1º Bachillerato Capítulo 7: Probabilidad

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1 Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I: 1º Bachillerato Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

2 277 Probabilidad 1. PROBABILIDAD Ídice 1.1. INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD 1.2. ÁLGEBRA DE SUCESOS 1.3. ASIGNACIÓN DE PROBABILIDADES 1.4. TABLAS DE CONTINGENCIA Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL 1.5. TEOREMA DE BAYES 2. COMBINATORIA 2.1. PERMUTACIONES U ORDENACIONES DE UN CONJUNTO 2.2. VARIACIONES CON REPETICIÓN 2.3. VARIACIONES SIN REPETICIÓN 2.4. COMBINACIONES 2.5. NÚMEROS COMBINATORIOS 2.6. BINOMIO DE NEWTON 2.7. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 2.8. APLICACIÓN DE LA COMBINATORIA AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES Resue Todos los días estaos obligados a calcular probabilidades, auque sea de odo ituitivo: gaará la liga i equipo favorito?, lloverá añaa?, le gustaré a esa persoa especial que hay e clase?, e dará ua beca? Siepre, e la televisió o e los periódicos, se usa la Probabilidad y se utiliza cotiuaete e todas las Ciecias, icluso e Medicia, Psicología Para apreder a cotar, sí, cotar, estudiareos Cobiatoria, que luego os ayudará a cotar los sucesos posibles y los favorables para calcular probabilidades. Coo ya has estudiado Estadística y Probabilidad e ESO y el curso pasado, vaos a coezar este capítulo co ejercicios de itroducció que sirva para repasar los coceptos, pero teriareos aprediedo cosas uevas, coo el Teorea de Bayes y las distribucioes de probabilidad que os ayudará a hacer iferecia estadística. El Teorea de Bayes os va servir para resolver probleas coo: Cooceos la probabilidad de que u efero que tiee hepatitis esté algo aarillo, calcula la probabilidad de que alguie que esté algo aarillo, tega hepatitis. E el próxio capítulo estudiareos la iferecia estadística, itervalos de cofiaza y cotraste de hipótesis. Se utilizará para, de los datos que os suiistra ua uestra, ser capaces de iducir coclusioes sobre la població. Por ejeplo: Pregutaos a ua uestra a qué partido político tiee iteció de voto, e iducios el partido que gaará las eleccioes. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

3 278 Probabilidad 1. PROBABILIDAD 1.1. Itroducció a la Probabilidad Actividad de itroducció U uevo jugador para i equipo Coo todos podéis observar, i físico e ha hecho u porteto del balocesto. Mi equipo o e quiere por i altura, sio porque hago ateáticas. El caso es que e ha ecargado la difícil tarea de elegir u jugador para el próxio año, y o sé cóo epezar. Me ha adado uas cosas que o sé uy bie qué sigifica. Me podéis ayudar? Esto es lo que e ha adado: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Co It Co It Co It José Hierro Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Washigto Cucurto Priero vaos a itetar descifrar qué es cada cosa: Qué sigifica Co? Qué sigifica It? o Co: so tiros coseguidos o It: so tiros itetados Ahora, lo siguiete que teeos que hacer, es saber qué jugador quereos fichar: Qué tiee que teer uestro jugador para que lo ficheos? Ua priera clasificació la podríaos hacer co los putos logrados. Es u cálculo fácil, o? Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Washigto Cucurto Me surge uevas pregutas co la ueva colua de Putos Totales: Qué sigifica Putos Totales Coseguidos? Qué sigifica Putos Totales Itetados? Me sirve de algo saber los Putos Totales Itetados? Es ejor presetar los obres e ese orde o es preferible otro? 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

4 279 Probabilidad Yo creo que si los ordeaos, veos ás claraete las cosas: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero Esta es ua actividad adecuada para desarrollar e el aula e grupo, discutiedo sobre la iforació que aparece. Las pregutas va ecaiadas a valorar la utilidad de la iforació, si e está diciedo algo o o. Aquí los aluos ya estará decidiedo qué jugador es ejor para ficharlo, así que se trata de dar razoes favorables o desfavorables para justificar su ituició. Se foeta priero que piese, y después que exprese sus ideas, las debata, critique otras y sepa escuchar críticas a las suyas,... Se puede relacioar co ua copetecia de leguaje, tato ateático coo ligüístico. El tiepo adecuado para desarrollar esta actividad es de ua hora de clase. Se pretede que recuerde y utilice coceptos coo experieto aleatorio, suceso, espacio uestral, regla de Laplace Tabié se puede hacer la clasificació segú los tiros de 3, los tiros de 2 o los tiros libres. Qué jugador es ejor e tiros de 3? Y e tiros de 2? Cuál es ejor e tiros libres? Ordeado por tiros de 3: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It Federico García Lorca Nicaor Parra José Hierro Washigto Cucurto Leopoldo María Paero Ordeado por tiros de 2: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Washigto Cucurto Leopoldo María Paero Federico García Lorca Nicaor Parra Ordeado por tiros libres: 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

5 280 Probabilidad Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co It Co It Co It Co It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero La ordeació de las tablas es ua itroducció a la represetació de datos estadísticos. Aquí podeos ver que hay u jugador que destaca e casi todas las clasificacioes: Podeos fiaros de estas clasificacioes? Tedrá algo que ver el úero de caastas coseguidas co el úero de lazaietos? Otra vez cuestioaos la iforació hallada. E probabilidad, al hacer u experieto, es iportate recoger la iforació que verdaderaete os es útil, y rechazar iforació que o os va a servir para uestro experieto. Más o eos, se va viedo u poco las características de cada jugador. Me preguto si podeos añadir algo ás que apoye uestra decisió. Sería iteresate calcular cuátas caastas ha fallado? Por qué? Me da algua iforació saber cuátas caastas ha fallado Fall)? Pues etoces añadios la ueva iforació que es fácil de calcular. Cóo se calcula? Restado las caastas itetadas a las caastas coseguidas. Pues la ueva tabla es: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero No sé si teeos claro ya el jugador que quereos, pero yo o estoy uy covecido. Se os ocurre algú otro tipo de clasificació para que os ayude a decidir? A í se e ha ocurrido estudiar los tiros totales realizados: Si los ordeo segú los tiros coseguidos: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Tiros Totales 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

