MODELOS DE PROBABILIDAD

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1 3 MODELOS DE PROBABILIDAD.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS E ocasioes, alguas variables aleatorias sigue distribucioes de probabilidad uy cocretas, coo por ejeplo el estudio a u colectivo ueroso de idividuos que se odeliza por la distribució Noral. Estudiareos alguas de las distribucioes o odelos de probabilidad ás iportates y que después os resultará uy útiles para el tea de la Estiació. Coo heos visto, las variables puede ser discretas o cotiuas; por ello, tabié las distribucioes podrá ir asociadas a variables aleatorias discretas o cotiuas...- Distribució uifore discreta Sea ua variable aleatoria discreta que toa valores x...x tales la probabilidad de toar cada uo de los valores es Ρ ( xi ). Cuado esto ocurre se dice que se distribuye coo ua variable aleatoria Uifore discreta. Esta es la distribució discreta ás secilla, la cual asiga la isa probabilidad a cada ua de las solucioes...- Distribució de Berouilli Cosiderado u experieto aleatorio e el cual solo hay dos posibles resultados icopatibles a los que se les puede deoiar éxito o fracaso, etoces se dice que es ua variable aleatoria discreta que se distribuye coo paráetro p dode p es la probabilidad de obteer éxito., y se expresa B( p)

2 3_Aputes de Estadística II 34 Por tato, se puede decir que: ---- P[éxito] p P [ ] p; P[fracaso] -p P[ 0] p. E esta distribució -p se suele deotar coo q, y tato la esperaza coo la variaza viee dadas por las siguietes expresioes: E[x] p + 0 q p; V[x] p p p (-p) p q. Ejeplo: El 0% de los trabajadores del país está desepleado, Cuál es la probabilidad de seleccioar u idividuo al azar y esté desepleado? Desepleado p 0, 0 Epleado q -p -0, 0,9 p(x)0,.3.- Distribució Bioial Es ua extesió de la distribució de Berouilli. Supogaos que se repite u experieto veces de fora idética e idepediete. Los resultados de cada realizació del experieto se clasifica e dos categorías (coo e el caso de Berouilli), ua será la probabilidad de éxito p, y otra q-p, la de fracaso. Así, por tato, sea ua variable aleatoria discreta, se dice que se distribuye coo ua distribució bioial de paráetros (,p). Siepre se debe de verificar que > y que p toe valores etre 0 y. La fució de probabilidad viee dada por la expresió: Ρ [ ] x p x i ( p) x i x,,...,. i x i Adeás, es fácil de coprobar que se verifica que V [] x p( p) pq. E [] x p y que Su fució de distribució es: 0 x 0 x i p ( p) I xi xi F(x) ( ) 0 x x > A cotiuació podeos ver varios ejeplos de variables que se distribuye co ua Bioial: úero de caras al lazar 0 veces ua oeda, úero de aprobados si

3 Modelos de Probabilidad 35 se preseta 80 aluos a u exae, úero de failias co u solo hijo e ua població de 0 failias, úero de reaccioes egativas ate u fáraco adiistrado a 40 pacietes, úero de accidetes de tráfico si ha circulado 00 autoóviles ó úero de seillas que geria de las 0 seillas que se ha platado e suelos de idética coposició. Propiedades de la distribució Bioial:. La distribució Bioial se puede obteer coo sua de variables aleatorias idepedietes Berouilli co el iso paráetro p.. Si teeos dos variables aleatorias que se distribuye segú ua Bioial co el iso paráetro p, es decir, co la isa probabilidad de éxito, B(, p) e Y B(, p), etoces siepre se verifica + Y B( +, p). Si o tiee la isa probabilidad o se puede suar. 3. Sea ua variable aleatoria e Y otra variable aleatoria que verifica que B(, p) e Y/, etoces se verifica y adeás su esperaza y variaza so Y B(, p / ) E [ Y ] p y [ Y ] pq V..4.- Distribució de Poisso Esta es ua distribució discreta de gra utilidad sobre todo e procesos biológicos, dode suele represetar el úero de evetos idepedietes que ocurre a velocidad costate e u itervalo de tiepo o e u espacio. Así, por tato, sea ua variable aleatoria discreta, se dice que se distribuye coo ua distribució de Poisso, P(λ), co λ > 0, si su fució o distribució de probabilidad viee dada por: P xi λ λ i e. x! [ x ] E esta distribució λ represeta el úero proedio de ocurrecias e u itervalo de tiepo o e u espacio. Por lo tato, para esta distribució se verifica que su esperaza y su variaza so: [] x λ [] x λ E, V. y su fució de distribució: i

