Tema 9. Combinatoria

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1 Tea 9. Cobiatoria. Defiició de cobiatoria. Estrategias de resolució.. Estrategia del producto y la sua.. Diagraa de árbol. Variacioes y perutacioes.. Variacioes siples u ordiarias.. Perutacioes.. Variacioes co repetició. Cobiacioes. Factorial y úeros cobiatorios. Propiedades. El Bioio de Newto

2 Tea 9. Cobiatoria. Defiició de cobiatoria La cobiatoria es la ciecia que estudia el úero de solucioes que tiee u problea dado. Ejeplos:. Núero de posibles quiielas distitas. Núero de boolotos posibles. Núero de partidos de futbol e la liga ). Estrategias de resolució E este apartado vaos a ver tres estrategias que os va a peritir obteer el úero de solucioes a u problea dado... Estrategia del producto y la sua Estrategia del producto: si u problea dado podeos platearlo co diferetes iveles idepedietes etre sí, el priero co posibilidades, el segudo co, El úero de diferetes solucioes al problea plateado es igual al producto de las posibilidades e cada ivel. Nº solucioesn Ejeplo: vaos a cear y teeos prieros y segudos para elegir cuátos eús diferetes se puede cofeccioar? {prieros platos} {segudos platos} So idepedietes, ya que podeos elegir cualquier segudo idistitaete del priero elegido. Nº solucioes 8 Segudo priero B B B B B B B C C C C C C C Ejercicio: Calcular el úero de atrículas co dígitos y letras que hay. Distiguios iveles idepedietes etre si: {ª letra} 7 {ª letra} 7 {ª letra} 7 {úero de dígitos} Luego e total hay N atrículas diferetes Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

3 Tea 9. Cobiatoria Ejercicio: Jua tiee pataloes, caisetas y zapatos. De cuatas foras diferetes puede vestir? Tres predas puede elegir, y so idepedietes puede poerse cualquier zapato co cualquier pataló y caiseta. {zapatos} {caiseta} {pataloes} Núero de foras diferetes de vestir N Estrategia de la sua: cuado quereos ver el úero de solucioes a u problea e dode teeos varias foras de obteer la solució, tal que estas foras o tiee eleetos e coú etoces el úero de solucioes totales es igual a la sua de las solucioes de cada ua de las foras. Ejeplo: ver el úero de posibles aluos que ha sacado ás de u e ate {aluos co 7} {aluos co 8} {aluos co 9} So solucioes que o tiee eleetos e coú, adie saca u 7 y u 8 N.. Método del diagraa de árbol Se utiliza e probleas co diferetes iveles estrategia del producto) y co diferetes foras de alcazar la solució estrategia de la sua). Cada ivel uevo será ua raa del aterior. Todas las solucioes se distribuye e estructura de árbol co su troco y sus raas, hasta la solució fial que so las hojas del árbol. Veaos los ejeplos ateriores e fora de diagraa de árbol B C B C B C B C B C B C er plato º plato Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

4 Tea 9. Cobiatoria Ejercicio: Teeos ua bolsa co bolas de diferetes colores. De cuatas foras podeos etraer bolas. a) Co reeplazaieto b) Si reeplazaieto a) Tres iveles idepedietes, pues al itroducir la bola sacada la siguiete o depede del color de la sacada co aterioridad: ª bola ª bola ª bola N solucioes b) hora la bola sacada e ª posició si depede de la sacada e la ª por ejeplo si esta la priera es roja, o puede ocurrir que la seguda vuelva a ser roja. Podeos ver el úero de solucioes por diagraa de árbol ª bola ª bola ª bola N Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

5 Tea 9. Cobiatoria E la Eurocopa del 8 los equipos clasificados e seifiales so España, Fracia, Italia, Portugal. Estudiar las posibles clasificacioes por diagraa de árbol. N posibilidades º º º º I E P F E I P F E P I F E F I P P F F P I F F I I P P I P F F P F E E F E P P E I F F I E F F E I E E I P I I P E p P E E P P E Ejercicios pag. Tres ietos lberto, Beatriz y Claudia va a ver a sus abuelos y este les dice Escoged cada uo el libro que queráis de estos. Cuátas foras distitas puede hacer la elecció? Supogaos que elige º lberto: posibilidades ª Beatriz: 9 posibilidades ª Claudia: 8 posibilidades Podeos hacer el diagraa de árbol y tedreos iveles co, 9 y 8 posibilidades. N 9 87 solucioes Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

