Integració. Matemàtiques I - Núria Parés, Francesc Pozo i Yolanda Vidal I - 1

Transcripción

1 Integrció Grup d Innovció Mtemàtic E-Lerning (GIMEL) Universitt Politècnic de Ctluny (Spin) Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I -

2 Primitiv d un funció Definició Dond f : [, b] R s nomen primitiv de f qulsevol funció ϕ tl que ϕ (x) = f(x), Podem escriure Dϕ = f. És tmbé hbitul escriure D (f) = x [, b]. f = f(x) dx Observció Si ϕ és un primitiv de f, ϕ + C tmbé, j que (ϕ + C) = ϕ = f. És dir, tot funció té infinites primitives (que difereixen entre elles per un constnt). Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 2

3 Primitiv d un funció Exemple Comproveu que ϕ(x) = sin(x) x cos(x) + 2 és un primitiv de l funció f(x) = x sin(x). ϕ(x) serà un primitiv si verific ϕ (x) = f(x). ϕ (x) = cos(x) cos(x) + x sin(x) = x sin(x). Per tnt podem escriure que: x sin(x) dx = sin(x) x cos(x) + 2 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 3

4 Integrl indefinid d un funció Definició Dond f : [, b] R s nomen integrl indefinid de f l conjunt de totes les seves primitives. l integrl indefinid d f es denot per: f = f(x) dx L notció per denotr un primitiv o l integrl indefinid és l mteix, però es distingeixen entre elles depenent de si és un únic funció o és un conjunt de funcions. Per exemple, x sin(x) dx = sin(x) x cos(x) + 2, denot un primitiv de x sin(x), mentre que x sin(x) dx = sin(x) x cos(x) + C, C R, és l integrl indefinid de l funció x sin(x). Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 4

5 Primitives immedites Càlcul de primitives Càlcul de primitives (): Primitives immedites Exercici Propost Clculeu un primitiv de les funcions: e x, x, x2, + tn(x) 2, cos(x),, x + x 2 Observeu que qun les funcions que hem d integrr són directment l derivd d un funció elementl, el càlcul de l sev primitiv és immedit. Per exemple x 2 dx = x3 3 j que ( x 3 3 ) = 3x2 3 = x2! Qun clculem primitives és molt importnt comprovr que el resultt és correcte. Recordeu que només cl clculr l derivd del resultt i comprovr que obtenim l funció inicil. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 5

6 ! x + = ln x + Primitives immedites Càlcul de primitives Observeu que l funció està definid per tot x x + tnt positiu com negtiu, per tnt l primitiv tmbé h d estr definid per tot vlor. Per ixò l integrr preix el vlor bsolut. ln(x + ), si x > Dem. ln x + =, si x = ln( x ), si x < Per tnt si derivem obtenim, si x > (ln x + ) x+ =, si x = = ( ), si x < x + x j que en x = cp de les dues funcions està definid. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 6

7 Primitives qusi-immedites Càlcul de primitives Càlcul de primitives (2): Primitives qusi-immedites Observció Si ϕ(x) és un primitiv de l funció f(x), ϕ = f, dond un ltr funció g(x) tenim que: f(g(x))g (x) = ϕ(g(x)) És dir, l primitiv de l funció f(g(x))g (x) és ϕ(g(x)). Aquestes primitives s nomenen qusi-immedites. Dem. Com que ϕ(x) és un primitiv de f(x), llvors ϕ (x) = f(x). Llvors si derivem plicnt l regl de l cden tenim que com voĺıem veure. (ϕ(g(x)) = ϕ (g(x))g (x) = f(g(x))g(x) Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 7

8 Exemple Clculeu l primitiv de l funció cos(x) sin(x) Primitives qusi-immedites Càlcul de primitives Si considerem les funcions f(x) =, g(x) = sin(x), com que x g (x) = cos(x) tenim que cos(x) sin(x) = sin(x) cos(x) = f(g(x))g (x). Per tnt, per clculr l primitiv només necessitem clculr un primitiv de f, en quest cs ϕ(x) = ln(x). Llvors cos(x) sin(x) dx = f(g(x))g (x) = ϕ(g(x)) = ln(sin(x)) Comprovció: ( ) ln(sin(x)) = sin(x) (sin(x)) = cos(x) sin(x). Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 8

9 Exemple Comproveu les següents primitives: 3x 2 cos 2 (x 3 ) = tn(x3 ), 2xe x2 = e x2, Primitives qusi-immedites Càlcul de primitives sin(x) + cos 2 (x) = rctn(cos(x)) Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 9

10 Càlcul de primitives (3): Integrció per prts Integrció per prts Càlcul de primitives u(x)v (x) dx = u(x)v(x) v(x)u (x) dx Exemple Clculeu l integrl indefinid de f(x) = ln(x). ln(x) dx = ln(x) dx }{{}}{{} = ln(x)x x x dx u(x) v (x) dx ( ) [ u(x) = ln(x) u ( ) (x) dx = x dx ] v (x) dx = dx v(x) = x = x ln(x) dx = x ln(x) x + C, C R Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I -

