Ampliació de Matemàtiques Tema 1. Integrals dobles i triples 1 / 26

Transcripción

1 Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples Lli Brrière Deprtment de Mtemàtiques - UPC Enginyeri de Sistemes Aeroespils Enginyeri d Aeroports Enginyeri d Aeronvegió EETAC Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 1 / 26

2 Continguts Continguts 1.1 Integrls dobles Definiió d integrl doble Integrió iterd Cnvi de vribles per integrls dobles Integrls dobles en oordendes polrs 1.2 Integrls triples Definiió d integrl triple Regions elementls R 3 Cnvi de vribles per integrls triples Integrls triples en oordendes iĺındriques Integrls triples en oordendes esfèriques Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 2 / 26

3 1.1 Integrls dobles Definiió d integrl doble 1.1 Integrls dobles Integrls definides en dues vribles Definiió. f : R 2 R i un reinte D R 2, mb f(x, y) 0 per (x, y) D. L integrl definid de f sobre D es defineix om el volum de l regió de l espi entre el pl XY i l superfíie z = f(x, y) per sobre de D. D Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 3 / 26

4 1.1 Integrls dobles Definiió d integrl doble Observions L integrl definid d un funió negtiv z = f(x, y) sobre un reinte D R 2 es defineix equivlentment i té signe negtiu. Si f no mnté el signe onstnt en D, leshores el resultt de l integrl sobre D j no és un volum. L integrl doble d un funió sobre un reinte podri no existir. No es demn tenir en ompte els problemes d existèni o no existèni de les integrls, en quest urs. Les integrls de funions de dues vribles es lulen fent dues integrls en un vrible. És per ixò que tmbé s nomenen integrls dobles. Els ĺımits d integrió d un integrl doble hn de desriure el reinte d integrió on es lul l integrl. Aquest és l prinipl difiultt ssoid l àlul d integrls dobles. Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 4 / 26

5 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Intervls de R 2 Un intervl del pl és un reinte D de l form: D = [, b] [, d] és dir (x, y) D En l representió gràfi del reinte: { x b y d inlourem l eix Z, si neessitem veure punts de l espi, o representrem només el pl XY, si només volem fixr-nos en el reinte D. z y d d D y D b x Les integrls sobre intervls són les més senzilles de lulr. b x Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 5 / 26

6 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Integrls sobre intervls (I) El volum és l integrl de l àre de les seions per plns vertils prl lels, seguint l direió de l eix X o l de l eix Y. L àre és un funió d un de les dues vribles: Fent seió per plns en l direió de l eix y, l àre depèn de x. Fent seió per plns en l direió de l eix x, l àre depèn de y. b x d b x y d Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 6 / 26

7 1.1 Integrls dobles Integrió iterd 1. Seions per plns prl lels l eix y y d b V = D x f(x, y) dx dy = b A(x) dx b ( d ) f(x, y) dy dx L primer integrl (l de dins) es resol suposnt x onstnt. El resultt depèn de x, i no onté y. Els ĺımits d integrió ens diuen: x b i y d. L ordre de les integrls ens indi de quin mner hem obert tots els punts del reinte. x Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 7 / 26

8 1.1 Integrls dobles Integrió iterd 2. Seions per plns prl lels l eix x y b V = D x f(x, y) dx dy = y d d A(y) dy = d ( b ) f(x, y) dx dy L primer integrl (l de dins) es resol suposnt y onstnt. El resultt depèn de y, i no onté x. Els ĺımits d integrió ens diuen: y d i x b. L ordre de les integrls ens indi de quin mner hem obert tots els punts del reinte. x Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 8 / 26

9 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Integrls sobre intervls (II) Propiett. Si D = [, b] [, d] D f(x, y) dx dy = = b d A(x)dx = A(y)dy = b d ( d ( b ) f(x = t, y)dy dx ) f(x, y = t)dx dy Propiett. Si D = [, b] [, d] i f(x, y) = g(x)h(y), leshores D ( b f(x, y)dx dy = ) ( d ) g(x)dx h(y)dy Cl nr molt en ompte en plir quest propiett!!! Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 9 / 26

10 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Reintes elementls d integrió: tipus y-simple Aleshores: { (x, y) D 1 D 1 f(x, y)dx dy = b x b φ 1 (x) y φ 2 (x) ( ) φ2 (x) f(x, y)dy dx φ 1 (x) Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 10 / 26