6 Tea 9. Cobiatoria pag. Luis, Carlos, Gozalo, Paco y Jorge ha quedado e ecotrarse co Care, Elea, Marta y Cristia. l ecotrarse se saluda dádose besos etre u chico y ua chica. Cuátos besos se da? Podeos distiguir iveles que so distitas foras de obteer la solució: {besos de Luis} 8 {besos de Carlos} 8 {besos de Gozalo} 8 {besos de Paco} 8 {besos de Jorge} 8 plicado la estrategia de la sua N 8 besos pag. Cuátos partidos de Priera Divisió se juega co ua teporada de Liga Española de Futbol? Cosidereos sólo la priera vuelta y luego ultiplicaos por.. El prier equipo juega 9 partidos cotra los otros 9 equipos) 9. El º juega 9 pero de uo lo juega co el º que ya está cotado 8. El º 7 partidos 9. El 9º partido. El º ya ha jugado todos e los ateriores 9 N987 regla de la sua) Luego ida y vuelta so partidos Otra fora diferete: Cada jorada so partidos, coo so joradas el úero de partidos so N regla del producto) 7 pag Teeos tres colores verde, rojo y azul para pitar ua diaa co tres zoas, B y C. Cada zoa debe teer u color diferete. Y si teeos colores? a) Por diagraa de árbol N posibilidades b) Si teeos colores N Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

7 Tea 9. Cobiatoria zoa zoa B zoa C rojo azul aarillo aarillo azul azul rojo aarillo aarillo rojo aarillo rojo azul azul rojo 8. pag. E u bar tiee tipo de zuos de fruta y de café. Cuátas cobiacioes distitas se puede hacer eligiedo u zuo y u café?. Si adeás añades elegir u bobó y tiee de dos sabores. cuátas cobiacioes teeos ahora?. a) Por la regla del producto, so eleccioes idepedietes: N b) Igual pero co tres eleccioes: N. pag. E u bar hay vetaas que puede estar abiertas ) o cerrada C) idistitaete. Cuátas posicioes distitas puede estar las vetaas? So eleccioes idepedietes, pues la posició de ua vetaa es idepediete de la posició de otra. Coo hay dos posibilidades, bierto o Cerrado, el úero de solucioes so por la regla del producto: N posibilidades Págia 7 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

8 Tea 9. Cobiatoria. pag.a) Se ha jugado u partido de futbol y sabeos que el resultado fue de epate a goles -). Cuál será el resultado del partido e el descaso?.escribir todas posibilidades: N 9 Euipo Equipo b) Si el descaso el resultado era de - de cuatas foras pudo ir variado el resultado hasta llegar el -? foras diferete pag. cuátos úeros capicúas de tres cifras eiste?. y de cuatro? y de cico? a) De tres: B So dos úeros que teeos que elegir para hacer uo capicúa, el de la posició cetral y el de los etreos. So idepedietes etre si, ya que la depedecia la heos puesto haciedo que el iicial y el fial sea el iso. {cifra } 9 posibilidades el cero o puede ser sio de cifras) {cifra B} posibilidades. plicaos la regla del producto : N 9 9 b) De cifras: B B {cifra } 9 posibilidades el cero o puede ser sio de cifras) {cifra B} posibilidades. plicaos la regla del producto : N 9 9 Págia 8 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

9 Tea 9. Cobiatoria c) De cifras: B C B {cifra } 9 posibilidades el cero o puede ser sio de cifras) {cifra B} posibilidades. {cifra C} posibilidades. plicaos la regla del producto : N pag. Álvaro y Javier juega u toreo de teis que gaará el que cosiga dos juegos seguidos o tres alterativos. Cuáles so los posibles desarrollos del toreo? J J J J J J J J J. pag. Carlos va a u casio co. puesta coo áio veces hasta que o bie se queda si diero o gaa. Escribe todos los posibles resultados que se puede dar: posibles resultados. Variacioes y perutacioes. Variacioes siples u ordiarias Defiició: se llaa variació de eleetos distitos de e <) a las diferetes foras de agrupar los eleetos de e dode se cuple: Dos agrupacioes de eleetos se dice que so distitas tato si tiee distitos eleetos coo si teiedo los isos tiee distito orde. INFLUYE EL ORDEN No se puede repetir los eleetos e las agrupacioes. NO REPETICIÓN. El úero de solucioes es el dado por : V, ) )... ) productos Ejeplo: de cuatas foras se puede repartir edallas a ocho fialistas? Teeos que agrupar 8 fialistas de e tal que: Ifluye el orde: o es lo iso quedar º que º o º. No hay repetició: u fialista o puede gaar dos edallas e la isa prueba. Variacioes de 8 eleetos de e 8, ). V 8, 8 7 foras Págia 9 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

