1) Enuncieu i demostreu la Regla de Barrow (2n teorema fonamental del càlcul integral). (1 punt) a) Dibuixeu el recinte limitat per aquestes corbes

Transcripción

1 Generlitt de Ctluny Deprtment d Ensenyment Institut Jume Blmes Deprtment de Mtemàtiques n BATX MA Integrls definides i mètode de Guss Nom i Cognoms: Grup: Dt: ) Enuncieu i demostreu l Regl de Brrow (n teorem fonmentl del càlcul integrl). y x + x ) Dondes les corbes y x + ) Dibuixeu el recinte limitt per questes corbes b) Clculeu l'àre d'quest recinte. c) Clculeu el volum del cos de revolució que gener l prt d'quest recinte que es trob entre x i x l girr l voltnt de l'eix OX (+,5+,54 punts) ) Tres mics A, B i C volen fer un present un mic comú. El present els cost 780. Com que no disposen de l mteix quntitt de diners, decideixen pgr de l següent mner: A pg el triple del que pguen B i C junts, i per cd 5 euros que pg B, C pg 8 euros. Qunt pg cdscú? [Atenció!!! cl solucionr el sistem utilitznt el mètode de Guss] x y + 7z 8 4) Dont el sistem d equcions. x + y + 5z 6 (,5 punts) ) Afegiu-hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui incomptible. b) Afegiu-hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui comptible indetermint. [Justifiqueu en cd cs el procediment seguit]. 5) Discutiu com és quest sistem (és dir digueu si té o no solucions i quntes) segons el vlor del pràmetre k. I interpreteu geomètricment les solucions. x y x + (k ) y x y + z + ( k + ) z k + + kz k (,5 punts)

2 Generlitt de Ctluny Deprtment d Ensenyment Institut Jume Blmes Deprtment de Mtemàtiques n BATX MA Integrls definides i mètode de Guss Nom i Cognoms: Grup: Dt: ) Enuncieu i demostreu l Regl de Brrow (n teorem fonmentl del càlcul integrl). n Teorem Fonmentl del càlcul integrl (Regl de Brrow) b f(x) funció contínu en [,b] f ( x )dx G(b ) G( ) } G(X) és un primitiv de f(x) Demostrció Recordem el r Teorem fonmentl del càlcul integrl Si f(x) és un funció contínu en [,b] definim l funció A( x ) x f (t ) dt x [, b] A(x) és derivble i A'(x) f(x) x [, b] Així doncs tenim dues primitives d'un mteix funció: x [, b] A'(x) f(x) i G'(x) f(x) Per tnt podem firmr que només es diferencien en un constnt: A(X) G(x) + K per cert K R En quest igultt fem x i podrem obtenir el vlor de l constnt K que flt: A() G() + K f (t ) dt G( ) + K 0 G( ) + K G( ) K I substituint l igultt nterior tenim que: A(X) G(x) G() x [, b] i si r en quest drrer igultt donem l x el vlor b b f (t ) dt G(b ) G( ) Com volíem demostrr y x + x ) Dondes les corbes y x + ) Dibuixeu el recinte limitt per questes corbes - Observeu que les dues funcions són contínues tot R. - A més sbem que un és un cúbic i un ltr un rect mb pendent negtiv o L rect pss pels punt (0,), (,) i (, 0) o De l cúbic sbem que tll l'eix OX (y0) en x0, i X i tmbé que lim x + x + i que lim x + x x - x + Si les tllen per obtenir els punts d'intersecció de les dues corbes tenim: y x + x x + x x + x + x + x 0 y x + Hem de descompondre el polinomi en fctors. Observem que el polinomi és divisible per (x ), j que x és un zero del polinomi, ixí doncs dividint per Ruffini tenim

3 0 x 0 x 0 x ( x ) ( x x ) 0 x x ± + 8 x 4 x I per tnt j podem dibuixr l zon tncd per les dues corbes

4 b) Clculeu l'àre d'quest recinte. ( ) A x + x + x dx + x + x ( x + ) dx x x x dx x x x dx x x x x x x + x x unitts c) Clculeu el volum del cos de revolució que gener l prt d'quest recinte que es trob entre x i x l girr l voltnt de l'eix OX V π ( x + x ) ( x + ) dx ( 4 4 ) ( 4 4) π x x + x x x + dx π x 4x + 4x x + 4x 4 dx x 4x 4x x π + + x 4x π π π unitts (+,5+,54 punts)

5 ) Tres mics A, B i C volen fer un present un mic comú. El present els cost 780. Com que no disposen de l mteix quntitt de diners, decideixen pgr de l següent mner: A pg el triple del que pguen B i C junts, i per cd 5 euros que pg B, C pg 8 euros. Qunt pg cdscú? [Atenció!!! cl solucionr el sistem utilitznt el mètode de Guss] Sigui x els que pg A, y els que pg B i z els que pg A (,5 punts) Solució: A pg 585, B 75 i C 0 x y+ 7z 8 4) Dont el sistem d equcions. x+ y+ 5z 6 ) Afegiu-hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui incomptible. b) Afegiu-hi un equció linel de mner que el sistem resultnt sigui comptible indetermint. [Justifiqueu en cd cs el procediment seguit]. ) Només cl fegir un equció que sigui contrdictòri mb qulsevol d'questes per exemple com l F per cnvint el terme independent per un ltre nombre. x y+ 7z 8 x+ y+ 5z 6 x y+ 7z 0 b) Aquest sistem si l'esclonem fent F F observem que j és SCI mb gru de llibertt. Per tnt només cl fegir un equció que es dedueixi de les nteriors, per exemple F x y+ 7z 8 x+ y+ 5z 6 x y+ 4z 6

6 5) Discutiu com és quest sistem (és dir digueu si té o no solució i quntes) segons el vlor del pràmetre k. I interpreteu geomètricment les solucions. x y + z x + ( k ) y + ( k + ) z k + x y + kz k Esclonem el sistem fent per exemple F F i F F obtenint: 0 k + k k 0 0 k k I r j tenim els tres csos: (,5 punts) CAS I: K i K el sistem és Sistem Comptible Determint (SCD) per tnt té un únic solució i podem dir que cd equció és un pl de l'espi i que els tres plns tenen un únic punt en comú CAS II: Si K el sistem qued ixí i esclonnt-lo tenim 0 0 F F que l vist de l F observem un contrdiccio i per tnt podem ssegurr que el sistem no té solució, és dir és Incomptible (SI). L qul cos vol dir que els tres plns no tenen cp punt en comú. En quest cs es veu que el pl n i r són prl lels (j que questes dues equcions són incomptibles) i el r pl tll tnt l r com l n en els punt d'un rect (SCI mb gru de llibertt). CAS III: Si K el sistem qued ixí i per tnt podem eliminr l F i tenim que el sistem és SCI mb gru de llibertt, i podem gfr com pràmetre lliure tnt x com l z. L qul cos vol dir que els tres plns que determinen les equcions tenen un rect en comú.