Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería y Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA. Ingeniería Informática TEORÍA

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1 Universidad Nacional del Litoral Facultad de Ingeniería Ciencias Hídricas ESTADÍSTICA Ingeniería Inormática TEORÍA Mg.Ing. Susana Vanlesberg Proesor Titular UNIDAD 2 Variables Aleatorias Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 1

2 VARIABLES ALEATORIAS Al hablar de sucesos elementales, se deinieron casi eclusivamente en orma cualitativa (buenos malos; deectuosos no deectuosos; varón muer, etc.); pero muchas veces es conveniente cuantiicar resultados. Es más, la maor parte de los problemas que se plantean en la práctica tienen que ver con cantidades medibles. Esta cuantiicación se realiza a través de una variable que será de tipo aleatoria. Formalmente variable aleatoria es aquella unción deinida en el espacio muestral que asocia a cada punto muestral un número perteneciente a los reales. Al realizar el eperimento aleatorio la variable toma un solo valor. Clasiicación Al observar un determinado enómeno es sencillo deducir que eisten distintos tipos de variables aleatorias. Si el enómeno estudiado u observado es tal que puede ser cuantiicado por valores contables o enteros, entonces la variable aleatoria se dice discreta. El conunto de los valores posibles de esta variable puede ser inito o ininito numerable. Como eemplo, cantidad de procesadores Pentium Intel deectuosos en una partida. Si el enómeno puede ser cuantiicado a través de cualquier número real, la variable se dirá continua. Por eemplo monto de ganancias anuales de una empresa Distribución de Probabilidades Si se considera la variable aleatoria "cantidad de pulsos teleónicos registrados en un nodo Internet en un mes determinado" se veriica que ha cierta cantidad de resultados posibles: pueden haber 200, 300, 1500 etc. También puede asegurarse que ha una cierta probabilidad que sean 300 pulsos, 1500, etc. Eiste una asignación de probabilidades a cada uno de los posibles valores que puede tomar una variable aleatoria. Esa correspondencia entre los valores de la variable aleatoria su probabilidad de ocurrencia es lo que se denomina Distribución de Probabilidades. Distribución de Probabilidades El comportamiento de una variable aleatoria es descrito por sus lees de probabilidad, las cuales pueden ser caracterizadas de distintas ormas: a- la orma más común es a través de la distribución de probabilidades, el caso más sencillo es a través de una lista de los valores que la variable aleatoria puede tomar sus respectivas probabilidades (sólo posible en el caso de variable aleatoria discreta); b- a través de gráicos c- a través de modelos matemáticos que representen la le. Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 2

3 Variable Discreta. Función Masa de probabilidad o Función de Cuantía. Esta Función es la orma matemática de epresar la correspondencia entre los valores de la variable sus probabilidades: () = P(X = ) (2.1) Para satisacer los aiomas de la Teoría de Probabilidad ser una unción de probabilidad, deberá cumplir con los siguientes requisitos: a- ( i ) debe tener un valor numérico para todos los posibles valores de la variable aleatoria. b- 0 ( i ) 1 para cualquier valor de b- ( i ) = 1 para todos los valores de Fig. Nº 1- Función de cuantía Puede hacerse una semeanza con mecánica considerando una masa total unitaria distribuida sobre el ee de las, con la masa ubicada en cada uno de los puntos proporcional en altura a la probabilidad de que la variable tome ese valor. Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 3

4 Otra orma de describir la distribución de probabilidades de una variable aleatoria es a través de una unción denominada unción acumulativa o unción de distribución. Esta unción F() es simplemente la probabilidad que la variable aleatoria tome valores menores o iguales que un valor determinado: F() = P(X ) (2.2) Para el caso de variable aleatoria discreta esta unción es la suma de los valores de la unción masa de probabilidad evaluada en todos aquellos valores menores o iguales que, que la variable puede tomar: F() = i ( i ) (2.3) La gráica de esta unción es de tipo escalonada, a que eperimenta saltos en los distintos i, iguales a la probabilidad de que la variable aleatoria tome esos valores. Entre dos valores de la variable la probabilidad permanece constante: Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 4