10 Tea 9. Cobiatoria Ejercicio: Teeos que dibujar ua badera co tres frajas horizotales co diferetes colores coo la Italiaa) y teeos colores distitos. Cuátas baderas diferetes podeos pitar? Teeos que agrupar colores de e tal que: Ifluye el orde: baderas co isos colores pero distito orde so diferetes. No hay repetició: cada fraja tiee distito color, pues es ua iposició del problea. Es ua variació de eleetos de e. V, baderas distitas... Perutacioes Defiició: perutació de eleetos so las distitas foras que teeos de ordear eleetos distitos. Es equivalete a ua variació pero dode iterviee los eleetos. Se cuple etoces tabié: INFLUYE EL ORDEN: de hecho o puede haber agrupacioes co diferetes eleetos, pues se usa todos. No se puede repetir los eleetos e las agrupacioes. NO REPETICIÓN. Nuero de solucioes P V, -)!. Ejeplo: cóo puede clasificarse los 8 fialistas? V 8,8 P 8 8! calculadora) Ejercicio: Claudia, Javier y Móica se quiere setar e asietos de clase. De cuátas foras es posible? Teeos sillas para persoas, es decir ver las foras de ordear persoas de e, dode ifluye el orde y o se puede repetir, es decir ua persoa o ocupa ás que ua silla. P! posibilidades.. Variacioes co repetició Defiició: las variacioes co repetició de eleetos de e ahora puede ser ayor que ) so las distitas foras de agrupar tal que se cuple: INFLUYE EL ORDEN: es decir dos ordeacioes co isos eleetos y distito orde so diferetes SE PUEDE REPETIR: los eleetos. El úero de solucioes es : VR, Págia de veces Ejeplo: teeos ua bolsa co bolas co los úeros,,. Sacaos bolas ua a ua co reeplazaieto, y aputaos los úeros que sale, hasta forar u úero de cifras. Cuátos úeros diferetes hay? Teeos eleetos que teeos que agrupar de e tal que ifluye el orde, o es lo iso las uidades que las ceteas, etc. deás se puede repetir ya que hay reeplazaieto. VR, úeros Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

11 Tea 9. Cobiatoria Ejercicio: Cuátas quiielas diferetes se puede hacer? Hay eleetos,,) y teeos que agruparlos de e que es el úero de partidos, tal que Si ifluye el orde, ya que el lugar dode coloqueos los síbolos es iportate. Se puede repetir, ya que podeos poer,, las veces que deseeos. VR,.8.97 quiielas Ejercicio pag : cuátos úeros de cifras se puede forar co cifras ipares? Teeos cifras,,,7,9) y quereos colocarlas de e tal que se puede repetir e ifluye el orde. VR, Ejercicio pag : Cuátos resultados distitos podeos obteer se tiraos u dado veces? E el dado hay resultados posibles,,,,,). Teeos que ver las distitas foras de agrupar eleetos de e, tal que ifluye el orde y se puede repetir: VR, 9. Cobiacioes E los apartados ateriores ifluía el orde, es decir difereciábaos etre {,B,C} y {,C,B}. Pero o siepre ocurre esto, a veces el orde o ifluye. Veaos u ejeplo: teeos libros y quereos coger libros, cuátas posibilidades hay? hora o iporta el orde pues da igual cual cojaos priero, segudo o tercero. Defiició: cobiació de eleetos toados de e eor que ) so las diferetes foras de agrupar eleetos diferete de e y se cupla: No se repite los eleetos que elegios para forar los grupos de NO INFLUYE EL ORDEN de los eleetos sólo los eleetos que lo fora. C,! )!! Ejeplo: e ua clase de teeos que elegir represetates, de cuátas foras se puede elegir? Teeos que ordear eleetos de e dode: No se puede repetir el aluo No ifluye el orde, ya que os da igual a cual elegios priero. C!! 9 8! )!! 8!! 8!, 9 Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

