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1 Univ. de Alcalá. Estadística Dpto. de Física y Matemáticas Grado en Biología Sanitaria Examen final. Viernes, 17 de Enero de Apellidos: Nombre: INSTRUCCIONES (LEER ATENTAMENTE). Puedes descargarte este examen en pdf de la dirección: Este examen representa cuatro puntos (sobre 10) de la nota final. La parte escrita del examen vale dos puntos y el cuestionario los dos restantes. Parte escrita: Debes contestar a la parte escrita en las hojas aparte que te vamos a entregar. IMPORTANTE: Debes entregar cada pregunta de esta parte en una hoja aparte, para que puedan corregirse por separado. Tu respuesta debe ser detallada, explicando con claridad los pasos que te conducen al resultado. Las respuestas numéricas sin explicaciones claras no se puntuarán. Para optar a una matrícula de honor, debes elegir al menos una de las preguntas de la parte escrita que contienen apartados opcionales (preguntas 1, 4 y 5). Cuestionario: anota en la tabla de esta hoja todas las respuestas del cuestionario. No es necesario que entregues los cálculos del cuestionario, ni los enunciados del examen. Sólo debes entregar esta hoja y los ejercicios de la parte escrita. Te aconsejamos que empieces por el cuestionario. Y que, antes de empezar la parte escrita, leas todas las preguntas al menos una vez, para decidir cuáles te parecen más asequibles. Hay tiempo suficiente, así que tómatelo con calma. ANOTA AQUÍ TUS RESPUESTAS AL CUESTIONARIO. Si te equivocas, puedes tachar e indicar la respuesta correcta debajo de la tabla. Pregunta Respuesta Pregunta Respuesta

2 Cuestionario. 1. Se está ensayando una prueba diagnóstica para cierta enfermedad. Sea A el suceso la prueba ha resultado positiva y sea B el suceso el sujeto padece la enfermedad. Dada esta tabla de doble entrada, con recuentos de los sucesos: A B B c calcula la probabilidad P (B c A c ). Escribe tu respuesta con cuatro cifras significativas. 2. Los sucesos B 1,..., B n, donde n = 5 tienen estas propiedades: Son incompatibles dos a dos. Su unión es Ω, el espacio muestral completo. Además las probabilidades de los sucesos B i son, respectivamente: A c ( 25 77, 1 77, 7 77, 21 77, 23 ) 77 Mientras que las probabilidades condicionadas P (A B 1 ),..., P (A B n ) son: ( 19 31, 21 31, 28 31, 26 31, 3 ) 31 Calcula la probabilidad P (A). Utiliza 4 cifras significativas en tu respuesta. 3. La variable aleatoria discreta X toma estos valores: con estas probabilidades: 15, 13, 2, 5, 9, 13 1/35, 11/35, 2/35, 1/7, 4/35, 12/35 Calcula la desviación típica σ X de esta variable. Utiliza 4 cifras significativas en la respuesta. 4. Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución binomial de parámetros n=6 y p=0.3. Calcula la probabilidad de que X sea mayor o igual que 3 y menor que 6. Escribe tu respuesta con cuatro cifras significativas. 5. Sea X una variable aleatoria que sigue una distribución Chi cuadrado con 15 grados de libertad. Calcula el valor x de X tal que 0.7 = P (X > x )

3 6. La variable aleatoria X es normal (y se desconoce su varianza). Se ha obtenido una muestra de tamaño 20, con media muestral X = 29.6, y cuasidesviación típica muestral s = Calcula el extremo inferior a de un intervalo de confianza (a, b) para la media µ X, con un nivel de confianza del 95 %. 7. La variable aleatoria X es normal. Se ha obtenido una muestra de tamaño 22, con media muestral X = 24.9, y cuasidesviación típica muestral s = Calcula el extremo superior b de un intervalo de confianza (a, b) para la desviación típica σ X, con un nivel de confianza del 99 %. 8. La variable aleatoria X es normal (y se desconoce su varianza). Se ha obtenido una muestra de tamaño n=22, con media muestral X = 37.7, y cuasidesviación típica muestral s = Se desea contrastar la hipótesis nula: H 0 = {µ X = µ 0 } siendo µ 0 = 39. Hallar el p-valor de este contraste. 9. Las variables aleatorias X 1 y X 2 son normales. Nos preguntamos sobre las proporciones de observaciones de cada variable que cumplen una determinada propiedad. Para ello, se han obtenido muestras de tamaños n 1 = 92 y n 2 = 100, con proporciones muestrales ˆp 1 = y ˆp 2 = Se desea contrastar la hipótesis nula: Hallar el p-valor de este contraste. H 0 = {p 1 p 2 }. 10. Calcula el coeficiente de correlación de Pearson r para el conjunto de puntos cuyas coordenadas x son: (1.52, 6.64, 8.56, 8.62, 10.3, 11, 11.9, 15.9) y cuyas respectivas coordenadas y son: (4.96, 17.6, 23.9, 28, 31.2, 31.9, 35.3, 43.4)

