primero buscamos la forma discrea de la ecuación de cada esado. Pariendo de la ecuación de una opología en el modelo conmuado y expresada en la ecuación. Esa ecuación se expresa en la forma de una ecuación diferencial, y se muliplica cada érmino por A e, x & Ax = B 59 A A x& Ax e = B e 60 como se puede ver, la expresión por ano, podemos decir que, A x& Ax e, es la derivada de la función e A x, d d A A e x = e B 6 si se inegra la expresión anerior enre un iempo inicial 0 y, se obiene que, e A Ao Aτ x e x 0 = e B dτ

50 muliplicando cada érmino por e A y reorganizando los érminos, se obiene la siguiene solución. A 0 A τ x = e x e B dτ Se define la mariz de ransición de esado, φ, como, A φ = e 64 susiuyendo en la expresión 63 obenida aneriormene, vemos que la ecuación ome la siguiene forma, inegrando esa expresión, se obiene que, x = φ 0 x 0 φ τ B dτ 65 0 x = φ x A I B φ 0 Si se define la mariz Ψ, como = A ψ φ I B 67 0 y se susiuye en la expresión anerior, la ecuación de una opología del circuio queda de la siguiene forma, x = φ x ψ Por ano, podemos decir que esa es la expresión del esado de cualquiera de las dos opologías, donde se susiuirán las marices A y B correspondienes a cada converidor. Para obener el modelo compleo, englobando las dos opologías en un mismo periodo, debemos inroducir el concepo de conmuación síncrona, S-Swiching, y de conmuación asíncrona, A-Swiching. Un converidor conmua de forma síncrona cuando la conmuación iene lugar en insanes n múliplos eneros del periodo de conmuación, n =nt. Y un converidor conmua de forma asíncrona cuando la conmuación iene lugar en insanes n que no son múliplos del periodo de conmuación, n nt. 44

51 Como se puede ver en la siguiene figura, se muesra un ejemplo para cada uno de los ipos de conmuación. Figura 9. Ejemplo de los dos ipos de conmuación que se pueden enconrar en los converidores DC-DC para el modelo discreo. Para acabar de definir el modelo discreo, se supone que el converidor conmua de forma síncrona, con un insane de conmuación, n, fijo y definido en el inervalo nt< n <nt, al como se muesra en la figura 9. Teniendo en cuena la aplicación esroboscópica para consruir dicha función, para obener un valor x n, se calculará a parir de una función dependiene de x n, llamada Px, al como se describe a coninuación. P : R a R x a x = P x para n=,, n n n Por ano, se busca el modelo discreo en el inervalo de iempo [nt, nt]. En el subinervalo [nt, nt n ], correspondiene a la primera opología, el sisema esará gobernado por la siguiene ecuación en el insane inicial del esado, x = φ nt x nt ψ nt. 70 En el insane final de ese mismo esado, correspondiene al insane de iempo n nt, viene gobernado por la siguiene ecuación y que ambién corresponderá al insane inicial de la siguiene opología, x nt = φ x nt ψ. 7 n n n En ese mismo insane de iempo, el circuio conmua de opología, y el esado viene deerminado por la siguiene ecuación, x = φ nt x nt ψ nt. 7 n n n 45

52 Y en la misma opología, el esado final será, x n T = φ T n x nt n ψ T n. 73 Por definición en el mapa esroboscópico, la función que relaciona xnt=x n con xnt=x n iene la siguiene forma. x = P x n n xn = T n φ n x nt ψ n T n φ ψ 74 Por ano, esa es la ecuación que define el modelo discreo. Para obenerlo, habrá que susiuir las marices A y B, según el converidor y la opología correspondiene. 46

53 5 ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD. En ese aparado, se exponen los crierios uilizados para el esudio de la esabilidad para los dos modelos raados, ano el modelo promediado, como el modelo discreo- 5. Crierios de Esabilidad para el Modelo Promediado. Para el esudio de la esabilidad a parir de ese modelo, el primer paso es el cálculo del puno de equilibrio del sisema, aplicando lo explicado en aparados aneriores. Ese puno cumplirá ano la condición de la curva caracerísica como la condición de conmuación. La equivalencia local enre un sisema no lineal y su linealización alrededor del puno de equilibrio es una propiedad imporane de los sisemas no lineales que nos permie analizar la esabilidad en esos punos. Como, por la definición del puno de equilibrio, la función en el puno es 0, f promediada X 0 = 0 75 la expansión de su serie de Taylor alrededor del puno se puede expresar de la siguiene manera, f promediada f promediada x = x érminos de orden elevado 76 x X 0 donde x=x 0 x. El sisema lineal, se podrá aproximar a su derivada parcial en X 0 si x es lo suficienemene pequeño para excluir los érminos de orden elevado. La mariz consane del sisema equivalene se llama mariz jacobiana y sus coeficienes son las derivadas parciales de la función promediada respeco a las variables de esado. f promediada _ v f promediada _ v v i X 0 X 0 J = 77 f promediada _ i f promediada _ i v i X 0 X 0 La esabilidad la deermina la pare real de los auovalores de la mariz Jacobiana. Ya que el modelo promediado es coninuo en el iempo, para que la dinámica sea esable, los auovalores de esa mariz deberán ener la pare real negaiva. Como ya es conocido, los auovalores de una mariz, son las soluciones del polinomio caracerísico de dicha mariz, por ano si se supone la mariz Jacobiana de la siguiene forma, a b J = 78 c d 47

54 diagonalizando la mariz, a λ b J = 79 c d λ calculando el deerminane de dicha mariz, se obiene el siguiene polinomio caracerísico, P λ = a λ d λ bc P λ = λ a d λ ad bc 80 idenificando los érminos del polinomio, ése se puede expresar como, P λ = λ Tra J λ De J = 0. 8 Por ano, se puede decir que el valor de los auovalores, depende de la raza y del deerminane de la mariz jacobiana, ya que esos se pueden definir como, Tra J ± Tra J 4De J λ, =. 8 Es fácil ver a parir de la forma del polinomio caracerísico, expresado en 8, que endremos dos posibles ipos de inesabilidad. La provocada cuando la raza de la mariz jacobiana es igual a 0, y cuando el deerminane de la misma es 0. Cuando la raza es 0, el polinomio iene la siguiene forma, P λ = λ De J = 0 83 y los auovalores correspondienes serán imaginarios puros, λ=±jdej 84 eso provoca que el sisema se encuenre en una fronera enre la esabilidad y la inesabilidad, ya que un cambio en la raza, omando valores posiivos, implica que el auovalor ome como pare real un valor posiivo y volviendo al sisema inesable. En ese ipo de inesabilidad, se puede dar el caso que se produzca la bifurcación de Hopf. Cuando el sisema esá en ese ipo de inesabilidad, iene un comporamieno oscilaorio, al sobrepasarla, la forma de onda se vuelve oalmene inesable, acuando en una zona no deseada. En el caso cuando el deerminane de la mariz Jacobiana se hace 0, el polinomio caracerísico iene la siguiene forma, siendo los auovalores, P λ = λ Tra J λ = 0 85 λ λ = 0 = Tra J 86 48

55 provocando que la dinámica del sisema se encuenre en la fronera de funcionamieno esable y que cualquier cambio en esa dinámica produzca una inesabilidad. A ese ipo de bifurcación es conocida como bifurcación de Saddle Node. Ese ipo de bifurcación, provoca que una de las soluciones sea esable o inesable según el signo de la raza, y la segunda solución provoca que la dinámica sale a ora opología, maneniéndose fija. 5.. Cálculo del Puno de Equilibrio en el Converidor Buck. Para el cálculo del puno de equilibrio para ese converidor, primero exponemos las ecuaciones relacionadas con el mismo. Sabiendo que las ecuaciones de las variables de esado en el modelo promediado, aplicando la definición de puno de equilibrio, ienen la siguiene forma, 0 = I 87 0 = I U 88 s la ecuación del conrol PWM en dicho puno viene definida por la siguiene expresión, mosrada en la ecuación 8, u = R v z i D y la expresión de la curva caracerísica, 53, I = aislando la expresión del duy cycle de la ecuación 88, se puede igualar a la obenida como la expresión del conrol, 8, U = s I 89 s I = R z I D 90 despejando la corriene en el puno de equilibrio de la expresión de la curva caracerísica, y susiuyéndola en la ecuación anerior, se encuenra la expresión correspondiene a la ensión del condensador. = D D R D S z 9 49

56 50 Realizando el mismo procedimieno, pero eniendo en cuena que la expresión de la curva caracerísica ambién se puede expresar de la siguiene forma, I = 9 se obiene que la ecuación del puno de equilibrio correspondiene a la corriene de la bobina es, = z I S D D R D Cálculo de la Mariz Jacobiana en el Converidor Buck. Para el cálculo de esa mariz, uilizamos el concepo expueso en la ecuación 77, = X i promediada X i promediada X v promediada X v promediada i f v f i f v f J de esa forma, eniendo en cuena que la función f promediada de la mariz J son las dos funciones del modelo promediado, expresadas aneriormene en forma maricial, I f v promediada = _ 94 D R S i promediada I z I f = _. 95 Una vez expuesas las dos funciones promediadas, se procede a realizar las derivadas parciales de las mismas respeco de las variables de esado. v f X v promediada 0 _ = 96 0 _ = X v promediada i f 97 D X i promediada v f 0 _ = 98

57 5 D S X i promediada z i f = 0 _ 99 Tras haber calculada las derivadas parciales correspondienes, la mariz Jacobiana en el converidor buck iene la siguiene forma, = D S D z J Cálculo del Puno de Equilibrio en el Converidor Boos. Para el cálculo del puno de equilibrio en ese converidor, se uiliza el mismo procedimieno que con el converidor buck. En primer lugar, se exponen las ecuaciones del modelo promediado aplicando la definición del puno de equilibrio, I U I = = I U S 0 se despeja la variable que caraceriza el conrol de la 0, = I U 03 igualando la ecuación que describe el conrol PWM a la ecuación anerior, D R I z I = 04 reorganizando los érminos dejando aislada la variable se obiene que, I I z I D R D = 05 si se susiuye la expresión de la curva caracerísica, obenida en la ecuación 57, por v, la ecuación queda en función de una sola variable de esado. I I z I I I D R D s = 06

58 5 elevando los dos érminos al cuadrado, 4 I I I z I z I z I I I D D R D R R D D S S = reorganizando los érminos e igualando la ecuación a 0, se obiene una ecuación cúbica, a la que se llamará ecuación 07, donde habrán res posibles soluciones del puno de equilibrio, aunque no ienen porque ser odas válidos. S D S D D R D S D S R S D S I I z z I z 3 Se omarán como soluciones válidas de la corriene promediada de la bobina en el puno de equilibrio, los valores que no sean complejos. Para el cálculo de la ensión promediada del condensador, se susiuirán los valores válidos de la corriene en la ecuación de la curva caracerísica especificada en la expresión 57, obeniendo así el puno de equilibrio para las dos variables de esado para el converidor boos Cálculo de la Mariz Jacobiana en el Converidor Boos. Para obener la mariz jacobiana del modelo promediado en el converidor boos, se uilizan los mismos concepos que en el converidor buck y descrios en la ecuación 77, por ano, las funciones promediadas ano para la ensión como para la corriene son, I I z I f D R v promediada = _ 07 _ = I I z f S D R i promediada. 08 desarrollando cada una de las ecuaciones, se obiene que, I I z I I I f D D D R v promediada = _ 09 _ = I I z f S D D D R i promediada. 0

59 El siguiene paso es realizar las derivadas parciales de cada una de las funciones anes descrias respeco de cada una de las variables de esado. f v X 0 I = promediada _ v D f promediada _ v R z I = i X 0 D D D f promediada _ i v X 0 = R D D z I D 3 f promediada _ i z = i X 0 D S 4 Una vez calculadas las derivadas parciales correspondienes, se expresa la mariz jacobiana en el converidor boos de la siguiene forma, J = R D I D z I D D R z I D D D z D S 5 5. Crierios de Esabilidad para el Modelo Discreo. 5.. Definición de Mapa de un Inervalo. Considerando un inervalo real llamado I y una función f que ransforma un puno de dicho inervalo en oro puno de ese mismo inervalo, lo cual se escribe f : I I, de forma que los ierados del mapa x n = f xn, a parir de un puno inicial cualquiera x 0 I, esán denro del mismo inervalo I. Dicho mapa es un mapa del inervalo. 5.. Definición de Órbia y de Gráfico. Considerando un mapa x a f x, la órbia correspondiene al valor inicial de dicho mapa se escribe de la siguiene forma: x0, f x0, f f x0, f f f x0... o bien 3 x f x, f x, f... o bien 6 0, 0 0 x0 0, x, x, x3... x. 53

