UNIDAD 2 VARIABLES ALEATORIAS ESTADÍSTICA. Ingenierías: Recursos Hídricos- Ambiental-Agrimensura TEORÍA. Mg.Ing. Susana Vanlesberg Profesor Titular

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1 Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingenierías: Recursos Hídricos- Ambiental-Agrimensura TEORÍA Mg.Ing. Susana Vanlesberg Proesor Titular UNIDAD 2 VARIABLES ALEATORIAS Pág.1

2 2.-VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES En el capítulo I al hablar de sucesos elementales se deinieron casi exclusivamente en orma cualitativa: buenos y malos; deectuosos y no deectuosos; llueve y no llueve, etc.; pero muchas veces es necesario cuantiicar resultados. Es más, la mayor parte de los problemas que se plantean en ingeniería tienen que ver con cantidades medibles. Esta cuantiicación se realiza a través de una variable que será de tipo aleatoria. Formalmente deinida variable aleatoria es aquella unción que asocia a cada suceso elemental del espacio muestral un número perteneciente a los reales. Es decir, una variable aleatoria es una variable cuyo valor numérico está determinado por el resultado del experimento aleatorio. Al realizar el experimento aleatorio la variable toma un solo valor. La variable aleatoria (v.a.) será notada con letras en mayúscula X, Y, y con letras en minúscula x, y,.sus valores. La v.a. puede tomar una cantidad numerable o no numerable de valores, dando lugar a dos tipos de v.a.: discretas y continuas. Clasiicación Si el enómeno estudiado u observado es tal que puede ser cuantiicado por valores contables o enteros, entonces la variable aleatoria se dice discreta. El conunto de los valores posibles de esta variable puede ser inito o ininito numerable por eemplo contar el número de inundaciones en los últimos 10 años en la ciudad de Santa Fe, números de eventos de contaminación producidos por los eluentes de una empresa, cantidad de teodolitos que se llevan a un trabao de campo. Si el enómeno puede ser cuantiicado a través de cualquier número real, la variable se dirá continua. Por eemplo monto de lluvia precipitada en cierto día en Santa Fe; descarga diaria de un canal, contenido de un contaminante en un eluente, medida del lado de una poligonal 2.1- DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES Si se considera la variable aleatoria discreta "cantidad de días de lluvia en un año" se veriica que hay cierta cantidad de resultados posibles: pueden haber 20, 30, 150 etc. También puede asegurarse que hay una cierta probabilidad que sean 30 días con lluvia, que sean 150 etc. Existe una asignación de probabilidades a cada uno de los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria. Esa correspondencia entre los valores de la variable aleatoria y su probabilidad de ocurrencia es lo que se denomina Pág.2

3 Distribución de Probabilidades El comportamiento de una variable aleatoria es descrito por sus leyes de probabilidad, las cuales pueden ser caracterizadas de distintas ormas: a- la orma más común es a través de la distribución de probabilidades, el caso más sencillo es a través de una lista de los valores que la variable aleatoria puede tomar y sus respectivas probabilidades (sólo posible en el caso de variable aleatoria discreta); b- a través de gráicos c- a través de modelos matemáticos que representen la ley Variable Discreta Función de Cuantía Esta unción es la orma matemática de expresar la correspondencia entre los valores de la variable y sus probabilidades: (x) = P(X = x) (1) Para ser una unción de probabilidad, deberá cumplir con los siguientes requisitos: a- (xi) debe tener un valor numérico para todos los posibles valores de la variable aleatoria. b-0 (xi) 1 i=1,2 r r c- i1 ( x i ) 1 Pág.3

4 Fig. Nº 1- Función de cuantía Puede hacerse una semeanza con mecánica considerando una masa total unitaria distribuida sobre el ee de las x, con la masa ubicada en cada uno de los puntos y proporcional en altura a la probabilidad de que la variable tome ese valor. Pág.4

5 Función de Distribución Otra orma de describir la distribución de probabilidades de una variable aleatoria es a través de una unción denominada unción acumulativa o unción de distribución. Esta unción F(x) es simplemente la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que un valor determinado: F(x) = P(X x) (2) Para el caso de variable aleatoria discreta esta unción es la suma de los valores de la unción masa de probabilidad evaluada en todos aquellos valores menores o iguales que x, que la variable puede tomar: F(x) = x x i ( xi ) (3) La gráica de esta unción es de tipo escalonada, ya que experimenta saltos en los distintos xi, iguales a la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores. Entre los valores, la probabilidad permanece constante: Fig. Nº 2- Función de distribución La unción de distribución de una v.a. discreta es una unción que veriica: - 0 F(x) 1, x Pág.5