4 PARTE ESCRITA (RECUERDA QUE DEBES ELEGIR DOS EJERCICIOS) 1. Un conocido físico teórico, el Doctor Sheldon Cooper, ha descubierto un elemento radiactivo ultrapesado, al que ha decidido llamar Bazingonio. El Dr. Cooper sospecha que el Bazingonio posee dos isótopos, y para confirmarlo, ha conseguido que su ayudante, el físico experimental Leonard Hofstadter, aísle dos muestras independientes, cada una con 15 observaciones de uno de esos presuntos isótopos. Si realmente se trata de dos isótopos, sus masas atómicas deben ser diferentes. Las masas atómicas medidas en la muestra del isótopo A son: 144, 148, 147, 153, 141, 148, 148, 149, 149, 157, 152, 147, 149, 146, 143 Mientras que para el isótopo B se han medido estas masas atómicas: 155, 151, 158, 152, 154, 152, 155, 157, 150, 151, 161, 159, 152, 146, 156 a) Calcula sendos intervalos de confianza para la masa atómica media de cada uno de los dos isótopos (a un nivel de confianza del 99 %). b) Los datos de esas dos muestras confirman la existencia de dos isótopos de masas atómicas diferentes. Haz un contraste de hipótesis para comprobar esto, y calcula el correspondiente p-valor. c) Una vez establecida la existencia de dos isótopos, tenemos que estudiar su abundancia relativa en la naturaleza. Para ello se ha tomado una muestra de 350 observaciones, de las que 45 eran del isótopo B, y el resto del isótopo A. Qué puedes decir sobre la proporción entre estos isótopos? d) Esta parte es opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Sólo si has leído el capítulo 11 sobre ANOVA. Grandes noticias! El Dr. Hofstadter sospecha que, en realidad, los isótopos del Bazingonio no son dos, sino cinco. Ha aislado cinco muestras independientes, cada una con 50 mediciones de la masa atómica de uno esos posibles isótopos, a los que ha llamado B1, B2, B3, B4 y B5. El fichero bzg-anova.csv, que puedes descargar desde este enlace www2.uah.es/fsegundo/bioestad/bzg-anova.csv contiene los datos que se han medido, en el formato adecuado. Haz un contraste ANOVA para confirmar que hay diferencias significativas entre las masas atómicas medias de esas cinco muestras. Es necesario que calcules el p-valor de ese contraste. Después, trata de comparar dos a dos las masas atómicas medias de las cinco muestras, explicando en detalle cómo lo haces. Cuántos isótopos distintos crees que hay, en realidad? 2. Se sabe que, en las personas, en general, la cantidad de plomo presente en sangre (cps) sigue una distribución N(µ = 30, σ = 10). Una cantidad superior a 53 se considera extremadamente alta. a) Teniendo en cuenta esa distribución, qué porcentaje de la población tiene una cantidad de plomo en sangre (cps) extremadamente alta? b) Se elige una persona al azar. Sabiendo que tiene una cps mayor que 40, cuál es la probabilidad de que sea mayor que 45? c) Se eligen 5 personas al azar, de forma independiente (y con reemplazamiento). Probabilidad de que la media de sus cantidades de plomo en sangre sea superior a 32. Indicación: la media es, por supuesto, la suma dividida por 5. Qué tipo de variable es la suma?

