REGÍMENES FINANCIEROS

Transcripción

1 EGÍMEES FIAIEOS are Badía, Hortèsia Fotaals, Merche Galisteo, José Mª Lecia, Mª Agels Pos, Teresa Preixes, Dídac aírez, F. Javier Sarrasí y Aa Mª Sucarrats DEPATAMETO DE MATEMÁTIA EOÓMIA, FIAIEA Y ATUAIAL Divisió de iecias Jurídicas, Ecoóicas y Sociales Uiversidad de Barceloa

2 egíees Fiacieros 2. EGÍMEES FIAIEOS 2.. DEFIIIÓ Y LASIFIAIÓ Las operacioes de fiaciació se lleva a cabo e el ercado fiaciero y está sujetas a sus codicioes de equilibrio. El ercado fiaciero se sirve de foras propias para defiir sus equilibrios, que se cooce coo regíees fiacieros. U régie fiaciero es la expresió foral del cojuto de pactos o acuerdos que rige ua operació de fiaciació e el ercado fiaciero. Estos acuerdos hace referecia al precio, a la cuatía sobre la que se calcula el precio y al oeto de pago. Los regíees fiacieros se puede clasificar segú diferetes criterios. Atediedo a su cotrastació epírica co las leyes fiacieras teóricas, los regíees fiacieros se puede dividir e dos grades grupos: a. egíees fiacieros prácticos. Se caracteriza por utilizar expresioes secillas pero que preseta alguas liitacioes que debe teerse e cueta e su aplicació práctica, para evitarlas suele aplicarse e operacioes de plazo iferior o igual a u año. E este grupo se icluye: a.. égie fiaciero de iterés siple vecido. Foralete coicide co el llaado régie de descueto ateático o racioal. a.2. égie fiaciero de descueto siple coercial. Foralete coicide co el llaado régie fiaciero de iterés siple aticipado. b. egíees fiacieros racioales. Estos regíees cuple todas las propiedades que desde el puto de vista teórico se exige a la equivalecia fiaciera. Por este otivo se puede aplicar e la práctica si igú tipo de liitació. Detro de este grupo se distigue:

3 2 Itroducció a la Mateática Fiaciera b.. égie fiaciero de iterés copuesto b.2. égie fiaciero de descueto copuesto E el estudio de los regíees fiacieros se va a cosiderar ua operació de fiaciació eleetal: dode: ( ) ( ),T,T co T > T (,T ) es el capital iicial de cuatía uidades oetarias, que se hace efectiva e el diferiieto T, expresado e años. (,T ) es el capital fial de cuatía uidades oetarias que se hace efectiva e el diferiieto T, expresado e años. t = T T > 0 es el plazo de la operació ÉGIME FIAIEO DE ITEÉS SIMPLE VEIDO Los pactos que caracteriza al régie fiaciero de iterés siple vecido so: a. El precio o iterés total se paga al fial de la operació cojutaete co la devolució de la cuatía iicial. b. El precio o iterés total es proporcioal a la cuatía iicial y al plazo de la operació y se calcula e base a ua costate de proporcioalidad, i, que es el tato oial de iterés. Sea: : uatía iicial : uatía fial Y : Iterés total i : Tato oial de iterés (tato aual). t = T T: Plazo de la operació, expresado e años.

4 egíees Fiacieros 3 El esquea de la operació es: = + Y T T Teiedo e cueta los ateriores pactos resulta: Y = i t = + Y = + i t ( ) = + i t El tato oial de iterés es u precio uitario respecto a la cuatía iicial y edio respecto al plazo, esto es, es u tato aual, de odo que el plazo de la operació debe expresarse e años. La relació que caracteriza el régie fiaciero de iterés siple vecido, = ( + i t), o cuple las propiedades siétrica y trasitiva de la equivalecia fiaciera. Esto tiee coo cosecuecia que el factor fiaciero epírico que se deduce de este régie o verifica las propiedades de reciprocidad i de escidibilidad que se ha visto e el capítulo aterior para el factor fiaciero teórico El factor fiaciero epírico que se deduce de este régie es: ( + ) * * i t f ( T,T ) = f ( t) = = = + i t Se trata de ua fució lieal, cuya represetació gráfica es:

