Tema 1 Los números reales Matemáticas I 1º Bachillerato 1

Transcripción

1 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato TEMA LOS NÚMEROS REALES. LOS NÚMEROS REALES. LA RECTA REAL INTRODUCCIÓN: Los úeros racioales: Se caracteriza porque puede expresarse: E fora de fracció, es decir, coo cociete de dos úeros eteros: x Q a a, b Z tales que x = b b E fora decial: O bie so eteros o bie tiee expresió decial fiita o periódica. El cojuto de todos los úeros racioales se desiga por Q. El cojuto Q es deso e R (al situar todos los úeros racioales sobre la recta uérica la ocupa desaete). Esto quiere decir: Etre dos úeros racioales hay ifiitos úeros x x racioales. (si x, x Q El puto edio: + Q) No obstate, e la recta uérica hay ifiitos putos o ocupados por úeros racioales. A cada uo de estos putos le correspode u úero irracioal. Los úero irracioales: Se caracteriza porque: No puede expresarse e fora de fracció. Su expresió decial tiee ifiitas cifras o periódicas. El cojuto de todos los úeros irracioales se desiga por I. Tato los úeros racioales coo los irracioales se llaa úeros reales. El cojuto de los úeros reales se desiga por R. Los úeros reales llea la recta uérica por eso se la llaa recta real. ESQUEMA DE CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES 4 NATURALES(N) ; 4 ; ; ENTEROS (Z) - 4 ENTEROS NO NATURALES -; ; 8... (Eteros egativos) 4 RACIONALES(Q) - 5 Fraccioes:,... REALES(R) 4 8 FRACCIONARIOS. Exactos :,;... (Racioales o eteros) ) Núeros deciales Puros : 7,;... Periódicos ) Mixtos : 7,,... IRRACIONALES (I) ; - ; 5 ; π, deciales o periódicos...

2 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato INTERVALOS Y SEMIRRECTAS Sirve para expresar traos de la recta real NOMBRE SÍMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACIÓN Itervalo abierto (a,b) { x / a < x < b } Nº copredidos etre a y b Itervalo cerrado [a,b] { x / a x b } Nº copredidos etre a y b, Itervalo seiabierto Seirrecta éstos icluidos. (a,b] { x / a < x b } Nº copredidos etre a y b, icluido b [a,b) { x / a x < b } Nº copredidos etre a y b, icluido a (-,a) { x / x < a } Núeros eores que a (-,a] { x / x a } Nº eores o iguales que a (a, ) { x / a < x } Núeros ayores que a [a, ) { x / a x } Nº ayores o iguales que a Nota : Si quereos obrar u cojuto de putos forados por dos o ás de estos itervalos, se utiliza el sigo (uió) etre ellos.

3 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL DEFINICIÓN El valor absoluto de u úero real, a, es el propio úero a, si es positivo, o su opuesto, -a, si es egativo: a = a si a - a si a < (Es decir, cosiste e covertirlo e positivo) ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO x a = b x a = b x = a + b {a-b,a+b} (Dos putos cocretos) x a = b x = a b x a < b x a = b x = a + b (a-b,a+b) (El iterior) x a = b x = a b x a b x a = b x = a + b (-, a-b] [a+b,+ ) (El exterior) x a = b x = a b. RADICALES. PROPIEDADES DEFINICIÓN DE RAIZ N-ÉSIMA Se llaa raíz -ésia de u úero a y se escribe a, a u úero b que cuple la siguiete codició: a = b si b = a a se llaa radical, a radicado y ídice de la raíz. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Si a, a existe cualquiera que sea Si a <, sólo existe su raíz de ídice ipar.

4 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 4 FORMA EXPONENCIAL DE LOS RADICALES Fora expoecial de radicales a = a PROPIEDADES DE LOS RADICALES p a p = a (Para siplificar radicales o reducir a coú ídice) p ( ) a p = a a = a a. b = a.b a = b a b OPERACIONES CON RADICALES Sua y resta de radicales : Dos radicales distitos o puede suarse si o es obteiedo sus expresioes deciales aproxiadas. Sólo puede suarse radicales idéticos. Producto y cociete de radicales : Para poder ultiplicar o dividir dos radicales debe teer el iso ídice e la raíz, es decir, debeos expresarlas co el.c. de sus ídices. (Aplicar propiedades y 4 del apartado aterior). Racioalizació de deoiadores : A veces coviee supriir las raíces del deoiador. Para ello hay que ultiplicarlo por la expresió adecuada. Naturalete, el uerador tabié se ultiplicará por esa isa expresió. - Para supriir ua raíz cuadrada (auque esté ultiplicada por u úero), basta ultiplicar uerador y deoiador por dicha raíz. - Para supriir ua raíz -ésia (auque esté ultiplicada por u úero), se ultiplica uerador y deoiador por otra raíz -ésia tal que se coplete e el radicado ua potecia -ésia. - E ua sua de raíces cuadradas, a + b, se suprie los radicales ultiplicado por el cojugado a b y viceversa.

