VECTORS. Una magnitud vectorial es representa mitjançant vectors. Des del punt de vista geomètric un vector A v (ó A)és un segment orientat amb:

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "VECTORS. Una magnitud vectorial es representa mitjançant vectors. Des del punt de vista geomètric un vector A v (ó A)és un segment orientat amb:"

1 VECTORS Mgnituds esclrs i ectorils Les mgnituds físiques poden clssificr-se en esclrs i ectorils. Són mgnituds esclrs l tempertur, el trell o l energi, l mss etc., i són mgnituds ectorils l elocitt, el cmp elèctric, l forç etc. Per determinr l mss d un cos, per eemple, és suficient m un lor i l unitt de mesur (i.e., 5 kg). En cni, un mgnitud ectoril h d especificr-se m un lor i les sees unitts però tmé m l direcció i sentit en que ctu; un eemple de mgnitud ectoril és l forç: p.e., s eercei un forç de 5 N en direcció erticl i sentit scendent. Vectors: Definició Un mgnitud ectoril es represent mitjnçnt ectors. Des del punt de ist geomètric un ector A (ó A)és un segment orientt m: - Mòdul: A (ó A) igul l se longitud - Direcció: l de l rect que el conté ( r ) - Sentit: orientció sore l rect suport - Punt d plicció P: origen del segment A r Els ectors m igul mòdul, direcció i sentit però diferent punt d plicció s nomenen equipol lents P Tipus de ectors Segons sigui el punt d plicció, els ectors es clssifiquen com: - Fios: el punt d plicció és fi. Eemples: l elocitt, el ector posició, l forç sore un sòlid deformle. - Lliscnts: el punt d plicció pot ser qulseol sore l mtei rect suport. Eemple: l forç sore un sòlid rígid. - Lliures: el seu punt d plicció és qulseol de l espi; un ector lliure és el conjunt formt per un ector fi i tots els seus equipol lents. Eemple: el moment d un forç. 4

2 Opercions m ectors: Sum i diferènci de ectors En moltes situcions físiques cl sumr mgnituds ectorils. Per eemple, si dues forces r i ctuen sore el mtei punt O d un cos, l forç totl és c = r + ctunt sore el mtei punt. Per conèier el mòdul, direcció i sentit de l forç totl hurem de sumr els ectors r i m l regl del prlelogrm: r c Φ Θ i es cumplei en c ²= r ²+ ²+2 r cos Θ sin Φ= r sin Θ/ c Vector opost un ector r es un ector - r d igul mòdul i direcció i de sentit opost; es erific que r +(- r )=0 r (el ector nul 0 r és el de mòdul zero). L diferènci de ectors es relitz com sum m l opost: r - = r +(- ). r - r Θ - m r - ²= r ²+ ²-2 r cos Θ Producte d un ector per un número Dont un ector r el resultt de multplicr-lo per un esclr λ és el ector =λ r que te l mtei direcció que r, mòdul =λ r i el mtei sentit que r si λ>0 i contrri si λ<0. r λ r Aiò ens judrà definir el ector unitri en un direcció i sentit determints com quell que te mòdul unitt; ií, el ector unitri u en l direcció de r és: 5

3 u = r / r u = r / r =1 D cord m iò, podem definir els ectors unitris sore els eios crtesins X,Y,Z: Z X k O j Y i Un ector pot descomposr-se com l sum d ltres situts sore els eios d un sistem de coordendes crtesines: r = i + y j r + z k o tmé r =(, y, z ) Z r z k y j i Y X Els esclrs, y, z es denominn components esclrs o crtesines d r. Notem que, y, z són les projeccions ortogonls del segment sore els eios i per tn: = cos α y = cosβ z = cosγ on γ, α, β són els ngles que form el ector r m els eios Z, X,Y respectiment, i cos α, cosβ, cosγ s nomenen cosinus directors. Es cumpleien leshores les relcions: I per les opercions entre ectors: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ=1 r 2 = 2 + y 2 + z 2. r + =( +, y + y, z + z ) λ r =( λ, λ y, λ z ) 6

4 Producte esclr Determindes opercions entre ectors donen com resultt un esclr. Per eemple, el trell és un mgnitud esclr que s oté en operr dues mgnituds ectorils: l forç i el desplçment sore l trjectòri. És per iò que es definei el producte esclr: o, en funció de les components crtesines: r = cos α r =, + y y + z z. Relcions ssocides: - Angle entre dos ectors: cos α = r r - Mòdul d un ector: r 2 = r r = y + z P α r - Projecció d un ector sore l direcció d un ltre: on u r P =cosα = r r = r u r és un ector unitri en l direcció i sentit de Producte ectoril Dos ectors poden donr lloc un ltre ector mitjnçnt el producte ectoril; s epress com r ó r ^ i es clcul en funció de les components crtesines dels ectors com: r = i j y y k z z =( y z - z y ) i +( z z ) j +( y y ) k Notem que r =-( r ). Equilentment, pot definir-se el producte ectoril de dos ectors com un ector m: - Mòdul r = sinα - Direcció perpendiculr r i, i - Sentit dont per l regl de l rosc l dret (un rosc que girès d r cp en el sentit de menor ngle nçri en direcció perpendiculr, i el sentit d nç don el sentit del producte ectoril) 7

5 r r α r r 8

Documentos relacionados

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z )

Primer octante Segundo octante Tercer octante Cuarto octante P ( X, Y, Z ) P (-X, Y, Z ) P (-X,-Y, Z ) P ( X,-Y, Z ) Cpítulo III. Álgebr vectoril Objetivo: El lumno plicrá el álgebr vectoril en l resolución de problems geométricos. Contenido: 3.1 Sistem crtesino en tres dimensiones. Simetrí de puntos. 3. Cntiddes esclres