5 4 Itroducció a la Mateática Fiaciera f *(t) +i t t A partir de la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés siple vecido, se deduce: = ( + i t) ( ) = + i t i = t t = i El régie fiaciero de iterés siple vecido tabié se deoia régie fiaciero de descueto ateático o racioal cuado se cetra el aálisis e la figura del sujeto pasivo. Las expresioes a utilizar so las isas, úicaete se sustituye el tato oial de iterés, i, por el tato oial de descueto, d. Ejeplo alcular la cuatía fial que se obtiee de ua iposició de colocados al 5% aual e iterés siple vecido durate eses. Los datos del ejeplo so: = i = 0,05 t = /2 años El esquea de la operació es:

6 egíees Fiacieros = + Y 0 /2 años Aplicado directaete la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés siple vecido se obtiee: = ( + i t) = ,05 = ÉGIME FIAIEO DE DESUETO OMEIAL Los pactos que caracteriza el régie fiaciero de descueto coercial so: a. El precio o descueto total se hace efectivo al iicio de la operació. b. El precio o descueto total es proporcioal a la cuatía fial y al plazo de la operació y se calcula e base a ua costate de proporcioalidad, d, que es el tato oial de descueto. Sea: : uatía iicial, líquido o valor descotado. : uatía fial o oial. D : Descueto total. d: Tato oial de descueto (tato aual). t = T T: Plazo de la operació, expresado e años. El esquea de la operació es: = D T T

7 6 Itroducció a la Mateática Fiaciera Teiedo e cueta los ateriores pactos resulta: D = d t = D = d t ( ) = d t El tato oial de descueto es u precio uitario respecto a la cuatía fial y edio respecto al plazo, esto es, es u tato aual, de odo que el plazo de la operació debe expresarse e años. Igual que e el régie fiaciero de iterés siple vecido, la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto coercial, ( d t) =, o cuple las propiedades siétrica y trasitiva de la equivalecia fiaciera, lo que tiee coo cosecuecia que el factor fiaciero epírico que se deduce de este régie o verifica i la propiedad de reciprocidad i la de escidibilidad del factor fiaciero teórico. El factor fiaciero epírico del régie de descueto coercial es: ( ) ( ) f* T,T f* t = = = = = d t d t d t ( ) ( ) Esta fució es ua hipérbola equilátera cuya represetació gráfica es: f*(t) t t=/d

8 egíees Fiacieros 7 Dado que el factor fiaciero o puede ser egativo, la aplicabilidad de este régie queda liitada a operacioes cuyo plazo verifique: 0 t < d A partir de la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto coercial, se deduce: ( ) = d t ( ) = d t d = ' t t = d El régie fiaciero de descueto coercial tabié se deoia régie fiaciero de iterés siple aticipado cuado se cetra el aálisis e la figura del sujeto activo. Las expresioes a utilizar so las isas, úicaete se sustituye el tato oial de descueto, d, por el tato oial de iterés, i. Ejeplo alcular el líquido resultate del descueto de u efecto coercial de oial 4.000, que vece detro de ueve eses, y que se descueta al 6% aual e descueto coercial. Los datos del ejeplo so: =4.000 d= 0,06 t = 9/2 años

9 8 Itroducció a la Mateática Fiaciera El esquea de la operació es: 0 = - D /2 años Aplicado directaete la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto coercial se obtiee: 9 = ' ( d t) = ,06 = Tatos de iterés siple vecido y de descueto coercial equivaletes Dada la equivalecia: (,T) ( ',T ') si la operació se pacta e régie fiaciero de iterés siple vecido resulta: = ( + i t) Por otra parte, si esta isa operació se pacta e régie fiaciero de descueto coercial resulta: o lo que es lo iso, ( ) = d t = ( d t) oo la cuatía fial, la cuatía iicial y el plazo de la operació so los isos, para que se verifique siultáeaete:

10 egíees Fiacieros 9 ( ) = + i t = ( d t) debe cuplirse: ( + i t) = ( d t) de dode, o bie, d i = d t i d i t = + A los tatos i y d se les deoia tatos equivaletes y se siboliza por: i d abe destacar la depedecia del plazo de la operació de los tatos equivaletes. Ejeplo E el prier ejeplo se ha obteido ua cuatía fial de coo resultado de colocar e ua cueta al 5% aual de iterés siple vecido, durate eses. El tato aual de descueto coercial aual equivalete al 5% aual de iterés siple vecido es: 0,05 d = 0, = + 0,05 2 El saldo fial que se obtiee es el iso tato si se aplica u 5% aual de iterés siple vecido coo si se aplica u 4,7808% aual de descueto coercial, ya que i = 0,05 d = 0,047808, esto es, si se aplica el tato de descueto coercial resulta: = ( d t) = , =

