Oficina d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 11 PAU 2017 Criteris específics de correcció i qualificació per ser fets públics un cop finalitzades

Transcripción

1 Oficin d Accés l Universitt Pàgin de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques SÈRIE Responeu CINC de les sis qüestions següents. En les respostes, expliqueu sempre què voleu fer i per què. Cd qüestió vl punts. Podeu utilitzr clculdor, però no s utoritzrà l ús de clculdores o ltres prells que portin informció emmgtzemd o que puguin trnsmetre o rebre informció. Criteris generls per l correcció:. En tots els csos l resolució que f l estudint s h de poder seguir i comprendre els pssos que f. Aquelles respostes, prcils o totls, que no estiguin desenvolupdes o no es pugui seguir el com s h rribt donr l resolució sern puntudes mb punts.. L resolució proposd és, en lguns csos, un de les possibles i no és, en principi, únic. Per tnt, sempre que l enuncit ho permeti, en el cs que l estudint respongui mb un resolució lterntiv totlment correct se li ssignrà el totl de puntució de l prtt. Si l respost és prcil l puntució obtingud serà proporcionl l prt corresponent de l puntució totl. 3. En lguns csos, l solució finl pot dmetre expressions equivlents. En quests csos l puntució serà l totlitt de l puntució de l prtt. 4. Tots els exercicis, prtts i pssos dins d un prtt es vlorrn mb múltiples de,5 punts. 5. Penlitzció per errdes de càlcul o trnscripció: o Si l errd que es comet no té més trscendènci, leshores NO es descomptrà res de l puntució prcil de l prtt. o En el cs que l errd condueixi derivcions prl leles de l enuncit, es vlorrà i punturà el desenvolupment i coherènci de l resolució resultnt, i només s plicrà un penlitzció finl de,5 punts. o En cs que l errd condueixi no tenir sentit lgun de les qüestions que es demnen, leshores l puntució màxim de l prtt serà de,75 punts. o Si l resolució d un prtt conté dues errdes l puntució de l prtt serà l cumuld fins l moment previ l cometre l segon errd.

2 Oficin d Accés l Universitt Pàgin de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques. ) Estudieu per quins vlors de el sistem és incomptible CAS I: Si i ú.ò3 En virtut del teorem de Rouché-Frobënius, en quest cs el sistem és. CAS II: Si 3, En virtut del teorem de Rouché-Frobënius, el sistem és.

3 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 3 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques CAS III: 5 3, En virtut del teorem de Rouché-Frobënius, el sistem és. El sistem és incomptible per dos vlors del pràmetre : i. Resoleu el sistem per. 5 3 En quest cs el sistem és comptible determint, té un únic solució i el sistem es pot resoldre per qulsevol mètode conegut, per exemple, pel mètode de Guss: De l tercer equció, tenim 6, per tnt, 6. De l segon equció, tenim y+, per tnt, 4. De l primer equció, tenim, per tnt,. Solució:, 4, 6.

4 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 4 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques Putes de correcció: ),5 punts per l determinnt de l mtriu de coeficients i per ls vlors crítics.,5 punts per l discussió del cs.,5 punts per l discussió del cs.,5 punts per l respost l pregunt.,5 punts per l sistem prticulr (i l indicció de SCD, si és el cs, que no cl).,5 punts per l vlor de l x.,5 punts per l vlor de l y.,5 punts per l vlor de l z.

5 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 5 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques. ) Si el pl h de ser perpendiculr ls dos plns i, leshores el seu vector norml,,, hurà de ser perpendiculr ls respectius vectors normls 5,,7 i, 3,. 5 Així doncs 3, 9, 7. 7 El pl tindrà l form 9 7, però si h de pssr per l origen de coordendes (,,), leshores D = i el pl busct serà 9 7. L ngle entre els dos plns serà l ngle que formin els respectius vectors normls. Així doncs:,, 5,, 7,,3, 37 cos 9. Els dos plns són perpendiculrs. Putes de correcció: ),5 punts pel plntejment de perpendiculritt entre vectors normls.,5 punts pel producte vectoril.,5 punts per l form inicil del pl.,5 punts per l equció finl del pl.,5 punts per l ngle prtir de l ngle entre els vectors normls.,5 punts per l formulció de l ngle.,5 punts pel producte esclr.,5 punts per l perpendiculritt (o l ngle de 9º, sense indicr perpendiculritt).