6 - Es no decreciente, es decir, si xi x, entonces F(xi) F(x) Se puede decir por tanto que una v.a. X discreta, está caracterizada por su unción de probabilidad o distribución de probabilidad P(x) y también por su unción de distribución F(x). Eemplo: Considérese la variable aleatoria X: Nº de barcos de carga que llegan a un puerto en una semana determinada del mes de mayo. Las probabilidades para los distintos casos son: p(x)= x = 0 x = 1 x = 2 x = 3 x = 4 x = 5,6... F(x) = P(X x)= , , , , 0, x < 0 0 x < 1 1 x < 2 2 x < 3 3 x < 4 1, x 4 Pág.6

7 Variable aleatoria continua Función de densidad La v.a. de tipo continuo se tratará de orma dierente a como se ha visto en el caso de v.a. discreta, ya que en el caso continuo no es posible asignar una probabilidad a cada uno de los ininitos posibles valores de la v.a. y que estas probabilidades sumen uno (como en el caso discreto), teniendo por tanto que utilizar una aproximación dierente para llegar a obtener la distribución de probabilidad de una v.a. continua. El problema de especiicar la distribución de probabilidades y de esta manera la ley para una variable aleatoria continua es sencillo de derivar. El ee x se divide en un gran número de intervalos ininitesimales, cada uno de longitud dx, es posible deinir una unción (x), tal que la probabilidad de que x esté en un intervalo (x, x+dx) es (x)dx. Esta unción se denomina unción de densidad de probabilidad o, simplemente, unción de densidad. Fig. Nº 3- Función de densidad Pág.7

8 Ya que ocurrencias en distintos intervalos son eventos mutuamente excluyentes, se deduce que la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores en un intervalo de longitud inita, es la suma de probabilidades en los intervalos ininitesimales, o sea, es (x)dx sobre el intervalo de interés. De esta manera, el área bao la curva de esta unción en un intervalo, representa la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo reerido: b P(a x b)= (x)dx (4) a La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor especíico es 0, ya que la longitud del intervalo dx desaparecería: P(X = x 1 )= x1 x1 (x)dx= 0 Como consecuencia de esto, las siguientes expresiones son equivalentes: P(a X b) P(a < X <b) P(a X <b) P(a < X b) El valor de (x) en sí mismo no es una probabilidad, sino solamente la medida de la densidad de probabilidad en un intervalo. Debe cumplir con las condiciones: (x) 0 - (x)dx= 1 Pág.8

9 Puede hacerse una analogía con mecánica, diciendo que se tiene una masa total unitaria distribuida en orma continua en el intervalo en el que toma valores la variable. Función de Distribución Se deine la unción de distribución acumulativa de la v.a. X, F(x), como la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores menores o iguales a x, es decir: F(x) = P(X x) (5) F(x)= x - (u)du (6) Fig. Nº 4- Función de distribución Pág.9

10 Consideramos una masa unidad distribuida sobre el intervalo (,+ ), y la unción de distribución F(x) para cada valor x de la v.a. da la cantidad de masa que hay en el intervalo (, x], es decir, la masa que hay en el punto x y a la izquierda de x, aunque dará igual considerar el intervalo (, x ). Propiedades de la Función de Distribución: F(- )=0, F(x)= lim x x- - F( )=1, F(x)= lim x x - (u)du = 0 (u)du=1 Es una unción monótona creciente: Si x < x+m entonces F(x) F(x+m). F( x+m) = F(x) + P( x < X x+m) Esto permite obtener la probabilidad en un intervalo: F(x m) - F(x)= P(x < X x + m) P(a < X <b)= F(b) - F(a) Puede establecerse la relación entre ambas unciones, considerando un x arbitrariamente pequeño y evaluar la unción acumulativa en los extremos de ese intervalo: x+ x y x, haciendo tender a cero la amplitud x: Pág.10

11 lim x0 F(x + x)- F(x) x lim X 0 P(X x + x)- P(X x x) F (x)= (x)= P(x < X x + x) x luego : F(x)= x - (t)dt (7) 2.2- Variables aleatorias bidimensionales En determinadas ocasiones hay que trabaar en espacios de más de una dimensión, estableciendo aplicaciones que transorman los sucesos elementales del experimento aleatorio en puntos del espacio n-dimensional (Rn), estas aplicaciones se hacen utilizando v.a. n-dimensionales. En muchas ocasiones puede interesar estudiar conuntamente dos o más características del enómeno aleatorio, es decir, estudiar el comportamiento conunto de dos o más v.a. para intentar explicar la posible relación entre ellas. En cualquier sistema ísico que se estudie pueden existir varias variables y debido a la interrelación entre ellas deben estudiarse modelos que describan el comportamiento probabilístico conunto. Para poder estudiar conuntamente las v.a. es necesario conocer la distribución de probabilidad conunta Por eemplo observar en orma simultánea cantidad de evaporación y promedio de temperatura en un día y lugar determinados es el caso de una variable aleatoria bidimensional. Se puede deinir variable aleatoria bidimensional como el par de números que expresa el resultado de un experimento combinado y esto puede ser representado en el plano x y; el recorrido o rango será ahora un subconunto del plano x y. También corresponde hacer la distinción entre variable bidimensional discreta y bidimensional continua. Pág.11