4 3_Aputes de Estadística II 36 0 x < 0 F(x) i e λ λ x xi i x > 0 Seguidaete se puede ver varios ejeplos de variables que se distribuye co ua Poisso: Núero de clietes que llega a u baco durate ua hora o ua añaa, úero de defectos e u trozo de aterial, etc. Si ebargo, de llegar uchos clietes e ua deteriada fraja horaria y pocos e otra, o o estar los defectos igualete distribuidos e el aterial, la distribució de Poisso o sería apropiada. Ejeplo: Ua cetral telefóica recibe ua edia de 480 llaadas por hora. Si el úero de llaadas se distribuye segú ua Poisso y la cetral tiee ua capacidad para ateder a lo suo llaadas por iuto, cuál es la probabilidad de que e u iuto deteriado o sea posible dar líea a todos los clietes? Si defiios Nº de llaadas por iuto etoces P (8). P ( > ) P ( ) 0,936 0, VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS..- Distribució Uifore Cotiua Es la ás secilla de las distribucioes cotiuas. Surge cuado cosideraos ua variable aleatoria que toa valores e u itervalo fiito de aera equiprobable. Esta se defie coo ua variable aleatoria cotiua,, se dice que se distribuye coo ua distribució uifore de paráetros a, b, tales que < a < b< + U ( a, b); siepre se verifica que su fució de desidad viee dada por la expresió: f(x) b a a x b 0 Lo ás sigificativo que vaos a destacar de esta distribució es que su esperaza viee dada por la expresió: E(x) a + b

5 Modelos de Probabilidad 37 y su variaza por V(x) ( b a). La fució de distribució dada ua variable aleatoria uifore es F(x) 0 x < a x a a x b b a x b Ejeplo: Seleccioaos al azar u úero real e el itervalo [, 6] y defiios ua variable aleatoria coo úero seleccioado. Calcula la probabilidad de que el úero seleccioado sea eor de 5 y el úero esperado. P [ E este caso 5 U (,6); Para calcular la probabilidad lo que haceos es 5 x 5] f ( x) dx dx 6 dx Esto se podía haber hecho ás rápido co la fució de distribució de la siguiete fora: x 5 3 P [ 5] F(5) b a 6 4 Para calcular la esperaza, aplicaos la forula y os queda, a + b E [ ] Distribució Noral Es ua de las distribucioes ás iportates. Es el odelo de distribució ás utilizado e la práctica, ya que ultitud de feóeos se coporta segú ua distribució oral. Esta distribució de caracteriza porque los valores se distribuye forado ua capaa de Gauss, e toro a u valor cetral que coicide co el valor edio de la distribució: Las vetajas teóricas de este odelo hace que su uso se geeralice e las aplicacioes reales. Sea ua variable aleatoria cotiua, se dice que se distribuye coo ua oral N ( μ, σ ); μ R σ > 0