11 0 Itroducció a la Mateática Fiaciera 2.4. ÉGIME FIAIEO DE ITEÉS OMPUESTO A TATO OSTATE Y VEIDO Los pactos que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto a tato costate y vecido so: a. El precio o iterés total se paga al fial de la operació cojutaete co la devolució de la cuatía iicial. b. El plazo total de la operació se divide e periodos de capitalizació y el precio se calcula e cada periodo aplicado ua costate de proporcioalidad, i, que es el tato oial de iterés, a la cuatía acuulada al iicio del periodo cosiderado y a la extesió del iso. Sea: : uatía iicial r : uatía acuulada al fial del periodo r ( r,2,...,) i : Tato oial de iterés, (tato aual). t = T' T: Plazo de la operació, expresado e años. p : Periodo de capitalizació, expresado e años. =, siedo = '. : Frecuecia de capitalizació. Es el úero de periodos de capitalizació e u año. Se cuple que =. p : úero de periodos de capitalizació e que se divide el plazo de la operació. Se t cuple que = = t. p El esquea teporal correspodiete a este régie es: = T T+p T+2p T+3p... T+(-)p T =T+p y la evolució de la cuatía periodo a periodo:

12 egíees Fiacieros DIFEIMIETO UATÍA T T+ p = + i p = (+ i p) T+ 2p = + i p = (+ i p) = (+ i p) 2 T+ 3p = + i p = (+ i p) = (+ i p) T = T + p = + i p = (+ i p) = (+ i p) 2 3 La relació etre la cuatía fial y la cuatía iicial e el régie fiaciero de iterés copuesto a tato costate y vecido es: o bie, = (+ i p) t p = (+ i p) = (+ i p) t Esta ecuació cuple todas las propiedades de la equivalecia fiaciera, lo que iplica que el factor fiaciero epírico que se deduce de este régie verifica a su vez todas las propiedades del factor fiaciero teórico, siedo su expresió: ( + ) t * * i p f ( T,T ) = f ( t) = = = + i p ( ) t Se trata de ua fució expoecial cuya represetació gráfica es: f*(t) (+i p) t t

13 2 Itroducció a la Mateática Fiaciera A partir de la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto a tato costate, se deduce: = ( + i p) t ( ) t = + i p t i = p ( ) ( + i p) l t = l Ejeplo Se deposita e ua cueta durate 4 años, bajo régie fiaciero de iterés copuesto a tato costate del 3% aual capitalizable esualete. Hallar el saldo fial. Los datos del ejeplo so: = i = 0,03 p = = 2 2 t = 4 años = t = 48 eses El esquea de la operació es: = 48 0 /2 2/2 3/ /2 4 años

14 egíees Fiacieros 3 Aplicado directaete la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto a tato costate y vecido se obtiee: = ( + i p) = ,03 = 33.89,84 2 t Tatos de iterés: tato oial y tato efectivo Tato oial de iterés El tato oial de iterés, que aparece e la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto, t = (+ i p), es u precio uitario respecto a la cuatía iicial de cada periodo y edio respecto al periodo. Es u tato aual auque su frecuecia de capitalizació puede ser distita a la aual. Para poer de aifiesto dicha frecuecia el tato oial de iterés se siboliza por i. Ejeplo i 2 : Tato oial capitalizable esualete. i 4 : Tato oial capitalizable triestralete. Tato efectivo de iterés Teiedo e cueta que p =, la relació etre cuatías: t = (+ i p) puede escribirse tabié coo: t t i = ( + i p) = + Se deoia tato efectivo de iterés co frecuecia de capitalizació, y se siboliza por I, al cociete etre el tato oial de iterés y su frecuecia de capitalizació:

15 4 Itroducció a la Mateática Fiaciera I i = El tato efectivo de iterés, I, está referido al periodo de capitalizació. Es u precio uitario respecto la cuatía iicial de cada periodo y total respecto al periodo. E fució del tato efectivo de iterés, la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto es: t = + = + ( I ) ( I ) Ejeplo Si i 2 = 0,03 es el tato oial de iterés aual capitalizable esualete, el tato efectivo 0,03 esual es I2 = = 0, Tatos efectivos de iterés equivaletes Dados dos capitales fiacieros equivaletes: (,T) (,T ) Si la operació se pacta e régie fiaciero de iterés copuesto al tato I resulta: = (+ I ) t Si esta isa operació se pacta al tato, I, se tiee: t = (+ I ) de odo que:

16 egíees Fiacieros 5 ( ) t = + I ' t = ( + I' ) de lo que resulta: siedo, (+ I ) = (+ I ) I = (+ I ) Los tatos efectivos de iterés, I y I, recibe el obre de tatos efectivos de iterés equivaletes, y se siboliza por: I I Ejeplo Dado el tato efectivo triestral de iterés, I 4 = 0,02, hallar el tato efectivo de iterés aual equivalete, I. Para hallar I I 4 = 0,02 se debe aplicar la siguiete fórula: I = (+ I ) para el caso particular que = y = 4, esto es: 4 ( ) ( ) I = + I = + 0,02 = 0, I4 = 0,02 I = 0,04887

17 6 Itroducció a la Mateática Fiaciera 2.5. ÉGIME FIAIEO DE ITEÉS OMPUESTO A TATO VAIABLE Y VEIDO La úica diferecia etre este régie y el aterior es que el tato oial de iterés puede ser distito e cada uo de los periodos de capitalizació cosiderados, i ( s) s =, 2,...,. El esquea de la operació es e este caso: = T T+p T+2p T+3p... T+(-)p T =T+p () i ( 2) i ( 3) i ( ) i y la evolució de la cuatía iicial: DIFEIMIETO T UATÍA () () T+ p = + i p = (+ i p) ( ) ( 2) ( 2) ( ) ( 2) T+ 2p = + i p = (+ i p) = (+ i p) + i p 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( 2) 3 T+ 3p = + i p = (+ i p) = (+ i p) + i p + i p ( ) ( ) T ( s) = T+ p = + i p = (+ i p) = + i p s= ( ) La relació etre la cuatía fial y la cuatía iicial e el régie de iterés copuesto a tato variable es: ( s) = ( + i p) s=

18 egíees Fiacieros 7 y el factor epírico que se deduce de este régie: ( s) ( + i p) s= ( s) f* ( T,T' ) = = = + i p s= ( ) Teiedo e cueta que: ( s) ( s) i p = I la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto a tato variable se puede expresar tabié: ( s) = ( + I ) s= Ejeplo alcular la cuatía fial resultate de la iposició de durate 4 años, bajo régie fiaciero de iterés copuesto a tato variable, si el tato oial de iterés aplicado se capitaliza esualete y para los dos prieros años es del 2,5%, para el siguiete año y edio es del 2% y para el resto del plazo del 3%. Los datos del ejeplo so: = t = 4 años p = = 2 2 = t = 48 eses ' ' i2 i2 = 0,025 I2 = = 0, '' '' i2 i2 = 0,02 I2 = = 0, ''' ''' i2 i2 = 0,03 I2 = = 0, '' ''' '

19 8 Itroducció a la Mateática Fiaciera El esquea de la operació es: /2 2/ /2 25/ /2 43/ años ' '' ''' i = 0,025 i = 0,02 i = 0, ' 2 I = 0, '' 2 I = 0,00667 ''' 2 I = 0,0025 Aplicado la expresió que caracteriza al régie fiaciero de iterés copuesto a tato variable, se obtiee: ( ) ( s) ( s) ( s) = ( + i p) = i2 = I2 = s= s= 2 s= ( ) ( ) ( ) = , , ,0025 = = 3.433, ÉGIME FIAIEO DE DESUETO OMPUESTO A TATO OSTATE Los pactos que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto a tato costate so: a. El precio o descueto total se paga al iicio de la operació. b. El plazo total de la operació se divide e periodos de capitalizació, y el precio se calcula e cada periodo aplicado ua costate de proporcioalidad, d, que es el tato oial de descueto, a la cuatía dispoible al fial del periodo cosiderado y a la extesió del iso. E este régie, la cuatía dispoible se va reduciedo periódicaete coo cosecuecia de la deducció del precio correspodiete a cada periodo. El esquea teporal correspodiete a este régie es:

20 egíees Fiacieros = T T+p... T+(-3)p T+(-2)p T+(-)p T =T+p Partiedo de T, la evolució de la cuatía, periodo a periodo es: DIFEIMIETO UATÍA T = T+ p = T + ( )p = ' d ' p = ' ( d p) T + ( 2)p = d p = ( d p) = ' ( d p) 2 T + ( 3)p = d p = ( d p) = ' ( d p) T+ p = d p = ( d p) = ' ( d p) T = d p = ( d p) = ' ( d p) 2 3 siedo la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto: o bie, ( ) = d p t p = ( d p) = ( d p) t Esta ecuació cuple todas las propiedades de la equivalecia fiaciera, lo que iplica que el factor fiaciero epírico que se deduce de este régie verifica a su vez todas las propiedades del factor fiaciero teórico, siedo su expresió: f* ( T,T ) = f* ( t) = = = = d p t d p d p t ( ) ( ) ( ) t Se trata de ua fució expoecial, coo la del factor fiaciero del iterés copuesto, cuya represetació gráfica es:

21 20 Itroducció a la Mateática Fiaciera f*(t) (-d p) - t t A partir de la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto, se deduce: ( ) t = d p = ( d p) t d = p t l t = l ( d t) Ejeplo alcular el valor descotado de u efecto coercial de oial que vece detro de u año y edio, si se descueta e régie fiaciero de descueto copuesto a tato costate al 4,5% aual co periodificació seestral. Los datos del ejeplo so: = d = 0,045 p = = 2 2 t =,5 años = t = 3 seestres

22 egíees Fiacieros 2 El esquea de la operació es: 2 = 3 = /2,5 años Aplicado la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto se obtiee: = ( d p) = ,045 = 8.680, Tatos de descueto: tato oial y tato efectivo Tato oial de descueto El tato oial de descueto, que aparece e la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto, t = ( d p), es u precio uitario respecto a la cuatía fial de cada periodo y edio respecto al periodo. Es u tato aual auque su frecuecia de descueto o tiee porqué ser aual. Igual que e el régie fiaciero de iterés copuesto, para poer de aifiesto la frecuecia de descueto, el tato oial de descueto, se siboliza por d. Tato efectivo de descueto Teiedo e cueta que p = la relació etre cuatías: puede escribirse tabié coo: = ( d p) t t t d = ( d p) =

23 22 Itroducció a la Mateática Fiaciera Se deoia tato efectivo de descueto co frecuecia de descueto, y se siboliza por D, al cociete etre el tato oial de descueto y su frecuecia de descueto: d = = D d p El tato efectivo de descueto, D, está referido al periodo de descueto. Es u precio uitario respecto a la cuatía fial de cada periodo y total respecto al periodo. E fució del tato efectivo de descueto, la expresió que caracteriza al régie fiaciero de descueto copuesto es: t = ( D ) = ( D ) Ejeplo Si d6 = 0,5 es el tato oial de descueto co periodificació biestral, el tato efectivo de descueto biestral es: d = =. 6 6 D6 0, Tatos efectivos de descueto equivaletes Dados dos capitales fiacieros equivaletes: (,T) (,T ) Si la operació se pacta e descueto copuesto al tato D, resulta: t = ( D ) Si esta isa operació se pacta al tato D, se tiee:

24 egíees Fiacieros 23 de odo que: = ( D ) ( ) t t = D ' t = ( D' ) de lo que resulta: siedo, ( D ) = ( D ) D = ( D ) Los tatos efectivos de descueto, D y D descueto equivaletes y se siboliza por:, recibe el obre de tatos efectivos de D D Ejeplo Hallar el tato efectivo de descueto seestral, D 2, equivalete al tato efectivo de descueto aual, D = 0,07. Para hallar D 2 D = 0,07 se debe aplicar la siguiete fórula: D = ( D ) para el caso particular que = 2 y =, esto es, ( ) 2 ( ) 2 D = D = 0,07 = 0,

25 24 Itroducció a la Mateática Fiaciera Tatos efectivos de iterés y de descueto equivaletes Dados dos capitales fiacieros equivaletes: (,T) (,T ) Si la operació se pacta e régie fiaciero de iterés copuesto al tato I resulta: = (+ I ) t Si esta isa operació se pacta e régie fiaciero de descueto copuesto al tato efectivo D, se tiee: o lo que es lo iso, de odo que: = ( D ) t ( ) ' t = D ( ) ' t = + I ' t = ( D' ) de lo que resulta: de dode, o bie, ( ) + I = ( D ) I = ( D ) ( ) D = + I Los tatos efectivos de iterés y de descueto, I y D, recibe el obre de tatos efectivos de iterés y de descueto equivaletes y se siboliza por: I D

