En las figuras 1 a 8 que aparecen a continuación elija el elemento diferencial de área más apropiado y luego calcule el área de la región.

Transcripción

1 Módulos 8 al 5 I. Áreas entre curvas En las figuras a 8 que aparecen a continuación elija el elemento diferencial de área más apropiado luego calcule el área de la región. Figura Figura Figura Figura Capítulo : Aplicaciones de la integral definida Elementos básicos de cálculo integral series 0

2 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8 9. Calcule las áreas de las regiones de las figuras, 8 tomando diferenciales de área perpendiculares al eje. 0. Calcule las áreas de las regiones de las figuras, 6 tomando diferenciales de área paralelos al eje.. En los ejercicios a-s dibuje la región limitada por las gráficas de las ecuaciones dadas, construa el diferencial de área más apropiado luego use una integral para calcular el valor del área. a.,. b., 0, entre. c., 0 8. d. e. g. i. k. m.,. f., 0. h.,,. J.,. l. 9 0, 0. n., 0., 0. 0, 0.,,.,,., 0. Ejercicios de los módulos 8 al 5

3 o. p. q. r. s., 9 considerando primero elementos verticales de área luego elementos horizontales., 9 0, 9 0.,, el eje. 7 0,.,.. Calcule por integración el área del triángulo determinado por las rectas,,.. Calcule por integración el área del trapecio determinado por las rectas, 8, el eje.. Encuentre el área de la región que está por encima de la parábola rectas p, p el eje. p e interna al triángulo formado por las da 5. Encuentre la razón de cambio de A con respecto a m esto es,, si A es el área comprendida por la parábola dm la recta m. 6. Use el cálculo integral para demostrar que si S es un sector circular limitado por la circunferencia ángulo central, 0 /, entonces el área de S viene dada por A( s) a a (auda: considere la figura 9). 7. Encuentre el área de la región limitada por la curva Figura 9 e la recta que pasa por lo puntos (0, ) (, / e). 8. Sea R la región acotada por 0, el área de R. e la recta tangente a e que pasa por el origen. Determine 9. Encuentre el área de la región limitada por la curva ln, el eje la recta e. Capítulo : Aplicaciones de la integral definida

4 0. Encuentre el área de la región limitada por el eje de las, la curva 8 9 las rectas.. Encuentre el área de la región limitada por, 0, 6 0. ( ). Encuentre el área de la región bajo la curva a la derecha de (auda: use fracciones parciales).. Encuentre el área de la región bajo la curva a la derecha de.. Pruebe que el área de la región bajo la curva, el eje, en el intervalo [, ) es infinita. 5. Halle por integración el área del cuadrilátero, determinado por las rectas 8 0, 0 el eje. II. Volúmenes de sólidos por secciones planas. Encuentre el volumen de un sólido que tiene base circular de radio r, todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos equiláteros.. Encuentre el volumen de un sólido que tiene base circular de radio r, todas las secciones planas perpendiculares a un diámetro fijo de la base son triángulos rectángulos isósceles que tienen la hipotenusa en el plano de la base.. Encuentre el volumen de un tetraedro que tiene tres caras mutuamente perpendiculares si las tres aristas mutuamente perpendiculares tienen medidas a, b c.. Dos cilindros circulares rectos de radio cm cada uno se intersecan en ángulo recto. Encuentre el volumen del sólido común a los dos cilindros. 5. Se corta una cuña en un cono circular recto por medio de un plano perpendicular al eje del cono otro plano que forma un ángulo de 60 con el primero lo corta a lo largo de un diámetro de la sección plana circular que resulta de la intersección del primer plano el cono. Halle el volumen de la cuña si el cono tiene 6 m de altura el radio de la base es de m. 6. Un sólido tiene como base la región acotada por las curvas e, e la recta. Si toda sección plana perpendicular al eje es un cuadrado, encuentre el volumen del sólido. 7. Un sólido tiene como base la región acotada por las curvas, la recta. Si toda sección plana perpendicular al eje es un semicírculo, encuentre el volumen del sólido. 8. La base de un sólido es el conjunto de ordenadas de una función no negativa f en el intervalo [0, a]. Todas las secciones perpendiculares a ese intervalo son cuadrados. El volumen del sólido formado viene Ejercicios de los módulos 8 al 5