6 281 Probabilidad Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Washigto Cucurto Nicaor Parra Leopoldo María Paero Segú los tiros que ha fallado: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Putos Totales Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It José Hierro Federico García Lorca Leopoldo María Paero Washigto Cucurto Nicaor Parra Podeos ver que el jugador que ás putos ha coseguido, que es el que ás caastas ha coseguido, tabié es el que ás caastas ha fallado: Qué quiere decir los Tiros Totales Coseguidos? Y los Tiros Totales Itetados? Tiee algua relació los Tiros Totales Coseguidos co los Tiros Totales Itetados? Es decir, cuátos ás tiros itetados, ás tiros coseguidos? La respuesta a la últia preguta es uy iteresate, porque se suele creer que si se tira uchas veces, eterá uchas caastas y será el ejor jugador. Y esto o es verdad. Se puede decir que cada lazaieto es u iteto distito. Ahora estoy algo cofuso. Heos ecotrado u jugador que ete uchos putos, pero es el que ás caastas falla. Qué podría hacer para saber, de aera ás clara, qué jugador es el ejor. Se e ocurre calcular las frecuecias relativas de tiros totales que ha sido caasta. Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr José Hierro Federico García Lorca Leopoldo María Paero Washigto Cucurto Nicaor Parra Voy a ordearlo por la ayor frecuecia relativa de tiros totales coseguidos: 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

7 282 Probabilidad Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr Washigto Cucurto José Hierro Nicaor Parra Federico García Lorca Leopoldo María Paero Qué iforació e está dado esa frecuecia relativa? Qué sigifica? Qué aporta esta frecuecia relativa para la decisió? Vaos a defiir bie cada cosa: Co: caasta coseguida tras u lazaieto para abreviar, lo escribireos coo C). Fall: caasta fallada tras u lazaieto lo iso, lo llaaos F). It: es u lazaieto, I. Qué heos hecho para coseguir u tiro de cualquier valor? Lazar a caasta. Pues podeos decir que el lazaieto a caasta es uestro experieto o el experieto aleatorio). Cuado heos lazado a caasta, qué puede suceder? Que cosigaos el tiro, es decir, C, o que lo falleos, es decir, F lo que calculaos ás adelate). Por eso, direos que Coseguir y Fallar so sucesos, para aclararos ejor. Es decir, C y F so sucesos. Y o sólo eso, o bie se cosigue o se falla el tiro. Al realizar uestro experieto, los resultados que obtedreos siepre va a ser estos dos sucesos. Etoces, si reuios todos los sucesos e ua caja osotros los ateáticos lo llaaos cojuto), direos que este cojuto {C, F} es uestro espacio uestral. Para que os etedaos, fijaos e esta iage: Es ua carta de lo que podeos pedir. No sólo tiee u producto de cada, so todas las cosas que tiee, es ua uestra de lo que puedes pedir. Este cartel, e ateáticas, lo podeos llaar espacio uestral. Puedo pedir algo que esté e la carta, y o puedo pedir ada que o esté e la carta. E u experieto, el espacio uestral so las cosas que os puede salir al realizar el experieto, y lo que o esté detro de ese espacio, o saldrá uca. Pues etoces teeos lo siguiete: Experieto: lazaieto a caasta Espacio uestral: {C, F}. Sucesos: 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

8 283 Probabilidad o C: coseguir el lazaieto o F: fallar el lazaieto. Cuado calculasteis los lazaietos fallados, qué hicisteis? Restasteis a los lazaietos itetados, los coseguidos. Podeos escribir que: F = It C o lo que es lo iso: F = Total C Decios que fallar la caasta es lo cotrario de coseguir la caasta. Por tato, F es el suceso cotrario suceso opuesto, suceso copleetario) de C. Lo podeos escribir de distitas foras segú los autores: F = C c = C = oc = C. Podeos decir que so copleetarios porque C F = Total, se copleeta. Cuado heos ido viedo las distitas clasificacioes de los jugadores, por qué se dice que uo era ejor que otro? El que etía ás caastas era el ejor, pero tabié era el que ás había fallado. Cuado calculaos los porcetajes de acierto, os aclaró u poco la situació. La tabla era esta: Voy a ordearlo por la ayor frecuecia relativa de tiros totales coseguidos: Tiros de 3 Tiros de 2 Tiros libres Tiros Totales Co Fall It Co Fall It Co Fall It Co Fall It Fr Washigto Cucurto José Hierro Nicaor Parra Federico García Lorca Leopoldo María Paero Ahora el jugador que lidera esta clasificació o es el que ás putos había etido el año pasado. Etoces, qué sigifica esa frecuecia relativa? Cóo lo habíaos calculado? La frecuecia relativa sigifica que de todos los lazaietos que itetó, 372, cosiguió eter caasta 213, calculaos el cociete etre los tiros coseguidos y los lazaietos itetados, Si quereos saber cuál va a ser el ejor jugador para uestro equipo el próxio año, e gustaría que el jugador, de todos los lazaietos que itete, cosiga uchos. Qué certeza tedré yo de que el próxio año, ese porcetaje de acierto sea grade? A esto es a lo que respode la probabilidad. Ya sabes que, por la ley de los grades úeros, cuado el úero de experiecias es uy grade la frecuecia relativa tiede a estabilizarse. Y a ese úero al que tiede, lo deoiaos probabilidad. Recuerda que hay dos foras de asigar probabilidades, por sietría, a priori, si los sucesos eleetales sabeos que so equiprobables, ediate la ley de Laplace, o a posteriori, haciedo u bue úero de experietos y valorado a dode tiede las frecuecias relativas. Si la tabla que os ha proporcioado para hacer la selecció recoge u úero suficiete de experietos de tiros a caasta) etoces, irado uestra tabla, veos que todos uestro jugadores tiee ua probabilidad de ecestar e u tiro próxia a 1/2, pero el jugador que vaos a seleccioar es Washigto Cucurto pues su probabilidad de ecestar e u tiro a caasta es la ayor, º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

9 284 Probabilidad Otra actividad de itroducció Mirada desde la perspectiva de Laplace. Pedro y Elisa va a jugar tirado dos dados. Gaa Pedro si la sua de los úeros de las caras superiores es eor que 7, y gaa Elisa si es ayor que 7. Si es 7, i gaa i pierde iguo. Pero Daiel les preguta si está seguros que ese juego es justo. Puedes ayudarles a decidirlo? Ha cotactado co u aigo para que les ayude. Pero es algo aticuado, esto o ola, vaos a poerle algo. Bueo, algo ha ejorado. Ayúdaos desde el pricipio. Seguro que tú sabes. Quiero calcular la probabilidad de que gae Pedro y la de que gae Elisa. o Experieto: lazar dos dados y suar los úeros de las caras superiores o Sucesos: A: Sue eos de 7 B: Sue ás de 7 C: Sue 7. o Espacio uestral: E = {A, B, C}? No. Este espacio uestral o os iteresa. No so sucesos equiprobables. El espacio uestral E = {1, 1), 1, 2),, 6, 6)} si os iteresa, porque los sucesos eleetales so equiprobables. Nos dice lo que ha salido e la cara superior del prier dado, y e la del segudo. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

