CAPÍTULO 5: SEGMENTOS PROPORCIONALES (II)

Transcripción

1 PÍTULO 5: SEGMENTOS PROPORIONLES (II) Date Guerrero-haduví Piura, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Área Departaetal de Igeiería Idustrial y de Sisteas

2 PÍTULO 5: SEGMENTOS PROPORIONLES (II) Esta obra está bajo ua licecia reative oos tribució- Nooercial-SiDerivadas 2.5 Perú Repositorio istitucioal PIRHU Uiversidad de Piura 2

3 UNIVERSIDD DE PIUR apítulo 5: Segetos Proporcioales (II). Teoreas GEOMETRÍ FUNDMENTL Y TRIGONOMETRÍ LSES Elaborado por Dr. Ig. Date Guerrero Uiversidad de Piura. 36 diapositivas

4 PÍTULO V : SEGMENTOS PROPORIONLES a b c TEOREM DE THLES DE MILETO TEOREM V - 1 Si u sistea de paralelas corta a 2 rectas secates r y r' deteria sobre ellas segetos hoólogos (correspodietes) proporcioales. r r Explicació D D D D ' D' D' d D D Segetos hoólogos o correspodietes: e este caso, los liitados por las isas paralelas: el hoólogo de es '', etc. Dr. Ig. Date Guerrero 1

5 TEOREM DE THLES DE MILETO Deostració TEOREM V - 1 Paso 1. Si dos segetos de r so iguales, los 2 hoólogos de r' tabié lo so (hay correspodecia e la igualdad). Paso 2. Si u segeto de r es igual a la sua de otros dos de r, el hoólogo del priero e r' es igual a la sua de los hoólogos de los segudos. (hay correspodecia e la sua) Paso 3. Habiedo correspodecia e la igualdad y e la sua, se puede deostrar co absoluta geeralidad que los segetos hoólogos so proporcioales. TEOREM DE THLES DE MILETO Deostració TEOREM V - 1 Paso 1. Si dos segetos de r so iguales, los 2 hoólogos de r' tabié lo so (hay correspodecia e la igualdad). r r M M Hipótesis Sea MN PQ p q α N β N N P α Q β' P Q Q Tesis deostrareos que M'N' P'Q' Trazado por M y P paralelas a r Obteeos los triágulos MNN'' y PQQ'' que so cogruetes (MN PQ, α y ß so iguales a α' y ß' por correspodietes). Luego MN'' PQ''; luego M' N' P' Q' Dr. Ig. Date Guerrero 2

6 TEOREM DE THLES DE MILETO Deostració orolario: Dividir u segeto e partes iguales. TEOREM V - 1 Dado u segeto, desde trazaos ua recta r y sobre ella colocaos partes iguales arbitrarias. Uios el extreo de la últia, E, co ; y por los extreos de las restates, trazaos paralelas a E. -1 r E TEOREM DE THLES DE MILETO Deostració TEOREM V - 1 Paso 2. Si u segeto de r es igual a la sua de otros dos de r, el hoólogo del priero e r' es igual a la sua de los hoólogos de los segudos. (hay correspodecia e la sua) r r a b c D D d E E e D D F F f Hipótesis Tesis + D EF '' + 'D' E'F' Trasladado las distacias y D, ua a cotiuació de otra, a partir de E y a lo largo de r, se deteria F, por dode pasa la paralela f, tal que + D EF. Luego, e virtud del Paso 1, descrito ateriorete, + D E F. Dr. Ig. Date Guerrero 3

7 TEOREM DE THLES DE MILETO Deostració TEOREM V - 1 Paso 3. Habiedo correspodecia e la igualdad y e la sua, se puede deostrar co absoluta geeralidad que los segetos hoólogos so proporcioales. r r quí os liitareos a deostrarlo a para el caso particular (suficiete e la práctica técica) de que los segetos tega edidas b racioales (es decir, al ser edidos a c arroja úeros racioales, coo siedo a y b eteros) b Sea la razó: D d D D TEOREM DE THLES DE MILETO Ello quiere decir que: Deostració TEOREM V - 1 Dividiedo e partes iguales, y Dividiedo D e partes iguales, Ua parte (de ) y ua parte (de D) será iguales etre sí. Supoiedo dividido e partes: Se traza paralelas del sistea por los extreos de cada ua, las cuales deteriaría partes tabié iguales e ''; Se hace lo propio co D, obteiedo partes iguales e 'D'. Dr. Ig. Date Guerrero 4