11 Exemple Clculeu l integrl indefinid de f(x) = xe x. ( ) xe x dx = x }{{} u(x) e x dx }{{} v (x) dx Integrció per prts Càlcul de primitives = ( ) xe x [ u(x) = x u (x) dx = dx v (x) dx = e x dx v(x) = e x = xe x e x + C, C R e x dx ] Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I -

12 Integrció per prts Càlcul de primitives Exemple Clculeu l integrl indefinid de f(x) = x 2 sin(2x). ( ) x 2 sin(2x) dx = }{{} x 2 u(x) sin(2x) dx }{{} v (x) dx = ( ) [ u(x) = x 2 u (x) dx = 2x dx v (x) dx = sin(2x) dx v(x) = cos(2x) 2 = 2 x2 cos(2x) + x cos(2x) dx }{{} resolució per prts ] Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 2

13 x cos(2x) dx = ( ) }{{} x cos(2x) dx }{{} Integrció per prts Càlcul de primitives = ( ) u(x) [ v (x) dx u(x) = x u (x) dx = dx v (x) dx = cos(2x) dx v(x) = 2 sin(2x) ] = 2 x sin(2x) sin(2x) dx 2 = 2 x sin(2x) + cos(2x) + C, C R. 4 Per tnt tenim: x 2 sin(2x) dx = 2 x2 cos(2x)+ 2 x sin(2x)+ 4 cos(2x)+c Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 3

14 Integrció per prts Càlcul de primitives Exercici Propost Clculeu les primitives de les següents funcions usnt integrció per prts, comprovnt el resultts: () xe 2x dx = 2 xe 2x 4 e 2x + C, (b) x cos xdx = cos(x) + x sin(x) + C, (c) x ln(x)dx = 2 x2 ln(x) 4 x2 + C, (d) x 2 cos(x)dx = x 2 sin(x) 2 sin(x) + 2x cos(x) + C, (e) x 2 e x dx = x 2 e x 2xe x + 2e x + C, (f) e x cos(x)dx = 2 ex (sin(x) + cos(x)) + C Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 4

15 Integrció per prts Càlcul de primitives Not Com podem recordr l fórmul d integrció per prts? Escrivim l fórmul de l derivd del producte, integrem l expressió i ïllem (u(x)v(x)) = u (x)v(x) + u(x)v (x) (u(x)v(x)) dx = u (x)v(x) dx + u(x)v (x) dx } {{ } u(x)v(x) u(x)v (x) dx = u(x)v(x) u (x)v(x) dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 5

16 Integrció per cnvi de vrible Càlcul de primitives Càlcul de primitives (4): Integrció per cnvi de vrible f(x) dx = ( ) f(g(t))g (t) dt on hem considert fet el cnvi de vrible [ ] x = g(t) ( ) dx = g (t) dt Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 6

17 Integrció per cnvi de vrible Càlcul de primitives Exemple Clculeu l integrl definid de l funció f(x) = x + x 2. x t dt + x 2 dx = 2 = 2 ( ) [ t = + x 2 ( ) dt = 2x dx x dx = dt/2 t /2 dt = t3/2 + C ] = 3 t t + C = 3 ( + x2 ) + x 2 + C Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 7

18 Integrció per cnvi de vrible Càlcul de primitives NOTA: les integrls qusi-immedites es poden resoldre per cnvi de vrible. Sigui ϕ(x) un primitiv de l funció f(x), llvors f(g(x))g (x) dx = ( ) f(t) dt = ϕ(t) = ϕ(g(x)). [ t = g(x) ] ( ) dt = g (x) dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 8

19 Integrció per cnvi de vrible Càlcul de primitives Exemple Clculeu un primitiv de l funció f(x) = usnt el cnvi x = t 2. + x dx = ( ) ( ) + x + 2t dt = t2 2t + t dt = [ ] x = t 2 t2 = t perquè t dx = 2t dt 2( + t) 2 = dt = + t = 2 t 2 ln + t ( 2 2 ) + t = 2 x 2 ln + x = 2 x 2 ln( + x) Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 9 dt

20 Integrció per cnvi de vrible Càlcul de primitives Exercici Propost Clculeu les primitives de les següents funcions usnt integrció per cnvi de vrible. Comproveu els resultts: () x x 2 dx = 3 ( x2 ) 3/2 + C, t = x 2 (b) x 2 ( + 2x 3 ) 3 dx = 24 ( + 2x3 ) 4 + C, t = + 2x 3 (c) e x x dx = 2e x + C, t = x (d) x x 4 dx = 2 rcsin(x2 ) + C, t = x 2 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 2

21 Primitives de funcions rcionls Càlcul de primitives Càlcul de primitives (5): Primitives de funcions rcionls El nostre objectiu és clculr integrls de l form P (x) Q(x) dx, on P (x), Q(x) són polinomis. Aquestes integrls es clculen en tres pssos: Reducció de l integrl un frcció on el gru del numerdor sigui menor que el gru del denomindor. 2 Descomposició en frccions simples. 3 Integrció de cd un dels termes. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 2

22 Primitives de funcions rcionls. Ps : divisió de polinomis Càlcul de primitives Reducció de l integrl un frcció on el gru del numerdor sigui menor que el gru del denomindor. Denotem m = gru(p (x)) i n = gru(q(x)). Si m n dividim P (x) per Q(x): per tnt i P (x) Q(x) P (x) = Q(x)s(x) + r(x), = Q(x)s(x) + r(x) Q(x) P (x) Q(x) dx = s(x) dx } {{ } immedit on gru(r(x)) < gru(q(x)). = s(x) + r(x) Q(x) + r(x) Q(x) dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 22