26 egíees Fiacieros 25 Ejeplo Hallar el tato efectivo de iterés triestral, I 4, equivalete al tato efectivo de descueto aual, D = 0,06. Para hallar I 4 D = 0,06 se debe aplicar la siguiete fórula: I = ( D ) para el caso particular que = 4 y =, esto es, ( ) I = D = ( 0,06) = 0, EGÍMEES FIAIEOS IDIZADOS Itroducció Todos los regíees fiacieros que se ha estudiado hasta este puto del teario o cosidera explícitaete la iflació. Si ebargo, la iflació existe detro del cotexto ecoóico dode se desarrolla las operacioes fiacieras y, por lo tato, afecta a los ercados fiacieros auque o se la explicite de ua fora cocreta. De hecho, o coteplar la iflació de fora explícita detro de la operació fiaciera, sigifica aceptar que el precio de la isa o icluye úicaete el iterés, sio que parte del precio escode la iflació. Expresado de fora ás secilla, dado que la iflació existe al arge de los cálculos que se realiza para aalizar ua operació fiaciera, cuado o se cosidera explícitaete, la iflació desvirtúa el cálculo del precio total de la operació, porque o se puede precisar qué parte del precio correspode al iterés y qué parte recoge el creciieto geeral de precios de la ecooía. Sea ua operació fiaciera eleetal defiida e el esquea siguiete, dode f(t,t') es el factor fiaciero que recoge el iterés y la iflació y (T,T ') u factor corrector oetario que icorpora úicaete la iflació:

27 26 Itroducció a la Mateática Fiaciera f(t,t ) T T (T,T ) El siguiete ejeplo es ua aplicació de los regíees fiacieros si explicitar la iflació, es decir, tal coo se utiliza hasta este puto del teario. Ejeplo Hallar la cuatía fial a partir de ua cuatía iicial de 00 co u factor fiaciero de,0. Datos: = 00 f(t,t') =,0 Se obtiee ua cuatía fial de: ' = f(t,t ') = 00,0= 0 Se sabe que la cuatía fial se copoe de la cuatía iicial y de los itereses de la operació: ' = + Y si ' = 0 y = 00, etoces Y= 0. Apareteete el iterés de la operació asciede a 0, pero e realidad, el iterés de la operació o es de 0, ya que ua parte correspode al creciieto atural de precios. Si la iflació acuulada durate el plazo (T,T ')es del 4%, el factor corrector oetario es

28 egíees Fiacieros 27 (T,T ') =,04 y se puede ver qué parte del iterés correspode a la iflació. La coposició real de ' es: siedo: * ' = + Y' * : uatía iicial corregida por la iflació, es decir, expresada e uidades oetarias del oeto T '. Y ' : Iterés resultate después de cosiderar la iflació. E el ejeplo: ' = 0 * = 00,04 = 04 Y' = 6 El iterés calculado iicialete, Y= 0, queda reducido a Y ' = 6 ya que los 4 restates correspode a la iflació. Existe dos foras de cosiderar la iflació, de fora iplícita e el tipo de iterés, que es la que recoge el ejeplo aterior, y de fora explícita cosiderádola a parte del tipo de iterés de la operació. uado se cosidera la iflació al arge del tipo de iterés se habla de régie fiaciero idizado. Para ello, es preciso defiir el factor que recoge la iflació, el factor corrector oetario. Para ua operació fiaciera eleetal y para u plazo (T,T ') se defie: (T,T ') : Factor corrector oetario que recoge la iflació acuulada detro del plazo de T a T '. (T,T ') = +δ δ : Tasa de iflació e tato uitario asociada al plazo (T,T '). f (T,T ') : Factor fiaciero real que recoge estrictaete la acuulació fiaciera del

29 28 Itroducció a la Mateática Fiaciera capital. Este factor úicaete cotepla el aspecto fiaciero, o el creciieto de precios que queda explícito a través de (T,T '). f (T,T ') : Factor fiaciero oial o idizado que recoge el aspecto fiaciero y el corrector oetario. Este factor f (T,T ') recoge la iforació que se atribuye al factor fiaciero siepre que o se explicite la iflació separadaete, es decir, si o se utiliza u régie fiaciero idizado Factor corrector oetario Se defie (T,T ') coo u factor corrector oetario que recoge la iflació acuulada detro del plazo(t,t '): (T,T ') = +δ oralete se cuatifica ediate u ídice de precios. Es deseable que el factor corrector oetario cupla las isas propiedades que el factor fiaciero. Esto perite ua ayor siplicidad del ídice y facilita las expresioes ateáticas a utilizar. Las propiedades del factor fiaciero aplicadas al factor corrector oetario so: Positividad (T,T ') > 0 elació etre T y T (T,T ') segú si T ' T Existecia del recíproco (T,T ') (T ',T) =