60 Se puede definir gráfico del mapa como la represenación gráfica de la función fx. Por ano, ambién se puede definir por gráfico de la segunda ieración como la represenación gráfica de la función f x = f f x. De forma general, el gráfico de la enésima ieración será la represenación gráfica de la función: f n x = f f f f... f x n Así, el conjuno de funciones fx,f x, f 3 x... f n x permie calcular la órbia de un puno cualquiera Tipos de Órbias. Como se ha viso, cuando se iera un mapa del inervalo, la órbia resulane Puede ser de uno de los siguienes ipos Puno Fijo. Una órbia será de ipo puno fijo cuando sólo conse de un puno. Las ieraciones siempre llevan al mismo puno. En la siguiene figura se muesra ese ipo de órbia. Figura 30. Órbia de puno fijo. Para el cálculo de los punos fijos, se hallan los punos de core del gráfico del mapa con la reca de 45º. De ese modo, los punos fijos del mapa x n = f xn, son las ecuaciones de x=fx. 54

61 5..3. Órbia p-periódica. Se define a una órbia p-periódica o de periodo p, si después de p ieraciones la órbia vuelve al puno inicial. Por ano, una órbia p-periódica sólo consa de p punos. Los punos p-periódicos son los punos fijos de la p-ésima ieración del mapa. Así, para el cálculo de ese ipo de órbias, se hallarán los punos de inersección enre la reca de 45º y el gráfico de la p-ésima ieración. Por ano los punos p-periódicos del p mapa x n = f xn, son las soluciones de la ecuación x = f x. Como se puede ver, en la siguiene figura se muesra un ejemplo de ese ipo de órbia. Figura 3. Órbia p-periódica. También se puede deducir que un puno fijo es ambién un puno periódico rivial de cualquier orden Órbia de Puno Fijo con Preperíodo. Se considera una órbia de puno fijo con preperíodo cuando para llegar a un puno fijo se necesian m ieraciones previas. Para obener los punos fijos con preperíodo m se debe de hallar la inersección del gráfico de la m-ésima ieración del mapa con el gráfico de la m-ésima ieración. Si el mapa es x n = f xn, esos punos se encuenran m m f x = f x. resolviendo Figura 3. Órbia de puno fijo con preperiodo. 55

62 Órbia Periódica con Preperíodo. Definiendo m como preperiodo y p como periodo, se puede afirmar que una órbia periódica con preperiodo si ras m ieraciones llega a ser una órbia p-periódica. Figura 33. Órbia p-periodica con preperiodo. Para el cálculo de los punos de ese ipo de órbia, se busca la inersección del gráfico de la m-ésima ieración del mapa con el gráfico de la mp-ésima ieración, lo m m p f x = f x. mismo que, Puno Asinóicamene Fijo. Se define un puno asinóicamene fijo si las sucesivas ieraciones lo van acercando más y más a un puno fijo. Como se muesra en la figura: Órbia Asinóicamene p-periódica. Figura 34. Órbia de puno asinóicamene fijo. Una órbia es asinóicamene p-periódica si las sucesivas ieraciones se acercan más y más a una órbia preperiódica. Como se muesra en la siguiene figura: Figura 35. Órbia asinóicamene p-periódica asinóicamene fijo. 56

63 Órbia Aperiódica. Por úlimo, se define una órbia aperiódica cuando no es ninguna de las órbias comenada aneriormene. En la siguiene figura se muesra un ejemplo de órbia aperiódica. Figura 36. Órbia aperiódica Esabilidad de un Puno Fijo: Muliplicador. La órbia correspondiene a un puno inicial próximo a un puno fijo puede acercarse al puno fijo o alerjarse de él. Para saber lo que ocurre en los alrededores de un puno fijo debe esudiarse la esabilidad en ese puno. Su esabilidad viene deerminada por su muliplicador. El muliplicador de un puno fijo es el valor de la derivada de la función del mapa en ese puno fijo. De esa forma, el muliplicador, λ, de su puno fijo x pf es: x df λ = dx 8 x= x pj Cada uno de los punos fijos de una órbia de periodo p, x pf i=,,...,p, iene un mismo muliplicador que se calcula evaluando la derivada de la p-ésima ieración del mapa en cualquiera de los punos de la órbia o aplicando la regla de la cadena, evaluando el produco de la función en cada uno de los punos de la órbia. p x df x p df λ = = 9 dx i= 0 dx x= x x= x Según sea el valor del auovalor, se puede decir que el puno fijo es: pf λ < Esable o Aracivo Arae por ambos lados λ = Arae por un lado y repele por el Neural o Indiferene oro λ > Inesable o Repulsivo Repele por ambos lados λ = 0 superesable o Súper aracivo pf Arae mucho por ambos lados 57

64 5..5 Mapa Lineal Bidimensional Mapa Lineal D. Un sisema dinámico discreo lineal bidimensional, o mapa lineal D, se escribe en su forma general de la siguiene manera: x y n n = a = a x x n n a a y y n n 0 La mariz del sisema anerior es: a a A = a a y se escribe de la forma: x y n n a = a a a x y n n La ecuación caracerísica del sisema es: a a λ a a λ = 0, es decir, 3 a a λ a a a a = 0 λ 4 Los auovalores son las soluciones, λ y λ, de la ecuación caracerísica. El auovecor correspondiene al auovalor λ, es la dirección definida por: a a λ a a λ x = 0 y x, y 5 El auovecor correspondiene al auovalor λ, es la dirección definida por: a λ a a a λ x = 0 y x, y 6 58

65 5..5. Forma de Suma y Produco de Auovalores. Haciendo el cambio auovalores. x = u, a x a y = v se llega a la forma de suma y de produco u v n n = v n = λ λ u n λ λ v. n Forma de Ecuación en Diferencias de Segundo Grado. Una ecuación en diferencias de segundo orden iene la forma x x x f 8 = n n, n y es el modelo de una máquina con memoria: el próximo, x n, es función del acual, x n, y del anerior, x n-, que debe recordarse. Si inroducimos la variable, una ecuación de diferencias de segundo orden es equivalene al sisema dinámico D x y x, = n f n n, y n = x n. 9 A parir de la expresión en forma de suma y produco de auovalores, el mapa lineal D se puede expresar como una ecuación en diferencias de segundo orden: λ λ u n λ u n u n = a a u n aa aa u n u n = λ Puno Fijo. Los punos fijos x pf, y pf del mapa lineal D se obiene de la siguiene forma: x y pf pf = a = a x x pf pf a a y y pf pf,, 3 y resolviendo a x pf a y pf = 0, a x a y = 0. pf pf 3 y a a a a 0, 33 es decir, si no enemos ningún auovalor igual a la unidad, sólo hay un puno fijo, que es el origen de coordenadas. Cuando hay algún auovalor igual a, se iene un caso degenerado con muchos punos fijos. 59

66 5..6 Mapa no Lineal Bidimensional Mapa no Lineal de dos dimensiones. Un sisema dinámico discreo bidimensional no lineal, o mapa no lineal de dos dimensiones, se escribe en forma general x = n f xn, yn y = n g xn, yn 34 Hemos viso que un sisema lineal de dos dimensiones iene un único puno fijo que es origen. En los sisemas no lineales de dos dimensiones iene varios punos fijos que se obienen resolviendo el sisema de ecuaciones no lineales siguiene: x f x, y pf pf = pf pf f x y y =, 35 Si se quiere esudiar un puno fijo del sisema anerior, primero se endría que linealizarlo en las proximidades de ese puno fijo, por ano si xn = f / x pf xn f / y pf yn yn = g / x xn g / y yn 36 que es sisema lineal cuya mariz pf pf pf pf f / x pf f / y pf g / x pf g / y pf 37 y se conoce por el jacobiano del mapa en el puno fijo. Por ano, se puede decir que el sisema linealizado se parece al original sólo en las proximidades del puno fijo, y sólo si ése es un puno hiperbólico. Los auovalores de la mariz jacobiana, al igual que en el modelo promediado, son los que nos indican la esabilidad del sisema. Si esos se encuenran denro del círculo unidad el sisema será esable. En caso conrario, el sisema será inesable Cálculo del Jacobiano a parir del Modelo Discreo. Tal como se ha descrio el modelo discreo en aparados aneriores, se ha considerado que el insane de cambio n es fijo y por ano se raa de un sisema en bucle abiero al no haber una realimenación de enrada. Los circuios que se llevan a esudio, como se ha especificado anes, son en bucle cerrado, provocando que el conrol acúe sobre el insane de cambio enre opologías. En primer lugar se describe el cálculo del Jacobiano para la dinámica del sisema en bucle abiero, y luego, se raará para la dinámica del sisema en bucle cerrado. En bucle abiero, el cálculo de la mariz jacobiana se obiene a parir de J x = x n n P = x n 38 60

67 obeniéndose el siguiene resulado, J = φ T n φ. 39 n En ese caso, se puede decir que el sisema es esable ya que, si se iene en cuena que las marices φ y φ son dependienes de las marices A y A y, los auovalores de ésas caen en el semiplano izquierdo, se puede decir que, los auovalores de la marices φ y φ caen denro del círculo unidad, cumpliéndose así la condición de esabilidad para sisemas discreos. Cuando se raa de un sisema dinámico que funciona en bucle cerrado, el iempo de conmuación es la solución de una función que describe la condición de conmuación enre opologías. Dicha función se describe a parir de la comparación de la ensión de una función rampa y de una ensión de conrol, al como se ha explicado en el conrol PWM, y se escribe de la siguiene forma, g x, = v nt v nt, 40 n n r n con n susiuyendo la ensión de conrol por su expresión,, discreizada y con sus variables sin normalizar, la expresión anerior queda de la siguiene forma, g xn, n = vr nt n a kv vc nt n ki il nt n ref, 4 definiendo un vecor fila K, en el cual se engloban las consanes del conrol, K = [ k v k i ], 4 y susiuyendo las variables de esado por su vecor correspondiene, se obiene, n n r n [ K x nt ] g x, = v nt a. 43 El vecor de las variables de esado, se puede susiuir por la expresión del esado discreo correspondiene a la opología en la cual esá rabajando el sisema en el iempo nt n, por ano, [ K x nt ] g = φ. 44 xn, n vr nt n a n ψ eniendo en cuena la periodicidad de la rampa, se puede expresar la función gx n, n como sigue, [ K x nt ] g = φ. 45 xn, n vr n a n ψ Cuando la función que describe la condición de conmuación impuesa por el conrol se hace 0, se obiene el valor de n en el cual se produce el cambio enre opologías. Como se puede ver, esa función no se puede resolver analíicamene, eniéndose que emplear oro ipo de herramienas para su cálculo. n n n ref ref ref 6

68 6 Si rescribimos el mapa esroboscópico para el caso que el sisema rabaja en bucle cerrado, ese queda formado por el modelo discreo descrio en la ecuación 74, y la función que gobierna el cambio enre opologías, descria aneriormene, n n n n n T nt x T x = ψ ψ φ φ [ ] 0, = = ref n n n r n n nt x K a v x g ψ φ. En ese caso, en el cálculo de la mariz jacobiana, se debe ener en cuena que el iempo de conmuación no es fijo, produciendo el siguiene cambio en la expresión, n n n n n n x P x P x x J = =. 46 Omiiendo en la escriura la dependencia de φ i y ψ i en n y T, y realizando el cálculo de cada derivada parcial por separado, la derivada parcial de la función que describe el modelo discreo respeco de x n es la expuesa en la ecuación 39, φ = φ x n P. Para el cálculo de la derivada parcial de la función que describe la derivada parcial de la función P, anes descria, respeco del iempo de conmuación, n, se puede expresar como, n n n n n n n x P = ψ ψ φ ψ φ φ φ φ φ, 47 realizando cada una de las derivadas parciales correspondienes, se obiene que, B x A B x A P n n n = ψ φ φ φ. 48 Definiendo las siguienes variables, ψ φ = = n n m x nt x x, 49 B x A x n n = &, 50 = n m x x φ &, 5 B x A x m m = &, 5