10 285 Probabilidad Nos dice uestro aigo que coteos el úero total de casos posibles: 1, 1), 1, 2) 1, 6), 2, 1), 6, 6). Cuátos so? So 36? Que coteos aquellos casos e los que gaaría Pedro: 1, 1), 1, 2),, 1, 5), 2, 1), 2, 2), 2, 3), 2, 4), 3, 1), 3, 2), 3, 3), 4, 1), 4, 2), 5, 1). Cuátos so? So 15? Y los casos e los que gaaría Elisa: 2, 6), 3, 6),, 6, 6), 3, 5), 4, 5), 5, 5), 6, 5), 4, 4), 5, 4), 6, 4), 5, 3), 6, 3), 6, 2). Cuátos so? So 15? Y ahora que useos: Segú uestro cálculo hay: úero de casos favorables al suceso A P A) úero de casos posibles o Casos posibles = 36 o Casos favorables = 15 Por tato: úero de casos favorables al suceso A 15 P A) 0'42 P B) úero de casos posibles 36 El juego es justo. 6 1 P C) 0' Observa adeás que: PA) + PB) + PC) = = 1. La probabilidad vale siepre u úero etre 0 y 1. No existe probabilidades que valga ás que 1, i eos de 0. Aspectos a teer e cueta: Por qué se poe arriba los casos favorables? Estaos calculado ua razó, que es ua parte del total. Puede haber ua frecuecia relativa eor que 0? Siepre que haceos u experieto, el valor de algo que os sale siepre es positivo, es decir, o podeos teer 3 casos favorables. Puede haber ua frecuecia relativa ayor que 1? Si diese ayor que 1 querría decir que hay ás casos favorables que todos los posibles. Se llaa suceso iposible al que o tiee igú caso favorable, por lo que su frecuecia relativa y su probabilidad es siepre 0. Si el suceso está forado por todos los casos posibles, la frecuecia relativa y la probabilidad es 1. Siepre que realizaos el experieto ocurre. Lo llaaos suceso seguro. Tabié se podría calcular porcetajes e lugar de frecuecias relativas. Abos so razoes, sólo que e el porcetaje el total es 100, y e la frecuecia relativa es 1. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

11 286 Probabilidad Y otra actividad de itroducció ás Actividades culturales e u cetro escolar E ua clase de 36 estudiates, 15 quiere hacer teatro, 24 editar ua revista, y 9 o quiere participar e igua actividad. a) Qué proporció quiere hacer teatro? b) Qué proporció quiere editar ua revista? c) Qué proporció o quiere participar e igua actividad? d) Qué proporció quiere hacer teatro o bie editar ua revista? e) Qué proporció quiere hacer teatro y adeás editar ua revista? f) Qué proporció de estudiates, de los que quiere editar ua revista, quiere tabié hacer teatro? Observa que es ua preguta diferete a la aterior pues cotaos aquellos estudiates que desea hacer teatro etre los que quiere editar ua revista. Es u suceso codicioado a querer editar ua revista. g) Qué proporció de estudiates, de los que quiere hacer teatro, quiere tabié editar ua revista? La ejor aera de resolver esto es dar obres y dibujar u diagraa para aclararos. o Total de estudiates, E: 36 o Quiere hacer teatro, T: 15 o Quiere editar ua revista, V: 24 o No hacer ada, N: 9. Por tato, e E N hay 36 9 = 27 estudiates, que so los que quiere hacer teatro o bie editar la revista, T R. Ayúdate de ua diagraa y observa que e T R hay 3 estudiates y e R T hay 12 estudiates. Por tato hay 12 estudiates que quiere hacer teatro y adeás editar ua revista. E T R hay 12 estudiates. Por tato: a) T: 15/36 = %. b) R: 24/36 = % c) N: 9/36 = % d) T R: 27/36 = % e) T R: 12/36 = % Quereos ahora saber cuátos estudiates, de etre los que desea editar ua revista, quiere hacer teatro. Hay 24 que quiere editar la revista, y 12 que desea hacer abas cosas: f) T/R: 12/24 = % Y de los 15 estudiates que quiere hacer teatro, 12 tabié quiere editar ua revista: g) R/T: 12/15 = % 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

12 287 Probabilidad 1.2. Álgebra de sucesos Recuerda que: Experieto aleatorio U feóeo o experieto aleatorio es aquel que, ateiedo las isas codicioes e la experiecia, o se puede predecir el resultado. Ejeplos: So experietos aleatorios: a) Lazar ua oeda y aotar si sale cara o cruz. b) Lazar dos dados y aotar los úeros de las caras superiores. c) Si e ua ura hay bolas blacas y rojas, sacar ua al azar y aotar el color. d) Sacar, si reeplazaieto, dos cartas de la baraja. e) Abrir u libro y aotar la págia por la que se ha abierto. Si ebargo, calcular el coste de ua ercacía, sabiedo el peso y el precio por kg, o es u experieto aleatorio. Tapoco lo es calcular el coste del recibo de la luz sabiedo el gasto. No so experietos aleatorios a) Salir a la calle si paraguas cuado llueve y ver si te ojas. b) El precio de edio kilo de rosquillas, si las rosquillas cuesta a 3 el kilo. c) Soltar u objeto y ver si cae. Actividades propuestas 1. Idica si so, o o, feóeos aleatorios: a) La superficie de las provicias españolas. b) Aotar el sexo del próxio bebé acido e ua clíica deteriada. c) El área de u cuadrado del que se cooce el lado. d) Tirar tres dados y aotar la sua de los valores obteidos. e) Saber si el próxio año es bisiesto. Suceso, suceso eleetal, espacio uestral Al realizar u experieto aleatorio existe varios posibles resultados o sucesos posibles. Siepre se obtedrá uo de los posibles resultados. Se llaa suceso eleetal a cada uo de los posibles resultados de u experieto aleatorio. El cojuto de los posibles resultados de u experieto aleatorio se deoia espacio uestral, E. U suceso es u subcojuto del cojuto de posibles resultados, es decir, del espacio uestral. Ejeplos: Los posibles resultados al tirar ua oeda so que salga cara o salga cruz. El cojuto de sucesos eleetales es E = {cara, cruz}. Al lazar u dado, el cojuto de posibles resultados es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, el suceso obteer par es {2, 4, 6}, el suceso obteer ipar es {1, 3, 5}, el suceso obteer últiplo de 3 es {3, 6}, 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