23 Exemples Primitives de funcions rcionls. Ps : divisió de polinomis Càlcul de primitives x dx = x ( x + 3 ) dx = x2 3 x 2 + x dx, 2x 2(x + ) 2 ( x + dx = dx = 2 2 ) dx = 2x x + x + 3x 2 (3x 2)(x + 7) + 47 x + 7 = x + 7 = (3x 2) x + 7 dx, dx = (3x 2) + 47 x + 7 dx 2 x + dx, x 3 4x 2 + 2x + 5 (x 2 5x + 6)(x + ) + (x ) x 2 = 5x + 6 x 2 dx 5x + 6 x (x + )2 x = (x + ) + x 2 dx = + 5x x 2 5x + 6 dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 23

24 2 Descomposició en frccions simples Primitives de funcions rcionls. Ps 2: descomposició en frccions simples Càlcul de primitives Per sber l descomposició en frccions simples cl fctoritzr Q(x): Per cd rrel rel simple (x ) Per cd rrel rel múltiple (x ) m m k= A x A k (x ) k = A x + A 2 (x ) A m (x ) m Per cd rrel complex simple (x 2 + px + q) Mx + N x 2 + px + q Per cd rrel complex múltiple (x 2 + px + q) m m k= M k x + N k (x 2 + px + q) k Els coeficients de les frccions simples s obtenen imposnt que el resultt h de ser igul l frcció inicil r(x)/q(x). Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 24

25 Primitives de funcions rcionls. Ps 2: descomposició en frccions simples Càlcul de primitives Exemples 2x 2 + x + x(x 2 + ) = A x + Bx + C x 2 + = A(x2 + ) + x(bx + C) x(x 2 + ) = (A + B)x2 + Cx + A x(x 2 + ) x + x + x 2 + = ( ) ( ) igulnt els coeficients de 2x 2 + x + = (A + B)x 2 + Cx + A s obté A = B = C = x + 3 x 2 4 = x + 3 (x 2)(x + 2) = A x 2 + B x + 2 A(x + 2) + B(x 2) 5 = = (x 2)(x + 2) 4 x 2 4 x + 2 ( ) ( ) igulem x + 3 = A(x + 2) + B(x 2) i substituim per x = 2 i x = 2: 5 = 4A i = 4B A = 5/4, B = /4 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 25

26 Exemples 2x (x 3) 2 (x + ) = A x 3 + B (x 3) 2 + C x + = = ( ) Primitives de funcions rcionls. Ps 2: descomposició en frccions simples Càlcul de primitives A(x 3)(x + ) + B(x + ) + C(x 3)2 (x 3) 2 (x + ) 3 6 x (x 3) x + ( ) igulem 2x = A(x 3)(x + ) + B(x + ) + C(x 3) 2 si substituim per x = obtenim 3 = 6C C = 3/6 si substituim per x = 3 obtenim 5 = 4B B = 5/4 si derivem i substituim per x = 3 obtenim: 2 = A(x + ) + A(x 3) + B + 2C(x 3) 2 = 4A + B Per tnt: A = 3/6, B = 5/4, C = 3/6 A = (2 B)/4 = 3/6 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 26

27 Primitives de funcions rcionls. Ps 2: descomposició en frccions simples Càlcul de primitives Exercici Propost Descomposeu en frccions simples el quocient: (x 2)(x ) 2 (x 2 + )(x 2 + 4) 2 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 27

28 Primitives de funcions rcionls. Ps 3: integrció de les frccions simples Càlcul de primitives 3 Integrció de cd un dels termes A dx = A ln x x A (x ) dx = m A(x ) m dx = A = (m )(x ) m Mx + N dx = logritme + rctngent x 2 + px + q A (x ) m+ m + Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 28

29 Mx + N x 2 + px + q dx = Primitives de funcions rcionls. Ps 3: integrció de les frccions simples Càlcul de primitives M 2 (2x + p) + N M 2 p x 2 + px + q = M 2 derivd del denomindor {}}{ 2x + p x 2 + px + q dx + = M 2 ln x2 + px + q + N M 2 p x 2 + px + q dx N M 2 p x 2 + px + q dx = M 2 ln N M x2 2 + px + q + p (x r) 2 + s dx 2 on r = p/2, s = + q p 2 /4 = M 2 ln x2 + px + q + N + Mr s ( x r ) rctn s Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 29

30 Exemples Primitives de funcions rcionls. Ps 3: integrció de les frccions simples Càlcul de primitives x ( dx = x ) dx = x3 + 3 ln x x x 3 x 2 6x + 9 dx = (x 3) 2 dx = (x 3) 2 dx = (x 3) = x 3 2x 5 x 2 5x + dx = ln x2 5x + x + 3 x 2 4 dx = x + 3 (x 2)(x + 2) dx = (5 4 x 2 4 x + 2 ) dx = 5 4 ln x 2 ln x x ( 3/6 (x 3) 2 (x + ) dx = x 3 + 5/4 (x 3) 2 3/6 ) dx x + = 3 6 ln x x 3 3 ln x + 6 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 3