69 63 y susiuyéndolas en la expresión de la derivada parcial anerior, se ve que,. = = = m m m n n x x B x A x P & & & φ φ φ 53 Finalmene, para el cálculo de la derivada parcial del iempo de conmuación respeco de x n, se aplica el eorema de la función implícia, al como se escribe a coninuación, n n n n x g g x =. 54 Por ano, la derivada parcial de la función del conrol respeco del iempo de conmuación, es al como sigue, n r n n n n v K a x K a g & = ψ φ, 55 operando las respecivas derivadas, n r n n v B x A K a g & = φ, 56 e idenificando cada uno de los érminos por las variables especificadas en las ecuaciones 5 y 5, la derivada queda como sigue, n r m n v x K a g & & =. 57 Por úlimo, la derivada parcial de la función del conrol respeco de x n, es la más fácil de obener, eniendo la siguiene forma, φ = K a x g n. 58 Por ano, una vez obenidas cada un de las derivadas respecivas de la ecuación de la definición del jacobiano, 38, aplicando cada uno de los resulados obenidos, ése se puede expresar, φ φ = n r m m v B x A K K B B x A A I J & 59

70 La esabilidad, en ese caso, se deermina, al igual que en el modelo promediado, a ravés de los auovalores del jacobiano. Si Los auovalores se encuenran fuera del círculo unidad, el sisema será inesable, y cuando esén denro, el sisema será esable. Por ano, si se iene en cuena que la mariz del jacobiano, se puede expresar de igual manera que con el modelo promediado, 79, se puede decir que la esabilidad del sisema se puede esudiar a parir de la raza y del deerminane del jacobiano, ya que a parir de ellas se pueden calcular los auovalores de la mariz. De esa forma, pudiéndose expresar el polinomio caracerísico en función de la raza y del deerminane de la mariz, al como se indica en la ecuación, 8, P λ = λ Tra J λ De J = 0, se pueden enconrar los siguienes ipos de inesabilidades. Inesabilidad de Flip. Uno de los auovalores cruza con el círculo unidad por el puno -,0. En ese caso, se cumple que el polinomio caracerísico, P λ = Tra J De J = Inesabilidad de Saddle Node. Uno de los auovalores cruza con el círculo unidad por el puno,0. En ese caso, se cumple que el polinomio caracerísico, P λ = Tra J De J = 0. 6 Inesabilidad de Hopf. Un par de auovalores cruza el círculo unidad siendo complejos conjugados. En ese caso, se cumplen dos condiciones. La primera para que los auovalores sean complejos, y la segunda para que salgan del círculo unidad, Tra J = De J, 6 Tra J 4 De J =. 63 En los siguienes aparados se describen como pueden ser esos auovalores y las órbias que describen cada uno de ellos. 64

71 Auovalores reales y diferenes. En el caso que los auovalores del jacobiano sean reales y diferenes, nos podemos enconrar en los siguienes casos: a Si los dos auovalores ienen valores absoluos menores que la unidad, el puno fijo es un nodo aracivo. El nodo es de una rama si los dos auovalores son posiivos, y es de dos ramas en los demás casos. El puno fijo es esable. b Si uno de los auovalores iene valor absoluo menor que la unidad pero el oro iene valor absoluo mayor, el puno fijo es un puero. El puero es de una rama si los dos auovalores son posiivos, y es de dos ramas en los demás casos. El puno fijo es inesable. c Si los dos auovalores ienen un valor absoluo mayor que la unidad, el puno fijo es un nodo repulsivo. El nodo es de una rama si los dos auovalores son posiivos, y es de dos ramas en los demás casos. El puno fijo es inesable. d Si uno de los auovalores iene un valor absoluo igual a la unidad, se iene un caso degenerado. En la siguiene figura se ilusra los diferenes ipos de puno fijo que nos pueden aparecer. Figura 37. Tipos de punos fijos. 65

72 Auovalores reales e iguales. Los ipos de punos fijos que se pueden enconrar cuando los auovalores de la mariz jacobiana son reales e iguales, son los siguienes: a Si el valor absoluo de los auovalores es menor que la unidad, el origen es un nodo aracivo impropio de una rama, si los valores son posiivos, o de dos ramas, si los auovalores son negaivos. El puno fijo es esable, y el nodo impropio sólo iene una variedad, la esable. b Si el valor absoluo de los auovalores es mayor que la unida, el puno fijo es un nodo repulsivo impropio de una rama, si los auovalores son posiivos, o un nodo repulsivo impropio de dos ramas, si los auovalores son negaivos. El puno fijo es inesable, y el nodo impropio iene sólo una variedad, la inesable. c Si el valor absoluo de los auovalores es igual a la unidad se iene un caso degenerado. d Un nodo esrellado es el mapa de auovalores reales iguales un = λ un v = λ n v n., Figura 38. Tipos de punos fijos origen en el mapa lineal D u = λu v = u λv n n y n n n Auovalores complejos. En el caso que los auovalores de la mariz sean complejos, eniendo en cuena que m es el módulo del auovalor, y ϕ es la fase correspondiene, El puno fijo se denomina elípico si m=, e hiperbólico si m. El foco y los cenros son dexrógiros si ϕ < 0, y levógiros si ϕ > 0. Con lo dicho, podemos ener esos casos: a Si m> se iene un foco repulsivo. El puno fijo es inesable. b Si m< se iene un foco aracivo. El puno fijo es esable. 66

73 c Si m= se iene un cenro. Si π / ϕ es racional, o sea π / ϕ = p / q, la órbia es periódica de periodo p, y consise en p punos siuados sobre una circunferencia. Si π /ϕ es irracional, la órbia consise en infinios punos que cubren densamene oda la circunferencia. El puno fijo es elípico. Figura 39. Punos fijos en el mapa lineal D Esabilidad del Mapa D según la Posición de sus Auovalores. Tal como se ha especificado en aparados aneriores, si dos auovalores caen denro del círculo unidad, el sisema es esable nodo aracivo, nodo aracivo impropio, foco aracivo. Si algún auovalor cae fuera del círculo unidad, el sisema es inesable nodo repulsivo, nodo repulsivo impropio, puero, foco repulsivo. Si los auovalores esán sobre la circunferencia unidad y no son reales, el sisema es indiferene cenro. Como se ve en la siguiene figura, se muesra los diferenes ipos de punos fijos y la posición de los auovalores. Figura 40. Mapa lineal D. Tipo de puno fijo y posición de los auovalores. 67

74 5..7 Definición de Bifurcación. a, deerminados valores de dicho parámero, si un puno fijo cambia su esabilidad por la de oro, se desdobla en dos, aparece, desaparece, o bien si varios punos se desdoblan cada uno de ellos en dos, aparecen o desaparecen. Si se considera en el mapa no lineal D dependiene de un parámero Si se considera un mapa unidimensional dependiene de un parámero x f µ, x x y n n = f = g xn, yn, µ x, y, µ n n 64 y se supone que se ha calculado sus punos fijos y los auovalores del sisema linealizado en cada uno de ellos. Cuando se varía el parámero del mapa, puede ocurrir que se produzcan bifurcaciones consisenes en cambios de la canidad de punos fijos, cambios de la calidad de los mismos, o de ambos a la vez. Un puno fijo sufre una bifurcación cuando deja de ser hiperbólico, eso sucede cuando sus auovalores oman por valor o o cuando sus auovalores son complejos conjugados de módulo igual a. Se conoce como diagrama de bifurcación a un grupo que da la posición de los punos fijos en función del parámero y que, normalmene, muesran muchas bifurcaciones. Cuando se esudia la bifurcación que ocurre para un deerminado valor del parámero, decimos que se dibuja el croquis de bifurcación. En ese, se dibuja la zona de la posición del puno fijo esable con línea coninua, y con una línea disconinua la posición del puno inesable Teoría de las Bifurcaciones. Según esa eoría, cuando λ el puno fijo es hiperbólico, y cuando λ= el puno fijo es no hiperbólico. Según lo viso en aparados aneriores, una bifurcación iene lugar cuando el puno es no hiperbólico. Sabiendo eso, describiremos los ipos de bifurcaciones y las condiciones para que se produzcan. 68

75 5..9 Tipos de Bifurcaciones Bifurcación Transcríica. Es aquella bifurcación en la cual dos punos fijos inercambian su esabilidad. Sucede cuando los auovalores son reales, uno de ellos esá siuado en el eje de coordenadas y el oro iene un valor en módulo superior a uno. Así, podemos afirmar que nos enconramos ane ese ipo de bifurcación si, en una familia de mapas x n = f µ, x n r parámero µ, donde f es de clase C r o sea, donde f r x, dependiene de un iene un puno fijo no hiperbólico µ, x = µ x, ese es, x f µ si se cumple que: 0, 0 exise y es coninua, que f =,, x 0 0, x0 = µ 0, x0 f i = 0, µ µ 0, x0 f ii 0, µ x µ 0, x f iii x µ 0, x0 En la siguiene figura se muesra un ejemplo de ese ipo de bifurcación. Figura 4. Croquis de una bifurcación ranscríica en el mapa logísico x = x x n µ n n 69

76 5..9. Bifurcación Tangene. Ese ipo de bifurcación, es aquella en la que, según la variación de un parámero, dos punos fijos, uno esable y el oro inesable, se acerca el uno al oro, colisionan en un puno críico y desaparecen. En ese ipo de órbia los auovalores ambién son reales pero uno esa denro del círculo unidad y el oro oma por valor. Podemos enconrarnos con dos ipos, bifurcación angene simple y bifurcación angene muliple. El primero se produce cuando el gráfico de la primera ieración f µ, x es angene a la reca de 45º en un puno. El segundo, cuando el gráfico de la p-ésima f p µ, x es angene a la reca de 45º en p punos. ieración Figura 4. Croquis de una bifurcación angene simple El gráfico de una mapa unimodal sólo puede ener un puno críico, y sólo puede ser angene a la reca de 45º en un puno: por ello, un mapa unimodal sólo puede ener una bifurcación angene simple -periódica. El gráfico de la segunda ieración de n mapa unimodal puede ener 3 punos críicos pero, como es fácil ver gráficamene, no es posible un bifurcación angene -periódica. El gráfico de la ercera ieración de un mapa unimodal puede ener 7 punos críicos, como ambién es fácil ver gráficamene, sólo puede ener una angencia de orden res con la reca de 45º: sólo es posible una bifurcación angene 3- periódica. Pero el número de bifurcaciones angene p-periódicas crece con p. Así, por ejemplo, el gráfico de la sexa ieración puede ener 63 punos críicos y presenar varias angencias múliples de orden seis. Para el cálculo de ese ipo de bifurcaciones, podemos decir que si enemos una familia de mapas x n = f µ, x n dependiene de un parámero µ, donde f es de clase C r r sea, donde f r x µ, x = µ x, eso es, x f µ 0, en ese puno fijo si: 0 exise y es coninua, que iene un puno fijo no hiperbólico f =,, presena una bifurcación angene x 0 0, x0 = µ 0, x0 o f i 0, µ µ 0, x0 69 f ii x µ 0, x0 70

77 Bifurcación Horca. En ese ipo de bifurcación, el puno fijo esable se conviere en inesable a la vez que se desdobla en dos punos fijos esables, a ese ipo lo llamaremos bifurcación horca supercríica. Ese ipo de órbia es parecido al anerior pero con la diferencia que, uno de los auovalores oma por valor.si un puno fijo inesable, se conviere en un puno fijo esable y a su vez se desdobla en dos punos fijos inesables, omará por nombre bifurcación horca subcríica. Eso se puede ver en la siguiene figura: Figura 43. Croquis de una bifurcación ipo horca Para el cálculo de las bifurcaciones horca, se puede decir que si enemos una familia x = f, C r r 3 o de mapas n µ x n dependiene de un parámero µ, donde f es de clase sea, donde f r x µ, x = µ x, eso es, x f µ 0, ese puno fijo si: 0 exise y es coninua, que iene un puno fijo no hiperbólico f =,, presena una bifurcación horca en x 0 0, x0 = µ 0, x0 f i = 0, µ µ 0, x0 f ii 0, µ x µ 0, x0 f iii 0, x µ 0, x f iv x µ 0, x0 7

