Continguts. Mètodes Numèrics Grau de Matemàtiques Derivació i Integració numèrica. Introducció. abril 2015 (versió 1.3.1)

Transcripción

1 Continguts Mètodes Numèrics Gru de Mtemàtiques Derivció i Integrció numèric Introducció Derivció numèric Extrpolció de Richrdson Lluís Alsedà dptt dels Apunts de Mètodes Numèrics de Josep Mri Mondelo, 9 Deprtment de Mtemàtiques Universitt Autònom de Brcelon lsed bril 5 versió.3. Integrció numèric Integrció numèric: Fórmules interpoltòries Fórmules de Newton Côtes Regl dels trpezis Regl de Simpson Regles compostes de Newton Côtes Mètode de Romberg Integrció Gussin: Màgi trint el nodes Subjecte un llicènci Cretive Commons de Reconeixement-NoComercil-ComprtirIgul 4. Interncionl Introducció Derivció numèric Dond un funció f i R, volem proximr f d, per d, suposnt que coneixem els vlors d f lguns punts, però no tenim cp informció de les seves derivdes. En quest tem veurem com s plic l interpolció polinomil l integrció i derivció numèric de funcions. Per ixò el que frem serà trir un conjunt de nodes {x i } n R mb x,..., x n, construir el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {x i, f x i } n, sigui P, i proximr f d P d. Necessitem controlr l error comès en l proximció nterior. Derivció numèric /4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

2 Derivció numèric cont. Suposem primer d =. Un mner nturl de fer-ho és derivr l expressió de l error de l interpolció de Lgrnge. Tenim f x Px = f n+ ξx ωx, n +! on ωx = x x x x... x x n i ξx x,..., x n, x és un funció desconegud de x. Recordem que ξx s obteni d plicr el teorem de Rolle n vegdes, motiu pel qul no tenim cp hipòtesi de regulritt de ξx respecte de x. És per ixò que, en principi, no podem derivr respecte de x. No obstnt, recordem veure el Corol lri de l trnsprènci 4/93 d Interpolció que tmbé es pot escriure: f x Px = f [x,..., x n, x]ωx. Derivció numèric /4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Derivció numèric cont. En el cs d >, en principi tmbé podem derivr d vegdes l expressió de l error, mitjnçnt l regl de Leibniz, f d x P d x = d d f [x dx d,..., x n, x]ωx d d d = dx f [x,..., x d n, x] ωx d d d + dx f [x,..., x d n, x] ω x d d + + d dx f [x,..., x n, x] ω d x + d d f [x,..., x n, x]ω d x. Prenent {x i } n tindrem ω =, però pot ser que ω,..., ω d, i l expressió de l error encr qued molt complicd. És per ixò que, per trobr l error en el cs d, no derivrem sinó que emprrem expnsions de Tylor. En veurem exemples tot seguit. Derivció numèric 4/4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Derivció numèric cont. Per ltr bnd es pot veure que, per {x i } n rbitrris, f [x,..., x n ] té l mteix regulritt en x, x,..., x n que f n i veure l Observció i el càlcul de les trnsprències 4/93 i 5/93 d Interpolció existeix ξ x,..., x n tl que f [x,..., x n ] = f n ξ. n! Per tnt, si f és de clsse C n+, d f x P x = dx f [x,..., x n, x] ωx + f n+ ξ x n +! ω x. Si prenem els nodes de mner que {x i } n, tindrem f P = f n+ ξ x n +! ω, 3 dont que ω =. Aquest és l expressió de l error que buscàvem. Derivció numèric 3/4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Exemples de fórmules de derivció numèric En quest secció suposem que totes les funcions que preixen són tn derivbles com clgui perquè els rguments siguin correctes. Diferènci finit endvnt de primer ordre: Suposem que volem proximr f prtir del vlor d f ls punts i + h. Definim {x, x } = {, + h} i sigui P el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {x, f x, x, f x }. El trobem mitjnçnt les diferències dividides: d on f + h f + h Px = f + f + h f h f + h f x, h Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