5 Fig. Nº 2- Función de distribución Eemplo: considérese la variable aleatoria X Nº de bultos de carga que llegan a una ábrica en una semana determinada del mes de mao. Las probabilidades para los distintos casos son: p() = 0.1 = = = = = = 5 0 = 6,7,... Su gráica correspondiente es la siguiente: Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 5

6 La unción de distribución su gráica son las siguientes: F() = P(X 0.1, 0.3, )= 0.6, 0.8, 0.9, 0, < 0 0 < 1 1 < 2 2 < 3 3 < 4 4 < 5 1, 5 Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 6

7 Se puede decir que la probabilidad de recibir 2 bultos o menos en la ábrica F(2) = 0.6 = P(=0)+P(=1)+P(=2) = = 0.6. Variable aleatoria continua. Función de densidad. El problema de especiicar la distribución de probabilidades de esta manera la le para una variable aleatoria continua es sencillo de derivar realizando el siguiente razonamiento: Si el ee se divide en un gran número de intervalos ininitesimales, cada uno de longitud d, es posible deinir una unción (), tal que la probabilidad de que esté en un intervalo (, +d) es ()d. Esta unción se denomina unción de densidad de probabilidad o, simplemente, unción de densidad. Ya que ocurrencias en distintos intervalos son eventos mutuamente ecluentes, se deduce que la probabilidad de que una variable aleatoria tome valores en un intervalo de longitud inita, es la suma de probabilidades en los intervalos ininitesimales, o sea, es ()d sobre el intervalo de interés. De esta manera, el área bao la curva de esta unción en un intervalo, representa la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo reerido: P( 1 2 )= ()d (2.4) La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome un valor especíico es 0, a que la longitud del intervalo d desaparecería: P(X = 1 )= ()d =0 Como consecuencia de esto, las siguientes epresiones son equivalentes: P(a X b) P(a < X <b) P(a X <b) P(a < X b) El valor de () en sí mismo no es una probabilidad, sino solamente la medida de la densidad de probabilidad en un intervalo. Debe cumplir con dos condiciones: () 0 - ()d = 1 Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 7

8 Puede hacerse una analogía con mecánica, diciendo que se tiene una masa total unitaria distribuida en orma continua en el intervalo en el que toma valores la variable. Fig. Nº 3 - Función de densidad Función de Distribución Se deine la unción de distribución acumulativa de la v.a. X, F(), como la probabilidad de que la v.a. continua X tome valores menores o iguales a, es decir: F() = P(X ) (2.5) F()= - (u)du (2.6) Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 8

9 Fig. Nº 4 - Función de distribución Consideramos una masa unidad distribuida sobre el intervalo (,+ ), la unción de distribución F() para cada valor de la v.a. da la cantidad de masa que ha en el intervalo (, ), es decir, la masa que ha en el punto a la izquierda de, aunque dará igual considerar el intervalo (, ). Propiedades de la Función de Distribución: - - F( )=1, F()= lim - (u)du = 0 (u)du =1 Es una unción monótona creciente: Si < +m entonces F() F(+m). F( +m) = F() + P( < X +m) Esto permite obtener la probabilidad en un intervalo: F(- )=0, F()= lim F( m)- F()= P( < X + m) Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 9

10 P(a < X <b)= F(b) - F(a) Puede establecerse la relación entre ambas unciones, considerando un arbitrariamente pequeño evaluar la unción acumulativa en los etremos de ese intervalo: +, haciendo tender a cero la amplitud : lim 0 F( + ) - F() lim X 0 P(X + ) - P(X ) F ()= () = P( < X + ) luego: F()= - (t)dt (2.7) Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 10