78 Bifurcación Horca en la Cascada de doblamieno de Periodo. Esa variación de bifurcación se debe a que ocurren una infinidad de bifurcaciones horca y en cada una de ellas se dobla el periodo de la órbia. Ese fenómeno empieza con una bifurcación horca, en la cual, su puno fijo esable de la primera ieración del mapa f µ, x se vuelve inesable al iempo que se desdobla en dos punos fijos esables de la segunda ieración del mapa f µ, x, o sea, un puno fijo se conviere en una órbia - periódica. Después, los dos punos fijos esables de la segunda ieración del mapa f µ, x se vuelven inesables al iempo que se desdoblan en cuaro punos fijos esables de la f 4 µ, x, o sea, la órbia.periódica pasa a ser 4-periódica. Ese cuara ieración del mapa i proceso coninua al seguir variando el parámero en cuesión. Así, los i = 0,,,... punos fijos esables de la órbia de periodo p= i de la p-ieración del mapa f p µ, x se vuelven inesables al iempo que aparecen i punos fijos esables de la órbia de periodo p= i p de la p-ieración del mapa f µ, x, es decir, la órbia p-periódica se conviere en una p-periódica. Figura 44. Croquis de una bifurcación ipo horca con desdoblamieno de periodo Bifurcación de Auovalores Complejos Conjugados. Si se considera el mapa lineal D que depende de un parámero del sisema, x = f xn, y, µ x, y, µ n n y n = g n n 74 y calculamos sus punos fijos. Supongamos que para un deerminado valor del parámero anes propueso, los auovalores del sisema linealizado en uno de los punos fijos son complejos conjugados del ipo con módulos próximos a la unidad, pudiéndose escribir, λ, λ = α ± βi 75 λ, λ, λ = e ϕi, λ = e ϕi, < ϕ < π

79 Cuando variamos dicho parámero, los auovalores cruzan la circunferencia unidad. El sisema no se compora como en el caso lineal, donde el puno fijo pasa de foco aracivo a repulsivo a ravés de un cenro, sino que se compora de una forma caracerísica que depende del cociene π / ϕ. Si ese cociene es racional, se puede escribir π / ϕ = p / q, y el puno fijo presena una bifurcación de resonancia p:q. Si p=3 ó 4, el puno fijo presena una bifurcación de resonancia fuere. Si p 5, o si π /ϕ es irracional, el puno fijo presena una bifurcación de Hopf. Por ano, podemos resumir que si: i Para deerminado valor del parámero, valor de bifurcación, la mariz del sisema iene auovalores complejos conjugados λ y λ siuados sobre la circunferencia unidad, de forma que no coinciden con ninguna raíz de la misma p para p=,, 3, y 4. ii Los auovalores cruzan la circunferencia unidad de denro a fuera cuando se aumena el valor del parámero. Enonces, cuando el parámero oma valores ligeramene superiores al de bifurcación se origina, en las proximidades del puno fijo y cenrado en él, una curva invariane cerrada y araciva. Por ano podremos decir, que nos enconramos ane una bifurcación ipo Hopf cuando un puno fijo esable con auovalores complejos conjugados, aumenado el parámero de variación, los auovalores del mismo cruzan el círculo unidad, volviéndose ese mismo puno fijo en inesable. 73

80 6 BÚSUEDA DE LA FRONTERA DE LA REGIÓN ESTABLE EN EL CONERTIDOR BUCK MEDIANTE LA SIMULACIÓN DEL SISTEMA. La finalidad de ese aparado, es raar el converidor buck con el modelo promediado y con el modelo discreo, y buscar la fronera de la región esable eniendo en cuena las limiaciones del circuio y del ipo de bifurcaciones que se pueden enconrar.. 6. Esudio de la Fronera a parir del Modelo Promediado del Circuio. Para realizar ese esudio, primero se especifica el valor de las variables, ano del circuio como del conrol, que se uilizan. in ref 4.3 R Ω L 0.0 H C 47 µf R s 0 Ω u 8. l 3.8 A 8.4 k v k i 0 T 400 µs Tabla. ariables del circuio uilizadas para el converidor Buck en ese esudio. El siguiene paso es, exponer la expresión de la mariz del jacobiano para ese converidor, escria ya en la ecuación 0. J = D S z D. Como se puede ver en la expresión anerior, el jacobiano no depende de la siuación del puno de equilibrio que se encuenre el sisema. Como se ha especificado en aneriores aparados, para el esudio de la esabilidad en ese converidor, se debe evaluar ano el deerminane como la raza del jacobiano. z Traza J = 77 s D 74

81 Sabiendo que para que el sisema sea inesable según la raza, ésa debe ser 0, se puede ver que ésa no puede omar nunca ese valor y por ano no provocará que el circuio sea inesable, ya que y d no pueden ser valores negaivos ni anularse, porque en un senido físico no es posible. Y la variable z es 0 para el caso que raamos, al no uilizar la realimenación de corriene del conrol. La variable s será 0 si consideramos la bobina del circuio ideal. Si no fuera ese el caso, siempre omaría valores posiivos, ya que una resisencia negaiva no exise. Para que la raza se hiciera 0, se debería uilizar ano la realimenación de corriene como de ensión, y como se ha especificado anes, no es ese el caso. En el caso que se busque una fronera uilizando el deerminane del jacobiano, ése debe ser 0 para que el sisema sea inesable y provoque la desaparición del puno de equilibrio. Teniendo en cuena que la expresión del deerminane es la siguiene, z De J = 78 s D D El único caso, en el cual el deerminane del jacobiano será 0, será cuando z sea negaiva, ya que odos los demás parámeros del circuio son posiivos. Ese caso no se puede dar ya que dicha consane ha de ser posiiva para que el conrol desempeñe su función. Por ano, para el converidor DC-DC del ipo buck, y para las variables uilizadas, ano del circuio como del conrol PWM, no se puede enconrar una fronera de la región esable de funcionamieno uilizando el modelo de promediado, y se descara la búsqueda de bifurcaciones del ipo Saddle Node y del ipo Hopf por ese moivo. 6. Esudio de la Fronera a parir del Modelo Discreo del Circuio. Con ese modelo se han obenido diferenes froneras de la región de esabilidad. Por ano, el méodo que se uiliza para ese esudio, será realizar un barrido de una variable del sisema para calcular el valor de una segunda variable, para el cual el sisema se siuará en la fronera de la región de esabilidad. Ese procedimieno se realizará para res valores de una ercera variable del sisema, y así, obener una familia de froneras. Los resulados obenidos se corroboraran con una aplicación informáica en MS-DOS que simula el comporamieno del circuio. El ipo de bifurcación que se encuenra a parir ese ipo de modelo, es la bifurcación de Flip o de doblamieno de periodo, anes especificada. 75

82 6.. Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y in para familias de k v. En la siguiene búsqueda, se realiza un barrido de la resisencia de carga del circuio, calculando a su vez el valor de la ensión de enrada donde se encuenra la fronera. Esa operación se realiza para res valores de la consane de ensión del conrol, para así, obener una familia de froneras. Los valores que se fijan, ano del circuio como del conrol son los siguienes: ref.3 L 0.0 H C 47 µf R s 0. Ω u 8. l 3.8 a 8.4 k i 0 T 400 µs Tabla. ariables del circuio que se fijan para realizar el esudio. En ese caso, la variable la cual se realiza el barrido, es la resisencia de carga. El inervalo de la misma es desde Ω hasa 40 Ω con un incremeno de un ohmio. Las familias de froneras obenidas, esán en función del parámero de realimenación de ensión del conrol, k v. De esa forma, se calcularán res familias de froneras para un inervalo de esa variable enre 0,9 y, con un incremeno de 0,. Finalmene, las variables calculada para cada fronera y para cada familia es la ensión de enrada del converidor, in. En la siguiene figura, se muesra la familia de froneras en función de los parámeros anes descrios. Figura 45. Familia de froneras para una familia de valores de k v, variando R y calculando in 76

83 Los resulados de los punos donde se encuenra la fronera que nos proporciona el programa son los que se muesran en la siguiene abla: k v =0.9 k v = k v =. RΩ in in in Tabla 3. alores correspondienes a la fronera con variaciones de R y calculando in para res valores concreos de kv. Como se puede ver en los resulados obenidos, a medida que se aumena el valor de la carga, menos ensión de enrada puede ener el circuio, aunque la variación de esa ensión es muy pequeña. Las diferencias más significaivas se aprecian al variar la consane de la realimenación de ensión. A medida que su valor disminuye, más ensión de enrada aguana el circuio. Por ano, para el diseño de ese converidor, si se le da un valor pequeño a esa consane provoca que afecen menos al circuio las posibles flucuaciones de la ensión de enrada que pueda ocurrir. El siguiene paso en ese esudio, es corroborar que las froneras obenidas, y sus respecivos valores, son correcas. Por ano, se realiza esa comprobación para cada fronera escogiendo un puno de la misma y se mira como acúa el sisema para valores superiores e inferiores al mismo. Si hay un cambio en la dinámica del sisema se podrá asegurar que exise una fronera en ese puno. Para cada una de las familias, se escoge como puno de esudio un valor de R=30Ω, y su correspondiene valor in. 77

84 6... Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia k v =0.9. Se realiza el esudio de la primera de las froneras, cuando la consane de realimenación de ensión, k v, es 0.9. En ese caso la fronera iene la siguiene forma. Figura 46. Fronera variando R y calculando in para k v =0,9 Al realizar una acoación más precisa, se puede ver como la variación de la ensión de enrada el aumenar la resisencia de carga es muy pequeña. En la siguiene figura, se muesra la posición de los auovalores en el círculo unidad, Círculo unidad Figura 47. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. 78

85 Como se puede ver, uno de los auovalores oma por valor, cumpliendo la condición para que se produzca la bifurcación de Flip, al como se ha descrio en aparados aneriores. En la siguiene abla se muesran cada uno de los valores de los auovalores del jacobiano para las variaciones realizadas. k v =0.9 RΩ λ λ Tabla 4. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. A parir de los resulados obenidos para los auovalores del jacobiano, se puede decir que para el barrido de parámeros uilizados, en los valores de la ensión de enrada calculados se puede enconrar una fronera de la esabilidad del ipo Flip o doblamieno de periodo. El siguiene paso, es ver el comporamieno del circuio para el valor calculado de in en la fronera de la esabilidad y así evaluarlo. Así, eniendo en cuena que la ensión de enrada, para R=30Ω, es de Como en la aplicación uilizada para obener la dinámica del sisema, los parámeros de enrada para la simulación son normalizados, en la siguiene abla se muesran los valores de dicha normalización s R D 0.06 z 0 Tabla 5. Parámeros normalizados para realizar la simulación. 79

86 Una vez obenidos dichos parámeros y ras la simulación, la rayecoria del sisema en la fronera es la siguiene. Figura 48. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad para el barrido de parámeros uilizados. En la dinámica se puede ver que la órbia del sisema se dirige hacia el ciclo límie, pero en ella se puede apreciar como describe un doblamieno del periodo, siendo el sisema inesable. Ese hecho es lógico, ya que el sisema se encuenra en la fronera. La variación de la ensión de enrada ano por encima como por debajo, mosrará que región se encuenra en la esabilidad y viceversa. El comporamieno emporal en el esado esacionario en dicha fronera es el que se muesra a coninuación. v conrol v rampa i l Figura 49. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. 80

87 La gráfica nos muesra como, en el dominio emporal, se produce un doblamieno de periodo de la corriene de la bobina. Por ano, se escogerá un valor de la ensión de enrada superior e inferior al obenido a parir de la simulación, y se esudiará el comporamieno del sisema para poder ver los efecos de ese ipo de bifurcación. Se escoge un valor relaivamene superior a la ensión de enrada, in =7.5, para que los efecos que se produzcan en el sisema sean más pronunciados. En ese caso, los parámeros normalizados son s R D 0.0 z 0 Tabla 6. Parámeros normalizados para realizar la simulación. En ese caso, la rayecoria de la dinámica del sisema, para ese nuevo valor de la ensión de enrada, es el siguiene. Figura 50. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. Dicha rayecoria converge hacia el puno fijo, pero como se verá en la siguiene figura, se produce un desdoblamieno del periodo de la ensión del conrol respeco de la rampa. El puno fijo iene forma de puero ya que, aunque uno de los auovalores iene módulo inferior a la unidad, el módulo del segundo auovalor es mayor que la unidad. En la corriene de la bobina, se puede disinguir ese efeco, aún más pronunciado que en la fronera de la región de la esabilidad. 8