13 288 Probabilidad sacar u úero eor que 3 es {1, 2}. El cojuto de posibles resultados de los experietos aleatorios siguietes, so: a) Extraer ua bola de ua bolsa co 9 bolas blacas y 7 egras es E = {blaca, egra}. b) Sacar ua carta de ua baraja española es E = {As de Oros, 2O, 3O,, SO, CO, RO, As de Copas,, RC, As de Bastos,, RB, As de Espadas,, RE} Al lazar dos oedas el cojuto de posibles resultados es E = {C, C), C, +), +, C), +, +)}. El suceso sacar cero caras es {+, +)}, sacar ua cara es {C, +), +, C)} y sacar dos caras {C, C)}. Actividades propuestas 2. Escribe el cojuto de posibles resultados del experieto aleatorio: Escribir e cico tarjetas cada ua de las vocales y sacar ua al azar. 3. Escribe el cojuto de posibles resultados del experieto aleatorio: Tirar ua chicheta y aotar si cae de puta o o. 4. Iveta dos sucesos del experieto aleatorio: Tirar dos oedas. 5. E el juego de lotería, idica dos sucesos respecto a la cifra de las uidades del prier preio. 6. Escribe tres sucesos aleatorios del experieto aleatorio sacar ua carta de ua baraja española. Operacioes co sucesos Dados dos sucesos A y B: La uió: A B se verifica si se verifica A o bie se verifica B. La itersecció: A B se verifica si se verifica A y adeás se verifica B. La diferecia: A B se verifica si se verifica A y o se verifica B. La uió, itersecció y diferecia de dos sucesos aleatorios, so tabié sucesos aleatorios. Las operacioes co sucesos verifica las isas propiedades que las operacioes co cojutos: Asociativa: A B) C = A B C) A B) C = A B C) Coutativa: A B = B A A B = B A Distributiva: A B C) = A B) A C) A B C) = A B) A C) Siplificativa: A B A) = A A B A) = A Leyes de Morga: A B) C = A C B C A B) C = A C B C Todas ellas puedes coprederlas represetado cojutos usado diagraas de Ve. Ejeplos: Al lazar u dado, llaaos A al suceso obteer par: A = {2, 4, 6}, y B al suceso obteer últiplo de 3: B = {3, 6}. Etoces A B = {2, 3, 4, 6}, A B = {6}, A B = {2, 4}. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

14 289 Probabilidad Actividades propuestas 7. Al sacar ua carta de ua baraja española, llaaos B al suceso sacar u as y A al suceso sacar ua figura. Escribe los sucesos A B, A B y A B. Suceso seguro, suceso iposible y suceso cotrario Se cosidera que el espacio uestral, E, es u suceso al que se deoia suceso seguro, y que el cojuto vacío,, es otro suceso, al que se llaa suceso iposible. Dado u suceso A, se deoia suceso cotrario o copleetario) de A, y se escribe A, o A, o A C, o oa), al suceso E A. Sucesos icopatibles Dos sucesos A y B so icopatibles si A B =. E caso cotrario se llaa sucesos copatibles. Ejeplos: Al lazar u dado, si A = {2, 4, 6}, y B = {3, 6}. Etoces A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 4, 5}, A B = {1, 5}. Los sucesos A y B so copatibles pues A B = {6}. Actividades propuestas 8. Sea A el suceso tirar u dado y sacar u úero ayor que 4. Escribe el suceso cotrario de A. 9. U suceso y su suceso cotrario, cóo so, copatibles o icopatibles? Razoa la respuesta. 10. E el experieto aleatorio, sacar ua carta de ua baraja española, escribe tres sucesos icopatibles co el suceso sacar u as Asigació de Probabilidades Existe ua defiició axioática de probabilidad debida a Kologorov relativaete reciete 1930), pero ates ya había sido usado este cocepto, por ejeplo por Ferat y Pascal e el siglo XVII que se escribiero cartas reflexioado sobre lo que ocurría e los juegos de azar. Cuado o copredía cóo asigar ua deteriada probabilidad, jugaba uchas veces al juego que fuese y veía a qué valor se aproxiaba las frecuecias relativas. Así, la probabilidad de u suceso podría defiirse coo el líite al que tiede las frecuecias relativas de ese suceso cuado el úero de experietos es uy alto. Por tato: Para calcular probabilidades se usa dos técicas, ua experietal, a posteriori, aalizado las frecuecias relativas de que ocurra el suceso, y la otra por sietría, a priori, cuado se sabe que los sucesos eleetales so equiprobables, es decir, que todos ellos tiee la isa probabilidad, etoces se divide el úero de casos favorables por el úero de casos posibles, que se cooce coo Regla de Laplace y dice que: 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

15 290 Probabilidad Regla de Laplace Si los sucesos eleetales so equiprobables, la probabilidad de u suceso A es el úero de casos favorables dividido por el úero de casos posibles. úero decasos favorables al suceso A P A) úero decasos posibles La regla de Laplace está basada e el pricipio de razó isuficiete: si a priori o existe igua razó para supoer que u resultado se puede presetar co ás probabilidad que los deás, podeos cosiderar que todos los resultados tiee la isa probabilidad de ocurrecia. Ley de los grades úeros Jakob Beroulli, e 1689, defiió probabilidad utilizado la ley de los grades úeros, que dice que la frecuecia relativa de u suceso tiede a estabilizarse cuado el úero de pruebas tiede a ifiito. A ese úero al que tiede las frecuecias relativas lo llaó probabilidad. Puedes copreder que esta defiició tiee graves icoveietes. No sabeos cuátas pruebas debeos realizar. Hay que hacer uchas y e las isas codicioes. Se obtiee u valor aproxiado de la probabilidad. Actividades resueltas La probabilidad de que salga cara al tirar ua oeda es 1/2, pues sólo hay dos casos posibles {cara, cruz}, u úico caso favorable, cara, y supoeos que la oeda o está trucada. Si sospecháraos que la oeda estuviera trucada para asigar esa probabilidad habría que tirar la oeda u otó de veces para observar hacia qué valor se acerca la frecuecia relativa de obteer cara. La probabilidad de sacar u 5 al tirar u dado es 1/6 pues hay seis casos posibles {1, 2, 3, 4, 5, 6}, u úico caso favorable, 5, y supoeos que el dado o está trucado, luego todos ellos so equiprobables. La probabilidad de que al cruzar la calle te pille u coche NO es 1/2, auque sólo hay dos casos posibles, que te pille el coche y que o te pille, pues ya te habría pillado u otó de veces. Para calcular esa probabilidad se recoge datos de peatoes atropellados y se calcula utilizado las frecuecias relativas. La probabilidad de sacar ua bola roja de ua bolsa co 7 bolas rojas y 3 bolas blacas es 7/10. La probabilidad de que u bebé sea iña es aproxiadaete 0 5, pero al hacer el estudio co las frecuecias relativas se ha visto que es Si cosideraos ua baraja española de 40 cartas y elegios ua carta, alguos de los sucesos que puede ocurrir so sacar u oro, o sacar u as, o sacar el caballo de copas Coo de ateao o sabeos lo que va a ocurrir decios que estos sucesos so aleatorios o de azar. Ates de sacar igua carta todas ellas so igualete factibles, y coo puede salir ua cualquiera de las 40 cartas decios que la probabilidad de, por ejeplo, sacar el caballo de copas es 1/40, la de sacar u oro es 10/40, y la de u as es 4/40. Cuál es la probabilidad de sacar el rey de copas? Y de sacar u rey? Y ua copa? La probabilidad de sacar el rey de copas es 1/40. Pero el suceso sacar u rey se cuple si sale el rey de oros, o de copas, o de bastos o de espadas. Es decir, o es u suceso siple, está forado, e este 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