6 3_Aputes de Estadística II 38 dode se verifica que < x < +, μ es el valor edio de la distribució y es precisaete dode se sitúa el cetro de la curva (de la capaa de Gauss), y σ es cualquier valor etre y +, si su fució de desidad viee dada por: ( x μ ) f ( x) e σ πσ Cuado la edia de la distribució es 0 y la variaza es, se deoia "oral tipificada", y su vetaja reside e que hay tablas, o rutias de cálculo que perite obteer esos isos valores, dode se recoge la probabilidad acuulada para cada puto de la curva de esta distribució. Es se verá co ás detalle e el siguiete apartado. Propiedades: Tiee u paráetro que es la edia [ ] μ E. Tiee otro paráetro que os da la dispersió. [ ] σ V. La edia, la oda y la ediaa coicide. Es ua fució siétrica respecto a la edia, coo se puede ver e el gráfico. Si defiios la variable Y a + b, dode se distribuye coo ua oral de paráetros N ( μ, σ );, etoces: Y N ( aμ + b, aσ );

7 Modelos de Probabilidad 39 Sea dos variables aleatorias orales que se distribuye N( μ, σ ), y N( μ, σ ), se defie ua ueva variable de la fora Y +, etoces esta ueva variable se distribuye coo: Y N( μ + μ, σ + σ )..3.- Distribució Noral Tipificada o Estadarizada Coo se decía ateriorete, este es u caso particular de ua variable aleatoria cotiua que se distribuye coo ua Noral de paráetros (0,), por lo que su fució de desidad viee dada por: Propiedades: E(x)0. V(x). f ( x) e π x La iportacia de la distribució oral tipificada es que tiee la vetaja, coo ya heos idicado, de que las probabilidades para cada valor de la curva se ecuetra recogidas e ua tabla. Así, lo que se hará es trasforar cualquier variable que se distribuya coo ua oral e ua oral tipificada. Para hacer este cabio, se crea ua ueva variable Z que será igual a la aterior eos su edia y dividida por su desviació típica (que es la raíz cuadrada de la variaza). Esta ueva variable se distribuye coo ua oral tipificada, peritiédoos, por tato, coocer la probabilidad acuulada e cada valor, es decir, N ( μ, σ ); al μ defiir la ueva variable Z siepre se verifica que Z N(0; ); σ P[ x] μ x μ < P Z < σ σ x μ σ..4.- Distribució Chi-Cuadrado de Pearso Sea,, 3... variables aleatorias que se distribuye coo orales N(0,), y se defie ua ueva variable , etoces se dice que se distribuye coo ua Chi-Cuadrado o Ji-cuadrado co grados de libertad, dode es el úero de variables aleatorias orales idepedietes elevadas al cuadrado que se ha suado. Esta se represeta coo y su fució de desidad es de la fora, χ,

8 3_Aputes de Estadística II 40 f ( x) Γ ( ) e 0 > Gráficaete, la variable aleatoria Chi-cuadrado se represeta, Propiedades: Es ua fució asiétrica. E(x). V(x). Sea dos variables aleatorias chi-cuadrado que se distribuye χ, se defie ua ueva variable de la fora Y +, etoces esta ueva variable se distribuye coo: Y χ + χ Cuado el úero de variables aleatorias es uy grade, es decir, cuado, la variable se puede aproxiar por ua oral. y.5.- Distribució t- Studet Sea ua variable aleatoria que se distribuye coo N (0,) y sea Y otra variable aleatoria que se distribuye coo Y χ, tal que e Y so idepedietes, etoces podeos defiir otra variable aleatoria T, Y se dice que esta se distribuye coo ua t-studet co grados de libertad y su fució de desidad viee dada por:

9 Modelos de Probabilidad 4 f ( x) Γ( + ) π Γ( ) t < x < + Esta distribució es uy utilizada, que se costruye a partir de ua oral y u chi-cuadrado. Veaos ua gráfica coparativa co ua distribució oral y alguas de las propiedades que verifica. Propiedades: Es siétrica, está cetrada e el puto (0,0) M o M e 0 E [T] 0 si > V [T] /- si >. Cuado el úero de variables aleatorias es uy grade, es decir, cuado, la variable se puede aproxiar por ua oral..6.- Distribució F-Sedecor Sea ua variable aleatoria que se distribuye coo co grados de libertad y, otra variable aleatoria que se distribuye coo χ co grados de libertad, tal que las dos variables so idepedietes, etoces se puede defiir ua ueva variable aleatoria: que se dice que se distribuye coo viee dada por: F, χ. E este caso, su fució de desidad