8 TEOREM DE THLES DE MILETO TEOREM V - 1 Ya que tato y coo D y D queda divididos e u iso úero de partes y, respectivaete, teeos: ( uidades D ( uidades ' ' ( uidades 'D' ( uidades r r ) r' ) r' ) D ) ' ' ( uidades 'D' ( uidades D ( uidades ( uidades D Lqqd. r Deostració ) ) r r' r' ) ) a b c d D r r D TEOREM V - 2 Toda paralela a u lado de u triágulo divide a los otros 2 e segetos proporcioales. D D Deostració Sea u triágulo y trazaos ua paralela al lado que corta a los otros dos lados e ' y ' Supoeos trazada la paralela a que pasa por. plicado al sistea de 3 paralelas el Teorea de Thales: ' ' Lqqd. Dr. Ig. Date Guerrero 5

9 TEOREM V - 3 (recíproco del aterior) Si ua recta corta a 2 lados de u triágulo (o a sus prologacioes) deteriado segetos proporcioales a ellos (y situados abos al iso lado del vértice coú), es paralela al 3er lado. Deostració Sea u triágulo y ua recta r que corta a dos lados e ' y ' tales que r r ' o sea ' ' TEOREM V - 3 Trazaos r' paralela a por '; corta a e ''. E virtud del teorea V-2: x x ; r r Siedo ' '', ' debe coicidir co '' y por tato r debe coicidir co r'' y ser paralela a. Dr. Ig. Date Guerrero 6

10 TRINGULOS SEMEJNTES Dos triágulos so seejates cuado tiee los águlos respectivaete iguales, y los lados hoólogos (opuestos a águlos iguales) respectivaete proporcioales. So seejates si: Â Â'; '; ' c b c b a a b b c K c (K razó de seejaza). a a TEOREM FUNDMENTL DE LOS TRIÁNGULOS SEMEJNTES TEOREM V - 4 Toda paralela a u lado de u triágulo fora, co los otros dos lados (o co sus prologacioes) otro triágulo seejate al priero. Deostració Sea u triágulo ; trazaos r paralela a ; corta a los lados e ' y '. Decios que y '' so seejates; porque: Â es igual por coú. ˆ ˆ por ˆ ˆ correspodietes; por lo iso. r Dr. Ig. Date Guerrero 7

11 TEOREM FUNDMENTL DE LOS TRIÁNGULOS SEMEJNTES r luego: ' ' ˆ ˆ ' ' ˆ ˆ,los lados so proporcioales. TEOREM V - 4 por teorea V-2 Trazaos por ', ''' paralela a. ' ' por Teorea V-2 ; Siedo los águlos respectivaete iguales y los lados hoólogos proporcioales, los triágulos so seejates. TEOREM V - 5 Todo triágulo ''' seejate a otro es cogruete co u triágulo forado por 2 lados de y ua paralela al 3er lado. Deostració Supogaos que y so seejates. Toeos sobre el puto '' de odo que ''''. Traceos '''' paralela a. El triágulo '''' es seejate a. Â Â ˆ ˆ ˆ Ĉ Ĉ Ĉ Dr. Ig. Date Guerrero 8

12 TEOREM V - 5 ' ' '' '' '' por ser seejates y ''' por ser seejates y '''' TEOREM V - 5 ' ' '' '' '' Dividiedo ordeadaete los tres iebros de las igualdades ateriores, se obtiee: ' ' '' '' '' 1 ' ' '' '' y coo '' '' por tato '' '' y tabié '' '''' Fialete los triágulos '''' y ''' tiee lados y águlos respectivaete iguales y so, por tato, cogruetes. Dr. Ig. Date Guerrero 9

13 SOS DE SEMENJNZ DE TRINGULOS De acuerdo co la defiició de triágulos seejates, para saber si u triágulo es seejate a otro ''', habría que averiguar si: Â Â' ; ' ; ' ; a b c a b c Si ebargo, o es ecesario coprobar todas estas codicioes, pues o so idepedietes; basta que coprobeos que se cuple alguas, para poder asegurar que tabié se cuple las deás. Las codicioes íias se expresa por edio de los siguietes casos TEOREM V - 6 Dos triágulos so seejates e los casos siguietes: aso 1 uado tiee 2 águlos respectivaete iguales. aso 2 uado tiee u águlo respectivaete igual y los lados que lo fora respectivaete proporcioales. aso 3 uado tiee los 3 lados respectivaete proporcioales. Dr. Ig. Date Guerrero 10

14 Deostració Sea y ''' los triágulos aso 2 Sea TEOREM V - 6 aso 1 Debiedo suar 180º los 3 águlos, el 3er. águlo es tabié igual. Toado sobre la distacia '' '' y trazado '''' paralela a obteeos '''' seejate a y cogruete co '''. Luego ''' es seejate a. ˆ ˆ y Trazado '''' de la isa fora que e el caso aterior, '''' resulta cogruete co ''' y seejate a. aso 3 Obteeos '''' cogruete co ''' (lados iguales). SEMEJNZ DIRET E INVERS Supogaos u triágulo e el piso (plao) y u observador situado detro de él (co los pies detro del triágulo). Si ira sucesivaete a los vértices, y puede ser que tega que girar e setido cotrario al de la agujas del reloj (setido positivo) o e el iso setido (setido egativo). Sea el iso observador e u triágulo seejate '''. Si para irar a ', ' y ' debe girar e el iso setido que ates, la seejaza se llaa directa. E caso cotrario, se llaa iversa Seejaza directa + Seejaza iversa Dr. Ig. Date Guerrero 11