12 Tea 9. Cobiatoria b) y si sabeos que so delegado y subdelegado? hora si iporta el orde, luego teeos V, 98 foras Ejercicio pag 8: Teeos putos e el espacio de tal odo que o hay tres alieados i cuarto coplaarios. Cuátas rectas podeos trazar uiedo dos putos? Cuátos plaos que pase por tres de ellos? a) Rectas por dos putos pasa ua recta. Hay que ver las foras de orgaizar los putos de e, tal que: No se puede repetir los putos, ya que etoces tedríaos sólo u puto El orde da igual, ya que sea cual sea el orde teeos ua úica recta.!! C,!!! b) plaos por putos pasa u plao. Hay que ver las foras de orgaizar los putos de e, tal que: No se puede repetir los putos El orde da igual, ya que sea cual sea el orde teeos ua úico plao.!! C,!!!! Ejercicio pag 8. Cuátas posibles ezclas de dos colores e idéticas catidades se puede hacer co 8 tarros de pitura de distitos colores? So 8 colores agrupados de e tal que o podeos elegir el iso o se repite) y el orde da igual, rojoazul es lo iso que azulrojo. 8 C 8, 8!!! 8 7! 8 ezclas!! 8 Mezclas de colores? C 8, 8 Mezclas de colores? C 8, 8!!! 8!!! 8 7! ezclas!! 8 7! 7 ezclas!! E ua bolsa co bolas calcular el úero de foras de etraer bolas si a) Se etrae de e si reeplazaieto Elegir de eleetos de e tal que o se repite o hay reeplazaieto) e ifluye el orde, o es lo iso sacar la bola e la priera que e la seguda etracció. V, b) Se etrae de e co reeplazaieto Elegir de eleetos de e tal que se puede repetir hay reeplazaieto) e ifluye el orde, o es lo iso sacar la bola e la priera que e la seguda etracció. VR, Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

13 Tea 9. Cobiatoria c) Se etrae a la vez Elegir de eleetos de e tal que o se repite o hay reeplazaieto) y o!! ifluye el orde ya que se saca todas a la vez C,!!!! Ejercicios pag. Para forar u equipo de balocesto hace falta jugadores y el etreador dispoe de jugadores. a) Cuátos jugadores distitos puede forar?. b) y si dos jugadores so fijos? a) Teeos que elegir jugadores de los de tal fora que: No hay repetició cada jugador ocupa u puesto) No ifluye el orde da igual coo elijaos los )! Cobiació de eleetos de e C, equipos!! b) Coo dos so fijos. Teeos que elegir jugadores 8 tal que: No hay repetició cada jugador ocupa u puesto) No ifluye el orde da igual coo elijaos los ) 8 8! Cobiació de 8 eleetos de e C8, equipos!! pag. Se va a celebrar eleccioes e la sociació de padres y hay que elegir al presidete, secretario y tesorero. De cuatas aeras se puede elegir estos tres cargos, si se preseta 8 cadidatos? Teeos que elegir padres de los 8 de tal fora que: No hay repetició cada padre ocupa u solo cargo) Ifluye el orde so cargos distitos) Variació de 8 eleetos de e V 8, 8 7 foras de elegir cargos Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

14 Tea 9. Cobiatoria pag. Se va a repartir tres regalos etre persoas, Calcular las foras que se puede repartir si: a) Los regalos so distitos y o puede tocarle ás que u regalo por persoa b) Los regalos so iguales y o puede tocarle ás de u regalo por persoa c) Los regalos so distitos y puede tocar a ás de u regalo a la isa persoa. a) Teeos que elegir iños de los de tal fora que: No hay repetició u regalo para cada iño) Ifluye el orde so regalos distitos) Variació de eleetos de e V, foras de repartir los regalos b) Teeos que elegir iños de los de tal fora que: No hay repetició u regalo para cada iño) No ifluye el orde so regalos iguales) Cobiació de eleetos de e C, foras de repartir los regalos c) Teeos que elegir iños de los de tal fora que: Puede haber repetició puede tocar varios regalos a u iño) Ifluye el orde so regalos distitos) Variació co repetició de eleetos de e VR, foras de repartirlos 7. pag. De cuatas foras se puede setar tres persoas e u baco de asietos? Teeos que elegir puestos del baco de los de tal fora que: No hay repetició u puesto para cada persoa) Ifluye el orde so puestos distitos) Variació de eleetos de e V, foras de setarse Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