3 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Per tnt f P f + h f =. h Podem trobr l error prtir de 3: dont que f P = f ξ ω = f ξ! h, ωx = x hx ω = h. Resumint, f f + h f = f ξ h h, per ξ, + h. Observem que l error de truncment de l diferènci finit endvnt de primer ordre és linel en h. Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Diferènci finit endrrere de primer ordre: Permet proximr f prtir dels vlors d f ls punts h i. Exercici Deduïu com exercici l fórmul de l diferènci finit endrrere de primer ordre. Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Diferènci finit centrd de primer ordre: Ar volem proximr f usnt els vlors d f ls punts h, i + h. Per ixò prenem {x, x, x } = { h,, + h} i trobem P el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport { h, f h,, f, + h, f + h}: h f h f + h f + h f f h h f + h f h f + h f + f h h Exemples de fórmules de derivció numèric 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Tenim, f f h Px = f h + x + h 4 h f + h f + f h + h x + hx. Derivnt, P x = f f h f + h f + f h + x +h, h h i substituint x per : P = f + h f h. h Exemples de fórmules de derivció numèric 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Exemples de fórmules de derivció numèric 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

4 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Com bns, trobem l error prtir de 3: dont que Resumint, f P = f 3 ξ ω = f 3 ξ h, ωx = x + hx x h ω = h. f = per cert ξ h,, + h. f + h f h h f 3 ξ h Diferènci finit centrd de segon ordre: Ar volem proximr f usnt tres punts h,, + h. Per ixò derivem vegdes el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport { h, f h,, f, + h, f + h}, que hem clcult bns 4: f P = f + h f + f h h Observem que, contràriment ls csos nteriors, l error és qudràtic en el ps. Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Per trobr l error de truncment, expndim per Tylor respecte del ps h: f h = f hf + h f h 3 f + h 4 f 4 ξ, 4 f = f, 5 f + h = f + hf + h f Sumnt i dividint per h qued + h 3 f + h 4 f 4 ξ. 4 f + h f + f h h = f + h f 4 ξ + f 4 ξ. 4 Per simplificr l nterior expressió de l error, usrem el següent Exemples de fórmules de derivció numèric 8/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Exemples de fórmules de derivció numèric 7/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Teorem dels vlors intermedis Sigui f : [, b] R contínu, ξ,..., ξ n [, b] i α,..., α n. Aleshores existeix η [, b] tl que α i f ξ i = α i f η. Demostrció Siguin m = min x [,b] f x, M = mx x [,b] f x i suposem f x m = m, f x M = M per x m i x M dequts que existeixen pel teorem de Bolzno Weierstrss. Aleshores α i f x m = α i m α i f ξ i α i M = α i f x M, i, com que l funció x n α if x és un funció contínu, i el vlor n α if ξ i es trob entre dos vlors tnsts per quest funció ls punts x m i x M, pel teorem de Bolzno existeix η x m, x M tl que n α if η = n α if ξ i. Exemples de fórmules de derivció numèric 9/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7

5 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. D cord mb el teorem nterior, f 4 ξ + f 4 ξ = f 4 ξ, per cert ξ ξ, ξ. Resumint, f = per ξ h,, + h. f + h f + f h h h f 4 ξ, Observció De fet, totes les fórmules que hem deduït en quest secció es poden obtenir, juntment mb els corresponents errors de truncment, usnt expnsions de Tylor. Això es coneix com el mètode dels coeficients indetermints. Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple Mètode dels coeficients indetermints cont. Per trobr les diferències finites centrdes de primer i segon ordre, juntment mb els seus errors, hem de resoldre, respectivment, els sistemes linels α + α + α 3 = α + α 3 = α + α 3 = En quest cs, més, hem de dividir l combinció linel nterior per h per obtenir un proximció de f. L drrer equció del sistem no és necessàri però permet millorr de l error de truncment de l fórmul. α + α + α 3 = α + α 3 = α + α 3 = En quest cs, més, hem de dividir l combinció linel nterior per h per obtenir un proximció de f. Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple Mètode dels coeficients indetermints Considerem un combinció linel rbitràri d f i α f h + α f + α 3 f + h f h = f hf + h f f + h = f + hf + h f h 3 f + h 3 f + h 4 f 4 ξ, 4 + h 4 f 4 ξ. 4 Agrupnt termes en funció de l ordre de l derivd obtenim α f h + α f + α 3 f + h = = α + α + α 3 f + α + α 3 hf + α + α 3 h f + α + α 3 h 3 f 3 + h 4 α f 4 ξ + α 3 f 4 ξ 4 Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple Mètode dels coeficients indetermints cont. L solució del sistem per clculr f és: α =, α 3 = i α =. Resumint: f + h f h f + f 3 h. h L solució del sistem per clculr f és: α = α 3 = i α =. Tenim: f + h f + f h h = f + h 4 f 4 ξ + f 4 ξ f + h f + f h h = f + h f 4 ξ. Notem que són les mteixes fórmules que j hem deduït bns. Exemples de fórmules de derivció numèric 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7