31 Primitives de funcions rcionls. Ps 3: integrció de les frccions simples Càlcul de primitives Exemples x + x 2 + 2x + 5 dx = 2x x 2 + 2x + 5 dx = 2 ln x2 + 2x + 5 4x + 6 2(2x + 2) + 2 ( x 2 + 2x + 5 dx = x 2 + 2x + 5 dx= 2 = 2 ln x 2 + 2x = 2 ln(x 2 + 2x + 5) + 4 = 2 ln x 2 + 2x (x + ) dx 2 ( x+ 2 )2 + dx /2 ( x+ 2 )2 + dx = 2 ln x 2 + 2x rctn( x + ) + C 2 2x + 2 x 2 + 2x x 2 + 2x + 5 ) dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 3

32 Exemples x 2 + 8x + 25 dx = Primitives de funcions rcionls. Ps 3: integrció de les frccions simples Càlcul de primitives (x + 4) dx = 9 ( x+4 3 )2 + dx = /3 3 ( x+4 3 )2 + dx = 3 rctn(x + 4 ) + C. 3 x + 2 x 5 x 4 x + dx = ( A = x + + = x + 2 (x + )(x ) 2 (x 2 + ) dx B x + C (x ) 2 + Dx + E x 2 + ( x + 2 x + 3 (x ) 2 + 3x 2 x 2 + ) dx ) dx = ln x + 2 ln x 3 x ln( + x2 ) 2 rctn(x) j que A =, B = 2, C = 3, D = 3, E = 2. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 32

33 Descomposició en frccions simples: A x + + B x + C (x ) 2 + Dx + E x 2 + = A(x )2 (x 2 + ) + B(x + )(x )(x 2 + ) + C(x + )(x 2 + ) + (Dx + E)(x + )(x ) 2 x 5 x 4 x + Per tnt hem d imposr que: x+2 = A(x ) 2 (x 2 +)+B(x+)(x )(x 2 +)+C(x+)(x 2 +)+(Dx+E)(x+)(x ) 2 Substituint per x = obtenim 8 = 8A A =. Substituint per x = obtenim 2 = 4C C = 3. Derivnt i substituint per x = obtenim = 2A(x )(x 2 +)+A(x ) 2 2x+B(x )(x 2 +)+B(x+)(x 2 +)+B(x+)(x )2x+ C(x 2 +)+C(x+)2x+D(x+)(x ) 2 +(Dx+E)(x ) 2 +(Dx+E)(x+)2(x ) i per tnt substituint en x = tenim = 4B + 2C + 4C B = ( 6C)/4 = 2. Per trobr els coeficients D i E, com que provenen de l rrel complex del polinomi x 2 + podem substituir per x = i, d on obtenim: i + 2 = (Di + E)(i + )(i ) 2 i + 2 = 2(D + E) + 2(D E)i Finlment hem d igulr les prts rels i les imginàries: D + E = 5, D E = D = 3, E = 2

34 Primitives de funcions rcionls. Comprovció mb Mple Càlcul de primitives Vegem es pot comprovr fàcilment un integrl rcionl mb l jud del Mple. x 3 4x 2 + 2x + 5 I = dx. x 2 5x + 6 L comnd rem ens clcul l divisió dels polinomis. [> rem(x 3 4 x x + 5, x 2 5 x + 6, x, q ); + x [> q; x + Per tnt i llvors x 3 4x 2 + 2x + 5 = (x + )(x 2 5x + 6) + (x ) I = ( x + + x ) (x + )2 x 2 dx = 5x x x 2 5x + 6 dx } {{ } I Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 33

35 L comnd fctor ens fctoritz el denomindor Fctoritzem el denomindor mb l comnd [> fctor(x 2 5 x + 6); (x 2)(x 3) i per tnt tenim que: x ( I = (x 2)(x 3) dx = Primitives de funcions rcionls. Comprovció mb Mple Càlcul de primitives A x 2 + B ) dx x 3 Amb l comnd prfrc clculem els coeficients A i B [> convert((x )/(x 2 5 x + 6), prfrc); + 2 x 2 x 3 per tnt A = i B = 2 i ( I = x ) dx = ln x ln x 3. x 3 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 34

36 Primitives de funcions rcionls. Comprovció mb Mple Càlcul de primitives Per tnt juntnt tots els càlculs tenim que: x 3 4x 2 + 2x + 5 I = dx = x 2 5x + 6 (x + )2 2 + x x 2 5x + 6 dx } {{ } I Exercici Propost Clculeu mb l jud del Mple l integrl següent x 4 + x 2 + 2x 4 4x 3 + 2x 2 6x 24 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 35

37 Primitives de funcions rcionls. Comprovció mb Mple Càlcul de primitives Exercici Propost Clculeu les primitives de les següents funcions: () x 8 x 2 dx = 2 ln(x 2) + 3 ln(x + ) + C x 2 (b) x 4 7x 3 + 7x 2 22x + 4 x 3 7x 2 dx = x2 + ln(x 4) + ln(x 2) + ln(x ) + C + 4x 8 2 (c) 4x 2 5x 2 2x + 65 dx = 2 5 ln(x2 4x + 3) rctn( x 2 ) + C 3 (d) (e) x 3 + x 2 + x + (x ) 5 dx = (x ) 4 2 (x ) 3 x 2 (x ) 2 + C x 3 + 2x 2 4x + 3 x 4 4x 3 + 3x 2 dx = 2 ln(x2 4x + 3) + rctn( x 2 ) 3 x + C. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 36