30 egíees Fiacieros 29 Propiedad circular (T,T ) (T,T ) (T,T ) (T,T ') = (T,T ') reciieto del factor respecto a T ' y decreciieto respecto a T T' (T,T ') > 0 T (T,T ') < 0 Aplicado las ateriores propiedades, si la iflació viee dada por periodos p, etoces: T T+ p T+ 2p... T + (s )p T+ sp... T + ( )p T' = T+ p () δ (2) δ (s) δ () δ Si δ (s) es la tasa de iflació asociada al periodo s, etoces: de dode se deduce que: (T + (s )p,t + sp) = +δ (s) s = s = (s) ( ) (T,T ') = (T + (s )p,t + sp) = +δ Siedo δ la tasa de iflació acuulada e todo el plazo: s = Ejeplo Dada la iflació de los tres últios triestres: () 4 δ = 0,0085 (2) 4 δ = 0,009 (3) 4 δ = 0,0087 (s) δ= ( +δ ) alcular la iflació acuulada e los últios 9 eses.

31 30 Itroducció a la Mateática Fiaciera triestres 0,0085 0,009 0, s = (s) ( 4 ) [ ] δ= +δ = (+ 0,0085) (+ 0,009) (+ 0,0087) = 0,0265 Por lo tato,,0265 es el factor corrector oetario para 9 eses. Si la iflació es costate, el cálculo se siplifica. Ejeplo Si la iflació esual costate es del 0,0032, calcular la iflació acuulada e seestre. δ = 2 0,0032 Para seestre: 6 δ= ( +δ ) = 0,093 2 A cotiuació se estudia los regíees idizados que icorpora la iflació explícitaete separado el factor fiaciero real y el factor corrector oetario. Se realiza el estudio del régie fiaciero de iterés siple y del régie de iterés copuesto a tato costate égie idizado de iterés siple vecido E este apartado se obtiee las expresioes ateáticas a utilizar e operacioes co régie de iterés siple cuado se icluye el factor de correcció oetaria e el cálculo. La fora ás ituitiva de icorporar la iflació detro de la operació fiaciera, es realizar la correcció de la cuatía fial ediate el factor corrector oetario.

32 egíees Fiacieros 3 Sea: '* : uatía del capital fiaciero (',T ') corregida por la iflació. '* * * = ' (T,T ') = (+ Y) (T,T ') = (T,T ') + Y (T,T ') = + Y * : uatía del capital fiaciero (,T) corregida por la iflació. * = (T,T') * Y : Iterés de la operació (Y= ' ) corregido por la iflació. * '* * Y = Y (T,T ') = (' ) (T,T ') = ' (T,T ') (T,T ') = De las relacioes ateriores se desprede que si se aplica ua correcció sobre la cuatía fial se está corrigiedo la cuatía y los itereses cojutaete: '* * * = + Y siedo * = (T,T') * Y = Y(T,T') = (' )(T,T') = f (T,T') (T,T') f (T,T') = (T,T') Así se coprueba que la correcció total de cuatía e itereses iplica la utilizació del factor fiaciero oial f (T,T '), tal que: ya que, '* = f (T,T') = (T,T') + f (T,T') (T,T') = (T,T') + f (T,T')(T,T') (T,T') = '* = f (T,T')(T,T') = f (T,T')

33 32 Itroducció a la Mateática Fiaciera Por lo tato, el factor fiaciero oial viee dado por el producto de: f (T,T ') = f (T,T ') (T,T ') Si e esta igualdad se tiee e cueta que: T' T= t f (T,T') =+ i (T' T) siedo i u tipo de iterés real, se obtiee que: f (T,T ') = f (T,T ') (T,T ') ( ) ( ) ( ) f (t) = + i t +δ = +δ+ i t+δ i t E la expresió del factor oial se puede ver cuatro térios que recoge, respectivaete: reproduce la cuatía de la operació. δ recoge la iflació sobre la cuatía para todo el plazo. i t recoge el iterés de la operació. δ i t recoge la correcció iflacioaria del iterés. i t δ δ i t T T f (T,T')