5 d) En una ciudad, se están estudiando los posibles efectos sobre la salud, debidos a la contaminación por plomo, procedente de una fábrica cercana. Se he medido el cps de 15 habitantes de esa ciudad, elegidos al azar, obteniendo estos valores: 30, 32.1, 31.6, 34.6, 28.3, 32.1, 32, 32.3, 32.4, 36.5, 33.9, 31.4, 32.3, 31, 29.6 Crees que estos datos son compatibles con la hipótesis de que el cps medio es 30? 3. El Plumiprofeno ha demostrado ser el mejor medicamento para tratar el alicaimiento en el Frailecillo Común. Ahora tenemos que establecer la dosis correcta. Para hacerlo, hemos suministrado dosis crecientes de Plumiprofeno (medidas en miligramos) a los frailecillos alicaídos, y hemos medido la respuesta (en aleteos por minuto). Llamaremos x a la variable dosis, e y a la variable respuesta (aleteos/minuto). La siguiente tabla recoge los valores medidos: x: Dosis (mg) y: Aleteos/minuto que también puedes descargarte, en un fichero csv desde este enlace: www2.uah.es/fsegundo/bioestad/plumiprofeno.csv Usando esos datos, vamos a estudiar un modelo de regresión lineal para la relación entre las dos variables. (a) Con esos datos calcula la media, cuasidesviación típica, la mediana y el rango intercuartílico de cada una de las variables. Hay algún valor atípico? Calcula también la covarianza de ambas variables, y la recta de regresión, usando la dosis como variable independiente x, y el número de aleteos/minuto como variable dependiente y. Calcula el coeficiente de correlación. (b) A la vista del diagrama de dispersión, se ha propuesto una ecuación de la forma y = a x b para estos datos, donde a y b son constantes, y como antes x =dosis, y =aleteos. Puedes calcular el valor de a y b? Indicación: toma logaritmos en ambos lados de la ecuación y haz un cambio de variable, llamando x = ln(x), ỹ = ln(y) para obtener la ecuación de una recta. En R, la función log calcula el logaritmo neperiano. (c) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Sólo si has leído la parte final del capítulo 10 sobre regresión. Calcula un intervalo de confianza para la pendiente de la recta del apartado (b). Haz un análisis de la validez del modelo de regresión lineal de x frente a ỹ. Cuál de los dos modelos explica mejor, a tu juicio, los datos? 4. Vas caminando por la jungla, donde habitan tres especies de tarántulas venenosas. La picadura es mortal, siempre que la dosis de veneno inoculada supere los los 25 miligramos (sea cual sea la especie). Sabemos que el 50 % de las Tarántulas son de la primera especie, el 25 % de la segunda, y el resto de la tercera. Se tiene la siguiente información sobre la cantidad de veneno inoculada en una picadura de cada una de las especies:

6 Para la primera especie, esa cantidad sigue una distribución normal N(30, 5). Para la segunda especie, sigue una distribución uniforme en el intervalo (20, 30). Para la tercera especie, esa cantidad sigue una distribución continua con densidad determinada por la función { x f(x) = 200 si x [10, 30] 0 en otro caso. Teniendo esto en cuenta, responde a las siguientes preguntas: a) Calcula la dosis media que cada una de estas especies inocula en su picadura. Cuál es la desviación típica en cada caso? b) Si te acaba de picar una tarántula, de la que ignoras a qué especie pertenece, cuáles son tus probabilidades de sobrevivir? c) Suponiendo que, de hecho, sobrevives: cuál es la probabilidad de que la tarántula perteneciera a cada una de las especies? d) Supongamos ahora que, antes de adentrarte en el bosque, te administraste un antídoto que te hace inmune a las picaduras de las tarántulas de la primera especie. Vuelve a calcular tus probabilidades de supervivencia después de la picadura de una tarántula de especie desconocida. 5. El mundialmente famoso detective Sherlock Holmes ha resuelto, a lo largo de su dilatada carrera, 846 casos de asesinato, que fueron cometidos por envenenamiento (en 435 casos) o por otros medios variopintos (en el resto de los casos). En 643 de los casos, el asesino era el mayordomo. En el resto, Sherlock descubrió que el responsable del crimen era su archienemigo, el profesor de matemáticas Jim Moriarty. Además sabemos que, de los crímenes cometidos por Moriarty, se utilizó el veneno en 83 casos. (a) Completa la tabla de doble entrada que aparece debajo, y úsala para contestar estas preguntas: Sabiendo que la víctima fue apuñalada, cuál es la probabilidad de que el asesino sea el mayordomo? Y si el asesino es Moriarty, cuál es la probabilidad de que use el veneno? Veneno Otros Total Mayordomo?????? Jim Moriarty?????? Total?????? (b) Haz un contraste (al 95 % de significación) para decidir si los la proporción de crímenes cometidos por envenenamiento es la misma, con independencia de quién sea el autor del crimen. (c) Opcional, se tendrá en cuenta para asignar las Matrículas de Honor. Sólo si has leído el capítulo 12 sobre contraste χ 2. Haz de nuevo el contraste, pero en este caso, utilizando el estadístico χ 2. Hay alguna relación entre los valores de los estadísticos que has usado en (b) y (c)?