88 De esa forma, viendo la forma de onda de la rampa, la ensión del conrol y de la corriene de la bobina en el esado esacionario, se puede apreciar lo anes descrio. v rampa v conrol i l Figura 5. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. Por ano, se puede decir que para valores de la ensión de enrada superiores al calculado, el comporamieno del circuio es inesable. Realizamos la misma operación para un valor de la ensión de enrada inferior al calculado. El valor escogido es 6, y los valores de los parámeros normalizados para dicho valor se refleja en la siguiene abla s R D 0.04 z 0 Tabla 7. Parámeros normalizados para realizar la simulación. En las siguienes figuras, se podrá ver ano en la órbia del sisema, como en las formas de onda en el dominio emporal, que para dichos valores de la ensión de enrada, el sisema iene un comporamieno esable. 8

89 La rayecoria que describe la órbia del sisema para los valores anes expuesos, es la siguiene. Figura 5. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. Como se puede ver, no se muesra el inicio de la rayecoria en el puno 0,0, condiciones iniciales nulas, debido a que el ransiorio del sisema es más largo que en los casos aneriores. En ese caso el puno fijo es un nodo aracivo al ser el módulo de sus auovalores menor que la unidad. El comporamieno del circuio, en el dominio emporal, es el que se muesra a coninuación. v rampa v conrol i l Figura 53. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. Finalmene, se puede decir que para valores inferiores de la ensión de enrada al calculado, el sisema es esable, y por ano, se dan por válidos los resulados obenidos mediane la simulación. 83

90 6... Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia k v =. Se realiza la misma operación para la segunda fronera obenida, con el parámero de realimenación del circuio igual a. La fronera en ese caso es la siguiene. Figura 54. Fronera variando R y calculando in para k v = Al igual como se ha descrio cuando k v =0.9, la función describe una exponencial decreciene, pero con valores de la ensión de enrada inferiores a los obenidos en el esudio anerior. La posición de los auovalores en la fronera esudiada es la siguiene. Círculo unidad Figura 55. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. 84

91 En la siguiene abla se muesran cada uno de los auovalores del jacobiano para ese caso. k v = RΩ λ λ Tabla 8. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Los auovalores coinciden con los obenidos aneriormene, ya que en el cálculo del jacobiano, el parámero de la realimenación de ensión, no influye direcamene, sino que lo es en el iempo de conmuación del sisema. El valor de λ es indicándonos que la bifurcación que se produce es del ipo Flip. Ya que se ha escogido el mismo valor de la resisencia para cada una de las froneras calculadas, su correspondiene valor de la ensión de enrada es Para mosrar cada una de las formas de onda, ano de la órbia como en el dominio emporal, primero se calculan cada uno de los parámeros normalizados para ese valor de in, siendo s R D 0.06 z 0 Tabla 9. Parámeros normalizados para realizar la simulación. 85

92 En las siguienes figuras, se muesra la rayecoria de la órbia del sisema y las formas de onda de la rampa, de la ensión de conrol y de la corriene en la bobina, obeniéndose unos resulados similares a los del esudio anerior. Figura 56. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad para el barrido de parámeros uilizados. v conrol v rampa i l Figura 57. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. 86

93 Para corroborar los resulados obenidos, y ver el comporamieno del sisema en cada lado de la fronera, se escoge como valor superior, una ensión de enrada de 4.5, y una valor inferior de 3.5. Los parámeros normalizados en el caso que la ensión de enrada sea superior, son los siguienes s R D 0.04 z 0 Tabla 0. Parámeros normalizados para realizar la simulación. La rayecoria de la órbia para ese valor de in, es la siguiene, Figura 58. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. En ese caso, el sisema arda más iempo a converger en el puno fijo. Ése se compora como un puero debido a que el módulo de uno de los auovalores es superior a la unidad, siendo el sisema inesable. 87

94 En el dominio emporal, las formas de onda del sisema en esado esacionario, son las siguienes. v conrol v rampa i l Figura 59. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. Como se puede ver en la gráfica, el comporamieno del sisema es caracerísico de la bifurcación Flip. Por el conrario, si se simula el comporamieno de sisema para un valor de ensión de enrada inferior al obenido como fronera, 3.5, se puede ver como el funcionamieno del circuio se encuenra en la región esable. En ese caso, los parámeros normalizados para ese valor de la ensión de enrada son,.4543 s R 0.5 D 0.03 z 0 Tabla. Parámeros normalizados para realizar la simulación. 88

95 De esa forma, la órbia, para ese valor de in, es la siguiene. Figura 60. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. En la siguiene figura, se muesra como para los valores descrios del circuio, el sisema iene un comporamieno esable. v rampa v conrol i l Figura 6. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. Por ano, se puede decir que los resulados obenidos a ravés de la simulación, para ese valor concreo de k v, exise una fronera enre la región esable y la región inesable. 89

96 6...3 Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia k v =.. Para finalizar ese aparado, se realiza la úlima comprobación para k v =.. Tal como se ha hecho para los valores aneriores, primero se muesra la fronera correspondiene para ese valor. Figura 6. Fronera variando R y calculando in para k v =. Los auovalores correspondienes a ese barrido y para ese valor concreo de la realimenación de ensión, se muesran en la siguiene figura. Círculo unidad Figura 63. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. 4 90

97 En la siguiene abla se muesran cada uno de los auovalores del jacobiano para ese caso. k v =. RΩ λ λ Tabla. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Como en los casos aneriores, uno de los auovalores iene como valor, dando a conocer de esa forma que el ipo de inesabilidad que se producirá, es del ipo Flip. Para realizar la comprobación de la fronera para k v =., el valor correspondiene de la ensión de enrada, al valor de la resisencia de carga, 30Ω, es.087. Para realizar la simulación del sisema, al como se ha hecho con el esudio de las froneras aneriores, se debe normalizar los parámeros del circuio. Dichos parámeros normalizados en la fronera son,.4543 s R D 0.06 z 0 Tabla 3 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 9

98 En ese puno, la rayecoria de la órbia del sisema es la que se muesra a coninuación. Figura 64. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad para el barrido de parámeros uilizados. Y las formas de onda de la rampa, la ensión de conrol y la corriene en la bobina es, v rampa v conrol i l Figura 65. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. Como se puede ver, para el valor de fronera calculado, se empieza a apreciar el ipo de inesabilidad por bifurcación de doblamieno de periodo. Para ver si exise una fronera en la ensión de enrada calculada, se escoge un valor superior y oro inferior de la misma, y se analiza el comporamieno del sisema en cada puno. El valor superior de la ensión de enrada escogido, es,. A medida que se aumena el valor de la realimenación de ensión, ése debe ser más próximo a la fronera debido que el sisema pasa muy rápido de la bifurcación Flip a un comporamieno caóico. 9

99 Los parámeros normalizados para realizar la simulación en el puno acordado son,.4543 s R D 0.05 z 0 Tabla 4 Parámeros normalizados para realizar la simulación. Y la órbia en el valor escogido es la siguiene. Figura 66. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. Como se puede ver, el puno fijo del sisema se compora como un puero, al igual que en los casos aneriores, debido a que uno de los módulos de los auovalores es mayor que uno, provocando que el sisema sea inesable. 93

100 En el dominio emporal, se puede ver como se produce un desdoblamieno del periodo de la forma de onda de la ensión de conrol y la corriene en la bobina, en el esado esacionario, provocando un comporamieno no deseado. Ese efeco se puede apreciar en la siguiene figura. v conrol v rampa i l Figura 67. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. Para analizar el comporamieno del sisema para valores de la ensión de enrada inferiores al obenido, se fija in =.5. Como consecuencia de aumenar la consane de realimenación de la ensión de salida, se produce una reducción de la duración del ransiorio del sisema, al como se verá en la figura del comporamieno del dominio emporal. Los parámeros normalizados para realizar la simulación en ese caso, son los siguienes s R D 0.0 z 0 Tabla 4 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 94

101 Una vez simulado el sisema con los parámeros descrios aneriormene, la órbia por el sisema para valores de la ensión de enrada inferiores al obenido como fronera es. Figura 68. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. Un aumeno de la consane de realimenación de la ensión del conrol, produce una reducción considerable del ransiorio del sisema. Debido a que el módulo de los auovalores del jacobiano son inferiores a la unidad, el sisema es esable, asegurando así que, el valor de la ensión de enrada calculado a parir de la simulación en Malab para una K v =. es un puno de la fronera de la región esable. En el dominio emporal, el sisema se compora de la siguiene forma. v conrol v rampa i l Figura 69. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. 95

102 Como conclusión de ese aparado, se puede decir que cada uno de los valores obenidos de la ensión de enrada son punos de la fronera que limia la región esable de la inesable, para diferenes valores de la resisencia de carga del circuio. También se puede decir que, a medida que se aumena dicha resisencia, el sisema podrá aguanar menores variaciones de la ensión de enrada. La consane de realimenación de ensión del conrol es un parámero imporane del diseño, ya que al omar valores elevados, disminuye el ransiorio en la región esable y, produce que el sisema enre en un comporamieno caóico an prono enra en la región de inesabilidad. 96

103 6.. Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y in para familias de ref. En ese caso, se vuelve a realizar un barrido de la resisencia de carga del circuio, calculando a su vez el valor de la ensión de enrada donde se encuenra la fronera, pero el ercer parámero a variar para enconrar la familia de las froneras es la ensión de referencia del conrol. Los valores de los parámeros del circuio que se manienen fijos son los siguienes. L 0.0 H C 47 µf R s 0. Ω u 8. l 3.8 a 8.4 k v k i 0 T 400 µs Tabla 5. Parámeros del circuio que se manienen fijos para realizar el esudio. Los parámeros que se varían y los inervalos de variación son los mismos que en el esudio anerior, con la salvedad que el parámero uilizado para obener una familia de curvas, ref, oma valores enre y con un incremeno de 0,5. En la siguiene figura, se muesra la familia de froneras en función de los parámeros anes descrios. Figura 70. Familia de froneras para una familia de valores de ref, variando R y calculando in 97

104 El hecho de variar la ensión de referencia, produce el mismo efeco que con la consane de realimenación de ensión. Pero se puede ver que al aumenar dicha ensión, ambién aumena la consane de iempo de la función que describe la fronera. Los punos obenidos para cada una de las froneras, son los siguienes. ref = ref =.5 ref = RΩ in in in Tabla 6. alores correspondienes a la fronera por variación de R y cálculo de in, para res valores concreos de ref. Como se puede ver en la figura anerior, el resulado obenido es muy parecido al caso anerior. Un aumeno de la resisencia de carga, provoca que la ensión de enrada del circuio disminuya, aunque esa variación es poco significaiva. Por ano, se puede decir que si en el converidor, funcionando a valores de in cercanos a los expuesos, se produce un aumeno de la resisencia de la carga, enrará en la región de inesabilidad, provocando un comporamieno no deseado del sisema. Al disminuir la ensión de referencia acenúa más ese hecho. Oro caso que se manifiesa en la gráfica anerior, es que al pasar un valor deerminado de la ensión de referencia, alrededor de,5, se produce el mismo efeco que con una ref inferior, al aumenar la resisencia de carga. El siguiene paso en ese esudio, es corroborar los resulados conseguidos para cada una de las froneras y ver si sus respecivos valores son correcos. Por ano, se realiza esa comprobación para cada fronera escogiendo un puno de la misma y mirando como acúa el sisema para valores superiores e inferiores al mismo. Si hay un cambio en la dinámica del sisema se podrá asegurar que exise una fronera en ese puno, y los resulados son correcos. Para cada una de las familias, se escoge como puno de esudio el mismo valor que con el esudio del aparado anerior, R=30Ω y su correspondiene valor in. 98

105 6... Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia ref =. La primera de las froneras que se comprueba, es la correspondiene a una ensión de referencia de. Los valores obenidos de in para cada valor del barrido de R, son los que se muesran en la figura. Figura 7. Fronera correspondiene a un valor de familia ref= En la siguiene figura, se muesra los auovalores correspondienes a cada uno de los punos calculados. Círculo unidad Figura 7. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. 99