6 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 6 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques 3. ) L respost depèn del signe de k. Si k <, leshores per qulsevol vlor de x i, per tnt, Dom(f) = R i l funció és contínu perquè no s nul l el denomindor i no té cp símptot verticl. Com que lim, l funció té un símptot horitzontl en l eix de les x, y=. Si k > leshores s nul l per ls vlors i, per tnt, Dom(f) = R-{ } i l funció tindrà dues símptotes verticls, en i en. Com que lim, l funció té un símptot horitzontl en l eix de les x, y=. si, mb independènci del vlor de k. ² 8 Com que, f, per tnt, té un màxim reltiu en el punt, i no té mínims reltius. 6 Observció: En lloc de fer servir el signe de l derivd segon tmbé es pot veure el creixement o decreixement de l funció f l entorn de x =. Putes de correcció: ),5 punts pel domini i no AV qun k <,5 punts pel domini i AV qun k >,5 punts per l AH qun k <,5 punts per l AH qun k >,5 punts per l derivd primer.,5 punts pel punt singulr.,5 punts per l derivd segon o el ronment equivlent sobre el creixement o decreixement.,5 punts per l clssificció del punt i l respost finl.

7 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 7 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques 4. ) Perquè tingui solució únic cldrà que el sistem sigui comptible i determint; és dir, que rngm=rngm =3 mb M M ') ( Per tl que rngm=3 cl que Det M Això vol dir que el sistem és comptible i determint sempre que Per Crmer: x 3, y i z Per tnt, l solució del sistem (en funció del pràmetre ) és:,,

8 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 8 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques Putes de correcció: ),5 punts per l condició de Rouché-Frobënius.,5 punts pel determinnt de l ssocid.,5 punts pel vlor singulr.,5 punts pel ronment finl.,5 punts per l plicció de l regl de Crmer o mètode equivlent.,5 punts pel càlcul de l x.,5 punts pel càlcul de l y.,5 punts pel càlcul de l z.

9 Oficin d Accés l Universitt Pàgin 9 de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques 5. ) Per comprovr que un mtriu és invertible és suficient comprovr que el seu determinnt és sempre diferent de. Efectivment,, que és sempre diferent de, j que en ser sum de dos qudrts, independentment del vlor que tinguin les vribles x i y. ) Per i, tenim. Tindrem. Putes de correcció: ),5 punts pel plntejment prtir del determinnt no nul (o del rng ).,5 punts per provr que el determinnt és sempre diferent de.,5 punts per l expressió de M.,5 punts per l formulció del càlcul de l mtriu invers.,5 punts pel càlcul finl..

10 Oficin d Accés l Universitt Pàgin de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques 6. ) Pel teorem de Pitàgores sbem que. Com que el volum del con vl cm 3, per l fórmul del volum tenim i ïllnt, obtenim buscd. 3. Substituint l expressió inicil, s obté l fórmul L longitud de l rest és un funció positiv i tenim l longitud l qudrt expressd com funció de, per tnt és suficient mb trobr els mínims de l funció qun,. Tenim per tnt, en igulr, s obté, i 3,86 cm. Es comprov que és un mínim, j que qun, i qun,. Alterntivment, es pot trebllr mb l funció i s obté com derivd El desenvolupment del problem és el mteix prtir d quí.

11 Oficin d Accés l Universitt Pàgin de PAU 7 Criteris específics de correcció i qulificció per ser fets públics un cop finlitzdes Mtemàtiques Putes de correcció: ),5 punts per l plicció del teorem de Pitàgores.,5 punts per l igultt derivd del volum.,5 punts per ïllr l x.,5 punts per l substitució finl.,5 punts per l rgumentció de l funció minimitzr.,5 punts per l derivd de l funció.,5 punts pel punt singulr (en form rdicl o mb l expressió deciml).,5 punts per l clssificció del punt singulr (com l propost de resolució o prtir del signe de l derivd segon).