5 dado por V a a cos a ( a ) sen a, para todo a 0. Suponiendo que f es continua en [0, a], calcule f ( a ). III. Volúmenes de sólidos de revolución. Encuentre por integración el volumen del como circular recto de altura h radio de la base a.. Encuentre el volumen de la esfera obtenida al rotar alrededor del eje el área del semicírculo R.. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar alrededor de la recta la región limitada por esta recta la parábola 6.. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región limitada por las curvas alrededor del eje. e 5. Un tanque esférico de radio m está lleno de agua hasta una altura de,5 m. Calcule por integración el volumen de agua que contiene. 6. Encuentre el volumen del sólido obtenido al rotar el triángulo de vértices (0, 0), (, ) (, ) alrededor del eje. 7. Encuentre por integración el volumen de un tronco de cono de altura h radios R r. 8. Halle el volumen del paraboloide obtenido al rotar alrededor del eje la región encerrada por la parábola la recta 5. En los ejercicios 9 a 7 utilice el método de la corteza cilíndrica. 9. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar, alrededor del eje, la región limitada por la parábola la recta. 0. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar el triángulo comprendido por las rectas, e alrededor de: a) el eje, b) el eje.. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región comprendida por la recta la parábola alrededor de: a) la recta, b) la recta.. Encuentre el volumen del sólido generado al rotar la región comprendida por las parábolas alrededor del eje. Tome elementos de área paralelos al eje de giro., 6. Encuentre el volumen generado al rotar, alrededor del eje, la región comprendida por la parábola la recta 5. Capítulo : Aplicaciones de la integral definida

6 . Demuestre que el volumen del sólido generado al rotar alrededor del eje la región comprendida por los ejes coordenados la recta que pasa por los puntos (R, 0) (0, H) está dado por V R H. 5. Encuentre el volumen generado al rotar el rectángulo cuos vértices son (0, 0), (R, 0), (0, H), (R, H),alrededor del eje. 6. Encuentre el volumen de la esfera generada al rotar la semicircunferencia superior al eje, que tiene 5 cm de radio centro en (0, 0), alrededor del eje. 7. a. Encuentre el volumen del sólido resultante si al sólido del ejercicio 8 se le hace un orificio de cm de radio, a lo largo del eje. b. Encuentre el volumen del orificio. 8. En los literales a-h calcule el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región plana dada alrededor del eje dado. a. La región plana de la figura del ejercicio, sección, alrededor del eje. b. La región anterior alrededor de la recta. c. La región plana de la figura del ejercicio, sección, alrededor del eje. d. La región plana de la figura del ejercicio, sección, alrededor del eje alrededor del eje. e. La región plana de la figura del ejercicio, sección, alrededor de:,,. f. La región plana del ejercicio 6, sección, alrededor de: el eje,, 5,. g. La región plana de la figura del ejercicio 7, sección, alrededor de: el eje, el eje,. h. La región plana de la figura del ejercicio 8, sección, alrededor de:,,. 9. La región plana limitada por la curva f ( ) e el eje gira alrededor del eje. Determine el volumen del sólido generado. 0. El mismo ejercicio anterior, girando alrededor del eje.. La región plana limitada por la curva su volumen. f ( ), el eje la recta gira alrededor del eje. Determine. Bosqueje la región R del plano limitada por,, e 0. Formule (pero no evalúe) integrales para cada uno de los literales a-d: a. Área de R. 08 Ejercicios de los módulos 8 al 5

7 b. Volumen del sólido generado al rotar R alrededor al eje. c. Volumen del sólido generado al rotar R alrededor al eje. d. Volumen del sólido generado al rotar R alrededor al eje.. En una esfera sólida de radio b se perfora un hoo redondo de radio a (b > a) pasando por el centro. Encuentre el volumen que queda del sólido.. Formule la integral (usando cortezas cilíndricas) del volumen del toro generado al rotar la región interior del círculo a alrededor del recta b (b > a). 5. La región sombreada (figura 0) entre un arco de sen, 0 la recta k, 0 k se gira alrededor de la recta k, generando un sólido V. Determine el valor de k para que: a. V sea un volumen máimo. b. V sea un volumen mínimo. Figura 0 6. La gráfica de la región limitada por sen, 0,, gira alrededor del eje de las. Encuentre el volumen del sólido resultante. 7. La región acotada por sólido resultante. se gira alrededor del eje. Encuentre el volumen del (sen ), 0 8. Sea R la región del primer cuadrante bajo la curva / a la izquierda de. a. Demuestre que el área de R es finita encuentre su valor. b. Demuestre que el volumen del sólido generado al rotar R alrededor del eje es infinito. 9. La región limitada por sólido resultante., 0, 0 gira alrededor del eje. Encuentre el volumen del e Capítulo : Aplicaciones de la integral definida Elementos básicos de cálculo integral series 09

