2.1 Separación de variables

Transcripción

1 Método de separación de variables 6 a t e a PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS II t i c a s o Ing. Telecomunicación CURSO 9 SOLUCIONES Método de separación de variables. Separación de variables Problema.. i) Poniendo u(r, t) = R(r)T(t) se obtiene (rr ) λrr =, T λkt =. ii) R(r)H(θ) (rr ) λ r R =, H λh =. iii) u(x, t) = X(x)T(t) kx v X λx =, T λkt =. iv) u(x, y) = X(x)Y (y) X λx =, Y λy =. v) u(r, t) = R(r)T(t) (r R ) λr R =, T λkt =. vi) u(x, t) = X(x)T(t) X iv) λx =, T λkt =. vii) u(x, t) = X(x)T(t) X λx =, T λc T =. Problema.. u(x, y) = a n sen nx senhn(π y) sen 3x = u(x,) = a n sen nx senhnπ a 3 = u(x, y) = sen 3xsenh3(π y) senh 3π Problema..3 ϕ(x, y) = b y b n cos( nπx L )senh(nπy L ) f(x) = ϕ(x, L) = b L senh 3π, b n cos( nπx L )senh(nπ) b = L f(s)ds, b n = Lsenh(nπ) Problema..4 i) La condición de compatibilidad es ii) u(x, y) = b Ω u ν b n cos( nπx L )cosh(nπy L ) L =, es decir f(x) = u y (x, H) = nπ b n L cos(nπx L )senh(nπh L ) b IR, f(s)ds =, b n = L Lnπ senh(nπh/l) a n = n 3 f(s)cos( nπs L )ds n f(x)dx =. f(s)cos( nπs L )ds n

2 Método de separación de variables 7 iii) Si u(x, y) = lim v(x, y, t), donde v es solución del problema t v = v < x < L, < y < H, t > t v v (, y, t) = x y v (x, H, t) = f(x) y v(x, y,) = g(x, y) v (x,, t) = (L, y, t) = x entonces, por conservación de la energía, H g(x, y)dydx = H v(x, y)dydx = b LH Es decir, b es igual al valor medio del dato inicial g en el rectángulo. Obsérvese que la conservación de la energía se deduce de la ecuación y los datos frontera: E(t) = v E v L (t) = v = ν = f(x)dx = Problema..5 Ω Ω Ω i) Al separar variables, u(x, y) = X(x)Y (y), la condición u(x, x) = no se puede traducir en una condición sobre X o Y. ii) u(x, y) = v(x, y) v(y, x), donde v es solución del problema en el cuadrado v = < x, y < v(, y) = v(, y) = v(x,) = v(x,) = f(x) Así Problema..6 i) u(x, y) = u(x, y) = a n = a n (sen nπx senh nπy sen nπy senh nπx) senh nπ a k sen kxsenh ky f(s)sen nπs ds u sen nx = n y (x,) = ka k sen kx a n = /n, u(x, y) = sen nx senhny n a k = k n ii) No hay continuidad respecto del dato inicial, pues lim sen nx = ; la solución con n n este dato es u, pero lim u(x, y) no existe. El problema está mal propuesto. n

3 Método de separación de variables 8 iii) u(x, t) = a k sen kxe k t n sen nx = u(x,) = a k sen kx a n = /n, u(x, t) = n sen nxen t a k = k n No hay continuidad respecto del dato inicial, pues lim este dato es u, pero lim u(x, t) no existe. n Problema..7 n i) Solución estacionaria verifica el problema { kv αv = < x < L v() = v(l) = La única solución es v(x) =. ii) Separando variables se tiene u(x, t) = a n sen(nπx/l)e (αkn π /L )t sen nx =, y la solución con n El dato inicial implica a n = f(s) sen(nπs/l) ds. Está claro que, independientemente L del dato inicial, se tiene lim u(x, t) =, pues todas las exponenciales son negativas. t Problema..8 Si ahora α <, las soluciones estacionarias son v(x) = si L α/k nπ para n IN, mientras que si L α/k = nπ para algún n IN, se tiene v(x) = c sen(nπx/l). La solución del problema de evolución es, igual que antes u(x, t) = a m sen(mπx/l)e (αkm π /L )t m= Si α > kπ/l, se tiene lim t u(x, t) =. Si α = kπ/l, se tiene lim t u(x, t) = a sen(πx/l). Si α < kπ/l, no existe lim t u(x, t), pues oscila cada vez más (hay factores exponenciales que divergen). Problema..9 i) Separando variables se tiene u(x, t) = ( ) a n sen(ω n t) b n cos(ω n t) sen( λ n x)

