SOLUCIONARI Unitat 1. Introducció al càlcul vectorial. Qüestions. 1. Dibuixeu dos vectors equipol. lents. 2. Dibuixeu dos vectors lliures iguals.

Transcripción

1 SOLUCIONARI Unitt Introducció l càlcul vectoril Qüestions. Diuixeu dos vectors equipol. lents. Respost oert.. Diuixeu dos vectors lliures iguls. Respost oert. 3. Com són els vectors i que verifiquen questes propietts? ) c i c Els vectors i tenen l mteix direcció i el mteix sentit, que l sum dels mòduls de i coincideix m el mòdul de c. ) c) El vector h de ser el vector nul (0, 0), que, si simplifiquem, és igul l seu opost, i ixò només ho verific el vector nul. c i c Els vectors i hn de ser perpendiculrs, que els seus mòduls verifiquen el teorem de Pitàgores. 4. L sum dels vectors unitris i, és un ltre vector unitri? Justifiqueu l respost fent un gràfic. Els vectors unitris ii són: i (, 0) (0, ) El vector sum és: i (, 0) (0, ) (, ) El mòdul del vector sum és,4. Per tnt, l sum no és un vector unitri, que el seu mòdul no és l unitt.. Poseu dos exemples físics on s pliqui el producte esclr de dos vectors. En el càlcul del trell, W F r, i en el càlcul de l potènci prtir de l forç i l velocitt, P F v. 6. Diuixeu dos vectors tls que el producte esclr sigui: ) positiu, ) negtiu i c) nul. ) ) c) McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert

2 7. El producte esclr de dos vectors de mòduls 0 i pot ser nul? Si quests dos vectors són perpendiculrs, el seu producte esclr és nul, que 90, i cos Qun un cos es desplç perpendiculrment respecte de l forç net que ctu sore ell, quest no efectu trell. Per què? Perquè l ngle que formen és de 90 i cos 90 0: F r F x cos Demostreu gràficment l propiett distriutiv respecte de l sum en el producte esclr de dos vectors. Respost oert. Prolemes. Expresseu els vectors següents en form polr: (4, 3); (3, ); c (, 4) (4, 3) tg 0,7 36,87 4 (3, ) 3 () 3 3,6 tg 0,67 33,69 3 Està l 4t qudrnt ,69 36,3 c (, 4) c (4) 0 4,47 4 tg 63,43 Està l 4t qudrnt ,43 96,7. Troeu gràficment el vector sum de les forces de l figur.7. c s d 3. Un cos està lligt un cord i un noi tir de l cord m un forç de 0 N (fig..76). Si l cord form un ngle de 30 m el terr, quin és el vlor de l forç que tendeix fer pur el cos verticlment? F y F sin 30 0 sin 30 7 N McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert

3 4. L resultnt de dues forces perpendiculrs és 8 N. Si un d elles és de N, qunt vl l ltr forç? F N F 8 N F F F F F F F F F ,4 N. Descomponeu un forç de 00 N en dues forces que siguin iguls i que formin un ngle recte. F 00 N F R 00 N F R F F F F 00 F 00 F 70,7 N F 6. Donts dos vectors de mòduls 3 i 6 plicts en un mteix punt, clculeu el mòdul del vector resultnt qun formen un ngle de: Apliquem el teorem del cosinus: s cos ) 4 s cos 4 s 8,39 ) 30 s cos 30 s 8,73 c) 90 s cos 90 s 6,7 7. Considereu dos vectors, un de mòdul 3 i l ltre de mòdul 4. Digueu com s hn de sumr quests vectors perquè el vector resultnt tingui mòdul igul : ) 7, ) i c). s ) s ) s 4 3 c) s Un ugdor de golf h efectut tres cops per posr l pilot l fort. En el primer cop mou l pilot 3 m cp l nord; en el segon 8 m cp l sud-est, i el tercer m cp l sud. Quin desplçment huri necessitt per ficr l pilot l fort en el primer cop? 8 m 4 m component x: 8 cos 4,6 component y: 3 8 sin 4 8,34 3 m S s,6 8,34 8,90 8,34 tg,0 78,7,6 McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 3

4 9. Donts els vectors en components polrs 30, 6 60, 7 90, representeu-los gràficment i troeu: ) Els vectors en components crtesins. cos 30 i sin 30 4,33 i, 6 cos 60 i 6 sin 60 3 i, c 7 cos 90 i 7 sin 90 7 ) El vector sum dels tres vectors, gràficment i tmé expresst en components crtesins i polrs. s c 4,33 i, 3,33 i, c 4,33 i 7,3 s 7,33 i 4,7 s 7,33 4,7 6,43 4,7 tg,0 63, 7, Sore un cos ctuen dues forces de i 0 N que formen entre elles un ngle de 90. Clculeu: N ) L forç que s h de fer perquè el cos no es mogui. F 0,8 N 0 N ) L ngle que form m l horitzontl l forç clculd l prtt ). F tg 0, 6,6 0 Està l 3r qudrnt 80 6,6 06,6. Un cos de kg està pent de dos cles iguls que formen un ngle de 90. Clculeu l forç que h de fer cd cle per poder sostenir el cos. F 90º 4º F F cos 4 F cos 4 p 0 F cos 4 p 0 p 9,8 F cos 4 cos 4 F 34,6 N p McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 4