38 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Integrl de Riemnn: ide intuïtiv Sigui f : [, b] R un funció fitd i positiv. Objectiu: determinr l àre limitd per l gràfic de f, l eix d bscisses i les rectes x = i x = b. 6 5 x= f(x) x=b x Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 37

39 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Ide per proximr l àre: Dividir l intervl [, b] en un cert nombre de prts i proximr l àre en cd un d questes prts per l àre d un rectngle x Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 38

40 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Ide per proximr l àre superiorment: Considerrem un prtició p P([, b]) del nostre intervl = x < x < x 2 < < x n < x n = b i dintre de cd subintervl I i = [x i, x i+ ] clculem M i = mx{f(x), x I i }. Llvors si considerem l àre dels rectngles que determinen: S p = M (x x ) + M (x 2 x ) + + M n (x n x n ) tenim un cot superior de l àre que volem clculr. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 39

41 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn I i M i A i [.5.] [..5] [.5 2.] [2. 2.5] [2.5 3.] [3. 3.5] En quest cs tenim un proximció S p =.7999 qun l àre exct és A = 9.3. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 4

42 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Ide per proximr l àre inferiorment: considerem l prtició nterior, p P([, b]): = x < x < x 2 < < x n < x n = b i dintre de cd subintervl I i = [x i, x i+ ] clculem m i = min{f(x), x I i }. Llvors si considerem l àre dels rectngles que determinen: S p = m (x x ) + m (x 2 x ) + + m n (x n x n ) tenim un cot inferior de l àre que volem clculr. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 4

43 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn 5 I i m i A i 4 3 [.5.] [..5] [.5 2.] [2. 2.5] [2.5 3.] [3. 3.5] En quest cs tenim un proximció S p = qun l àre exct és A = 9.3. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 42

44 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Observeu que si fem més fin un prtició, leshores l sum inferior S p ugment, i l sum superior S p disminueix. A = S p = S p = S p = S p = Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 43

45 Ide intuïtiv Integrl de Riemnn Exemple Considerem l funció de l gràfic nterior entre.5 i 3.5. En quest cs les sumes inferiors i superiors convergeixen l vlor de l àre. num int S p Sp A = 9.3 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 44

46 Definició forml Integrl de Riemnn Definició Si f : [, b] R és un funció fitd en el seu domini, es diu que f és integrble en el sentit de Riemnn si es compleix: mx {S p} = min { S p } p P([,b]) p P([,b]) Aleshores s nomen integrl de f en [, b] i es denot per: b f(x) dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 45

47 Relció entre integrl de Riemnn i el càlcul d àrees Integrl de Riemnn Observció Si f : [, b] R és un funció fitd i integrble en el sentit de Riemnn, i més, f(x), x [, b], llvors b f(x) dx = A és l àre limitd per l gràfic de f, l eix d bscisses i les rectes d equcions x = i x = b A Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 46

48 Relció entre integrl de Riemnn i el càlcul d àrees Integrl de Riemnn Observció Si f : [, b] R és un funció fitd i integrble en el sentit de Riemnn, i més, f(x), x [, b], llvors b f(x) dx = A és menys l àre limitd per l gràfic de f, l eix d bscisses i les rectes d equcions x = i x = b A Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 47

49 Relció entre integrl de Riemnn i el càlcul d àrees Integrl de Riemnn Observció Si f : [, b] R és un funció fitd i integrble en el sentit de Riemnn, llvors b f(x) dx = A B ens dón l àre limitd per l funció f en els trossos positius, menys l àre limitd per l funció f ens els trossos negtius A A B Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 48

50 Càlcul pràctic d integrls definides Integrl de Riemnn Si f : [, b] R és un funció integrble en el sentit de Riemnn llvors sbem que b f(x) dx = mx {S p} = min { S p }. p P([,b]) p P([,b]) Ar bé, l definició forml d integrl de Riemnn (o integrl definid) és difícil d usr per clculr les integrls l pràctic. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 49

51 Càlcul pràctic d integrls definides - Regl de Brrow Integrl de Riemnn Proposició(Regl de Brrow) Si f és un funció contínu en [, b] i φ(x) és un primitiv de f, és dir: φ (x) = f(x), llvors b S costum denotr per: b f(x) dx = φ(b) φ(). f(x) dx = φ(x) b = φ(b) φ(). L proposició nterior és molt importnt perquè ens relcion el problem de càlcul d àrees mb el càlcul de derivdes. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 5

52 Càlcul pràctic d integrls definides - Regl de Brrow Integrl de Riemnn Exemple Clculeu l integrl 2π cos(x) dx. Si considerem f(x) = cos(x), tenim que φ(x) = sin(x) n és un primitiv i per tnt 2π cos(x) dx = sin(x) 2π = sin(2π) sin() =. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 5