4 Método de separación de variables 9 donde λ n = n π /L y ω n = T λ n /ρ, mientras que a n y b n son los coeficientes de Fourier en senos de g(x)/ω n y f(x), respectivamente. Escribiendo la parte temporal como α n cos[ω n (t δ n )], e igualando términos después de desarrollar el coseno de la suma, α n sen(ω n δ n ) = a n α n cos(ω n δ n ) = b n α n = a n b n δ n = ω n arctg( a n b n ) ii) Para cada armónico (es decir, fijado n), en los antinodos se tiene sen( λ n x) = ±, que (j )L implica x =, j =,,, n. n iii) ( Un ) = α t n ωn sen (ω n (t δ n ))sen ( λ n x) ( Un ) = α n λ n cos (ω n (t δ n ))cos ( λ n x) x sen ( λ n x)dx = cos ( λ n x)dx = L E(t) = ρα nωn L sen (ω n (t δ n )) T αnλ L n cos (ω n (t δ n )) = 4L T n π αn iv) a = α = b = L Problema.. i) Derivando e integrando por partes el segundo sumando, E (t) = ρ = u t u t (ρ u u L t dx T u x t T u x )dx = pues u(, t) = u(l, t) = implica u x f(s)sen(nπs/l)ds = 8A π E = 6T A Lπ u t u L x t dx = ρ u u L t t dx T u u x t dx L =. ii) Por linealidad, basta demostrar que la única solución con datos iniciales cero es la solución cero. Como E(t) = cte, se tiene E(t) = E() para todo t. Pero si f = g = en..9, la energía inicial es Así, para todo t, ρ E() = ρ ( u ) T dx t (g(x)) dx T (f (x)) dx = ( u ) u dx = x x = u = cte u =

5 Método de separación de variables Problema.. Por separación de variables ( ) u(x, t) = a t b a n sen(cnt) b n cos(cnt) cos(nx) La posición inicial implica b n = para todo n. En cuanto a la velocidad inicial, 8 sen x = 4( cos(x)) = u t (x,) = a a n cn cos(nx) nos da a = 4, a = /c, a n = para todo n,. Así la solución es u(x, t) = 4t c sen(ct)cos(x) Problema.. Al separar variables u(x, t) = X(x)T(t), la ecuación temporal es T αt λ n c T =, donde los autovalores, de la ecuación espacial, son λ n = n, n. La ecuación característica asociada a la ecuación en T tiene soluciones r = α ± α 4c n. Así pues la forma de la parte temporal depende del signo de α 4c n. Como el dato inicial es u(x,) = sen(x), sólo nos interesa el valor n =. La solución es entonces: i) si α < 4c u(x, t) = (a sen(zt) b cos(zt))e αt/ senx ii) si α = 4c u(x, t) = (c t g )e αt/ senx iii) si α > 4c u(x, t) = (h e wt j e wt )e αt/ senx 6c donde z = α α, w = 6c. Los datos iniciales implican Problema..3 a = α z, b =, c = α, g =, h = w α 4w, j = w α 4w. i) Al separar variables u(rθ) = R(r)H(θ), la parte radial verifica una ecuación equidimensional r R rr λ n R =, donde a partir de la ecuación angular sabemos que λ n = n, n. Teniendo en cuenta la condición de no singularidad en r =, se tiene { r n si n R(r) = si n = Por tanto la solución, imponiendo el dato frontera, es ( r ) n π f(φ)dφ f(φ)[sen nφ sen nθ cos nφ cos nθ] dφ π a π = f(φ)p(r, θ, φ)dφ donde el núcleo de Poisson es [ ] P(r, θ, φ) = ( r ) n [sen nφ sen nθ cos nφ cos nθ] π a [ ] = ( r ) n cos n(θ φ) π a

6 Método de separación de variables ii) Llamando z = r a e(θ φ)i, se tiene [ P(r, θ, φ) = π Re = π Re = π [ z z ] [ ] ( r ) n e n(θ φ)i = a π Re z n ] = [ ] z π Re = z z π Rez z a r a ar cos(θ φ) r iii) Sustituyendo r =, se tiene u(, θ) = f(φ)dφ. π Problema..4 Como sen 3 θ = (3 sen θ sen 3θ), es fácil obtener la solución 4 Problema..5 4 (3r sen θ r3 sen3θ) i) Por simetría impar alrededor del diámetro, es decir, alrededor de θ =, la solución se obtiene a partir { de la solución en todo el disco con dato frontera obtenido por reflexión g(θ) si < θ < π impar, g(θ) = g( θ) si π < θ <. Así = = g(φ)p(r, θ, φ)dφ g(φ)p(r, θ, φ)dφ g( φ)p(r, θ, φ)dφ g(φ)[p(r, θ, φ) P(r, θ, φ)] dφ También se puede separar variables directamente y se obtiene ( r ) n a π ii) Reflejando ahora par, la solución es g(φ)sen nφdφ sen nθ O también, g(φ)[p(r, θ, φ) P(r, θ, φ)] dφ π g(φ)dφ ( r ) n a π g(φ)cos nφdφ cos nθ Problema..6