11 2.2 - Variables aleatorias bidimensionales Muchas veces es de interés observar en orma simultánea dos o más variables, por eemplo cantidad de equipos de computación abricados por una compañía cantidad de operarios que trabaan en ella. Se puede deinir variable aleatoria bidimensional como el par de números que epresa el resultado de un eperimento combinado esto puede ser representado en el plano ; el recorrido o rango será ahora un subconunto del plano. También corresponde hacer la distinción entre variable bidimensional discreta bidimensional continua. El comportamiento conunto de las variables aleatorias bidimensionales es descrito por su le de probabilidad conunta. Se puede también hacer la analogía con mecánica considerando que es la distribución de una unidad de masa sobre el plano : en orma continua sobre todo el plano si la variable aleatoria bidimensional es continua concentrada en un número inito o ininito numerable de puntos con masa igual a p( i ) en cada punto ( i, ) si la variable bidimensional es discreta Variable aleatoria bidimensional discreta. Función masa de probabilidades conuntas Esta unción es la correspondencia entre cada par de puntos su probabilidad de ocurrencia. Analíticamente se epresa por: ( )= P(X = ;Y = ) (2.8) a que es una probabilidad debe cumplir con las siguientes condiciones : ( ) 0 i ( i )= 1, con i = 0,1...m = 0,1...n Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 11

12 Fig. Nº 5- Función de cuantía conunta Esta distribución conunta puede presentarse también a través de una tabla a doble entrada, considerando cada valor de cada variable en los etremos de la tabla en el cuerpo de ella las probabilidades de presentación conunta (para cada par de valores). Esto sólo puede hacerse si la variable aleatoria bidimensional es discreta m Distrib. Marginal de Y 1 2 (2,2)... n Distrib. Marginal de X 1 Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 12

13 F( )= P(X ;Y )= X i Y ( i ; ),i=0,1...m =0,1...n (2.9) Funciones marginales. Funciones masa de probabilidad marginales El comportamiento de una variable en particular sin considerar la otra, se describe a través de las unciones marginales. Se las obtiene a partir de la unción masa de probabilidades conuntas, por darle todos los valores de su recorrido a la variable que no interesa considerar. En orma analítica se epresa a través de: ()= P(X = )= ()= P(Y = )= i (, ) ( i, ) con = 0,1...n con i=0,1...m (2.10) Funciones acumulativas marginales F ()= P(X )= i ( i ) n =0 i ( i, ) (2.11) F ()= P(Y )= ( ) m =0 i ( i, ) Funciones condicionales Pueden obtenerse a partir de la distribución conunta, es aquella que se deriva al evaluar las probabilidades de presentación de una variable conociendo que la otra variable ha ocurrido con un valor particular. Para un valor particular de Y, Y= 0 la unción de cuantía de condicionada a Y está dada por : (/) = P(X = /Y = 0 P(X = Y = ) )= P(Y = ) 0 (/) = i (, ) ( i, = ) (, ), () con () 0 (2.12) Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 13

14 Esta unción de cuantía condicional, por ser una unción de probabilidad debe cumplir con las siguientes condiciones: a - 0 (/) 1 b - i (/) = 1 La distribución condicional de Y dado un valor particular de X se deine de orma similar: (, ) (/) =,con () 0 (2.13) () Variable aleatoria bidimensional continua Las unciones asociadas con variables aleatorias bidimensionales continuas son análogas a las del caso discreto, pero la unción de cuantía será reemplazada por la unción de densidad conunta, siendo (,) la probabilidad de que la variable (,) caiga en el intervalo, + ;, +. La probabilidad de ocurrencia conunta de e en alguna región del espacio muestral se determina por integrar la unción de densidad conunta en esta región: P( 1 X 2 ; Y )= (, )dd (2.14) Esto es igual al volumen debao de la unción de densidad conunta (,), sobre la región limitada por 1 2 e 1 2. La unción de densidad conunta debe cumplir con las siguientes condiciones: (, ) (, )dd = 1 Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 14

15 Fig. Nº 6- Función de densidad conunta La unción de distribución conunta se deine como: F(, )= P(- X ; - Y ) F(, )= P(X ;Y ) F(, )= - - (t,l)dtdl (2.15) Propiedades: Son similares al caso unidimensional: F(-; )= 0 F(-;- )= 0 F( ; )= 1 F(;- )= 0 a que F(X,Y) es una probabilidad deberá tomar valores entre 0 1. Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 15