106 Uno de los auovalores del jacobiano, oma por valor, provocando que el ipo de bifurcación conseguida sea la de Flip. Eso nos da una prueba que la función correspondiene a la búsqueda de esa bifurcación en la simulación es válida asegura que en cada puno calculado, exise dicha fronera. Los auovalores correspondienes son los mosrados en la siguiene abla. ref = RΩ λ λ Tabla 7. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Los resulados expuesos en la abla corroboran la posición de los auovalores en el círculo unidad y el ipo de bifurcación que se produce. El siguiene paso será mosrar el comporamieno de la órbia del sisema y las formas de onda en el dominio emporal. Para obenerlas, el programa uilizado para esa simulación, necesia que sean inroducidos los parámeros normalizados del circuio, por ano, dichos parámeros para R=30Ω, ref = y el valor calculado de la ensión de enrada correspondiene a los parámeros aneriores, 4.506, son los que se muesran en la siguiene abla s R D 0.06 z 0 Tabla 8 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 00

107 A parir de esos parámeros, se puede ver que la rayecoria que describe el sisema en ese valor concreo de la fronera es, Figura 73. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad. No se muesra el inicio de la rayecoria de la órbia, omando condiciones iniciales nulas, ya que se dirige hacia el puno fijo ras varios periodos de funcionamieno. En la siguiene figura, se muesra como en el uno de la fronera, se produce la inesabilidad de Flip, doblándose la ensión del conrol del circuio. v conrol v rampa i l Figura 74. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. 0

108 Para realizar la comprobación de que los punos obenidos forman pare de una fronera, se escoge como valor superior al mismo, in =4.75, siendo los parámero normalizados para realizar la simulación los expuesos en la abla siguiene s R D 0.0 z 0 Tabla 9 Parámeros normalizados para realizar la simulación. La rayecoria de la órbia para valores superiores de la ensión de enrada al calculado, es la siguiene. Figura 75. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. La rayecoria converge en el puno fijo, al como se ve en la figura, ras varios ciclos de funcionamieno. Eso quiere decir que el ransiorio del sisema iene una duración cora larga. El puno fijo del sisema se compora como un puero, ya que el módulo de uno de los auovalores es mayor que uno, siendo el sisema inesable para in mayor al valor obenido mediane la simulación. 0

109 En el dominio emporal, el sisema se compora como sigue. v rampa v conrol i l Figura 76. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. Como se puede ver, el efeco del doblamieno de la señal es más pronunciado al aumenar la señal de enrada, siendo ese un indicio de que el valor obenido es un puno de la fronera. Evaluamos un puno que sea inferior al calculado para verificar finalmene que la fronera es ciera. El valor escogido es 3.5, y sus correspondienes parámeros normalizados son s R D 0.03 z 0 Tabla 0 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 03

110 Para esos valores del sisema, la rayecoria de la órbia es la siguiene. Figura 77. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. Para esos valores del circuio, el puno fijo se compora como un nodo aracivo debido a que el módulo de sus auovalores es menor que la unidad, y provocando la esabilidad del circuio. En el dominio emporal, v conrol v rampa i l Figura 78. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. 04

111 El sisema es esable, y además el ransiorio del sisema es mayor para valores de la ensión de enrada superiores al de la fronera. Tras las simulaciones aneriores, y viendo que para valores superiores al obenido, el sisema es inesable, y para valores inferiores, el sisema es esable, se puede asegurar que los valores de la ensión de enrada calculados mediane la simulación en Malab forman pare de una fronera de la región esable Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia ref =.5. En ese aparado, se realiza la comprobación de la segunda de las froneras calculadas, para ref =.5. Los pasos a seguir serán los mismos que con las froneras verificadas aneriormene. En la siguiene figura, se muesra dicha fronera, viendo como describe la forma de una exponencial de creciene, al igual que las aneriores. Figura 79. Fronera correspondiene a un valor de familia ref=.5 05

112 La posición de los auovalores en el círculo unidad, en ese caso, es, Círculo unidad Figura 80. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. Y sus respecivos valores, ref =.5 RΩ λ λ Tabla. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. 06

113 Como se puede ver, hay un cambio de valor en los auovalores del jacobiano, inercambiándose los valores de λ a λ, y viceversa. Aunque se haya producido ese cambio, siguen cumpliendo la condición para que se produzca la bifurcación de Flip. Tal como se ha hecho con el anerior valor de la ensión de referencia, el valor escogido de la resisencia de carga para realizar la verificación de los resulados obenidos, es R=30Ω, y su valor correspondiene de la ensión de enrada es, in = En las siguienes figuras, se muesra ano el comporamieno de la órbia como del dominio emporal en el esado esacionario. Para realizar la simulación correspondiene, los parámeros normalizados son s R D 0.05 z 0 Tabla Parámeros normalizados para realizar la simulación. La rayecoria de la órbia en la fronera es, Figura 8. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad. Tal como se muesra en la siguiene gráfica, en ese puno empiezan a verse indicios de los efecos dela bifurcación Flip. 07

114 Y en el dominio emporal, v conrol v rampa i l Figura 8. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. Para realizar la comprobación de los punos de esa fronera, se escogen como valores de in, 5, como valor superior, y 3.5, como valor inferior. En el caso que el valor de la ensión de enrada sea superior al calculado, los parámeros normalizados necesarios para realizar la simulación son los siguienes s R D 0.00 z 0 Tabla 3 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 08

115 La rayecoria que describe la órbia para ese valor de in, es la siguiene. Figura 83. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. Al igual que en los casos aneriores, el puno fijo del sisema se compora como un puero, ya que el módulo de los auovalores es mayor a la unidad. El resulado es lógico porque en la fronera el módulo de uno de los auovalores es igual a la unidad. Comparando el comporamieno en el dominio emporal obenido para ese valor concreo de ref, y el obenido en el caso anerior, se puede apreciar que la duración del ransiorio es basane parecido aunque se aumene dicha ensión. Ese dao no es relevane para el diseño, ya que el sisema es inesable en esos punos. v conrol v rampa i l Figura 84. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. 09

116 Para el valor de la ensión de enrada inferiores al obenido como fronera, los parámeros normalizados que le corresponden son,.4543 s R D 0.03 z 0 Tabla 4 Parámeros normalizados para realizar la simulación. Una vez realizada la simulación, la órbia del sisema iene la siguiene forma. Figura 85. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. Como se puede ver, el puno fijo se compora como un nodo aracivo al ser el módulo de los auovalores inferior a la unidad. Por ano, se puede decir que el sisema es esable, y, que en los valores obenidos mediane la simulación exise una fronera para ese valor concreo de la ensión de referencia del conrol. 0

117 En el dominio emporal, v rampa v conrol i l Figura 86. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. De forma conraria al caso inesable, se produce un aumeno de la duración del régimen ransiorio al aumena la ensión de referencia. También es apreciable en la figura como el comporamieno del sisema es esable Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia ref =. En ese aparado se realiza la úlima de las comprobaciones de la simulación del sisema, para enconrar froneras de la región esable, para barridos de R, calculando in, y res valores de ref. En ese caso, la fronera iene la siguiene forma. Figura 87. Fronera correspondiene a un valor de familia ref=

118 Comparando esa úlima fronera con las aneriores, se puede ver como los efecos producidos al aumenar la resisencia de carga influyen cada vez menos al aumena la ensión de referencia. Ese hecho es imporane, ya que no por aumenar la ref del conrol, no se dispondrá de más región esable. En la siguiene figura, se muesra como se siúan los auovalores en el círculo unidad en ese caso. Círculo unidad Figura 88. Posición de los auovalores en el circulo unidad para el esudio realizado. Ese es el primer indicio que los resulados obenidos son correcos, ya que los auovalores esán siuados conforme se define la bifurcación de Flip.

119 Los valores para cada una de las variaciones son, ref = RΩ λ λ Tabla 5. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. A parir de ciero valor de la ensión de referencia, se produce un cambio de odos los valores de λ y λ, pero sin ninguna repercusión para nuesro esudio, ya que sigue cumpliendo la condición de inesabilidad por Flip. El valor correspondiene de in, en la fronera es , y los parámeros normalizados correspondienes para realizar la simulación del sisema, ano para la órbia como para el dominio emporal, son los siguienes s R 0.53 D 0.06 z 0 Tabla 6 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 3

120 En la siguiene figura, se muesra el comporamieno de la rayecoria de la órbia en el puno de la fronera calculado. Y en el dominio emporal, Figura 89. Órbia del sisema en la fronera de la esabilidad. v conrol v rampa i l Figura 90. Comporamieno del circuio en el dominio emporal en la fronera de la esabilidad. 4

121 El valor superior escogido de la ensión de enrada, para realizar la comprobación de la exisencia de la fronera, es 5, y los parámeros normalizados asociados son los siguienes s R D 0.00 z 0 Tabla 7 Parámeros normalizados para realizar la simulación. La rayecoria de la órbia en ese caso es la siguiene. Figura 9. Órbia del sisema para un valor de in superior al calculado en la fronera de la esabilidad. Al igual que en los esudios aneriores, el puno fijo del sisema se compora como un puero, cuando las ensiones de enrada superan el valor de la fronera. Eso es debido a que uno de los módulos de los auovalores del jacobiano es de módulo mayor a la unidad. 5

122 En el dominio emporal, al como cabía esperar, se produce un doblamieno del periodo de la ensión del conrol, y de la corriene en la bobina. Eso es producido por los efecos de la bifurcación Flip. v rampa v conrol i l Figura 9. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in superior al calculado. Por úlimo, se escoge como valor inferior a la ensión de enrada, 3.5. De esa forma, si el comporamieno del circuio es esable para ese valor, se puede decir que los valores obenidos de la fronera para una ensión de referencia de, es ciero. Los valores normalizados para realizar la simulación del sisema son los siguienes s R D 0.03 z 0 Tabla 8 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 6

123 La rayecoria de la órbia que describe el puno fijo, es la siguiene. Figura 93. Órbia del sisema para un valor de in inferior al calculado en la fronera de la esabilidad. El sisema es esable, ya que, el módulo de los auovalores es menor a la unidad, comporándose el puno fijo como un nodo aracor. Como se puede ver, el hecho de que los auovalores del jacobiano, hayan inercambiado su valor, produce que cuando el sisema es esable, para esos valores de la ensión de referencia, el ransiorio sea menor. v conrol v rampa i l Figura 94. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para un valor de in inferior al calculado. 7

124 7 BÚSUEDA DE LA FRONTERA DE LA REGIÓN ESTABLE EN EL CONERTIDOR BOOST MEDIANTE LA SIMULACIÓN DEL SISTEMA. En ese aparado, se raa el comporamieno del converidor boos a parir de su modelo promediado, y buscar la fronera de la región esable eniendo en cuena las posibles limiaciones de dicho circuio y del ipo de inesabilidades que se pueden ocurrir. Al uilizar el modelo promediado del circuio, y ane la dificulad de obener las ecuaciones necesarias para el cálculo del puno de equilibrio del sisema, se normalizan las variables y parámeros del circuio para reducir el número dicho número de parámeros y, a su vez, las expresiones que se uilizan para el cálculo del puno de equilibrio. Las variaciones de los parámeros del circuio y los resulados obenidos mediane la simulación son normalizados. Al manener la mayoría de los parámeros fijos, se puede conocer la variable correspondiene sin normalizar. El procedimieno uilizado en la simulación es parecido al raado en el converidor buck. Teniendo en cuena las condiciones necesarias para que el sisema rabaje en la fronera de la región esable, se varia uno de los parámeros para calcular un segundo que fuerza a que el sisema se encuenre en la fronera. Esa simulación se realiza para res variaciones de un ercer parámero para obener así, una familia de froneras. Tal como se ha explicado en aparados aneriores, a parir de ese modelo, se puede obener dos ipos de bifurcaciones, la de Hopf, a parir de la raza del jacobiano, y la de Saddle Node, a parir del deerminane de dicha mariz. Se procederá al esudio de la fronera en cada caso, comprobando si los valores obenidos son cieros. Dado el caso, se podrá asegurar que exise una fronera para los parámeros calculados. La comprobación de cada valor obenido, se obendrá a parir del comporamieno del sisema para un valor superior y oro inferior. Si hay un cambio de la dinámica del sisema, exisirá una fronera en ese puno. 8