8 0. Sea R la región acotada por 0, e la recta tangente a e que pasa por el origen. Encuentre: a. El área de R. b. El volumen del sólido obtenido cuando R gira alrededor del eje. IV. Momentos, centros de masa los teoremas de Pappus. Un conjunto de masas de 5, 0, 5 0 g están situadas sobre el eje en los puntos de abscisas,, 0 5 cm, respectivamente. Halle el centro de masa del sistema.. Halle el centro de masa de un conjunto de masas de 5, 0 50 kg situadas sobre el eje en los puntos cuas ordenadas son, 0 0 m, respectivamente.. La longitud de una varilla es de 50 cm la densidad lineal a una distancia de uno de los etremos es ( ) g/cm. Encuentre la masa total de la varilla su centro de masa.. Una varilla mide m su densidad lineal en cada punto es proporcional al cubo de la distancia de ese punto a uno de sus etremos, siendo la densidad máima de 6 kg/m. Encuentre la masa total de la varilla su centro de masa. 5. La longitud de una varilla es L cm el centro de masa está situado a / del etremo izquierdo. Si la medida de la densidad lineal en un punto es proporcional a una potencia de su distancia al etremo izquierdo la densidad lineal en el etremo derecho es de 0 g/cm, encuentre la densidad en cualquier punto de la varilla su masa total. 6. Demuestre que si la masa total de una varilla de longitud L densidad lineal uniforme se coloca en su punto medio, el momento respecto a cualquiera de los etremos es igual al de la varilla respecto al mismo etremo. 7. Una varilla de longitud 60 cm tiene una densidad lineal ( ) k (la densidad varía proporcionalmente al cuadrado de la distancia de uno de sus etremos). Si la densidad en el etremo más pesado es de 700 g/cm, halle la masa total el centro de masas de la varilla. 8. La longitud de una varilla es de 50 cm la densidad lineal a una distancia de uno de sus etremos es ( ) ( ) g/cm. Determine su masa el centro de masas. 9. En los ejercicios a-i encuentre el centroide (, ) de la región limitada por las curvas dadas. Esboce la gráfica de la región use la simetría cuando sea posible. a. e 0. b. La parábola c. d. La curva el eje., 0. la recta en el primer cuadrante. 0 Ejercicios de los módulos 8 al 5

9 e. El semicírculo el eje. f. Las curvas g. h. i. e. la recta. la recta., Use el teorema de Pappus para encontrar el volumen del sólido generado al rotar la región del ejercicio del literal ianterior alrededor del eje. Resuelva el volumen del sólido por cortezas cilíndricas para verificar su respuesta.. Use el teorema de Pappus la conocida fórmula del volumen de una esfera para encontrar el centroide de una región semicircular de radio a.. Use el teorema de Pappus para encontrar el volumen del toro obtenido cuando la región interior del círculo a gira en torno a la recta a.. Considere el triángulo T de la figura. Figura a. h Pruebe que (, por tanto, que el centroide del triángulo está en la intersección de las medianas). b. Encuentre el volumen del sólido obtenido cuando T se gira alrededor de k (use el teorema de Pappus).. Use el teorema de Pappus para demostrar que el volumen del sólido obtenido mediante la rotación de la región R limitada por sen, 0, 0, alrededor del eje es. 5. Encuentre el centro de masa de tres partículas de, 5 g, situadas en los puntos (, 0), (, ) (, ). 6. Demuestre que el centro de masa de un sistema formado por tres partículas de igual masa está situado en el punto de intersección de las medianas del triángulo formado por los puntos donde están localizadas las partículas. 7. Pruebe que la distancia del centroide de un triángulo a cualquiera de los lados es igual a un tercio de la longitud de la altura sobre dicho lado. Capítulo : Aplicaciones de la integral definida Elementos básicos de cálculo integral series