11 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Reintes elementls d integrió: tipus x-simple Aleshores: { (x, y) D 2 D 2 f(x, y)dx dy = d y d ϕ 1 (y) x ϕ 2 (y) ( ) ϕ2 (y) f(x, y)dx dy ϕ 1 (y) Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 11 / 26

12 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Observions Hi h reintes que són l vegd de tipus y-simple i x-simple. Integrió en reintes no elementls: si un reinte D es pot esriure om D = D 1 D 2, de tl mner que D 1 D 2 = o bé només es toquen l fronter, leshores f(x, y)dx dy = f(x, y)dx dy + f(x, y)dx dy D D 1 D 2 Notió: ( b ) φ2 (x) f(x, y)dy dx = d φ 1 (x) ( ) ϕ2 (y) f(x, y)dx dy = ϕ 1 (y) b d dx dy φ2 (x) φ 1 (x) ϕ2 (y) ϕ 1 (y) dy f(x, y) dx f(x, y) Qun s integr sobre un intervl es poden lulr les integrls en qulsevol dels dos ordres. Qun el reinte no és un intervl el nvi d ordre no és immedit!!! Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 12 / 26

13 1.1 Integrls dobles Integrió iterd Apliions l àlul d àrees i volums Àre d un reinte Sigui D R 2. Aleshores: Àre (D) = D 1 dx dy u 2 Volum entre dues superfíies Sigui D R 2 i les superfíies z = f(x, y) i z = g(x, y), mb f(x, y) g(x, y), (x, y) D, o bé f(x, y) g(x, y), (x, y) D. Aleshores, el volum entre f i g sobre D vé dont per: V = (f(x, y) g(x, y))dx dy u 3 D Cl ssegurr-se que f(x, y) g(x, y) no nvi de signe!!! Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 13 / 26

14 1.1 Integrls dobles Cnvi de vribles per integrls dobles Teorem del nvi de vribles per integrls dobles Si D i D són dues regions de R 2, i podem trnsformr D en D per un trnsformió T : R 2 R 2 (u, v) (x, y) C 1 i bijetiv, mb jobià no nul leshores: f(x, y) dx dy = f(x(u, v), y(u, v)) J T du dv D D on J T denot el jobià de T, és dir, el determinnt de l mtriu de derivdes prils de T : (x, y) x x J T = (u, v) = u v y y u v Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 14 / 26

15 1.1 Integrls dobles Cnvi de vribles per integrls dobles Observions Un nvi de vribles és un trnsformió de R 2 R 2, que permet esriure les integrls dobles en funió de noves vribles per tl de simplifir-ne el àlul. T és de lsse C 1 si existeixen les (qutre) derivdes prils de T i són ontínues. T és bijetiv entre D i D si d punt de D li orrespon extment un punt de D. És importnt reordr que en el nvi de vribles, el diferenil es multipli pel vlor bsolut del jobià de T. Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 15 / 26

16 1.1 Integrls dobles Integrls dobles en oordendes polrs Coordendes rtesines i oordendes polrs y r { x = r os θ y = r sin θ θ x } { } r = x 2 + y 2 0 θ = rtn ( y ) x (+π si x < 0) Podem expressr orbes del pl tnt en rtesines om en polrs: F (x, y) = 0 F (r os θ, r sin θ) = 0 G(r, θ) = 0 G(r, θ) = 0 G( ( y x 2 + y 2, rtn ) = 0 F (x, y) = 0 x) Dond l funió f(x, y), és lr que: f(x, y) = f(r os θ, r sin θ) = g(r, θ) Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 16 / 26

17 1.1 Integrls dobles Integrls dobles en oordendes polrs Càlul d integrls dobles en oordendes polrs Si D ve dont en oordendes polrs, i f és un funió de r i θ: f(r, θ) dr dθ D es lul de l mteix mner que les integrls dobles en oordendes rtesines. En l integrl b d que ompleixen r b i θ d: f(r, θ) dθ dr el reinte és el onjunt de punts θ = d θ = 0 r = r = b Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 17 / 26

18 1.1 Integrls dobles Integrls dobles en oordendes polrs Cnvi de rtesines polrs en integrls dobles (I) x = r os θ y = r sin θ } J = (x, y) (r, θ) = os θ sin θ r sin θ r os θ = r El produte dels diferenils de x i de y s nomen diferenil de superfíie: ds = dx dy. Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 18 / 26