16 291 Probabilidad caso, por 4 sucesos eleetales, luego su probabilidad es 4/40 = 1/10. Lo iso le ocurre a sacar ua copa. Es u suceso copuesto, y coo hay 10 copas su probabilidad es 10/40 = 1/4. E ua clase hay 15 chicos y 14 chicas. Coo o se preseta adie para ser delegado se hace u sorteo. Cuál es la probabilidad de que e la clase haya delegada? Coo hay 14 chicas los casos favorables) sobre ua població de 29 idividuos, de acuerdo co la Ley de Laplace, la probabilidad pedida es: úero decasos favorables al suceso A P A) úero decasos posibles E el oedero teeos 3 oedas de 1 cétio, 7 oedas de 5 cétios, 4 oedas de 10 cétios y 2 oedas de 50 cétios. Sacaos ua oeda al azar, cuál es la probabilidad de que la catidad obteida sea u úero par de cétios? Al sacar ua oeda, para teer u úero par de cétios tiee que ser de 10 cétios o de 50 cétios. Por tato el total de casos favorables es de 6 hay 4 de 10 y 2 de 50). El úero de casos posibles es el de oedas que teeos e el oedero, que so = 16. La probabilidad de obteer u úero par de cétios es: úero decasos favorables al suceso " par de cétios" 6 P par de cétios) úero decasos posibles 16 Actividades propuestas 11. Calcula la probabilidad de que al sacar ua carta de la baraja sea ua espada. 12. Para saber la probabilidad de que u recié acido sea zurdo, te basarías e el estudio de las frecuecias relativas o la asigarías por sietría? Defiició axioática de probabilidad debida a Kologorov La defiició axioática de Kologorov es ás coplicada que la que viee a cotiuació. Pero esta siplificació puede serviros: La probabilidad de u suceso es u úero que debe verificar estas propiedades: 1. La probabilidad del suceso seguro es 1: PE) = La probabilidad de cualquier suceso siepre es u úero o egativo: PA) 0, para todo A. 3. Si dos sucesos so icopatibles etoces la probabilidad de la uió es la sua de sus probabilidades: Si A B = etoces PA B) = PA) + PB). Las dos últias las verifica todas las edidas. La probabilidad es ua edida. De estos axioas se deduce las siguietes propiedades: a) La probabilidad del suceso iposible es 0: P) = 0 b) La probabilidad del suceso cotrario es 1 eos la probabilidad del suceso: P A ) = 1 PA). c) La probabilidad de u suceso fiito) es la sua de las probabilidades de los sucesos eleetales que lo copoe. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

17 292 Probabilidad Actividades resueltas Cuál es la probabilidad de sacar u as e la baraja de 40 cartas? Y de o sacar u as? Y de sacar ua copa? Y de o sacar ua copa? El suceso o sacar u as es el suceso cotrario al de sacar u as. Cartas que o so ases hay 36, luego la probabilidad de o sacar as es 36/40 = 9/10. Observa que se obtiee que Pas) + Po as) = 1/10 + 9/10 = 10/10 = 1. La probabilidad de sacar copa es 10/40, y hay 30 cartas que o so copas, luego la probabilidad de o sacar copa es 30/40, y 10/ /40 = 1. Actividades propuestas 13. Cuál es la probabilidad de o sacar u 5 al tirar u dado? Y de o sacar u últiplo de 3? Y de o sacar u úero eor que 2? 14. Al tirar ua oeda dos veces, cuál es la probabilidad de o sacar igua cara? Y de sacar al eos ua cara? Observa que sacar al eos ua cara es el suceso cotrario de o sacar igua cara. Sucesos copatibles e icopatibles Ejeplo: Cuál es la probabilidad de, e ua baraja de 40 cartas, sacar ua copa o u oro? Hay 10 copas y 10 oros, y igua carta es a la vez copa y oro, luego la probabilidad es 20/40. Cuál es la probabilidad de, e ua baraja de 40 cartas, sacar u as o u oro? Hay 4 ases y hay 10 oros, pero hay el as de oros, luego las cartas que so o bie u as o bie u oro so 13, luego la probabilidad es 13/40. Llaaos sucesos icopatibles a los que, coo copa y oro, o puede realizarse a la vez, y sucesos copatibles a los que, coo as y oro, puede realizarse a la vez. Desigaos PA B) a la probabilidad del suceso se verifica A o bie se verifica B. Heos visto e el ejeplo que si los sucesos so icopatibles su probabilidad es igual a la sua de las probabilidades. PA B) = PA) + PB), si A y B so icopatibles. Pero si A y B sí puede verificarse a la vez habrá que restar esos casos, esas veces e que se verifica A y B a la vez. PA B) = PA) + PB) PA B), si A y B so copatibles. Esta seguda expresió es ás geeral que la priera, ya que e el caso e que A y B so icopatibles etoces PA B) = 0. Actividades resueltas Calcula la probabilidad de los sucesos siguietes: a) Sacar u rey o ua figura; b) No sale u rey o sale u rey; c) Sacar u basto o ua figura. a) Hay 4 reyes y hay 4 4 = 16 figuras as, sota, caballo y rey), pero los cuatro reyes so figuras, por tato PRey Figura) = 4/ /40 4/40 = 16/40 = º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