7 Método de separación de variables i) Separando variables, los autovalores son λ n = 9n, n, y la solución El dato frontera implica α n = 6 πa 3n α n r 3n sen(3nθ) /3 f(s)sen(3ns)ds ii) En este caso el problema angular es { H λh = H () = H(π/3) = 9(n ) 3(n ) Los autovalores son λ n =, n, y las autofunciones H n (θ) = cos( θ). 4 La solución es α n r 3(n)/ 3(n ) cos( θ) donde Problema..7 α n = n= 6 πa 3(n)/ /3 f(s)cos( 3(n ) θ)ds i) Por linealidad se tiene u = u u, donde u = u(a, θ) = f(θ) u(b, θ) = u = u(a, θ) = u(b, θ) = g(θ) Para resolver el primero, observamos que la ecuación radial (equidimensional), r R rr n R =, tiene soluciones que verifiquen el dato R(b) =, { (b/r) R(r) = n (r/b) n si n log(b/r) si n = Así la solución u tiene la forma u (r, θ) = β log(b/r) El dato en r = a implica [α n sen nθ β n cos nθ][(b/r) n (r/b) n ] α n = π[(b/a) n (a/b) n f(s)sen ns ds, n ] π β = f(s)ds π log(b/a) π β n = π[(b/a) n (a/b) n f(s)cos ns ds, n ]

8 Método de separación de variables 3 La solución u se obtiene de forma análoga intercambiando a por b. Juntando todo se tiene donde ii) donde Q (r, θ, s) = log(b/r) π log(b/a) π Q (r, θ, s) = log(r/a) π log(b/a) π [f(s)q (r, θ, s) g(s)q (r, θ, s)] ds Q 3 (r, θ, s) = π π iii) La condición de compatibilidad es que sale por la frontera es cero. La solución es donde Q 4 (r, θ, s) = π β (b/r) n (r/b) n (b/a) n cos(n(θ s)) (a/b) n (r/a) n (a/r) n (b/a) n cos(n(θ s)) (a/b) n g(s)q 3 (r, θ, s)ds (r/a) n (a/r) n (b/a) n cos(n(θ s)) (a/b) n f(s)ds =, es decir, la cantidad total de flujo y β IR es un parámetro libre; no hay unicidad. Problema..8 La solución es 4 (r/a) n (a/r) n π (b/a) n (a/b) n f(s)q 4 (r, θ, s)ds a[(r/b) n (b/r) n ] n[(a/b) n (b/a) n cos(n(θ s)) ] / f(s) sen(ns) ds sen(nθ). Series de Fourier Problema.. 3L L L 3L 3L L (b) (d) L 3L 3L L L 3L (f)

9 Método de separación de variables 4 Problema.. i) S(x) = n sen(nx). ii) S(x) = iii) S(x) = iv) S(x) = Problema..3 k= k= 6 (k )π sen((k )x) kπ sen(4kx). ( π k 4 ) π π(k ) 3 sen((k )x) k sen(kx). 8k π(4k ) sen(kx). i) Sea f(x) = f(l x). Sabiendo que cos((nπ(l y)/l) = ( ) n cos(nπy/l), y haciendo el cambio de variables L x = y en la integral entre L/ y L, se tiene b n = L = L / siempre que n es impar. f(s) cos(nπs/l) ds f(s)cos(nπs/l)ds L / f(y)( ) n cos(nπy/l)dy = ii) De hecho, el cálculo anterior muestra que si n es par, n = k, el coeficiente correspondiente es b k = 4 L / f(s) cos(kπs/l) ds Por otro lado los coeficientes del desarrollo en [, L/] son c m = 4 L y se obtiene el mismo desarrollo. / f(s) cos(mπs/l) ds Problema..4 No se puede derivar término a término la serie de Fourier en senos de f(x) y obtener la serie de Fourier en cosenos de f (x) pues f(x) es discontinua en x = k, k ZZ. Problema..5 Sea la serie de Fourier en cosenos e x = A n cos(nπx/l). n= Derivando tenemos la serie de Fourier en senos e x nπ = L A n sen(nπx/l). Derivando otra vez, correctamente, resulta e x = [ ( nπ ) L (el ) An L L (( )n e L )] cos(nπx/l) Igualando las series de Fourier en cosenos deducimos A n = L(( )n e L ) L n π, n, A = L (el ).

10 Método de separación de variables 5 Problema..6 Sea la serie de Fourier en senos cosh x = i) Derivando tenemos la serie de Fourier en cosenos senh x = L (cosh L ) b n sen(nπx/l) [ nπ L b n ] L (( )n cosh L ) cos(nπx/l) Derivando otra vez resulta ( cosh x = nπ ) [ nπ L L b n ] L (( )n cosh L ) sen(nπx/l) Igualando las series de Fourier en senos deducimos b n = nπ( ( )n cosh L) L n π ii) Integrando la serie de Fourier en senos se obtiene senh x = c L nπ b n cos(nπx/l) Pero c debe ser el término independiente de la serie en cosenos de senh x, por lo que c = (cosh L ). Integrando de nuevo se tiene L cosh x = c x c ( L ) bn sen(nπx/l) nπ Evaluando en x = se obtiene c =. Esta expresión no es una serie de Fourier. Necesitamos los desarrollos = ( ( ) n ) nπ sen(nπx/l), x = Igualando las series de Fourier en senos deducimos L( ) n sen(nπx/l) nπ b n = ( ( ) n ) nπ L( ) n (cosh L ) ( L = nπ( ( )n cosh L) nπ ) L n π