19 1.1 Integrls dobles Integrls dobles en oordendes polrs Cnvi de rtesines polrs en integrls dobles (II) Si D C represent un reinte en oordendes rtesines D P el mteix reinte en oordendes polrs, leshores: f(x, y)dx dy = f(r os θ, r sin θ) r dr dθ D C D P Així, per l àlul d àrees tenim que: Àre(D) = r dr dθ u 2 D P D ltr bnd, el volum entre z = 0 i z = g(r, θ) 0 per sobre de D P és: V = g(r, θ) r dr dθ u 3 D P Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 19 / 26

20 1.2 Integrls triples Definiió d integrl triple 1.2 Integrls triples Integrls definides en tres vribles sobre un intervl Definiió. Si f : R 3 R i V = [, b] [, d] [p, q], l integrl definid de f sobre V es lul: b ( d ( q ) ) f(x, y, z) dx dy dz = f(x, y, z)dz dy dx = V = b dx d dy q p p dz f(x, y, z) Observió L integrl sobre un retngle es pot lulr en qulsevol ordre. En les integrls triples, no podem representr gràfiment l funió. A més, els reintes d integrió són volums, que vegdes són difíils de visulitzr. Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 20 / 26

21 1.2 Integrls triples Definiió d integrl triple Interpretió físi de l integrl triple Si V R 3 és un volum qulsevol i f : V R 3 R és l densitt de mss, leshores l integrl de f sobre V és l mss de V : M = f(x, y, z) dx dy dz Si f(x, y, z) = 1, l integrl ens dón el volum de V : vol(v ) = dx dy dz A vegdes ens pot interessr brevir: dx dy dz = dv, i l nomenem diferenil del volum. V V Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 21 / 26

22 1.2 Integrls triples Regions elementls R 3 Regions elementls R 3 (I) Un volum V és un regió elementl (o simple) si es ompleix: Un oordend està entre dos vlors onstnts. Un ltr oordend està entre dues funions de l primer. L terer oordend està entre dues funions de les dues primeres. Exemple: tipus 1. L oordend z està entre dues funions de les oordendes x i y. Cs 1: V = {(x, y, z) x b, φ 1 (x) y φ 2 (x), γ 1 (x, y) z γ 2 (x, y)} llvors: V f(x, y, z) dx dy dz = b φ2 (x) γ2 (x,y) φ 1 (x) γ 1 (x,y) f(x, y, z) dz dy dx Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 22 / 26

23 1.2 Integrls triples Regions elementls R 3 Regions elementls R 3 (II) Cs 2: V = {(x, y, z) y d, ψ 1 (y) x ψ 2 (y), γ 1 (x, y) z γ 2 (x, y)} llvors: V f(x, y, z) dx dy dz = d ψ2 (y) γ2 (x,y) ψ 1 (y) γ 1 (x,y) f(x, y, z) dz dx dy Tipus 2: Anàleg l tipus 1, internvint x per z. Tipus 3: Anàleg l tipus 1, internvint y per z. Tipus 4: Volums que són lhor de tipus 1, 2 i 3. Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 23 / 26

24 1.2 Integrls triples Cnvi de vribles per integrls triples Teorem del nvi de vribles per integrls triples Si V i V són dues regions de R 3, i podem trnsformr V en V per T T : R 3 R 3 (u, v, w) (x, y, z) C 1 i bijetiv, mb jobià no nul leshores: f(x, y, z) dx dy dz = V = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) J T du dv dw V on J T denot el jobià de T, és dir, el determinnt de l mtriu de derivdes prils de T : x x x (x, y, z) J T = (u, v, w) = u v w y y y u v w z z z u v w Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 24 / 26

25 1.2 Integrls triples Integrls triples en oordendes iĺındriques Integrls triples en oordendes iĺındriques x x x (x, y, z) r θ z os θ r sin θ 0 (r, θ, z) = y y y = r θ z sin θ r os θ 0 = r z z z r θ z f(x, y, z) dx dy dz = f(r, θ, z) r dr dθ dz V il V R 3 = {(r, θ, ϕ) r 0, 0 θ 2π, z + } Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 25 / 26

26 1.2 Integrls triples Integrls triples en oordendes esfèriques Integrls triples en oordendes esfèriques sin ϕ os θ r sin ϕ sin θ r os ϕ os θ (x, y, z) (r, θ, ϕ) = sin ϕ sin θ r sin ϕ os θ r os ϕ sin θ = r 2 sin ϕ os ϕ 0 r sin ϕ f(x, y, z) dx dy dz = f(r, θ, ϕ) r 2 sin ϕ dr dθ dϕ V V esf R 3 = {(r, θ, ϕ) r 0, 0 θ 2π, 0 ϕ π} Ampliió de Mtemàtiques Tem 1. Integrls dobles i triples 26 / 26