10 8. Encuentre el centro de masa de la lámina limitada por la parábola 8 el eje, si la densidad de superficie en cualquier punto (, ) es 6 g/cm. 9. Utilice el teorema de Pappus para calcular el volumen del toro generado al rotar un círculo de radio a alrededor de una recta situada en su mismo plano a una distancia b de su centro ( b a). 0. Utilice el teorema de Pappus para encontrar el centroide de la región limitada por un semicírculo su diámetro.. Utilice el teorema de Pappus para encontrar el volumen de una esfera de radio a. En los ejercicios a encuentre el centroide del sólido generado al rotar la región plana alrededor de la recta dada.. La región acotada por la parábola la recta, alrededor del eje. Tome elementos de área perpendiculares al eje de revolución.. La región del ejercicio, tomando elementos de área paralelos al eje de revolución.. La región acotada por la recta, alrededor del eje. Tome elementos de área paralelos al eje de revolución. 5. La región del ejercicio, alrededor del eje. Tome elementos de área paralelos al eje de revolución., alrededor de la recta. Tome elemen- 6. La región acotada por la recta la parábola tos de área perpendiculares el eje de revolución. 7. La región del ejercicio 6, tomando elementos de área paralelos al eje de revolución. 8. La región acotada por la parábola perpendiculares al eje. la recta 5, alrededor del eje. Tome elementos de área 9. La región del ejercicio 8, tomando elementos de área paralelos al eje de revolución. 0. La región acotada por, alrededor del eje. Tome elementos de área paralelos al eje de giro.. La región del ejercicio 0, alrededor del eje.. La región acotada por los ejes coordenados la recta que pasa por los puntos ( R,0) (0, H ), alrededor del eje. Tome elementos de área paralelos al eje (la densidad varía proporcionalmente a la distancia a la base). Ejercicios de los módulos 8 al 5

11 . Encuentre el centroide del sólido que resulta al rotar la semicircunferencia superior con centro en (0, 0) radio cm, alrededor del eje.. Demuestre que el centroide de un cono de altura h radio de la base a está a / de la distancia del vértice a la base. 5. Halle el centro de masa de una semiesfera sólida homogénea de radio r, si la densidad en cada punto P es proporcional a la distancia de P a la base del hemisferio. V. Longitud de arco área de superficie. En los ejercicios a-f establezca simplifique la integral que proporciona la longitud del arco de curva suave de la función dada (no evalúe la integral). a. c. e. ; 0. b. ; 0. d. 5 / ;. / ;. ; 0. f. ;.. En los ejercicios a-h establezca simplifique la integral que da el área de la superficie de revolución generada al girar el arco de curva suave alrededor del eje dado. No evalúe la integral. a. b. c. d., 0, alrededor del eje., 0, alrededor del eje., 0, alrededor del eje., 0, alrededor de la recta. e.,, alrededor del eje. f.,, alrededor del eje. g. h.,, alrededor de la recta. 5,, alrededor de la recta.. En los ejercicios a-e determine la longitud de los arcos suaves dados. a. b. c. d. e. ( ), de 0 a. ( ), de a 5., de a. 6, de a. 8 8, de (, ) a (8, 8). Capítulo : Aplicaciones de la integral definida Elementos básicos de cálculo integral series

12 . En los ejercicios a-e determine el área de la superficie de revolución generada al girar la curva dada alrededor del eje dado. a. ; 0, alrededor del eje. b. c. d. ;, alrededor del eje. 5 ; ; alrededor del eje. 5 ; 0 9, alrededor del eje. ; 0 8, alrededor del eje. e. / 5. Use integración para calcular la longitud de una circunferencia de radio a. 6. Use integración para calcular el área superficial de un cono de altura h radio de la base a. 7. Use integración para calcular el área superficial de una esfera de radio a. 8. Determine el perímetro de la hipocicloide de cuatro cúspides (figura ). Figura 9. Determine el área de la superficie generada al girar la hipocicloide del ejercicio 8 alrededor del eje. VI. Trabajo mecánico presión de fluidos. Un resorte tiene una longitud natural de pulgadas. Si una fuerza de 5 lb lo estira pulgada, encuentre el trabajo realizado para estirarlo pulgadas.. Un resorte tiene una longitud de 87 pulgadas. Si una fuerza de 000 lb comprime el resorte media pulgada, encuentre el trabajo necesario para comprimir el resorte pulgada.. Cuál es el trabajo necesario para bombear el agua de un recipiente lleno que tiene forma cilíndrica de radio P altura h pulgadas, hasta pulgada por encima del recipiente. Ejercicios de los módulos 8 al 5

