TEMA 6: Trigonometria

Transcripción

1 TEMA 6: Trigonometri L trigonometri, és l prt de l geometri dedicd l resolució de tringles, es dir, determinr els vlors dels ngles i dels costts d un tringle. 6. MESURA D ANGLES Per mesurr ngles doptrem el següent sistem de referènci: sore uns eixos, siturem el vèrtex l origen de coordendes, el costt fix de l ngle sore l eix d scisses positiu, i prendrem com sentit positiu el sentit contrri l se les gulles del rellotge, considerrem que són ngles m sentit negtiu el mteix sentit que les gulles del rellotge. Els ngles es poden mesurr en grus sexgesimls, que j hs estudit en cursos nterior, i en rdins: 6.. El rdin L rc que mesur l mteix longitud que el rdi de l circumferènci determin un ngle noment rdin i que es design per rd. 6.. Relció entre grus sexgesiml i rdins: Per tror quest relció nomes cl deduir qunts rdins mesur un circumferènci, que sem mesur 60º: L circumferènci πr πr α(rdins) circumferènci r Per tnt, un circumferènci mesur π rdins π L equivlènci entre les dues unitts és l següent: 60º π rdins 80º π rdins

2 EXEMPLES:. Express en rdins els següents ngles : πrd ) α 00º 80º πrd ) α 5º 80º 5π rd 9 9π rd 6. Express en grus sexgesimls els ngles: π 80º ) α rd 60º πrd 80º 60º ) α rd πrd π 57.º 6. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES D UN ANGLE AGUT A c A c A c Per semlnç de tringles: B ' ' ' ) k constnt, quest ' '' vlor s nomen sinus del ngle B i es design per sin B c c' c'' ) k quest vlor ' '' s nomen cosinus del ngle B i es design per cos B ' ' ' c) k quest vlor c c' c' ' s nomen tngent del ngle B i es design per tn B Aquestes rons constnts reen el nom de rons trigonomètriques. En un tringle rectngle, m l nomencltur de l figur del mrge sin B ctet opost _ hipotenus cos B ctet contigu c_ hipotenus : hipotenus ctet opost : tn B ctet opost _ ctet contigu c A ctet contigu: c B

3 EXEMPLE: Dont el següent tringle rectngle, clcul les rons trigonomètriques de l ngle α Aplicnt teorem de Pitàgores: + c cm 6 cm A α c 8 cm B Llvors: tnα 8 6. RAONS TRIGONOMÈTRIQUES DE 0º, 60º, 5º 6.. Rons trigonomètriques de 0º i de 60º onsiderem un tringle equilàter de cm de costt : 0º 0º 60º 60º cm A c cm B En primer lloc, clculem l ltur plicnt el teorem de Pitàgores: Ar j podem clculr les rons trigonomètriques dels ngles 0º i 60º, plicnt les fórmules l tringle rectngle AB sin 0º cos 0º tn 0º cos 60º sin 60º tn 60º

4 6.. Rons trigonomètriques de 5º En quest cs considerem un qudrt de cm de costt: B c cm A cm En primer lloc, clculem l hipotenus plicnt el teorem de Pitàgores: + Ar j podem clculr les rons trigonomètriques del ngle 5º plicnt les fórmules l tringle rectngle AB sin 5º cos 5º tn 5º 6. RELAIÓNS TRIGONOMÈTRIQUES FONAMENTALS onsider el tringle rectngle: Aplicnt les fórmules clculem: A c B sin B ) cos B )sin c B + cos c tn B B + c + c Teorem de Pitàgores + c Llvors: Per un ngle gut es verific que: sin α + cos α tnα

5 NOTA: De l primer relció, es dedueix que - sin α - cos α 6.5 RELAIONS ENTRE LES RAONS TRIGONOÈTRIQUES D UN MATEIX ANGLE Les relcions trigonomètriques fonmentls ens permeten, conegud un ró trigonomètric d un ngle, clculr l rest de rons del mteix ngle. EXEMPLES. Si cos α 5, clcul les ltres dues rons trigonomètriques: De l formul : sin α + cos α 9 9 sin α + sin α 5 5 Per ltr nd: tn α 5 5. Si tn α, clcul les ltres dues rons trigonomètriques: tn α Per ltr nd: sin α + cos α ( ) 7 cos α + cos α 6cos α + cos α

6 6.6 RESOLUIÓ DE TRIANGLES RETANGLES Resoldre un tringle és tror el vlor dels tres ngles i els tres costts. En el cs dels tringles rectngles un dels ngles serà sempre conegut, j que hi h un que mesur 90º. Fórmules que utilitzrem: Sum dels ngles d un tringle: A + B + 80º Teorem de Pitàgores: h (c ) + (c ) Rons trigonomètriques: sin B ctet opost _ hipotenus cos B ctet contigu c_ hipotenus : hipotenus ctet opost : tn B ctet opost _ ctet contigu c A ctet contigu: c B