18 293 Probabilidad b) Hay 40 4 = 36 cartas que o so reyes, y hay 4 reyes, luego Po rey rey) = 36/40 + 4/40 = 1. Esta coclusió es ás geeral. Siepre: P A A) = 1, pues u suceso y su cotrario ya vios que verificaba que PA) + P A ) = 1. c) Hay 10 bastos y hay 16 figuras, pero hay 4 figuras que so a la vez bastos as, sota, caballo y rey), luego PBasto Figura) = 10/ /40 4/40 = 22/40 = 11/20. Sucesos depedietes e idepedietes Ejeplo: Teeos ua bolsa co 3 bolas rojas y 2 bolas egras. Cuál es la probabilidad de sacar ua bola roja? Si sacaos dos bolas, cuál es la probabilidad de sacar dos bolas rojas? La probabilidad de sacar ua bola roja es 3/5. Pero la de sacar dos bolas rojas, depede! Depede de si volveos a eter e la bolsa la priera bola roja, o si la dejaos fuera. E el prier caso decios que es co reeplazaieto y e el segudo, si reeplazaieto. Si la volveos a eter, la probabilidad de sacar bola roja volverá a ser 3/5, y la probabilidad de sacar dos bolas rojas es 3/5 3/5 = 9/25. La probabilidad de esta seguda bola o depede de lo que ya hayaos sacado, y e este caso la probabilidad se obtiee ultiplicado. Si los sucesos A y B so idepedietes: PA B) = PA) PB). Pero si la dejaos fuera, ahora e la bolsa sólo hay 4 bolas y de ellas sólo queda 2 bolas rojas, luego la probabilidad de que esa seguda bola sea roja es 2/4, y está codicioada por lo que ates hayaos sacado. Se escribe: PRoja/Roja) y se lee probabilidad de Roja codicioado a haber sacado Roja. La probabilidad de sacar dos bolas rojas es ahora: 3/5 2/4 = 6/20 = 3/10. Observa el diagraa de árbol y coprueba que la probabilidad de sacar priero ua bola roja y luego ua bola egra o Roja) es 3/5 2/4 = 3/10 pues después de sacar ua bola roja e la bolsa queda sólo 4 bolas y de ellas 2 so egras. La probabilidad de sacar priero ua bola egra o Roja) y luego bola Roja es 2/5 3/4 = 6/20 = 3/10, y la de sacar dos bolas egras es: 2/5 1/4 = 2/20 = 1/10. Pero observa ás cosas. Por ejeplo, suado las probabilidades de Roja y oroja se obtiee: 3/5 + 2/5 = 1; y lo iso e las otras raas del árbol: 2/4 + 2/4 = 1; 3/4 + 1/4 = 1; e icluso suado todas las probabilidades fiales: PE) = PA 1 )+PA 2 )+ +PA ) = 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

19 294 Probabilidad Los sucesos o so idepedietes. El que ocurra A, o o ocurra A, afecta a la probabilidad de B. Por eso se dice que B está codicioado a A. Si los sucesos A y B so depedietes etoces: Actividades resueltas PA B) = PA) PB/A) Sacaos dos cartas de ua baraja de 40 cartas si reeplazaieto. Cuál es la probabilidad de sacar dos ases? Si fuera co reeplazaieto la probabilidad sería 4/40 4/40, pero al ser si reeplazaieto la probabilidad del segudo as viee codicioada por que hayaos sacado u as previaete. Ahora e la baraja ya o queda 40 cartas sio 39, y o queda 4 ases sio sólo 3, luego la probabilidad es: Observa que: 4/40 3/39 = 1/130. Si dos sucesos so depedietes etoces: PB/A) PB). Pero si dos sucesos so idepedietes etoces: PB/A) = PB/ A) = PB). Resue: Suceso cotrario: PA) + P A) = 1 Itersecció: PA B) = PA) PB/A) Si A y B so idepedietes PA B) = PA) PB) Uió: PA B) = PA) + PB) PA B) Si A y B so icopatibles PA B) = PA) + PB) Actividades propuestas 15. Haz u diagraa e árbol siilar al aterior e tu cuadero co los sucesos A y B: A = sacar u as e la priera extracció, A = o sacar as, y B = sacar u as e la seguda extracció, B = o sacar as e la seguda extracció. Cuál es la probabilidad de sacar as e la seguda extracció codicioado a o haberlo sacado e la priera? Y la de o sacar as e la seguda extracció codicioado a o haberlo sacado e la priera? Cuál es la probabilidad de sacar dos ases? Y la de sacar u solo as? 16. E el diagraa de árbol aterior idica cual es la probabilidad de o sale 2 ases y la de o sale igú as. 17. E el experieto sacar tres cartas seguidas, cuál es la probabilidad de sacar tres ases? Priero co reeplazo, y luego si reeplazo. 18. Al tirar dos veces u dado calcula la probabilidad de que salga u seis doble. 19. Al tirar dos veces u dado calcula la probabilidad de sacar al eos u 6. Ayuda: Quizás te sea ás fácil calcular la probabilidad de o sacar igú 6, y utilizar el suceso cotrario. 20. Lazaos dos dados que o esté trucados y aotaos los úeros de su cara superior. Cosideraos el suceso A que la sua de las dos caras sea 8, y el suceso B que esos úeros difiera e dos uidades. a) Coprueba que PA) = 5/36 casos favorables: 2 + 6; 3 + 5; 4 + 4; 5 + 3; 6 + 2) y que PB) = 8/36 casos favorables: 1, 3), 2, 4), ). b) Calcula las probabilidades de: PA B); PA B); PA B); P A B); P A B). c) Calcula PA/B); PA/ B); P A/B). 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

20 295 Probabilidad 1.4. Tablas de cotigecia y diagraas de árbol Diagraas de árbol Ejeplo: Se hace u estudio sobre los icedios y se coprueba que e ua deteriada zoa el 60 % de los icedios so itecioados, u 30 % se debe a egligecias y 10 % a causas aturales coo rayos o a otras causas. Represeta esta situació co u diagraa de árbol. Actividades resueltas Si cosideraos que la probabilidad de que u icedio sea itecioado es 0 6, cuál es la probabilidad de que al cosiderar dos icedios, al eos uo haya sido itecioado? Llaaos I al suceso ser itecioado y I = oi al suceso o ser itecioado. Represetaos la situació e u diagraa de árbol. Coo el que u icedio sea itecioado es idepediete de cóo sea el segudo, teeos que: PI, I) = = 0 36 PI, I ) = = 0 24 ya que es la probabilidad de que el prier icedio sea itecioado y el segudo o. P I, I) = = 0 24 P I, I ) = = 0 16 La probabilidad de que al eos uo haya sido itecioado la podeos calcular suado las probabilidades de I, I), I, I ), y I, I) que es = Pero ás secillo es calcular la probabilidad del suceso cotrario PoI, oi) = P I, I ) = 0 16 y restarla de 1: Actividades propuestas Pal eos uo itecioado) = = Dibuja e tu cuadero u diagraa e árbol para tres icedios, y calcula la probabilidad de que al eos uo haya sido itecioado siedo PI) = E ua aeroave se ha istalado tres dispositivos de seguridad: A, B y C. Si falla A se poe B e fucioaieto, y si tabié falla B epieza a fucioar C. Las probabilidades de que fucioe correctaete cada dispositivo so: PA) = 0 96; PB) = 0 98 y PC) = a) Calcula la probabilidad de que falle los tres dispositivos. b) Calcula la probabilidad de que todo vaya bie. 23. Ua fábrica de uñecas desecha oralete el 0 3 % de su producció por fallos debidos al azar. Calcula la probabilidad de que: a) Al coger dos uñecas al azar haya que desechar abas. b) Al coger dos uñecas al azar haya que desechar sólo ua. c) Al coger dos uñecas al azar o haya que desechar igua d) Verificaos 4 uñecas, calcula la probabilidad de desechar úicaete la tercera uñeca elegida. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