13 . Un tanque de forma semiesférica de radio 5 m se llena de agua hasta una altura de m. Cuál es el trabajo necesario para bombear el agua hasta la superficie del tanque? QQ 5. La fuerza de repulsión entre dos cargas Q Q esta dada por F k, donde r es la distancia entre r ambas. Cuál es el trabajo necesario para separar las cargas desde una distancia de cm entre sus centros hasta una distancia de 5 cm? 6. La fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra, de masa M, sobre un cuerpo de masa m situado a una distancia RmM de su centro está dada por F, en donde R es la constante de gravitación universal. Halle el trabajo realizado al mover una masa m desde la superficie de la Tierra hasta una altura h, sabiendo que el radio de la Tierra es r. 7. Un balde que pesa 5 lb que contiene 0 lb de arena es amarrado al etremo inferior de una cadena que mide 0 pulgadas peso 8 lb que está colgada en un pozo. Encuentre el trabajo necesario para subir el balde al borde del pozo. 8. Una lámina rectangular de 00 cm de ancho por 80 cm de alto se sumerge verticalmente en un tanque con agua de tal manera que el borde de 00 cm queda a ras del agua. Encuentre la fuerza total ejercida por el agua sobre cada cara de la lámina. 9. Resuelva el problema anterior cuando el borde superior queda a 00 cm por debajo del nivel del agua. 0. Una lámina en forma de triángulo rectángulo de catetos 0 0 cm se sumerge verticalmente en un líquido de w 5 g/ cm de tal manera que el cateto maor coincide con la superficie del líquido. Encuentre la fuerza total ejercida por el líquido sobre una de las caras de la lámina.. La cara en contacto con el agua en una presa es vertical tiene la forma de un trapecio en donde la base superior mide 50 m, la inferior 0 m la altura entre las dos es de 0 m. Halle la fuerza total ejercida por el agua sobre la cara epuesta al agua si el nivel del agua coincide con la base superior.. Resuelva el problema anterior cuando el nivel del agua ha bajado 0 m.. Un tanque tiene la forma de un cilindro circular recto de radio m está colocado con su eje horizontal. Si se llena con aceite de. Resuelva el problema anterior: w 800 kg / m, cuál será la fuerza sobre cada una de las caras circulares? a. Si el cilindro se llena solamente hasta la mitad. b. Si se llena hasta una altura de,5 m. 5. La cara en contacto con el agua en una presa forma un ángulo de 0 con la vertical. La forma de la cara es rectangular, con 0 m de ancho 0 m de profundidad. Halle la fuerza total que ejerce el agua sobre la presa cuando ésta se encuentra llena de agua. 6. Resuelva el problema anterior cuando la forma de la cara es un trapecio de base superior 50 m, base inferior 0 m altura 0 m. Capítulo : Aplicaciones de la integral definida

14 7. Un tanque lleno de agua tiene una compuerta vertical en forma de círculo de 60 cm de radio con su centro a una profundidad de m. Halle la fuerza total ejercida por el agua sobre la compuerta. 8. Calcule la fuerza total ejercida por el agua sobre la superficie de área A limitada por el eje, la curva f ( ) las rectas a b (figura ). Demuestre que la fuerza total es la misma que resultaría si la placa se colocara horizontalmente a una profundidad, siendo la abscisa de su centroide. Figura 6 Ejercicios de los módulos 8 al 5

15 Taller cálculo integral: Preparación tercer parcial. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. UdeA. 08- Área de una región plana. Determine el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas a) 7 b) 0 c) d) 0 5 e) 5 0 f) 5 56 g) h) i) ln e e j) k) / e l) 0 cos π sen m) e 0 ln n) o) 0 6 p) q)

16 r) sen cos sobre el intervalo π, π. (Zill Wright, 0. p. 99). Volumen de un Sólido de Revolución. (Método de los discos) Determine el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas gira en torno del eje indicado a) 0 9 en torno a eje b) c) 0 0 ( primer cuadrante) entorno a eje 0 0 en torno a. (Método de los anillos) Determine el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas gira en torno del eje indicado