12 Distribución de probabilidades Variable aleatoria bidimensional discreta Función masa de probabilidades conuntas Esta unción es la correspondencia entre cada par de puntos y su probabilidad de ocurrencia. Analíticamente se expresa: (x y)= P(X = x;y = y) (8) ya que es una probabilidad debe cumplir con las siguientes condiciones : (x y) 0 x y i ( x i y )= 1, con i = 0,1...m = 0,1...n Esto puede representarse en orma tridimensional. En el ee perpendicular al plano x y se graican las probabilidades conuntas. Fig. Nº 5- Función de cuantía conunta Pág.12

13 Esta distribución conunta puede presentarse también a través de una tabla a doble entrada, considerando cada valor de cada variable en los extremos de la tabla y en el cuerpo de ella las probabilidades de presentación conunta (para cada par de valores). Esto sólo puede hacerse si la variable aleatoria bidimensional es discreta. La unción acumulativa conunta se deine a partir de la unción masa: F(x y)= P(X x;y y)= ( xi ; y ),i=0,1...m =0,1...n (9) X x Y y i X Y y1 y2.. Función marginal de X x1 x2.. Función marginal de Y (x2;y2) Funciones marginales Funciones masa de probabilidad marginales El comportamiento de una variable en particular sin considerar la otra, se describe a través de las unciones marginales. Se las obtiene a partir de la unción masa de probabilidades conuntas. En orma analítica se expresa a través de: (x)= P(X = x)= (y)= P(Y = y)= y x i (x, y ) ( xi, y) con = 0,1...n con i=0,1...m (10) Funciones acumulativas marginales Pág.13

14 F (x)= P(X x)= F (y)= P(Y y)= x x y y i ( ( x y i ) ) m n x x y =0 x =0 y y i i ( xi, y ( xi, y ) ) (11) Por eemplo: F ( y )= P(X x 2 m ;Y y 2 )= xi Y y2 ( xi, y ) Funciones condicionales Pueden obtenerse a partir de la distribución conunta, es aquella que se deriva al evaluar las probabilidades de presentación de una variable conociendo que la otra variable ha ocurrido con un valor particular. Para un valor particular de Y, Y=y0 la unción de cuantía de x condicionada a Y está dada por : (x/y)= P(X = x/y = y 0 P(X = x Y = y) )= P(Y = y ) 0 (x/y)= (x,y) = ( xi, y) x i (x,y), (y) con (y) 0 (12) Esta unción de cuantía condicional, por ser una unción de probabilidad debe cumplir con las siguientes condiciones: a - 0 (x/y) 1 b - x i (x/y)= 1 Pág.14

15 La distribución condicional de Y dado un valor particular de X se deine de orma similar: (x, y) (y/x) =,con (x) 0 (13) (x) Variable aleatoria bidimensional continua Las unciones asociadas con variables aleatorias bidimensionales continuas son análogas a las del caso discreto, pero la unción de cuantía será reemplazada por la unción de densidad conunta, siendo (x,y) x y la probabilidad de que la variable (x,y) caiga en el intervalo x, x+ x ; y, y + y. La probabilidad de ocurrencia conunta de x e y en alguna región del espacio muestral se determina por integrar la unción de densidad conunta en esta región. Esto es igual al volumen debao de la unción de densidad conunta (x,y), sobre la región limitada por x1x2 e y1 y2. P( x1 X x2 ; y Y y )= (x, y)dxdy (14) 1 2 x2 x1 y2 y1 La unción de densidad conunta debe cumplir con las siguientes condiciones: (x, y) (x, y)dxdy = 1 Pág.15

16 Fig. Nº 6- Función de densidad conunta La unción de distribución conunta se deine como: F(x, y)= P(- X x ; - Y y) F(x, y)= P(X x;y y) (15) F(x, y)= x - y - (t,l)dtdl Propiedades Son similares al caso unidimensional: Pág.16

17 F(- ; y)= 0 F(- ;- )= 0 F( ; )= 1 F(x;- )= 0 A partir de esta unción, se puede obtener la de densidad conunta por derivar parcialmente: 2 F(x, y) = xy (x, y) (16) Funciones de densidad marginales Como en el caso discreto, para estudiar el comportamiento de una de las variables en particular se lo hace a través de las unciones marginales: (y)= - (x)= - (x, y)dx (x, y)dy (17) Funciones de distribución marginales F (x)= P(X x)= x - - (x, y)dydx= x - (t)dt F (x)= F x,y (x, ) (18) se deduce que: (x)= [F(x, )] = [ F x x (x)] Pág.17