15 Tea 9. Cobiatoria. pag. Las 8 fichas de u doió se reparte etre cuatro jugadores. cuátos juegos distitos puede teer cada jugador? Teeos que elegir 7 fichas de las 8 de tal fora que: No hay repetició las fichas so distitas) No ifluye el orde da igual el orde e el que se elige las 7 fichas) 8 Cobiació de 8 eleetos de 7 e 7 C 8,7 8 7 fichas. foras de elegir las. pag. a) De cuatas foras se puede ordear las letras de las palabras PLOTE?. b) Cuátas epieza por P?, c) E cuátas de ellas ocupa las cosoates los lugares ipares y las vocales las pares? a) Teeos que ordear letras tal que: No hay repetició las letras so distitas) Ifluye el orde segú el orde so palabras distitas) Perutació de eleetos P!7 palabras distitas. b) Teeos que ordear letras la P es fija) tal que: No hay repetició las letras so distitas) Ifluye el orde segú el orde so palabras distitas) Perutació de eleetos P! palabras distitas. c) Teeos dos iveles: {colocar las cosoates} P! {colocar las vocales} P! Coo so iveles idepedietes teeos que por la regla del producto el úero de solucioes so N palabras distitas Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

16 Tea 9. Cobiatoria. pag. Señala 8 putos distitos e ua circuferecia. Traza las cuerdas que ue cada puto co todos los deás. Cuátas cuerdas so? Teeos que agrupar los 8 putos de e, tal que No hay repetició segeto forado por putos distitos) No ifluye el orde da igual segeto B que B) 8 Cobiació de 8 eleetos de e : C 8, 8 cuerdas distitas.. pag 7. Cuátos triágulos se puede hacer de odo que tega los vértices e los putos de estas redes: a) Teeos que agrupar los putos de e, tal que: No se puede repetir los putos No ifluye el orde, putos da u triágulo idepedieteete coo los uaos Cobiació de eleetos de e C, triágulos diferetes Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

17 Tea 9. Cobiatoria b) Teeos que agrupar los putos de e, tal que: No se puede repetir los putos No ifluye el orde, putos da u triágulo idepedieteete coo los uaos Cobiació de eleetos de e C, triágulos diferetes. Pero teeos agrupacioes de putos que o os geera u triágulo, luego realete so 8 triágulos diferetes. c) Teeos que agrupar los 9 putos de e, tal que: No se puede repetir los putos No ifluye el orde, putos da u triágulo idepedieteete coo los uaos Cobiació de 9 eleetos de e C 9, 8 triágulos diferetes. Pero teeos 8 agrupacioes de putos que o os geera u triágulo, luego realete so 7 triágulos diferetes. Págia 7 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

18 Tea 9. Cobiatoria Cuátos caios hay para ir del iicio a los cajeties? ) Para llegar a la posició, teeos que e cada ivel ir siepre a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e los que la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caio ) Para llegar a la posició, teeos que e iveles ir a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e los la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caios ) Para llegar a la posició, teeos que e iveles ir a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e los la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caios Págia 8 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

19 Tea 9. Cobiatoria ) Para llegar a la posició, teeos que e iveles ir a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e los la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caios ) Para llegar a la posició, teeos u sólo ivel e el que va a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e dode la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caios ) Para llegar a la posició, teeos e igú ivel va a la izquierda. Luego de los iveles teeos que elegir e dode la oeda va a la izquierda tal que : No hay repetició, ya que sólo se gira ua vez e cada ivel No ifluye el orde ya que idepedieteete e el que elijaos este se realiza siepre priero e el prier ivel, luego e el segudo Cobiació de eleetos de e C, caios 8. pag 7. E ua pizzería prepara pizzas co al eos igredietes. Si dispoeos de tipos de igredietes. Cuátos tipos de pizza se puede preparar?. Puede hacer las pizzas de, o igredietes. Tres foras de hacer las pizzas: {co igredietes} Foras de elegir igredietes de los tal que o se repite y da igual el orde C, pizzas diferete co igredietes {co igredietes} Foras de elegir igredietes de los tal que o se repite y da igual el orde C, pizzas diferetes co igredietes {co igredietes} Foras de elegir igredietes de los tal que o se repite y da igual el orde C, pizza diferete co igredietes Coo so solucioes diferetes y o tiee solucioes e coú etoces podeos aplicar la regla de la sua: N pizzas diferetes Págia 9 de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