17 a) 5 en torno al eje b) 0 9 entorno a eje c) entornoaeje d) entorno al eje e) entorno al eje f) 0 9 entorno a. (Método de las capas) Determine el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas gira en torno del eje indicado a) eje En torno al eje b) En torno a - c) En torno a 0 5. Dada la región acotada por las gráficas de : Determinar Volumen del sólido de revolución generado si gira en torno a la recta a) b) 5 c) 60 d) 0 6. Dada la región acotada por las gráficas de : 8. Determinar Volumen del sólido de revolución generado si gira en torno a: a) El eje b) 0 c) 5

18 7. Determine el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas gira en torno del eje indicado a) 0 En torno al eje b) En torno al eje c) En torno a la recta d), 0 0 En torno al eje e) f) g) h) 0 En torno al eje En torno al eje 0 0 En torno a la recta ln 0 En torno al eje

19 i) j) k) l) 0 En torno al eje 0 En torno al eje 9 0 En torno al eje ( e ) ln 0 0 En torno a la recta ln m) n) o) p) sen cos π π En torno a la π recta e / En torno al eje sen( ) 0 π En torno al eje 5 En torno al eje q) En torno a - r) ; 6 En torno a s) En torno a eje t) En torno a u) tan π El eje En torno a 8. Considere la región acotada por las gráficas de 5;

20 Determinar: a) Área de la región b) Volumen del sólido de revolución generado, si gira en torno a la recta: Trabajo i. ii. 6 iii. iv. 9. Encuentre el trabajo realizado (no es tema del curso) a) Una fuerza de 5 libras comprime un resorte de 5 pulgadas un total de pulgadas. Cuánto trabajo se realiza al comprimir el resorte 7 pulgadas adicionales? b) Un resorte tiene una longitud natural de cm, si se requiere una fuerza de 5 N para mantener el resorte estirado cm. Halle el trabajo realizado para estirar el resorte desde su longitud natural a una longitud de 8 cm. c) Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 0 libras estira el resorte pulgada, determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a pulgadas. d) Una fuerza de 5 kg alarga un resorte cm. Determine el trabajo requerido para alargar el resorte cm más.

21 e) Un resorte tiene una longitud natural de 6cm. Si 00 dinas lo comprimen 0,5 cm, calcular el trabajo efectuado al comprimirlo desde 0,6 cm hasta,5 cm. Qué trabajo se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm, partiendo de su estado comprimido de,5 cm? f) Suppose that a spring has a natural length of feet and that a force of 0 pounds is needed to compress the spring to a length of 8 inches. Find the amount work that is necessar to stretch the spring from a length of.5 foot to a length of feet. g) A spring has a natural length of 0 cm. If a 5 N force is required to keep it stetched to a length of 0 cm, how much work is required to stretch it from 0 cm to 5 cm? h) A cable whose weight densit is lb/ft is used to lift 800 lb of coal up a mineshaft 500 ft deep. Find the work done. i) Una fuerza de 7N se requiere para mantener estirado un resorte 0.5m de su longitud normal. Encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte 0.5m. j) Compute the work done in empting an inverted conical tank that is 5 ft tall and has a diameter at the top of 0 ft and that has a water level of 0 ft. Note the weight densit of water is 6.lb ft k) Un cable que pesa libras/pie se está desenrollando de un tambor cilíndrico. Si ha 50 pies desenrollados, calcular el trabajo realizado por la fuerza de la gravedad para desenrollar otros 50 pies. l) Compute the work done b lifting 00.0 kg verticall.0 meters. State answer in both metric and English units. m) Compute the work required to lift a 5 ton space module 800 miles above the surface of the earth, given that the radius of the earth is about,000 miles n) If a tank is made revolving the graph of the equation ( and measured in meters).0m about the ais for 0 m m, how much work does it take to fill the tank to the top with water? o) Un tanque esférico de almacenamiento de agua de SEDAPAL de m de radio está instalado de modo tal que su parte superior queda a 0 m sobre el piso. Si en cierto momento se encuentra lleno de agua hasta la mitad de su capacidad se pide calcular el trabajo que debe realizar una bomba para desaguar parcialmente el tanque, sabiendo que esta debe elevar el agua hasta la parte superior del mismo, pero que se desean dejar veinte centímetros de agua al fondo. p) Un contratista construe un gran recipiente (para almacenar agua) en forma de un semicilindro circular recto. Al instalarlo en el campo, la cara rectangular de doce metros de longitud tres de diámetro es apoada horizontalmente sobre una base de concreto armado de un metro de altura. Si se vierte agua al tanque hasta cubrir la mitad de su radio, se pide