21 296 Probabilidad 24. Lazaos ua oeda hasta que aparezca dos veces seguidas del iso lado. Calcula las probabilidades de que: A) La experiecia terie al segudo lazaieto. B) Terie al tercer lazaieto. C) Terie e el cuarto. D) Terie a lo suo e el cuarto lazaieto es decir, que terie e el segudo o e el tercero o e el cuarto lazaieto). Tablas de cotigecia Ejeplo: Se ha estudiado 500 eferos del hígado aalizado por u procediieto uevo si las lesioes so beigas o aligas. Luego se les volvió a aalizar por el procediieto usual deteriado qué diagósticos había sido correctos y cuáles icorrectos. Los valores obteidos se represeta e la tabla: Diagóstico correcto Diagóstico icorrecto Totales Lesió aliga Lesió beiga Totales Deteriaos la tabla de frecuecias relativas: Diagóstico correcto C) Diagóstico icorrecto I) Totales Lesió aliga M) Lesió beiga B) Totales Actividades resueltas Iagia que estas frecuecias relativas pudiera toarse coo probabilidades. Iterpreta etoces el sigificado de cada uo de estos valores sería la probabilidad de que el diagóstico de lesió aliga fuese correcto: PM C) = PM I); = PB C); = PB I). Y 0 436? El úero de lesioes aligas es 218, luego = PM). Del iso odo: = PB); = PC); = PI). Observa que PM) + PB) = 1 y que PC) + PI) = 1. So sucesos cotrarios. So depedietes o idepedietes los sucesos M y C? Solució: PM C) = PM) PC/M), por tato: = PC/M), de dode PC/M) = 0 412/0 436 = que es distito de que es la probabilidad de C. Se puede afirar que M y C so depedietes ya que PC/M) PC). Pero si redodeaos a dos cifras deciales PC/M) = 0 95 = PC), y e este caso cosideraos que so sucesos idepedietes. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

22 297 Probabilidad E geeral se deoia tabla de cotigecias a: A No A = A B PA B) P A B) PB) No B = B PA B ) P A B ) P B ) PA) P A ) 1 E ua tabla de cotigecia figura todas las probabilidades o cotigecias de los sucesos copuestos. Observa que: Coo sabeos por la probabilidad del suceso cotrario: PA) + P A ) = 1 y PB) + P B ) = 1. Observa tabié que: PA) = PA B) + PA B ), del iso odo que PB) = PA B) + P A B) pues se obtiee suado respectivaete la priera colua y la priera fila. Tabié: P A ) = P A B) + P A B ) y P B ) = PA B ) + P A B ). Actividades propuestas 25. Se ha hecho u estudio estadístico sobre accidetes de tráfico y se ha deteriado las siguietes probabilidades reflejadas e la tabla de cotigecia: Accidete e carretera C) Accidete e zoa urbaa U) Totales Accidete co víctias V) Accidete co sólo daños ateriales M) Totales a) Copia la tabla e tu cuadero y coplétala. b) Deteria las siguietes probabilidades: PV C); PV U); PM C); PM U); PV); PM); PC) y PU). c) Calcula PU/V); PC/V); PV/U); PV/C). So depedietes o idepedietes los sucesos: accidete co víctias y accidete e carretera? 26. Iveta ua tabla de cotigecia cosiderado que los accidetes pueda ser de carretera C) o urbaos U), pero que ahora los clasificaos e leves L), graves G) o ortales M). Observa que lo fudaetal para cofeccioar la tabla es que los sucesos sea icopatibles dos a dos. 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

23 298 Probabilidad Diagraas de árbol y tablas de cotigecia Los diagraas de árbol y las tablas de cotigecia está relacioados. Dado u árbol puedes obteer ua tabla de cotigecia, y viceversa. Tiee iterés esta relació pues co los datos del problea a veces es ás secillo costruir uo de ellos y dar la solució pasado al otro. Actividades resueltas Dada la tabla de cotigecia, obteer el diagraa de árbol que coieza co A y oa = A. A No A = A B 2/9 5/9 7/9 No B = B 1/9 1/9 2/9 3/9 = 1/3 6/9 = 2/3 1 Cooceos la PA) = 3/9 = 1/3, P A ) = 6/9 = 2/3, PB) = 7/9 y P B ) = 2/9. Tabié cooceos PA B) = 2/9; PA B ) =1/9; P A B) = 5/9 y P A B ) = 1/9. Nos falta coocer PB/A) que podeos obteer dividiedo PA B) etre PA): Del iso odo calculaos: PB/A) = PA B)/PA) = 2/9 : 3/9 = 2/3. P B /A) = PA B )/PA) = 1/9 : 3/9 = 1/3 PB/ A ) = P A B)/P A ) = 5/9 : 6/9 = 5/6 P B / A ) = P A B )/P A ) = 1/9 : 6/9 = 1/6. El árbol es: Actividades resueltas Recíprocaete, dado el diagraa de árbol obteer la tabla de cotigecia: Ahora cooceos PA) = 0 3 y P A ) = 0 7. Adeás cooceos PB/A) = 1/3; PB/ A ) = 6/7; P B /A) = 2/3 y P B / A ) = 1/7. Calculaos, ultiplicado: PA B) = 0 3 1/3) = 0 1; PA B ) = 0 3 2/3) = 0 2; P A B) = 0 7 6/7) = 0 6 y P A B ) = 0 7 1/7) = 0 1 que poeos tabié e el árbol. Relleaos co estos datos ua tabla de cotigecia: A No A = A B No B = B Calculaos, suado, las casillas que os falta, PB) = = 0 7 y P B ) = = º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