20 Tea 9. Cobiatoria Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete Factorial de u úero y úeros cobiatorios. Propiedades Núero factorial: el factorial se defie sólo para úeros aturales, tal que es de la siguiete fora: Si! -). Ejeplo:! 7 Si! Propiedades del úero factorial: )! -)! -) -)! Ejeplo: 7!7!7! ) )!)!. Ejeplo: 8 7!8! Núero cobiatorio: de dos aturales ), )!!!. Ejeplo:!!! Propiedades del úero cobiatorio: P: De:!!!! ;!!!! Sigificado e cobiatoria grupos co eleetos de e o de e ) P:. Ejeplo: De:! )! )! ))! )!! )! )! )!!! Sigificado cobiatoria grupos de eleetos de e o de - e -. P:. Ejeplo: De:! )!! ))! )!! )!!! y Sigificado cobiatoria co eleetos es lo iso forar grupos co eleetos que co la diferecia -, pues por cada grupo co eleetos que haceos tabié u grupo co - que so los que o está e el grupo aterior). P:. Ejeplo

21 Tea 9. Cobiatoria Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete Deostració: )!!! )!! )! )!! ) )! )!! )! ) )!! )! )!! )! )! )! )! P:... Triágulo de Tartaglia o Pascal Co este triágulo podeos ver todas las propiedades vistas ateriorete de fora uy ituitiva: 8

22 Tea 9. Cobiatoria Ejercicios:. Pag. Escribe coo cociete de úeros factoriales. a) 7!! b) 9 8 7!!! c) -) -) -)! d) ) -)!! e) -) -) -9)!!. Resolver las siguietes ecuacioes a) V, 7 -)7 --7), 8. El valor de o es ua posible solució, pues es el úero de eleetos, que ha de ser por lo eos igual a. b) VR, -V, 8 - -)8 8 c) V, -V -, -)--)-) - /. No es solució d) VR, -V, 8 - -)8 8. Calcular P) 8. Resolver si desarrollar a) P) b) P) 7 7 c) o solució) y 7 8 P) 7 7 Veaos si es solució 8. Si pues los úeros de abajo so 8 9 eteros eores que o solució) P) Veaos si es solució que 9. Si pues los úeros de abajo so eteros eores que 9 Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

23 Tea 9. Cobiatoria, y d) P) dos solucioes: y, y. pag. Calcular e las siguietes epresioes: a) Dos solucioes: la trivial y 7, pues 7 P) b) 7 8 pues así 78 P) 9 9 c) Dos solucioes: la trivial -, y -9 9 P) d) Por P e) - o solució. Luego por P f) P se cuple g) Dos posibles solucioes a) - - que o es solució pues el úero de abajo ha 7 7 de ser positivo. b) - 8 Luego 8 si es solució h) -- / 7 7 No solució / / Por la propiedad : Si solució Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

24 Tea 9. Cobiatoria j) y 8 P. 7 8 y 8 y k) 7. pag 7. Siplifica las siguietes epresioes! ) )! a) ) )! )! b) )! ) )! ) )! )!! )! c) )! )!. Bioio de Newto Mediate el bioio de Newto calculaos el desarrollo de todo bioio sua o resta de dos ooios) elevado a u úero atural. Veaos las prieras potecias hacer e casa las operacioes) para luego eteder su coportaieto geeral, cuya deostració o vereos. ab) ab) ab ab) a abb ab) a a bab b ab) a a ba b ab b Coo puedes ver los coeficietes so los del triágulo de Tartaglia. sí de fora geeral teeos que u bioio elevado a, co N: ab) a a - b a - b Veaos alguos ejeplos: a b - b Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete [email protected])

25 Tea 9. Cobiatoria Págia de Tea elaborado por José Luis Lorete a) 7 9 ) b) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c) d) 8