125 7. Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y z, para familias de, mediane la Traza del Jacobiano. En la siguiene búsqueda, se realiza un barrido del parámero normalizado R, que maneniendo los demás parámeros fijos corresponde a la ensión de referencia, calculando a su vez el valor del parámero normalizado z, correspondiene a la consane de realimenación de ensión donde se encuenra la fronera. Esa operación se realiza para res valores de la resisencia de carga del circuio, relacionado con el parámero del facor de calidad del circuio,, para así, obener una familia de froneras. Los valores de los parámero sin normalizar que se fijan, ano del circuio como del conrol son los siguienes: in 5 L 0.0 H C 47 µf R s 0. Ω u l 0 a k i k i -0. T 00 µs Tabla 9. ariables del circuio que se fijan para realizar el esudio. Y los correspondienes que se manienen fijos son,.4543 s.367 D 0.03 Tabla 30. Parámeros del circuio normalizados que se fijan para realizar el esudio. En ese caso, la variable que se realiza el barrido, es la ensión de referencia del conrol, ref. El inervalo de la misma es desde hasa 30 con un incremeno de un volio. El programa normaliza los parámeros del circuio realizando el barrido correspondiene a R. Las familias de froneras obenidas, esán en función del parámero del facor de calidad,, correspondiene a la resisencia de carga del circuio, R. De esa forma, se calcularán res familias de froneras para un inervalo de esa variable para que los respecivos valores de R sean enre Ω y 34Ω con un incremeno de 6Ω. Finalmene, las variables calculadas para cada fronera es el parámero z. 9

126 En las siguienes figuras, se muesran las familias de froneras en función de los parámeros, ano sin normalizar como normalizados, anes descrios. Figura 95. Fronera del boos mediane la raza, para los parámeros normalizados anes descrios Los resulados de los punos donde se encuenra la fronera que nos proporciona el programa son los que se muesran en la siguiene abla: =6.563 =8.806 = R z z z Tabla 3. alores correspondienes a la fronera para los parámeros normalizados. 0

127 Como se puede ver de los resulados obenidos, para valores bajos del parámero normalizado correspondiene a la ensión de referencia, el valor de z aumena en función del facor de calidad. También es apreciable que a medida que aumena, la pendiene de la fronera es más pronunciada. Al realizar la búsqueda de la fronera mediane la raza de la mariz del jacobiano, al como se ha explicado en aparados aneriores, produce que el ipo de inesabilidad que se pueda enconrar sea la de ipo Hopf. De esa forma, escogiendo unos parámeros del circuio acerados, se puede eviar que el sisema enre en ese ipo de bifurcación. El siguiene paso es comprobar que los resulados obenidos son correcos. Para ello, se escogerá, para cada una de las froneras obenidas, un valor superior y oro inferior a uno de los parámeros calculados. Si se produce un cambio en la dinámica del sisema, se podrá decir que en ese puno exise una fronera de la región esable para los parámeros del circuio escogidos. El parámero del barrido, escogido para realizar ese esudio, para cada una de las froneras obenidas, es R = Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia = En ese aparado, se preende comprobar que los resulados obenidos, mediane la simulación, de la fronera de la región esable y para el parámero que deermina la familia de froneras, =6.563, son correcos. En la siguiene figura, se muesran las froneras, para los parámeros normalizados y sin normalizar, para ese valor de familia concreo. Figura 96. Fronera correspondiene a un valor de familia =6.563 con los parámeros normalizados

128 En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica con los punos de equilibrio correspondienes a cada uno de los valores de la fronera. Figura 97. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia = En ese caso, las bandas de conmuación no son un conjuno de líneas paralelas debido a que para cada ieración, hay una variación de los parámeros z, R y D, provocando que para cada puno de equilibrio se vayan moviendo. Todos los punos de equilibrio calculados mediane la simulación, se encuenran encima de la curva caracerísica y, además, enre sus bandas de conmuación correspondienes, demosrando que su valor es correco y que puede haber conmuación enre opologías.

129 Los auovalores del jacobiano para la fronera de conmuación, son los que muesran en la siguiene figura. Imlam Relam Figura 98. Auovalores del jacobiano en la fronera para un valor de familia = Y su valor numérico. =6.563 R λ λ i i i i i -.44i i -.435i i i i i i i i i i -.37i i i i -.360i i -.355i i i i i i -.347i i i i i i i i -.337i Tabla 3. alores correspondienes a los auovalores del jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. 3

130 Los auovalores en la fronera son imaginarios puros, cumpliendo la condición para que se produzca la bifurcación de Hopf en iempo coninuo. Tal como se ha especificado anes, el valor escogido del barrido R es.536, y su valor correspondiene de z es Para realizar la úlima comprobación se escoge un valor de dicha consane, ano superior como inferior. Si se produce un cambio en la dinámica del sisema, podremos decir que exise una fronera de la región esable en ese puno. Para realizar la simulación, se deben inroducir los parámeros normalizados del circuio, los cuales se pueden ver en la siguiene abla s.367 R.536 D z 0.40 Tabla 33 Parámeros normalizados para realizar la simulación. En la siguiene figura, se muesra la rayecoria de la órbia para ese valor de la fronera. Figura 99. Trayecoria de la órbia en la fronera para un valor de familia = En la fronera de conmuación, se puede ver que la rayecoria de la órbia, aunque su inicio sea cerca del puno de equilibrio, su comporamieno es asinóicamene esable ya que sus auovalores son imaginarios puros, y su comporamieno será oscilaorio permanene. 4

131 Como se puede ver en la siguiene figura, el sisema conmua de un esado a oro, v rampa v conrol Figura 00. Conmuación enre la ensión de la rampa y la ensión de conrol. Pero en la siguiene figura, se puede ver como la corriene iene un comporamieno oscilaorio permanene, considerándose el sisema odavía esable i l Figura 0. Comporamieno de la corriene en la bobina en la fronera. 5

132 El siguiene paso es analizar el comporamieno para valores superiores de la consane de realimenación de ensión. El parámero escogido de k v es Ese valor se obiene de desnormalizar z maneniendo los demás parámeros fijos. Y los parámeros normalizados correspondienes para realizar la simulación son s.367 R.536 D z Tabla 34 Parámeros normalizados para realizar la simulación. El comporamieno de la órbia para ese valor es el siguiene. Figura 0. Trayecoria de la órbia para valores menores de z en la fronera para un valor de familia =6.563 La rayecoria de la órbia no converge debido a que el puno de equilibro se compora como un foco repulsivo. A medida que se aleja del puno, se va acercando al 0 hasa que enra en modo de conducción disconinua, produciendo una órbia consane alrededor del puno pero inesable. 6

133 Ese efeco se puede apreciar en la figura del dominio emporal de la corriene normalizada de la bobina. i l Figura 03. Comporamieno de la corriene normalizada de la bobina para valores menores de z en la fronera. Se puede ver que, en esado esacionario, como la corriene se hace 0 al final del periodo, hecho caracerísico del modo de conducción disconinuo. Por ano podemos decir que, para valores menores de z, y en consecuencia, mayores de la consane k v, el sisema es inesable. Realizamos la misma operación para valores inferiores de k v al calculado. El valor escogido es 0.00, y los correspondienes parámeros normalizados para realizar la simulación son s.367 R.536 D z Tabla 35. Parámeros normalizados para realizar la simulación. 7

134 iendo la rayecoria dela órbia, se podrá saber si el sisema es esable, si converge en el puno de equilibrio. Por ano, Figura 04. Trayecoria de la órbia para valores mayores de z en la fronera para un valor de familia = La órbia del sisema es esable debido a su convergencia, ya que el puno de equilibrio se compora como un foco aracivo. Comparando esa órbia con la obenida en la fronera, se puede ver que al aumenar z, disminuye ambién el ransiorio del sisema. Ese efeco se puede apreciar mejor en el dominio emporal. v conrol v rampa i l Figura 05. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para valores mayores de z en la fronera. La conmuación del sisema, en esado esacionario, de una opología a ora, nos asegura su esabilidad. Por ano, se puede afirmar que los valores obenidos de la fronera de la región esable en ese caso, son correcos porque exise un cambio en la dinámica del sisema en valores superiores e inferiores. 8

135 7.. Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia =8.306 En ese aparado, se preende comprobar que los resulados obenidos de la segunda fronera de la región esable para el parámero que deermina la familia de froneras, = En la siguiene figura, se muesran las froneras, para los parámeros normalizados y sin normalizar, para ese valor de familia concreo. Figura 06. Fronera correspondiene a un valor de familia =8.306 con los parámeros normalizados En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica con los punos de equilibrio correspondienes a ese caso. Figura 07. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia =

136 Se produce el mismo efeco que en el caso anerior debida a la variación de los parámeros z, R y D. Al ser dichos parámeros mayores se puede ver que las bandas de conmuación son más vericales que para un parámero de familia = El cálculo de los puno de equilibro son correcos porque se encuenran encima de la curva caracerísica y denro de la banda de conmuación. Los auovalores del jacobiano para la fronera, son los que muesran en la siguiene figura. Imlam Relam Figura 08. Auovalores del jacobiano en la fronera para un valor de familia =

137 Y su valor numérico. =8.306 R λ λ i i i -.43i i -.497i i -.408i i i i i i i i i i -.369i i i i i i -.348i i -.336i i i i -.360i i -.36i i -.375i i -.337i i -.303i Tabla 36. alores correspondienes a los auovalores del jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Los auovalores en la fronera son imaginarios puros, cumpliendo la condición para que se produzca la bifurcación de Hopf en iempo coninuo, pero no asegura que se produzca ese ipo de bifurcación, ya que ese hecho solo asegura un cambio en la esabilidad del sisema. El valor escogido del barrido de R es.536, y su valor correspondiene de la consane de realimenación de ensión, obenido de desnormalizar z=0.047 es Para realizar la úlima comprobación se escoge un valor superior e inferior. Si se produce un cambio en la dinámica del sisema para dichos valores, podremos decir que exise una fronera de la región esable en ese puno. Para realizar la simulación, se deben inroducir los parámeros normalizados del circuio, los cuales se pueden ver en la siguiene abla s.367 R.536 D z Tabla 37 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 3

138 En la siguiene figura, se muesra la rayecoria de la órbia para ese valor de la fronera. Figura 09. Trayecoria de la órbia en la fronera para un valor de familia = Al igual que en el aparado anerior, en la fronera de conmuación, la rayecoria de la órbia es propia de un comporamieno asinóicamene esable, ya que los auovalores del jacobiano son imaginarios puros. El comporamieno de la ensión de la rampa y la ensión de conrol en el dominio emporal es el que se muesra a coninuación. v rampa v conrol Figura 0. Conmuación enre la ensión de la rampa y la ensión de conrol. 3

139 El sisema en ese puno odavía conmua de una configuración a ora, considerándose esable. Pero el comporamieno de la corriene normalizada de la bobina es oscilaorio, siendo no deseado. i l Figura. Comporamieno de la corriene en la bobina en la fronera. El siguiene paso es analizar el comporamieno para valores inferiores de z, que corresponde, a aumenar la consane de realimenación de ensión. k v. En ese caso es Los parámeros normalizados correspondienes para realizar la simulación son s.367 R.536 D z Tabla 38 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 33

140 El comporamieno de la órbia para ese valor es el siguiene. Figura. Trayecoria de la órbia para valores menores de z para un valor de familia =8.306 Como se puede ver, la rayecoria de la órbia se aleja del puno de equilibrio hasa que enra en modo de conducción disconinuo, eniendo un comporamieno inesable. Eso quiere decir que el puno de equilibrio se compora como un foco repulsivo. En la figura donde se muesra el comporamieno de la corriene de la bobina normalizada en el esado esacionario. i l Figura 3. Comporamieno de la corriene normalizada en la bobina para valores menores de z. 34

141 De esa forma, para valores de z menores al calculado, la ensión de conrol no se cruza con la rampa, produciendo que el circuio no conmue y esé rabajando siempre en una opología. Por ano se puede decir que para ese análisis que el sisema es inesable. Realizamos la misma operación para valores superiores de z al calculado. El valor escogido es para obener el valor de z de k v 0.083, y los correspondienes parámeros normalizados para realizar la simulación son s.367 R.536 D z 0.6 Tabla 39. Parámeros normalizados para realizar la simulación. iendo la rayecoria dela órbia, se podrá saber si el sisema es esable, si converge en el puno de equilibrio. Por ano, Figura 4. Trayecoria de la órbia para valores mayores de z calculados en la fronera La convergencia de la órbia en el puno de equilibrio implica que el sisema sea esable y que dicho puno se compore como un nodo aracivo. En ese caso, al disminuir el valor de k v se produce, a su vez, una disminución de la duración del ransiorio. 35