53 Propietts de l integrl de Riemnn Integrl de Riemnn Propietts bàsiques de l integrl de Riemnn: Dondes f i g integrbles en el sentit de Riemnn en [, b]: si k R, b b b [ ] f(x) + g(x) dx = f(x) dx = si c [, b], f(x) dx = kf(x) dx = k b c b f(x) dx f(x) dx + b f(x) dx + b c f(x) dx b f(x) dx = g(x) dx b f(x) dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 52

54 Àre delimitd per un funció i l eix d bscisses Càlcul d àrees Àre delimitd per un funció i l eix d bscisses Siguin f un funció cotd i integrble en el sentit de Riemnn en l intervl [, b]. L àre que delimit l funció f(x) mb l eix d bscisses entre les rectes x = i x = b és A = b f(x) dx si f(x) x [, b] = A = si f(x) < b x [, b] = A = si f(x) cnvi de signe en [, b] cl clculr els punts de cnvi de signe A = f(x)dx f(x)dx f(x)> f(x)< b f(x)dx f(x)dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 53

55 Àre delimitd per un funció i l eix d bscisses Càlcul d àrees Exemple Clculeu l àre limitd per l corb dond per l funció f(x) = 3x 2 6x i l eix OX [, 3].de càlcul d àrees Primer hem de clculr els punts de tll mb l eix OX, és dir, els punts tls que f(x) =. f(x) = 3x 2 6x = 3x(x 2) = = x = {, 2} Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 54

56 Àre delimitd per un funció i l eix d bscisses Càlcul d àrees Llvors, hem de mirr el signe de f en els intervls [, ], [, 2] i [2, 3]. [, ], f(x) [, 2], f(x) [2, 3], f(x) Per tnt l àre és: A = = f(x) dx [ x 3 3x 2 ] 2 f(x) dx + 3 [ x 3 3x 2 ] f(x) dx [ x 3 3x 2 ] 3 2 = ( + 3) (8 2) + ( ) = 2. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 55

57 Àre entre dues corbes (I) Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Siguin f i g dues funcions cotdes i integrbles en el sentit de Riemnn en [, b] tls que f(x) g(x) x [, b] A L àre delimitd entre les dues corbes i les rectes x = i x = b ve dond per: A = b b (f(x) g(x)) dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 56

58 Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Observeu que b b (f(x) g(x)) dx = f(x) dx g(x) dx = A. }{{}}{{} A+B b B A 3 3 A 2 B 2 - B = b b b Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 57

59 Àre entre dues corbes (II) Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Siguin f i g dues funcions cotdes i integrbles en el sentit de Riemnn en l intervl [, b] tls que f(x) g(x) x [, b]. 3 2 A b L àre delimitd entre les dues corbes i les rectes x = i x = b ve dond, igul que en el cs f(x) g(x), per: A = b (f(x) g(x)) dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 58

60 Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Vegem l igultt nterior mitjnçnt el càlcul de l àre representd en l següent figur 3 2 A b 3 2 E B D C b b b f(x) dx = B + E + D g(x) dx = B C + D b (f(x) g(x)) dx = B+E+D (B C+D) = E+C = A. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 59

61 Àre entre dues corbes (III) Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Siguin f i g dues funcions cotdes i integrbles en el sentit de Riemnn en l intervl [, b] A f(x) g(x).5.5 x x b.5 L àre delimitd entre les dues corbes i les rectes x = i x = b ve dond per: A = b f(x) g(x) dx. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 6

62 Àre entre dues corbes Càlcul d àrees Ar bé, com es clcul b f(x) g(x) dx. Observem que per clculr el vlor bsolut, necessitem sber qun f(x) g(x) i qun f(x) g(x). Per tnt, per clculr l àre cl: clculr els punts on interseccionen les dues funcions en l intervl [, b] determinr els subintervls on f(x) g(x) i els subintervls on g(x) f(x) l àre és l sum de les integrls de f g on f és més grn que g i les integrls de g f on g és més grn que f. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 6

63 Àre entre dues corbes Càlcul d àrees 3 f(x) A g(x).5.5 x x b.5 b A = f(x) g(x) dx = x x b (g(x) f(x)) dx + x (f(x) g(x)) dx + (g(x) f(x)) dx x Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 62

64 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees Exemple Dondes les funcions f(x) = 2 x + i g(x) = 3 x clculeu l àre de l regió en form de mitj llun que emmrquen mb l eix OY. 3 El primer que hem de fer és determinr el 2.5 punt de tll, és dir, el punt x tl que 2 f(x) = g(x)..5 2 x + = 3 x 4(x + ) = 9x.5 5x 4 = x = Com que en l intervl [, 4 ], f(x) g(x) l àre vé dond per: ( 5 5 A = (f(x) g(x)) dx = 2 x + 3 ) x dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 63

65 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees Per tnt A = = 4 5 ( 2 x + 3 ) x dx [ ] (x + ) x 2 = 4 3 ( ) 3 ( ) = = = =.4555 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 64

66 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees Exemple Dondes les funcions f(x) = 6x x 2, g(x) = x 2 2x i h(x) = + x clculeu l àre de l regió que delimiten les tres corbes. Si clculem els tlls de les tres funcions tenim f(x) = g(x) x =, 4 g(x) = h(x) x = 2, 5 Observem que per clculr l àre, hem de dividir l àre totl en tres regions x [ 2, ], x [, 4] i x [4, 5]. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 65