15 TEOREM V - 7 Si u haz de rectas corta a dos paralelas, deteria sobre ellas segetos hoólogos proporcioales. V a b c d D D Haz de rectas es el cojuto de rectas que pasa por u puto V, llaado vértice del haz. Deostració: Quereos deostrar que TEOREM V - 7 D D V a b c d D D Dr. Ig. Date Guerrero 12

16 TEOREM V - 7 Los triágulos V y V'' so seejates: V V' V Tabié lo so los V y V'' V V' a b c d igualado las dos proporcioes (tiee ua razó coú): D D lo iso podríaos seguir haciedo, e fora cosecutiva, co los restates triágulos. LGUNS PLIIONES (1) Dividir u segeto e 2 partes proporcioales a otros 2 segetos y. Sea el segeto a dividir : x p y Por y se traza 2 seirrectas paralelas y e setido cotrario; sobre ellas se coloca y. Se ue los extreos, obteiedo el puto P. Por seejaza de triágulos: x y ; x+ y Dr. Ig. Date Guerrero 13

17 LGUNS PLIIONES (2) E ua recta que cotega 2 putos y, hallar putos X tales que sus distacias a y sea proporcioales a y. M N N Por se traza ua seirrecta y se toa sobre ella ; Por se traza ua paralela a ella y se toa e los dos seiplaos. x 1 x 2 LGUNS PLIIONES Se ue los 2 putos MN' y MN obteiedo: X 1 (iterior a ) y X 2 (exterior a ) que cuple. M N x 1 x 2 N Dr. Ig. Date Guerrero 14

18 LGUNS PLIIONES Puede deostrarse que igú otro puto, iterior i exterior, puede cuplir la codició propuesta: X 1 X 1 ; X M x 1 N N cualquier otro puto iterior que cupliera X 1, daría que su distacia a es: x 2 X 1 + igual; luego coicidiría co X 1. LGUNS PLIIONES Deostració aáloga se hace co X 2. Luego: los 2 putos obteidos so los úicos que cuple. M N x 1 N Nota: La solució X 2 se pierde cuado, pues e este caso MN es paralela a. E leguaje ateático, puede decirse que para este caso, "X 2 está e el ifiito". x 2 Dr. Ig. Date Guerrero 15

19 TEOREM V - 8 El segeto que ue los putos edios de dos lados de u triágulo, es paralelo al tercer lado e igual a su itad. Deostració: Porque fora co las itades de dos lados u triágulo seejate, de razó de seejaza igual a 1/ TEOREM V - 9 Las tres ediaas de u triágulo se corta e u puto llaado baricetro (que sigifica cetro de gravedad), situado e cada ediaa a 1/3 de distacia de la base (o lado) y a 2/3 del vértice. Deostració: M b G M a E el triágulo, las ediaas y se corta e G. Uiedo M b co M a, M a M b es paralelo a e igual a su itad. Dr. Ig. Date Guerrero 16

20 Los triágulos G y M a GM b so pues seejates: TEOREM V - 9 G G 2 M a M b GM b G M a o sea G 2 x GM b ; G 2 x GM a Se corta (estas dos ediaas) e el puto G a la 3ra. parte de la base. M b G M a oo ese puto es úico para M a, al repetir el proceso aterior para la ediaa de y la de, se ecotrará igualete que esta últia pasa tabié por G y que está a 1/3 de su propia base. TEOREM V - 10 E dos triágulos seejates, la razó de seejaza de los lados es tabié la razó que tiee etre sí: a) las alturas hoólogas, b) las ediaas hoólogas, c) las bisectrices hoólogas, d) los radios de las circuferecias iscrita y circuscrita, c b h a b h a e) los períetros. a H a H Dr. Ig. Date Guerrero 17

21 TEOREM V - 10 Los triágulos H y 'H'' so seejates; luego b ha b h a c b h a b h a a H a H TEOREM V - 10 De fora aáloga se deuestra los casos b) las ediaas hoólogas, c) las bisectrices hoólogas, d) los radios de las circuferecias iscrita y circuscrita, e) los períetros 2p a+b+c 2p a +b +c a b c a +b+c 2p a b c a +b +c 2p (lqqd) Dr. Ig. Date Guerrero 18