6 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric Suposem que volem proximr f per =. on f x = sin x. Usem l diferènci finit centrd de primer ordre: f = Denotem, per breujr, f + h f h h h f := f ξ h. f + h f h. h Tul: Aproximció de f per f x = sinx i =. Diferències finites centrdes de primer ordre i h i h f. f. i h i h f. f Observem que inicilment l error es divideix per. Això és degut l fet que, inicilment, l error de truncment domin, i l error de truncment es divideix per qun el ps es divideix per. Exemples de fórmules de derivció numèric 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. Concretment, i per tnt eh := f h f = f ξ h f h, eh eh/ f /h f /h/ =. Per h = 4, observem un bixd brupt de l error, i per pssos més petits l error creix. Això és degut ls efectes dels errors d rrodoniment. Els podem modelr com segueix: suposem que només cometem error en l vlució d f, mb e f x ε x, i que les opercions es fn exctment. Denotem e = e f + h, e = e f h. Exemples de fórmules de derivció numèric / Exemples de fórmules de derivció numèric 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. Aleshores, l error totl és f f + h f h h d on f f + h f h h = f f + h + e f h e h = f f + h f h e e h h } {{ } error de truncment f ξ h + ε h M h }{{} fit de l error de truncment on hem pres M := sup x [ h,+h] f x. +, } {{ } error d rrodoniment ε h }{{} fit de l error d rrodoniment Exemples de fórmules de derivció numèric 7/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. Observem que l error de truncment disminueix en disminuir el ps, mentre que l error d rrodoniment ugment. Podem cercr un ps h opt que minimitzi l fit ps òptim : 3ε /3 e h opt = h opt = M En el nostre cs podem prendre M d 3 dx 3 sin x x=. = cos..85. El vlor de ε depèn de l clculdor o ordindor mb què fem els càlculs. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. L tul s h vlut mb un HP 48, que té un ritmètic de punt flotnt de dígits decimls. Si suposem que tots els dígits que ens dón són correctes, com que f. =.54, l error bsolut comès en vlur f prop de. estrà fitt per ε =. Així, el ps òptim volem dir: el que minimitz l fit és h opt = 3 /3 =. 4 4,.85 que qudr molt bé mb el que s observ l tul. Exemples de fórmules de derivció numèric 8/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Exemples de fórmules de derivció numèric cont. Exemple d plicció de fórmules de derivció numèric cont. L bixd brupt de l error h = 4 que s observ l tul és degud un efecte beneficiós dels errors d rrodoniment, en comptes de perjudicil. Prop del ps òptim, els errors d rrodoniment són del mteix ordre que els errors de truncment. Amb el signe dequt, els errors d rrodoniment poden cncel lr els errors de truncment, i ixò és el que pss l tul per h = 4. Pertorbnt un mic h, trobem pssos per ls quls quest cncel lció j no es dón: h h f. f Exemples de fórmules de derivció numèric 9/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Extrpolció de Richrdson Suposem que volem proximr lim h F h, però només podem vlur F h per h no mss petit. Per exemple, f = lim h F h per F h = f + h f h h i, l exemple hem vist que, per culp dels errors d rrodoniment, no podem vlur F h per h petit. Suposem tmbé que F h = α + h p + Oh p, per cert p > p, on coneixem p però desconeixem α,. Exemples de fórmules de derivció numèric / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Extrpolció de Richrdson / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

8 Extrpolció de Richrdson cont. L ide de l extrpolció de Richrdson és determinr proximcions de α i usnt el vlor d F h per diversos pssos d h, menysprent l rest Oh p. Més precisment, triem q > i vluem per cert h > : { F h α + h p, F qh α + qh p = α + q p h p. Si restem les equcions, podem ïllr h p i obtenir α: i F qh F h h p q p α F h h p F h + F h F qh q p =: Rh. Llvors prenem Rh com un proximció de lim h F h que millor F h i F qh. Extrpolció de Richrdson cont. Per què prlem d extrpolció? Perquè, com es pot veure fàcilment, Rh = Q, on Q és el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {h p, F h, qh p, F qh}, i / h p, qh p i, per tnt, en vlur Q extrpolem en comptes d interpolr. Recordeu que, en principi, extrpolr és perillós, dont que el terme ωx de l error d interpolció polinomil es dispr. El fet que Q és millor proximció de lim h F h que F h i F qh l estbleix l següent Extrpolció de Richrdson / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Extrpolció de Richrdson cont. Extrpolció de Richrdson 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Extrpolció de Richrdson cont. Proposició Suposem que F h té un desenvolupment F h = α + h p + h p +..., p < p <... 7 i definim, per q >, F h := F h, F n+ h := F n h + F nh F n qh q p n per n. Aleshores, per n, mb { n i } i=n dequts. F n h = α + n n h p n + n n+ hp n Demostrció Fem inducció sobre n. Per n =, és l definició de F = F. Suposem que l proposició és cert per F n. Aleshores, F n+ h = F n h + F nh F n qh q p n = α + n j h p j + α + j=n n j h p j α q p n j=n = α + n j + n j q p j h p j q p n j=n = α + n n + n n q p n h p n + n q p n j } {{ } j=n+ = j=n n j + n q p j h p j j q p j h p j. q p n } {{ } =: n+ j Extrpolció de Richrdson 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Extrpolció de Richrdson 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7