67 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees Per tnt: A = (h(x) g(x))dx + 4 (h(x) f(x))dx (h(x) g(x))dx = 34/3 + 64/3 + 9/6 = 25/6. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 66

68 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees Exemple Determineu l àre limitd per l pràbol y 2 = 4x i l rect y = 2x 4. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 67

69 Exemples de càlcul d àrees Càlcul d àrees En quest cs, quest problem es pot plntegr de dues mneres en funció de si volem integrr respecte l vrible x o l vrible y. En el primer cs obtenim A = 8/3 + 9/3 = 9 i en el segon, directment obtenim A = 9. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 68

70 Ide intuïtiv Integrls impròpies Té sentit clculr l àre que delimit l funció f(x) = x 2, l eix d bscisses i l rect x =?,8,6,4, I l àre que delimit l mteix funció en l intervl [, ] i l eix d bscisses? ,5,5 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 69

71 Ide intuïtiv Integrls impròpies,8 8,6 6,4 4, ,5,5 En el primer cs, l àre estri ssocid on un dels ĺımits d integrció és infinit. + f(x) dx, = Integrl impròpi de primer espècie En el segon cs, l àre estri ssocid f(x) dx, on l funció f(x) no està cotd dins de [, ]. = Integrl impròpi de segon espècie Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 7

72 Definició i clssificció Definició i clssificció Integrls impròpies Diem que un integrl b f és integrl impròpi de primer espècie si l intervl d integrció no és fitt ( = +, b =, o tots dos). Exemple L intervl + sin xdx és impròpi de primer espècie, j que el recinte no és fitt. Diem que un integrl b f és impròpi de segon espècie si l funció f no és fitd en el recinte d integrció. Els punts de l intervl en què l funció no és fitd els nomenem punts singulrs. Exemple L integrl x 7dx és impròpi de segon espècie, j que l punt x = 7, que pertny l intervl d integrció, l funció f(x) = x 7, no és fitd. Diem que un integrl b f és impròpi de tercer espècie si és impròpi de primer espècie i de segon l vegd. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 7

73 Definició i clssificció Integrls impròpies Integrl de primer espècie + sin(x) dx 5 Integrl de segon espècie x 7 dx - Integrl de tercer espècie 5 + x 2 dx Observem que en lguns csos l àre podri ser infinit. En quests csos direm que l integrl és divergent. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 72

74 Definició i clssificció Integrls impròpies Atenció mb l clssificció! Cl tenir molt cur l hor de clssificr un integrl impròpi. Per exemple, l integrl sin x x dx sembl que sigui un integrl impròpi de segon espècie, però sbem que sin x lim x + x = i, si un funció te ĺımit en un punt existeix un entorn d quest punt en què l funció és fitd. 2 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 73

75 Exemple Clssifiqueu les integrls + dx ln( + x)(x 2), 3 x cos x sin x dx, x Definició i clssificció Integrls impròpies x 3 dx e x (x 8 + x 4 + ) xdx x 2 + x + Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 74

76 Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Definició Siguin I un intervl qulsevol de R, I [, + ) i f : I R un funció loclment integrble sobre I, és dir, f integrble Riemnn sobre qulsevol intervl [, b] per tot b contingut en I. Llvors, diem que f té integrl impròpi de primer espècie convergent si existeix el ĺımit rel: lim b + b f(x) dx = + f(x) dx,8,6,4,2 En cs contrri, diem que l integrl impròpi de primer espècie és divergent b 3 + Not De mner nàlog, es defineix f(x) dx = lim b b f(x) dx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 75

77 Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Exemple Estudieu l convergènci de l integrl + + x dx. Es trct d un integrl impròpi de primer espècie. + b dx = lim + x b + + x dx = lim [ln + b + x ]b = lim [ln + b ln(2)] b + = +. L integrl és divergent. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 76

78 Exemple Estudieu l convergènci de l integrl + e x dx. Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Es trct d un integrl impròpi de primer espècie. + e x dx = lim b + b e x = lim b + [ e x ] b = lim b + = e. L integrl és convergent. [ e + ] b e Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 77

79 Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Exemple Estudieu l convergènci de l integrl + x 4 dx. Es trct d un integrl impròpi de primer espècie. + x 4 dx = lim b + = lim b + L integrl és convergent. b x 4 dx = lim ] = 3. [ 3 3b 3 b + [ ] b 3x 3 Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 78

80 Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Exemple Estudieu l convergènci de l integrl + e λx dx. Es trct d un integrl impròpi de primer espècie. + e λx dx = lim b + = lim b + b e λx dx = lim [ e λb + ] λ λ b + [ e λx λ ] b =, si λ >. λ L integrl és convergent si λ > i divergent si λ. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 79

81 Exemple Estudieu l convergènci de l integrl + x p dx. Integrls impròpies de primer espècie Integrls impròpies Es trct d un integrl impròpi de primer espècie, independentment del vlors de p. Si p = : Si p : L integrl x dx = lim [ln b + x ]b = + [ ] x p+ b x p dx = lim b + p + = lim b + b p+ p + p =, si p >. p x p dx és convergent si p > i divergent si p. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 8