10 3_Aputes de Estadística II 4 f ( x) + Γ Γ Γ x 0 ( ) ( x + ) + x > 0 x 0 Veaos alguas de las propiedades que verifica las variables aleatorias que sigue esta distribució y su represetació gráfica. Propiedades: E [ F], si >. ( + 4) V [ F], si > 4. ( ) ( 4) Si etoces la distribució χ. F, Si F, etoces la distribució F,. 3.- RELACIÓN ENTRE MODELOS A cotiuació se va a detallar las distitas relacioes que existe etre los distitos odelos estudiados Aproxiació de ua Bioial por ua Poisso Sea ua variable aleatoria discreta que se distribuye coo ua Bioial co paráetros (,p) dode tiede a ifiito y, p tiede a 0. Cuado esto ocurre podeos

11 Modelos de Probabilidad 43 aproxiar ua distribució Bioial por edio de ua distribució de Poisso, es decir, P( λ p). Por coveio se realizará esto cuado se verifique ua de estas codicioes:. Cuado se verifique > 30 y p < 0.. p < Aproxiació de ua Bioial por ua Noral Sea ua variable aleatoria discreta que se distribuye coo ua Bioial co paráetros (,p), etoces De Moivre deostró que cuado y, p es aproxiadaete 0 5, esa variable aleatoria se puede aproxiar coo ua distribució oral. El criterio que se toa es que >50 y p 0 5. Cuado esto ocurre se verifica que B(, p) se dice que N( μ p; σ pq) Aproxiació de ua distribució de Poisso por ua Noral Sea ua variable aleatoria discreta que se distribuye coo ua Poisso de paráetro ( λ ), se deuestra que cuado λ es uy grade, se puede aproxiar por edio de ua distribució oral, coo ocurría ateriorete. Así, si P(λ) y La codició es que se verifique λ > 6. λ etoces N ( μ λ; σ λ ) Correcció por cotiuidad Es evidete que e ua distribució Bioial o Poisso, que so variables discretas, cuado se aproxia por ua Noral, que es ua variable cotiua, surge u problea e el cálculo de deteriadas probabilidades. Así, la probabilidad de que este etre dos valores, Ρ ( a b), o tiee por qué ser igual a Ρ ( a < < b) e el caso discreto. E la distribució oral, por el cotrario, estas probabilidades coicide. Para solucioar este problea cuado aproxiaos ua variable aleatoria discreta por ua cotiua y se desea que la aproxiació de la probabilidad sea lo ás adecuada posible, tedreos que evitar este problea. E ua distribució cotiua, la probabilidad de que la variable toe algú valor copredido etre dos cosiderados coo cosecutivos es cero, de odo que toda la regió copredida etre ellos o tiee asigada igua probabilidad. Si quereos cotiuidad e todos los putos, parece lógico repartir la probabilidad asigada a x i, a toda la regió ás cercaa a x i ; la probabilidad asigada a x i+, a toda la regió ás cercaa a x i+, etc...esto os coduce al gráfico (histograa) siguiete:

12 3_Aputes de Estadística II 44 AreaP[x i ] x - x i x + Los valores que adopta ua Bioial o Poisso, so eteros positivos (0,,,..., k..). Cualquier rectágulo cetrado e u valor k, será de la fora: k-/, k+/; de aera que deteriar la probabilidad de P(x) e ua Bioial o Poisso, será equivalete a deteriar la probabilidad e el itervalo (x-0.5; x+0.5) utilizado la fució de distribució de la oral. Por tato, para calcular la P(x i ) se adopta el criterio de calcular: ( 0,5 < < x + 0,5) Ρ x. i i