22 calcular el trabajo en que debe realizar una bomba para desaguar el tanque, si el agua debe bombearse hasta un punto dos metros mas alto que la parte superior del mismo. q) Un reservorio en forma de cono circular recto tiene un diámetro de m en la parte inferior una altura de 8 m. Si el tanque se llena con agua dulce hasta una altura de 5 m, se pide calcular el trabajo para desaguarlo. Suponga que el tanque se apoa sobre el suelo que el agua debe bombearse hasta una altura de 0 m, es decir dos metros mas arriba que el vértice del cono. Longitud de Arco Área de una Superficie de Revolución 0. Encuentre la longitud de arco de la gráfica de la función en el intervalo indicado a) / en[0,5] b) en 6 [0,] c) ( ) en[0,] d) 6 en [,] e) ln(sen) π π en [, ] 6 f) 8 en [,] g) 75( e /50 en [-00,00] e /50) h) 8 de a. Encuentre el área de la superficie de revolución que se genera cuando la porción de la gráfica indicada gira en torno al eje de revolución a) en [,] En torno al eje b) en [0, ] En torno al eje 5 c) en 5 [,] En torno al eje d) 0 desde hasta, en torno al eje e) en [0,9] En torno al eje f) ln en [,7] En torno al eje. Una antena parabólica tiene un diámetro de m una profundidad de m. calcular su área superficial.

23 . (Generalización del ejercicio anterior) Determinar área superficial de una antena parabólica con diámetro d profundidad p. Centroide de una Región Plana. Encuentre las coordenadas del centroide de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas a) 0 6 b) 0 c) 0 d) 0 9 e) 0 6 f) g) h) 0 i) 5. Encuentre el centroide de la región acotada por las gráficas de 0 ; 5 5 ; 8 ; sen 0

24 6. Determinar el centroide de la región acotada por las gráficas de : sen π Teoremas de Pappus 7. Encuentre el volumen del sólido de revolución generado si la región acotada por las gráficas dadas gira en torno a los ejes que se indican: 0 En torno a: 0 En torno a: 6 0 En torno a: 0 En torno a: 0 8. Dada la región acotada por las gráficas de 7 ; 9 0 a. Encuentre su área

25 b. Encuentre su centroide c. Usando teorema de Pappus determine el volumen del solido de revolución generado si gira en torno a la recta 0 d. Usando teorema de Pappus determine el volumen del solido de revolución generado si gira en torno a la recta 5 9. Determinar el volumen del sólido de revolución generado si la región acotada por las gráficas de ; 0 gira en torno a la recta 0. Tenga en cuenta que la distancia entre la recta a b c 0 el punto ( 0, 0 ), a0 b0 c puede determinarse con la fórmula a b 0. Dada la región acotada por las gráficas de: 0; 5, cos a. Determine el centroide de la región b. Encuentre, usando el teorema de Pappus, el volumen del sólido de revolución generado si la gráfica gira en torno a la recta 5. Dada la región acotada por las gráficas de:, cos en el π 6π intervalo 0, π

26 a. Determine el centroide de la región b. Encuentre, usando el teorema de Pappus, el volumen del sólido de revolución generado si la gráfica π gira en torno a la recta Nota: plantear las integrales correspondientes resolver con calculadora o SAC

27 ALGUNAS RESPUESTAS. d. 75 Unidades de área f. Unidades de área h. Unidades de área k) 9 8, 55 e Unidades de área. b.. 6 Unidades de volumen 7π 5. e. Unidades de volumen g. V π 8. 0 Unidades de vol. u. V. 85 Unidades 5 0 de vol. 7. a. 5. Unidades de longitud c. Unidades de longitud 7 d.. 67 Unidades de longitud e. ln[( ) /( )]. 76 f Unidades de longitud g. s 50 e e Unid. long. 5,5 Unid. long. 8. a. ( 5 / 0 / ) 99, 5 π Unidades de área S π Unidades de área. b. 7 c. π Unidades de área f. [ ln( )] π Unidades de área , 6., , i., ( 0,6;, ) π. Centroide, ; V 556,57Unid. Vol 5 0 0

28 Referencias Zill, D. and Wright, W. (0). Cálculo de una variable. ta ed. Méico: McGraw Hill Interamericana.