82 Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies En quest secció trctem l integrció de funcions no fitdes en dominis fitts. Considerem r un funció f : (, b] R que sigui integrble tot intervl (µ, b] mb µ (, b], mb lim f(x) =. x + Definició Diem que l integrl b f és convergent si existeix el ĺımit rel lim µ + b µ b f(x)dx = lim f(x)dx = δ + +δ b f(x)dx En quest cs prlem d integrl impròpi de segon espècie convergent. En cs contrri, diem que l integrl és divergent δ = μ b Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 8

83 Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies Not Sigui f : [, b] {c} R i lim f(x) =. Diem que x c b f és convergent si són convergents cdscun de les integrls c f i b i, en quest cs, c b f(x)dx = c f(x)dx + b c f(x)dx c b Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 82

84 Exemple Estudieu l integrl Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies e dx. x(ln x) 3 Es trct d un integrl impròpi de segon espècie, j que per x = l funció f(x) = és no fitd. Per clculr-l, x(ln x) 3 fem el cnvi de vrible ln x = t: e dx = x(ln x) 3 = lim δ + t 3 dt = lim δ + [ ] 3 2 t 2 3 = lim δ δ + δ t 3 dt [ ] 2 δ 2 3 = 3 2. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 83

85 Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies Exemple Estudieu l convergènci de l integrl b segons els diferents vlors de p. (x ) p dx, b > És clr que per vlors p es trct d un integrl pròpi, j que l funció és fitd sobre un domini fitt. Si p >, l funció present un singulritt en el punt (x ) p x =. Per determinr el cràcter de l integrl, pliquem l definició segons els vlors de p. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 84

86 Cs p b b dx = lim (x ) p δ + = lim δ + = Integrls impròpies de segon espècie Integrls impròpies +δ (x ) p dx [ ] (x ) p+ b p + +δ (b ) p, si p <. p En el cs p >, l últim ĺımit de l expressió nterior dón. Cs p = b b dx = lim x δ + +δ x dx = lim δ + [ln x ]b +δ = + Resumint els resultts nteriors, podem dir que l integrl b (x ) dx és p convergent si p <, i divergent si p. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 85

87 Alguns problemes més... Exercicis ddicionls Integrls impròpies Exemple Clculeu l integrl + en cs que sigui convergent. Exemple Clculeu l integrl + en cs que sigui convergent. x 2 + 2x + 5 dx x sin xdx Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 86

88 Acotció d integrls impròpies Acotció d integrls impròpies Integrls impròpies A vegdes ens pot interessr sber si un integrl és o no convergent i pot ser que no ens interessi el vlor en prticulr de l integrl. Per exemple, ens pot interessr sber si + sin(x) + cos(x) x 2 + x + dx és finit.,4,3,2, -, 4 8 x Això és equivlent trobr L i L 2 tls que L + sin(x) + cos(x) x 2 + x + dx L 2. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 87

89 Acotció d integrls impròpies Integrls impròpies Observció Sigui f(x) integrble en el sentit de Riemnn en [, b], llvors: b b f(x) dx f(x) dx. A més quest propiett tmbé és cert si i/o b són ±, és dir, si tenim un integrl impròpi de primer espècie B C A B C D -4 A D b f(x) dx = B + C A D, b f(x) dx = A + B + C + D Aquest observció és clu l hor de poder cotr integrls. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 88

90 Exemple Determineu si l integrl és convergent o divergent. + sin(x) + cos(x) x 2 + x + Acotció d integrls impròpies Integrls impròpies dx, + sin(x) + cos(x) Denotem per L = x 2 dx, llvors: + x + + sin(x) + cos(x) L x 2 dx + x x 2 + x + dx, j que sin(x) + cos(x) sin(x) + cos(x) 2, i com que x 2 + x +, x 2 + x + = x 2 + x +. A més, com que x 2 + x + x = x 2 + x + x 2 tenim que: L x 2 + x + dx 2 x 2 dx b 2 [ = lim b + x 2 dx = lim 2 ] b b + x = lim b + [ 2 ] b + 2 = 2. Per tnt 2 L 2 = Integrl convergent. Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 89

91 MATERIAL ADDICIONAL Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 9

92 Exercicis de càlcul de primitives ) ( + x 2 dx cnvi x = tn(u) 2) ) b 2 x 2 dx cnvi bx = tn(t) 3 x + x 3) 2 cnvi x = t 6 4) rctn(x)dx int. prts x x 3 + 2x + 5) x 2 dx 6) 5x + 6 (x ) 2 (x + ) dx x 7) (x 2 dx 8) dx cnvi x = 2 rctn(t) + x + )(x + ) 3 + cos(x) x 9) dx cnvi x = 2 tn(u), x = u 2, u = x x x ln(x) ) dx cnvi u = x o prts ) sin(ln(x))dx int. prts x cos(x) 2) tn(x)dx 3) + sin 2 (x) dx 3x 2 4) x 2 dx 5) e rcsin(x) dx int. prts 4x + 5 6) ln( x)dx cnvi u = x o prts 7) x cos 2 (x)dx int. prts Mtemàtiques I - Núri Prés, Frncesc Pozo i Yolnd Vidl I - 9