142 Ese efeco se puede apreciar mejor en el dominio emporal. v rampa v conrol i l Figura 5. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para valores mayores de z al calculado en la fronera. Como se puede ver en la escala de iempo y comparándolas para el mismo caso en el aparado anerior, el aumeno del facor de calidad, da un margen mayor de la consane z al realizar el diseño. La conmuación del sisema de una opología a ora, nos asegura su esabilidad. Por ano, al igual que para =6.563, al producirse un cambio de la dinámica del sisema, de inesable a esable, se puede afirmar que los valores obenidos de la fronera son correcos. 36

143 7..3 Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia = Se realiza la comprobación de la úlima de las froneras obenidas para los parámeros escogidos. En ese caso, el parámero de familia escogido es =0.086 y la forma de la fronera, para parámeros normalizados es la siguiene. Figura 6. Fronera correspondiene a un valor de familia =0.086 La curva caracerísica con sus respecivos punos de equilibrio para ese úlimo análisis se muesra a coninuación. Figura 7. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia =

144 El hecho de aumenar el facor de calidad, y como consecuencia de ello, disminuir la consane z, produce que en las bandas de conmuación aumene su vericalidad. Al variar los parámeros normalizados z, R y D en la simulación provoca que dichas bandas se desplacen hacia la derecha de la curva caracerísica. Uno de los indicios que asegura que el cálculo de los valores mediane la simulación son correcos, es que los punos de equilibrio para cada variación perenecen a la curva caracerísica. La posición de los auovalores del jacobiano en los ejes de coordenadas se muesran en la siguiene figura. Imlam Relam Figura 8. Auovalores del jacobiano en la fronera para un valor de familia =

145 Y su valor numérico. =0.086 R λ λ i -.445i i -.433i i -.484i i i i -.395i i i i -.375i i -.366i i i i i i -.348i i -.336i i -.398i i -.340i i -.386i i -.335i i i i i i i Tabla 40. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Los auovalores en la fronera son complejos conjugados, cumpliéndose que se pueda enconrar una fronera de la región esable y que sea posible que se dé la bifurcación de Hopf. Se realiza el mismo valor del parámero normalizado R, obeniendo para ese caso, un valor de z de , que se corresponde a un valor de la consane de la realimenación de ensión del conrol de Para realizar la úlima comprobación de ese aparado, se escoge un valor superior e inferior de dicho parámero. Las condiciones para saber si exise una fronera de la región esable son las mismas que en los dos aparados aneriores. Para realizar la simulación, se deben inroducir los parámeros normalizados del circuio, los cuales se pueden ver en la siguiene abla s.367 R.536 D z Tabla 4 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 39

146 En la siguiene figura, se muesra la rayecoria de la órbia para ese valor de la fronera. Figura 9. Trayecoria de la órbia en la fronera para un valor de familia = Al igual que en el aparado anerior, en la fronera de conmuación, la rayecoria describe un comporamieno oscilaorio al ser los auovalores del jacobiano imaginarios puros. En ese valor de la fronera, el sisema odavía es esable, aunque su comporamieno no es el deseado. En la siguiene figura, se muesra la conmuación enre la rampa y la ensión de conrol. v rampa v conrol Figura 0. Cruce de la rampa con la ensión de conrol en ese caso. 40

147 Como se puede ver, el sisema odavía es esable ya que exise conmuación enre las dos opologías. Pero como en los casos aneriores, la corriene normalizada de la bobina iene un comporamieno oscilaorio. i l Figura. Comporamieno de la corriene normalizada en la fronera calculada. Para buscar un cambio en la dinámica del sisema, se escoge un valor de k v =0.0469, para el poserior cálculo de z. En la siguiene abla se muesran los parámeros normalizados necesarios para realizar la simulación s.367 R.536 D z Tabla 4 Parámeros normalizados para realizar la simulación. 4

148 El comporamieno de la órbia para valor inferior de z es el siguiene. Figura. Trayecoria de la órbia para valores menores de z para un valor de familia =0.086 Al igual que en el caso anerior, la rayecoria de la órbia se aleja del puno de equilibrio hasa que la corriene en la bobina se hace 0, enrando en modo de conducción disconinuo. Por ano, se puede decir que el sisema inesable. Eso es producido porque el puno de equilibrio se compora como un foco repulsivo, al esar los auovalores del jacobiano en el semiplano derecho del eje imaginario. En la siguiene figura, visualizando la corriene normalizada en la bobina, se puede apreciar los efecos anes comenados. i l Figura 3. Comporamieno de la corriene normalizada en la bobina circuio para valores menores de z. 4

149 Comparando la figura anerior en cada caso, se puede ver que al aumenar el facor de calidad,, se produce una disminución de la corriene. De esa forma, para valores de z menores al calculado, el sisema será inesable, al ser 0 dicha corriene al final del periodo de la onda. Realizamos la misma operación para valores superiores de z al calculado. El valor escogido de k v, para su poserior es Los parámeros normalizados necesarios para realizar la simulación son los siguienes s.367 R.536 D Z 0.03 Tabla 43. Parámeros normalizados para realizar la simulación. El comporamieno de la órbia del sisema para ese valor de z. Figura 4. Trayecoria de la órbia para valores mayores de z El sisema es esable, ya que la rayecoria de la órbia converge en el puno de equilibrio, al ser ése un foco aracivo. 43

150 Y en el dominio emporal, se puede observar que, v rampa v conrol i l Figura 5. Comporamieno del circuio en el dominio emporal para mayores de z. el posible margen que se pueda ener de z, y a su vez de k v, se ve incremenado debido al aumeno de. Al igual que en los esudios aneriores, se observa como conmua el sisema enre los dos esados del mismo, pudiendo decir que es esable. Se puede afirmar que para cada uno de los valores obenidos exise una fronera de la región esable, ya que hay un cambio de la dinámica del sisema en ese puno. 44

151 7. Búsqueda de la Fronera de la Región Esable dependiene de R y z, para familias de, mediane el Deerminane del Jacobiano. En ese aparado, se realiza la búsqueda de la región esable mediane el deerminane del jacobiano. Para ello, se realiza el mismo barrido, ano de R como de, hecho para la búsqueda de la fronera mediane la raza, pero buscando el valor correspondiene de la consane z que hace que dicho deerminane sea 0. Tal como se ha explicado anes, el ipo de bifurcación que se puede enconrar uilizando ese méodo, es el de Saddle Node. Se manienen los mismos parámeros fijos que en el aparado anerior, por ano. in 5 L 0.0 H C 47 µf R s 0. Ω u l 0 a k i -0. T 00 µs Tabla 44. ariables del circuio que se fijan para realizar el esudio. Y los correspondienes que se manienen fijos son,.4543 s.367 D 0.03 Tabla 45. Parámeros del circuio normalizados que se fijan para realizar el esudio. Además de uilizar los mismos parámeros, ano para el barrido como para la obención de las res froneras, ambién se oman los mismos valores de cada uno, para la comprobación de los resulados. El barrido de R se obiene a parir de la normalización para la ensión de referencia desde hasa 38 con un incremeno de un volio, y el parámero de familia, de la resisencia de carga del circuio, R, enre Ω y 34Ω con un incremeno de 6Ω.. Finalmene, la variable calculada para cada fronera y para cada familia es la consane normalizada z, que es inversamene proporcional a k v. 45

152 En las siguienes figuras, se muesran las familias de froneras en función de los parámeros, ano sin normalizar como normalizados, forzando que el deerminane del jacobiano sea 0. Figura 6. Fronera del Boos mediane la raza, para los parámeros normalizados anes descrios En la siguiene abla, se muesran los valores de los parámeros normalizados correspondienes a los resulados obenidos mediane la simulación =6.563 =8.806 = R z z z Tabla 46. alores correspondienes a la fronera para los parámeros normalizados 46

153 Como se puede ver de los resulados obenidos, a medida que se aumena R, el valor relaivo a la fronera se hace más negaivo, eniendo un margen mayor para el diseño. Al incremenarse, y a su vez R, los valores de la fronera se acercan más hacia el 0 disponiendo de un margen menor. Al realizar la búsqueda de la fronera mediane el deerminane de la mariz del jacobiano, al como se ha explicado en aparados aneriores, produce que el ipo de bifurcación que se pueda enconrar sea el de ipo Saddle Node. El siguiene paso en ese esudio, será comprobar que los resulados obenidos para cada una de las froneras son correcos. Para ello, se seguirá la misma paua que en los aparados aneriores, escogiendo un valor del parámero normalizado que se ha realizado el barrido, R =.563, y se evaluará en dicho puno ano para valores superiores como para valores inferiores del valor de la fronera en cada familia. Si se produce en cambio en la dinámica correspondiene a los valores anes ciados, se podrá decir que exise una fronera en ese valor, y los resulados obenidos son correcos. 7.. Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia = Siguiendo las pauas aneriores, se procede a realizar la comprobación de la primera fronera calculada a parir del deerminane para = En la siguiene figura, se muesran las froneras, para los parámeros normalizados y sin normalizar, para ese valor de familia concreo. Figura 7. Fronera correspondiene a un valor de familia =

154 En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica con los punos de equilibrio correspondienes a cada uno de los valores de la fronera. Figura 8. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia =6.563 La banda de conmuación iene la pendiene opuesa a las obenidas mediane la raza debido a que el parámero normalizado z es negaivo. Se puede ver ambién que varía según su puno de equilibrio ya que se produce la variación de los parámeros z, R y D. Se puede apreciar que uno de los bordes de la banda, el correspondiene a la ensión inferior de la rampa, es casi angene al puno de equilibrio. Eso puede provocar que una posible variación de uno de los parámeros de los que depende dicha banda, la haga desplazar. Si el desplazamieno hace que ésa no se cruce con la curva caracerísica, el puno de equilibrio desaparecerá, y el sisema no conmuará, haciéndolo inesable. 48

155 Los auovalores del jacobiano para la fronera de conmuación, son los que muesran en la siguiene figura. Imlam Relam Figura 9. Auovalores del Jacobiano en la fronera para un valor de familia =6.563 Y su valor numérico. =6.563 R λ λ Tabla 47. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. 49

156 Tal como se muesra en la abla, uno de los auovalores cumple la condición para que exisa la bifurcación de Saddle Node, pero el oro auovalor es posiivo, eso indica que el sisema es inesable cuando ocurre ese fenómeno. Por ano, ese hecho finaliza ese análisis debido que no se puede enconrar una fronera que delimie la región de funcionamieno esable del inesable para los parámeros escogidos. 7.. Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia = En ese aparado, se realiza la comprobación de los resulados obenidos de la segunda fronera para el parámero que deermina la familia de froneras, = En la siguiene figura, se muesran dichas froneras, para los parámeros normalizados y sin normalizar, para ese valor de familia concreo. Figura 30. Fronera correspondiene a un valor de familia =

157 En la siguiene figura, se muesra la curva caracerísica con los punos de equilibrio correspondienes a ese caso. Figura 3. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia =8.306 En ese caso, se produce el mismo efeco que en la variación anerior, debido al valor negaivo de z, y a las variaciones para cada puno de equilibrio de los parámeros z, R y D. También se puede apreciar que, la banda de conmuación es casi angene a la curva caracerísica produciéndose el mismo efeco que para el valor de la resisencia de carga anerior. Los auovalores del jacobiano para la fronera, son los que muesran en la siguiene figura. Imlam Relam Figura 3. Auovalores del Jacobiano en la fronera para un valor de familia =

158 Y su valor numérico. =8.306 R λ λ Tabla 48. alores correspondienes a los auovalores del Jacobiano en la fronera para las variaciones realizadas. Como se puede ver, para ese valor del facor de calidad, ocurre el mismo fenómeno que en el caso anerior. Uno de los auovalores es nulo, cumpliendo la condición para que se dé la bifurcación de Saddle Node, pero el segundo auovalor es posiivo, cumpliendo la condición de inesabilidad para iempo coninuo. Por ano se puede decir que no se ha calculado una fronera enre la región esable e inesable sino que es una fronera enre un ipo de inesabilidad y oro. 5

159 7..3 Comprobación de la Fronera Obenida para el Parámero de Familia = Se realiza la comprobación de la úlima de las froneras obenidas para los parámeros escogidos. En ese caso, el parámero de familia escogido es = y la forma de la fronera, ano para parámeros sin normalizar como normalizados es la siguiene. Figura 34. Fronera correspondiene a un valor de familia = La curva caracerísica con sus respecivos punos de equilibrio para ese úlimo análisis se muesra a coninuación. Figura 35. Curva caracerísica del sisema para un valor de familia =