9 Extrpolció de Richrdson cont. Per plicr l extrpolció de Richrdson, s escull h = h i llvors es v clculnt F i q j h seguint l esquem q p F h q p F qh F h q p 3 F q h F qh F 3 h F q 3 h F q h F 3 qh... Extrpolció de Richrdson cont. Criteri d turd L proposició nterior i el càlcul de l pln 7 ens diuen: F n h = α + n n h p n + Oh p n+, F n qh = α + n n q p n h p n + Oh p n+ i, F n qh F n h n n h p n q p n n n h p n F nqh F n h q p. n Llvors, F n qh α n n q p n h p n qp n q p n F nqh F n h, que don l condició d turd: qun quedem F n qh. qp n q p n F nqh F n h < tol, ens Extrpolció de Richrdson / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Extrpolció de Richrdson cont. Un cs especil importnt és qun és dir, qun p j = j per j. En quest cs cl prendre q = F h = α + h + h , i, per tnt, q p j = 4 j = 4j 4 j. Llvors, per i i j obtenim: T i, = F h/ i, T i,j+ = T i,j + 4j T i+,j T i,j 4 j = 4j T i+,j T i,j 4 j Extrpolció de Richrdson 8/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 33/7 Extrpolció de Richrdson 7/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Extrpolció de Richrdson cont. que segueix el següent esquem tringulr: mb terme d error 4 j 4 j T, 4 j T, T, 4 j 4 j T, T, T,3 4 j T 3, T, T,3... T i,j = α + O h i j T i+,j α 4 j T i+,j T i,j Extrpolció de Richrdson 9/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 34/7

10 Extrpolció de Richrdson cont. Extrpolció de Richrdson cont. Exemple Richrdson Suposem que volem proximr f per f x = xe x i = mb un error bsolut fitt per. Ho frem extrpolnt per Richrdson l diferènci finit centrd de primer ordre. Desenvolupnt per Tylor l volnt d, podem trobr un desenvolupment simptòtic per l diferènci finit centrd de primer ordre: d on f + h = f + hf + h f + h3 3! f + h4 4! f f h = f hf + h f h3 3! f + h4 4! f 4... f + h f h h = f + h 3! f + h4 5! f i per tnt quest és un expnsió del tipus 7 mb p j = j per j. Exemple Richrdson cont. f +h f h h Definim F h := p j = j per j i q =. i usem les formules desenvolupdes pel cs Per començr extrpolr, prenem h =.. Recordem que voĺıem error, i per tnt prenem tol =. Fem l esquem tringulr: F. = / / 4 F.5 = F.5 = F.5 = Els números entre prèntesi indiquen l ordre en què es fn els càlculs. Ens quedem l proximció requdrd, que és T 3,. Extrpolció de Richrdson / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 35/7 Integrció numèric: Introducció Extrpolció de Richrdson / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Integrció numèric: Introducció cont. L objectiu d quest secció és donr mètodes per proximr numèricment integrls de funcions d un vrible. Això és necessri, per exemple Qun volem integrr un funció que tenim expressd nĺıticment, de l qul no en sbem trobr l primitiv per exemple, f x = e x. Qun hem d integrr un funció de l qul només coneixem lguns vlors, perquè, per exemple, procedeixen d un experiment. Aproximrem integrls per fórmules linels del tipus f x A i f x i, on els {x i } n s nomenen nodes o bscisses, i els {A i} n s nomenen pesos o coeficients. D r endvnt ens restringirem fórmules d integrció interpoltòri. Integrció numèric: Introducció / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 37/7 Integrció numèric: Introducció / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 38/7