24 299 Probabilidad A No A = A B No B = B Puede ser uy iteresate pasar de u diagraa de árbol a la tabla de cotigecia y de ésta, al otro diagraa de árbol, co el que podeos coocer: PA/B) = 0 1/0 7 = 1/7; P A /B) = 0 2/0 7 = 2/7; PA/ B ) = 0 3/0 6 = 3/6 = 1/2; P A / B ) = 0 1/0 3 = 1/3. Actividades propuestas 27. Dada la tabla de cotigecia, costruye dos diagraas de árbol. A No A = A B No B = B Dado el diagraa de árbol del arge, costruye la tabla de cotigecia, y después el otro diagraa de árbol. 29. Teeos dos uras, A y B. La priera co 8 bolas blacas y 2 bolas egras. La seguda co 4 bolas blacas y 6 bolas egras. Se saca ua bola al azar, de ua de las dos uras, tabié al azar y resulta ser egra. Cuál es la probabilidad de que proceda de la ura A? 30. Se está estudiado u trataieto co u uevo edicaeto, para lo que se seleccioa 100 eferos. A 60 se les trata co el edicaeto y a 40 co u placebo. Los valores obteidos se represeta e la tabla adjuta Medicaeto M) Placebo o M) Curados C) No curados o C) Se utiliza esos valores para asigar probabilidades. Calcula: a) La probabilidad de que u efero curado haya sido tratado co el edicaeto. Ayuda: PM/C) b) La probabilidad de que u efero curado haya sido tratado co el placebo. Ayuda: P M /C). 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada

25 300 Probabilidad 1.5. Teorea de Bayes Thoas Bayes e 1763 eució el teorea que lleva su obre. Sirve para resolver probleas del tipo de la págia iicial: Cooceos la probabilidad de que u efero que tiee hepatitis esté algo aarillo. Calcula la probabilidad de que alguie que esté algo aarillo, tega hepatitis. Es decir perite calcular la probabilidad de A/B coociedo la probabilidad de B/A o ejor, las probabilidades de B codicioado a u cojuto de sucesos A i tales que so icopatibles dos a dos y cuya uió es todo el espacio uestral). Vaos a euciarlo, pero o te asustes! Ya sabes resolver probleas e los que se usa el Teorea de Bayes! No hace falta que te apredas la fórula! Euciado del teorea de Bayes Sea {A 1, A 2,, A } u sistea copleto de sucesos icopatibles dos a dos, co probabilidades o ulas, sua de probabilidades 1. Sea B otro suceso del que cooceos las probabilidades codicioadas: PB/A i ). Etoces: P B / Ai ) P Ai ) P B / Ai ) P Ai ) P Ai / B) P B) P B / A ) P A ) Vaos a coprobar que ya lo sabes co u ejeplo secillo, que ya has resuelto e las actividades propuestas del apartado aterior. Para resolver probleas tipo Bayes basta costruir u diagraa de árbol, luego la tabla de cotigecia asociada, y a cotiuació el otro diagraa de árbol. Actividades resueltas Teeos dos uras, A y B. La priera co 8 bolas blacas y 2 bolas egras. La seguda co 4 bolas blacas y 6 bolas egras. Se saca ua bola al azar, de ua de las dos uras, tabié al azar y resulta ser egra. Cuál es la probabilidad de que proceda de la ura B? Debeos calcular PB/Negra). 1º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada k 1 Para que se parezca ás al euciado del teorea vaos a llaar a Blaca = A 1 y a Negra = A 2. El cojuto de sucesos {A 1, A 2 } verifica las codicioes del teorea de Bayes. Por tato quereos calcular PB/ A 2 ). Podeos costruir el árbol del arge. Por el euciado cooceos las siguietes probabilidades. Nos dice que la elecció de ura es al azar, por tato PA) = PB) = 1/2. Si sacaos ua bola de la ura A sabeos que PBlaca/A) = PA 1 /A) = 8/10, pues e la ura A hay 10 bolas de las que 8 so bolas blacas. Del iso odo sabeos: PNegra/A) = PA 2 /A) = 2/10; PBlaca/B) = PA 1 /B) = 4/10, y PNegra/B) = PA 2 /B) = 6/10. Multiplicado calculaos las probabilidades de los sucesos copuestos: k k

26 301 Probabilidad PA A 1 ) = 2/5, PA A 2 ) = 1/10, PB A 1 ) = 1/5, PB A 2 ) = 3/10. Estos datos os perite costruir la tabla de cotigecia asociada: Blaca = A 1 Negra = A 2 A PA A 1 ) = 2/5 PA A 2 ) = 1/10 PA) = 2/5 + 1/10 = 1/2 B PB A 1 ) = 1/5 PB A 2 ) = 3/10 PB) = 1/5 + 3/10 = 1/2 Observa que: PA 1 ) = 2/5 + 1/5 = 3/5 PA 2 ) = 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5 1 PB) = 1/5 + 3/10 = 1/2 = PB A 1 ) + PB A 2 ) = PB/A 1 )PA 1 ) + PB/A 2 )PA 2 ) E geeral, si hubiera u cojuto de sucesos {A 1, A 2,, A } se escribiría: PB) = PB/A 1 )PA 1 ) + PB/A 2 )PA 2 ) + + PB/A )PA ) Costruios el otro diagraa de árbol. Cooceos PA 1 ) = 3/5 y PA 2 ) = 2/5, adeás de las probabilidades de las iterseccioes, por lo que podeos calcular las probabilidades codicioadas, dividiedo: Por ejeplo: PA/A 1 ) = PA A 1 )/PA 1 ) = 2/5)/3/5) = 2/3. Co lo que teeos resuelto uestro problea pues: PB / Negra) = PB /A 2 ) = 3/4. Vaos a coprobar que es el iso resultado y los isos cálculos) que hubiéraos obteido usado la expresió del teorea de Bayes: P A2 / B) P B) P B / A ) P A ) P A P A2 / B) P B) / A) P A) P A / B) P B) P A P A2 B) A) P A 3/10 B) 1/10 3/ Actividades propuestas Probleas propuestos e Selectividad 31. E u proceso de fabricació de óviles se detecta que el 2 % sale defectuosos. Se utiliza u dispositivo para detectarlos que resulta que detecta el 90 % de los óviles defectuosos, pero señala coo defectuosos u 1 % que o lo so. A) Calcula la probabilidad de que sea correcto u óvil que el dispositivo ha calificado coo defectuoso. B) Calcula la probabilidad de que sea defectuoso u óvil que el dispositivo ha calificado coo correcto. Ayuda: Utiliza priero u diagraa e árbol y luego ua tabla de cotigecia. 32. Se tiee 3 cajas, A, B y C. La caja A tiee 10 bolas de las cuales 4 so egras. La caja B tiee 6 bolas co ua bola egra. La caja C tiee 8 bolas co 3 egras. Se coge ua caja al azar y de esa caja se saca ua bola, tabié al azar. Coprueba que la probabilidad de que la bola sea egra es 113/ Teeos ua oeda trucada cuya probabilidad de obteer cara es 3/5 y la de cruz es 2/5. Si sale cara se escoge al azar u úero del 1 al 8, y si sale cruz, se escoge u úero del 1 al 6. Calcula la probabilidad de que el úero escogido sea ipar º Bachillerato. Mateáticas Aplicadas a las Ciecias Sociales I. Capítulo 7: Probabilidad Autor: David Mirada