5 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 5.4 LOGARITMOS LOGARITMOS EN BASE CUALQUIERA Si a > y a, se llaa logarito e base a de p, y se desiga log a p, al expoete al que hay que elevar la base a para obteer p. log a p = x a x = p PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS El logarito de la base es : log a a = El logarito de es : log a = El logarito de ua potecia es igual al expoete por el logarito de la base de la potecia: log a p =. log a p El logarito de u producto es igual a la sua de los logaritos: log a (p.q) = log a p + log a q El logarito de u cociete es igual a la resta de los logaritos: log a (p/q) = log a p log a q El logarito de ua raíz es igual al logarito del radicado dividido por el ídice : log loga p a p = Cabio de base : El logarito e base a de u úero se puede obteer a partir de log logaritos de logaritos deciales. log a p = c p log a ALGUNOS LOGARITMOS IMPORTANTES Se llaa logarito decial de u úero p y se desiga por log p, al expoete al que hay que elevar el para obteer p. log p = x x = p La tecla log os da el logarito decial del úero que escribaos e la patalla a cotiuació. Se llaa logarito eperiao de u úero p y se desiga por L p, al expoete al que hay que elevar el úero e para obteer p. L p = x e x = p La tecla L os da el logarito eperiao del úero que escribaos e la patalla a cotiuació. U logarito e otra base a cualquiera (distita de o e) se puede obteer a partir de logaritos de logaritos e cualquier base (c) (E particular, base o base e). log c p log p L p log a p = = = log a log a L a c c

6 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 6.5 EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. NÚMEROS APROXIMADOS. EXPRESIÓN DECIMAL DE LOS NÚMEROS REALES. ERRORES Y COTAS Al expresar u úero real co uchas o ifiitas cifras deciales, utilizaos expresioes deciales aproxiadas, es decir, recurrios al redodeo. Al realizar estas aproxiacioes coeteos errores. Error absoluto = Valor real Valor de edició Error relativo = Error absoluto Valor real Cotas de los errores: Núeros ayores o iguales que el valor absoluto de los errores: Error Absoluto k Error relativo k CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuado utilizaos los úeros deciales para expresar edicioes cocretas, se debe dar co ua catidad adecuada de cifras sigificativas. Se llaa cifras sigificativas a aquellas co las que se expresa u úero aproxiado. Sólo de debe utilizar aquellas cuya exactitud os coste. El error absoluto suele ser eor que 5 uidades del lugar siguiete al de la últia cifra sigificativa utilizada. El error relativo es tato eor, cuato ás cifras sigificativas se utilice. NOTACIÓN CIENTÍFICA La otació cietífica se utiliza para expresar úeros uy grades o uy pequeños. U úero puesto e otació cietífica costa de : - Ua parte etera forada por ua sola cifra que o es el cero(la de las uidades) - El resto de las cifras sigificativas puestas coo parte decial. - Ua potecia de base que da el orde de agitud del úero. a = Parte etera (sólo ua cifra) bcd... = Parte decial = Potecia etera de base N = a, bcd... x Si es positivo, el úero N es grade Si es egativo, el úero N es pequeño

7 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 7 Operacioes co úeros e otació cietífica El producto y el cociete so iediatos, teiedo e cueta: b. c = b+c b : c = b-c E suas y e restas hay que preparar los suados de odo que tega todos la isa potecia de base Calculadora para la otació cietífica Iterpretació : sigifica 5,749 x 9 Escritura: 5,749 x 9 5,749 EXP 9,94 x -,94 EXP ± Modo cietífico (SCI) : Hace que la calculadora trabaje siepre co úeros e otació cietífica y, adeás, co la catidad de cifras sigificativas que previaete le hayaos idicado. ( MODE 8 4. ) Para volver a odo oral MODE 9..5 FACTORIALES Y NÚMEROS COMBINATORIOS. FACTORIAL DE UN NÚMERO NATURAL Es el producto de los factores cosecutivos desde hasta. El factorial de u úero se deota por!. Ejeplo Calcular factorial de 5. NÚMEROS COMBINATORIOS U úero cobiatorio es u úero atural de la fora Para obteerlo se aplica la siguiete fórula: ( ) =!!( )! ( ), dode y se lee sobre.

8 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 8 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS I. ( ) ( ) =, = II. ( ) ( ) = Pues, si dispoeos de eleetos, cada vez que escogeos os queda. III. ( ) ( ) ( ) + = TRIÁNGULO DE TARTAGLIA Tartaglia (se lee Tartalla) fue u ateático italiao del siglo XVI. Su verdadero obre era Niccolò Fotaa. E ua guerra recibió u golpe, a cosecuecia del cual quedó tartaudo. Su apodo, Tartaglia (tartaja), se hizo ta popular que él iso firaba así sus libros. Pues bie, para resaltar las propiedades de los úeros cobiatorios, a este ateático se le ocurrió poerlos del siguiete odo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sus correspodietes valores so los de la derecha. Esta cofiguració respode a las propiedades de arriba Puedes coprobarlo.

9 Tea Los úeros reales Mateáticas I º Bachillerato 9 FÓRMULA DEL BINONIO DE NEWTON ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (a + b) = a + a b + a b a b + ab + b Esta fórula tiee + térios y, e cada uo de ellos, las potecias de a y b sua : ( ) Prier tério o tério que ocupar el lugar : a ( ) Segudo tério o tério que ocupa el lugar : a b ( ) Tercer tério o tério que ocupar el lugar : a b... ( )-ésio tério o tério que ocupa el lugar : -ésio tério o tério que ocupa el lugar : ( ) ab ( + )-ésio tério o tério que ocupa el lugar + : ( ) a b ( ) b