16 A partir de esta unción, se puede obtener la de densidad conunta por derivar parcialmente: 2 F(, ) = (, ) (2.16) Funciones de densidad marginales Como en el caso discreto, para estudiar el comportamiento de una de las variables en particular se elimina la otra, integrando sobre todos sus valores: ()= ()= - - (, )d (, )d (2.17) (2.18) Funciones de distribución marginales F ()= P(X )= - - (, )dd = - (t)dt F 1 ()= F, (, ) (2.19) De lo anterior se deduce que: ()= [F(, )] = [ F ()] (2.20) De orma similar: F 2 ()= P(Y )= - - (, )dd = - (s)ds F ()= F, (,) (2.21) Se deduce que: ()= F(, )= [ F ()] (2.22) Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 16

17 Gráicamente: Fig. Nº 7- Función de distribución conunta Fig. Nº 8 -Función de distribución marginal de X Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 17

18 Fig. Nº 9 -Función de distribución marginal de Y Fig. Nº 10 -Función de densidad marginal de Y Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 18

19 Fig. Nº 11 -Función de densidad marginal de X Fig. Nº 12 Funciones marginales Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 19

20 Si interesa obtener la probabilidad en un intervalo para una de las variables puede obtenerse a partir de la unción conunta o a partir de las marginales: P(a < X < b)= b a ()d P(a<X <b)= b a - (, )dd (2.23) Funciones de probabilidad condicionales. Recordando el concepto de sucesos dependientes: P(AB) P(AB) P(A/B) = P(B/A) =, con P(A) P(B) 0 P(B) P(A) En el caso de variable continua la probabilidad de que alguna de las variables tome un valor especíico, no tiene sentido: P(X = )=0 P(Y = )=0 Tiene sentido que las variables tomen valores en un intervalo tan pequeño como se quiera, por eemplo: P(X / Y + )= F(X/Y) P(X ; Y + Y) P( Y + ) (l, m)dl dm (,m)d dm si 0 luego - + Y (l, )dl = ()d - (l, )dl () Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 20

21 Puede demostrarse que la anterior es unción de densidad si se integra en todo el recorrido se obtiene 1: - (X/Y)d = - (, ) d= () 1 () - (, )d= () =1 () Función de distribución condicionada de la v.a. continua X dado Y= 0 : F (, ) d ( / ) ( / ) d (2.24) ( ) Función de distribución condicionada de la v.a. continua Y dado X= 0 : F (, ) d ( / ) ( / ) d (2.25) ( ) Independencia de variables aleatorias Cuando se tienen dos variables aleatorias distribuidas conuntamente, puede interesar saber si las variables son dependientes o independientes, a que puede tener importancia para determinar si es correcto predecir el valor de una basándose en el valor de la otra. Recordar también aquí el concepto de independencia de sucesos: P(AB) = P(A).P(B) P(X ;Y )= P(X ).P(Y F(, )= F ().F () ) Esto sólo es posible de epresar si las variables son independientes. Las variables aleatorias son independientes si sólo si la unción conunta puede epresarse como el producto de sus marginales. Si la variable bidimensional es discreta se epresa de la siguiente orma: Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 21

22 P(X = i ;Y = )= P(X = i ).P(Y = ) ( i, )= ( i ). ( ) Por lo tanto puede concluirse que: es necesario para que dos variables aleatorias distribuidas conuntamente sean independientes, que su unción conunta pueda descomponerse en el producto de sus marginales. Ahora si la unción conunta está epresada como el producto de sus marginales, es suiciente para asegurar que las variables son independientes. Eemplo de variable aleatoria bidimensional Variable continua Si X e Y representan las duraciones, en años, de dos componentes en un sistema electrónico la unción de densidad conunta de estas variables es la que se presenta, interesa saber si son variables dependientes o no. es (,)= e -( + ) > 0, > 0 0 en cualquier otro caso se debería veriicar que es una unción de densidad conunta: 0 0 e ( ) dd = 1 luego las unciones marginales: ( ) = 0 e ( ) d ( )= 0 e ( ) d para luego veriicar si su producto es igual a la unción conunta. Estadística - Ingeniería en Inormática FICH - UNL Página 22