34 egíees Fiacieros 33 Ejeplo = 00 f (T,T') =,06 (T,T ') =,04 '* = f (T,T ') (T,T ') = 00,06,04= 0,24 Se coprueba que a pesar de que los factores fiaciero f (T,T ') y oetario (T,T ') coicide co los del ejeplo de la itroducció, el resultado '* = 0,24 difiere e 0,24 del obteido ateriorete. La diferecia está e la correcció oetaria sobre el iterés (Y) que aparece recogido e el cuarto tério de la expresió aterior ( δ ) i t. Si se cosidera correcció úicaete de la cuatía iicial,, etoces corregida parcialete (sólo se corrige la cuatía iicial, o se corrige el iterés). '* es la cuatía fial E el ejeplo * = 00,04= 04 '* * = + Y Y= ' = 00,06 00= 6 '* * = + Y= 04+ 6= 0 resultado que coicide co el obteido e el ejeplo aterior. Mateáticaete, si o se corrige el iterés, la cuatía fial corregida '* se obtiee de: '* * = + Y= (T,T ') + f (T,T ') = (T,T ') + f (T,T ') Efectivaete, e el ejeplo, '* [ ] = 00,04+,06 = 0

35 34 Itroducció a la Mateática Fiaciera Teiedo e cueta que el factor fiaciero de iterés siple vecido es: f (t) = + i t el factor fiaciero oial obteido de la correcció de cuatía iicial f (T,T ') es: f (T,T ') = (T,T ') + f (T,T ') f (T,T') =+δ++ i =+δ+ t i t Al coparar este factor co el de idizació total, previaete obteido, se coprueba que ha desaparecido el tério correspodiete a la correcció iflacioaria del iterés. E este factor aparece tres térios: reproduce la cuatía de la operació. f (t) = +δ+ i t δ recoge la iflació sobre la cuatía para todo el plazo. i t recoge el iterés de la operació. i t δ T T f (T,T')

36 egíees Fiacieros égie idizado de iterés copuesto Tal coo ya se ha idicado, las expresioes ateáticas del apartado aterior sólo so útiles si se utiliza régie fiaciero de iterés siple. E este apartado se aaliza la probleática del régie de iterés copuesto a tato costate cuado se desea separar el efecto iflacioario del factor fiaciero aplicado. Se cosidera el siguiete esquea: T T+ p T+ 2p... T + (s )p T+ sp... T + ( )p T' = T+ p () δ (2) δ (s) δ () δ dode se refleja la iflació periodo a periodo. E geeral, para todo el plazo: y cosiderado u periodo s, s = (s) ( ) (T,T ') = +δ T+(s-)p T+sp (s) δ (s) +δ = (T + (s )p,t + sp) Se aaliza, e prier lugar, el efecto de ua correcció total de cuatía e iterés. El factor fiaciero oial co correcció total obteido e el régie fiaciero de iterés siple vecido para todo el plazo, es aplicable a u periodo de capitalizació e el régie fiaciero de iterés copuesto

37 36 Itroducció a la Mateática Fiaciera f (T + (s )p,t + sp) = f (T + (s )p,t + sp) (T + (s )p,t + sp) Aplicado la escidibilidad, s = s = f (T,T') = f (T + (s )p,t + sp) = = f (T + (s )p,t+ sp)(t + (s )p,t+ sp) = = f (T,T')(T,T') Por lo tato, la cuatía fial co correcció total se obtiee de: '* = f (T,T')(T,T') sustituyedo cada factor por su expresió correspodiete: i t/p ( ) ( ) ( ) '* (s) (s) s = s = = + i p +δ = + i p +δ = s = (s) (s) ( ) = + i p+δ + i p δ p= I, tato de iterés efectivo real por periodo. ( ) '* (s) (s) = + I +δ + I δ s = Si se aaliza cada tério del factor, se tiee: represeta la cuatía. I tipo de iterés real efectivo utilizado que recoge el precio fiaciero. (s) δ tasa de iflació por periodo que realiza la correcció oetaria de la cuatía. I δ (s) producto que añade la correcció oetaria del iterés. Este últio tério ( I δ (s) ) es el ás discutible. Parece ás lógico corregir úicaete el iterés que se haya acuulado hasta el iicio del periodo, y o el iterés devegado durate