5 . Sent que F 00 N i F 0 N, clculeu perquè el cos de l figur.77 es mogui en l direcció de l eix X. F F sin F sin (4 ) sin sin (4 ) F 0 sin sin (4 ) 0,3 0, Donts els vectors (, 4) i (8, ), clculeu: ) L sum i l diferènci, gràficment i numèricment. s (, 4) (8, ) (0, ) d d (, 4) (8, ) (6, 6) s ) Determineu els mòduls de tots dos vectors i dels vectors sum i diferènci ,47 8 () 68 8, s ,0 d (6) 6 7 8,49 4. Clculeu el producte esclr dels vectors i 4 k i 3 i k, i roneu com són quests dos vectors. i 4 k 3 i k x x y y z z 3 4 () () Els dos vectors són perpendiculrs, que el seu producte esclr és zero.. Deduïu el vlor de p perquè els vectors (,, ) i (, p, 3), siguin perpendiculrs. (,, ) (, p, 3) p () 3 0 p 6 0 p Donts els vectors: 3 i 4 ki i k, clculeu ( ) (3 4 ). 3 i 4 k i k ( ) (3 4 ) McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert

6 (3 i 4 k) ( i k) 6 i 8 k i k i (3 i 4 k) 4 ( i k) 9 i 3 k 4 i 0 8 k 3 i 3 k ( ) (3 4 ) ( i 3 ) (3 i 3 k) () 6 7. Clculeu els components crtesins d un vector u que sigui unitri i que tingui l mteix direcció que el vector 3 i 4 però sentit contrri. (3) 4 3 i 4 u 0,6 i 0,8 u 0,6 i 0,8 8. Dont el vector 4 i k, clculeu: ) Un vector que sigui perpendiculr i que tingui un component x 6. 0 (4 i k) (6 i y ) y 0 y 6 i ) Un vector unitri perpendiculr l vector. 6 3,4 6 u i 0,4 i 0,89 3,4 3,4 9. Troeu l ngle que formen els vectors i 4 ki 3 i 4 k. i 4 k 3 i 4 k cos x x y y z z 3 4 () () 4,4 3 4,38 7 cos 0,3 7,3 4,4,38 0. Donts els vectors 4 i 3 i 3 i k, clculeu: ) El vector c. 4 i 3 3 i k c 7 i k McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 6

7 ) Els vectors unitris de, i c. 4 (3) 3 () 3,74 c 7 () () 7,4 4 3 u i 0,8 i 0,6 3 u i k 0,8 i 0,3 0,7 k 3,74 3,74 3,74 7 uc i k 0,98 i 0,4 0,4 k 7,4 7,4 7,4 c) El cosinus de l ngle que formen els vectors i. 4 3 (3) 0 () 6 6 cos 0,3 3,74. Donts els vectors 6 i i 9 i m, clculeu el vlor de m perquè els vectors i siguin: ) Perpendiculrs. 4 6 (9) m 0 4 m 0 m 7 ) Prl. lels. 0 cos (9) m 8 m 4 m 40 8 m (4 m) ( 40 (8 m )) 4 m 6 m m 36 m 6 m ) 6 m 6 m 9 0 m 3. Determineu l proecció del vector i 3 sore el vector i. () 3 u i 3 3 u ( i 3 ) i (3) A prtir de l funció vectoril (t) t i ( t ), clculeu l ngle que formen els vectors otinguts en fer t i t 3. (t) t i ( t ) () i ( ) i (3) 3 i ( 3 ) 6 i 7 McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 7

8 () (3) (),4 (3) ,03 () (3) 9 cos 0,7 44 () (3),4 8,03 4. Dond l funció vectoril (t) (t ) i ( t ), clculeu i representeu gràficment els vectors següents: y ) ) (0) i () ( ) i ( ) 3 i () c) () (0) (3 i ) ( i ) 4 i 4 4 i 4 d ) i t 0 (0) t x. Tenim l funció vectoril (t) (t 3) i ( t t), determineu el vector unitri que té l direcció i el sentit de l derivd per t. (t) (t 3) i ( t t) (t) t i (4 t ) () i () 9,38 u() i 0,37 i 0,93,38,38 6. Dond l funció vectoril (t) t i (3 t), clculeu per t 3: ) i el seu mòdul. (3) 3 i (3 3) 9 i (3) 9 ) El mòdul de l derivd respecte de t. (t) t i (t) ( t) () 4 t (3) ,08 c) L derivd del mòdul. (t) (t ) (3 t) t 4 (3 t) t 4 t 6t 4 t 3 t 6 (t) t 4 t 6t (3) McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 8

9 7. Dont el vector (t) t i (t 4), determineu: ) (), (). () i ( 4) i (, 0) () i ( 4) i (, ) ) en els instnts nteriors. () () (, ) (, 0) (3, ) c) L ngle que h girt el vector. y () tg 4, 76,6 () x 8. Sigui l funció vectoril (t) ((t ), t), clculeu-ne l integrl entre t s i t 0 s. (t) ((t ), t) (t) d t 0 ((t ), t) dt t 3 t t, 0, (34, 47,) McGrw-Hill/ Intermericn de Espñ, S.A.U. Físic. Btxillert 9