18 de orma similar: F (y)= P(Y y)= y - - (x, y)dxdy = y - (s)ds F (y)= F x,y (,y) (19) (y)= F(, y)= [ F y y (y)] Gráicamente todas las unciones: Fig. Nº 7- Función de distribución conunta Pág.18

19 Fig. Nº 8 -Función de distribución marginal de X Fig. Nº 9 -Función de distribución marginal de Y Pág.19

20 Fig. Nº 10 -Función de densidad marginal de Y Fig. Nº 11 -Función de densidad marginal de X Pág.20

21 Fig. Nº 12 Funciones marginales Si interesa obtener la probabilidad en un intervalo para una de las variables puede obtenerse a partir de la unción conunta o a partir de las marginales: P(a < X < b)= b a (x)dx (20) P(a<X <b)= b a - (x,y)dydx Funciones de probabilidad condicionales Queremos conocer cómo se distribuye una de las variables cuando se imponen condiciones a la otra variable. Recordando el concepto de sucesos dependientes: P(AB) P(A/B) = P(B) P(AB) P(B/A) = P(A), con P(A) y P(B) 0 Pág.21

22 En el caso de variable continua la probabilidad de que alguna de las variables tome un valor especíico, no tiene sentido: P(X = x)=0 P(Y = y)=0 Función de densidad condicionada de la v.a. continua X dado Y=y: ( X / Y ( x, y) y) ( y) 0 ( y) 0 en el resto (21) Función de densidad condicionada de la v.a. continua Y dado X=x: ( Y / X ( x, y) x) ( x) 0 ( x) 0 en el resto (22) Puede demostrarse que las anteriores son unciones de densidad, por eemplo: - (X/Y)dx = - (x, y) dx= (y) 1 (y) - (x, y)dx= (y) = 1 (y) Función de distribución condicionada de la v.a. continua X dado Y=y0: F x ( x, y) dx x ( x / y) ( x / y) dx (23) ( y) Función de distribución condicionada de la v.a. continua Y dado X=x0: F y ( y / x) ( y / x) dx (24) y ( x, y) dy ( x) Pág.22

23 INDEPENDENCIA DE VARIABLES ALEATORIAS Cuando se tienen dos variables aleatorias distribuidas conuntamente, puede interesar saber si las variables son dependientes o independientes, ya que puede tener importancia para determinar si es correcto predecir el valor de una basándose en el valor de la otra. Recordar también aquí el concepto de independencia de sucesos: P(AB) = P(A).P(B) P(X x;y y)= P(X x).p(y F(x, y)= F (x).f (y) y) (25) Esto solo es posible de expresar si las variables son independientes. Las variables aleatorias son independientes si y sólo si la unción conunta puede expresarse como el producto de sus marginales. Si la variable bidimensional es discreta se expresa de la siguiente orma: P(X = xi ;Y = y )= P(X = xi ).P(Y = y ) ( xi, y )= ( xi ). ( y ) Por lo tanto puede concluirse que: es necesario para que dos variables aleatorias distribuidas conuntamente sean independientes, que su unción conunta (de densidad o cuantía o de distribución) pueda descomponerse en el producto de sus marginales. Si la unción conunta está expresada como el producto de sus marginales, es suiciente para asegurar que las variables son independientes. Esta condición es válida tanto para el caso continuo como discreto. Eemplos de variable aleatoria bidimensional Variable continua Considérense dos caudales X e Y en dos corrientes distintas pero en el mismo día. El interés en estudiar el comportamiento conunto puede originarse debido a que ambas corrientes alimentan al mismo reservorio. La unción conunta está dada por: Pág.23

24 (x, y)= c x x y enotra parte La constante c deberá evaluarse haciendo uso de una de las propiedades de la unción de densidad conunta: - - (x,y)dx dy =1 de esta orma: c x 4000 dydx= 1 c= La probabilidad de eventos tales como: el caudal de x es mayor que 2 veces el caudal de y puede interesar al ingeniero que analiza la situación. La probabilidad de este evento es el volumen bao la unción conunta sobre la región de interés: P(X 2Y)= 2.5* x ( x)dydx Pág.24

25 Las unciones marginales de X y de Y son: (x)= 2.5* ( x)dy = * ( x), 0 x 4000 (y)= 2.5* ( x)dx= 2000* 2.5*10 7, 0 y 2000 El ingeniero puede utilizar inormación de Y, el caudal en la corriente menor, para predecir X, caudal en la corriente mayor, con mayor seguridad. Esto puede hacerlo contando con la unción condicional (X/Y) y la distribución marginal *10.( x) (X,Y) (X/Y) = = (Y) 2.5* (X/Y)= (X) Esto dice que el conocimiento de Y no altera la unción de X, es decir, no brinda inormación adicional a la necesidad de predicción. Pág.25