11 Integrció numèric: Fórmules interpoltòries Integrció numèric: Fórmules interpoltòries cont. Definició Donts un intervl [, b] i uns nodes {x i } n [, b], l fórmul d integrció interpoltòri corresponent es defineix per I f = Pxdx on f és un funció de l qul volem proximr l integrl de b, i P Π n és el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport { x i, f x i } n. A continució nem estudir en detll les fórmules interpoltòries, el seu error i com deduir-les. Lem Tot fórmul d integrció interpoltòri per l intervl [, b] mb nodes {x i } n s escriu com I f = on els pesos vénen donts per A i = A i f x i, n j= j i x x j x i x j dx. Integrció numèric: Fórmules interpoltòries / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 39/7 Integrció numèric: Fórmules interpoltòries cont. Demostrció Siguin L i x els polinomis bàsics de Lgrnge mb bscisses de suport {x i } n, és dir, n x x j L i x = L i,{xj }x = dx. x i x j Aleshores, i per tnt, I f = Px = Pxdx = tl com voĺıem veure. j= j i f x i L i,{xj }x, f x i L i,{xj }xdx = f x i A i, Integrció numèric: Fórmules interpoltòries 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Integrció numèric: Fórmules interpoltòries / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Integrció numèric: Fórmules interpoltòries cont. Lem Tot fórmul d integrció interpoltòri de n + nodes és exct per polinomis de gru n, és dir, p Π n I p = pxdx. Demostrció Sigui p Π n qulsevol. D cord mb el lem nterior, I p = px i L i,{xj }xdx = px i L i,{xj }xdx = Pxdx, on P Π n és el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {x i, px i } n. Però p Π n tmbé interpol ls punts {x i, px i } n. Per unicitt de l interpolció de Lgrnge, p = P i per tnt tenim I p = pxdx. Integrció numèric: Fórmules interpoltòries 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7

12 Integrció numèric: Fórmules interpoltòries cont. Integrció numèric: Fórmules interpoltòries cont. L demostrció del següent lem és un exercici senzill: Lem Sigui I f = A i f x i un fórmul d integrció numèric qulsevol. Aleshores I p és exct [, b] per tot p polinomi de gru n si i només si I p és exct per p, px = x, px = x,..., px = x n. Podem trobr els pesos d un fórmul d integrció interpoltòri corresponent [, b] mb nodes {x i } n de dues mneres: Clculnt A i = L i,{x j }xdx. Integrció numèric: Fórmules interpoltòries 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 43/7 Fórmules de Newton Côtes Són fórmules d integrció interpoltòri en què es prenen bscisses equi-espides [, b]: on h = b /n. x i = + ih, i = n, Per trobr un expressió generl per ls seus pesos, usem el primer dels lemes nteriors: n x x j A i = L i,{xj }xdx = dx x i x j = n = h n j= j i n j= j i j= j i x jh + ih jh dx = h n n j= j i + th jh dt i jh t j i j dt. Fórmules de Newton Côtes /4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 45/7 Imposnt exctitud per, x, x,..., x n : b = = I = A + A + + A n b = = I x = A x + A x + + A n x n b = x dx = I x = A x + A x + + A n x n.. b n+ n+ = n + x n dx = I x n = A x n + A x n + + A n xn n, que ens dón un sistem d equcions linel en {x i } n que té solució únic, dont que el determinnt de l sev mtriu de coeficients és un determinnt de Vndermonde. Per trobr expressions per l error de truncment de les fórmules d integrció numèric, integrrem l expressió de l error de l interpolció de Lgrnge.. Integrció numèric: Fórmules interpoltòries / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 44/7 Fórmules de Newton Côtes cont. Definició Coeficients de Côtes Els pesos n α n i := n j= j i t j dt 8 i j s nomenen coeficients de Côtes. Notem que no depenen de l intervl [, b]. Per tnt, del càlcul nterior, deduïm: f xdx = h α n i f + ih + e n h. 9 on e n h és l error de truncment de l fórmul de Newton Côtes mb ps h = b /n. Fórmules de Newton Côtes /4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7

13 Fórmules de Newton Côtes cont. Es pot demostrr no ho veurem el següent: Per n senr, per cert η [, b]. Per n prell, e n h = h n+ f n+ η n +! e n h = h n+3 f n+ η n +! per cert η [, b]. n n t n t idt, n t idt, En prticulr, les fórmules de Newton Côtes mb n senr són exctes per polinomis de gru n, mentre que les fórmules mb n prell són exctes per polinomis de gru n +. Fórmules de Newton Côtes 3/4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 47/7 Fórmules de Newton Côtes cont. Tul: coeficients de les fórmules de Newton Côtes n gru de precisió α n i error nom f ξ f 4 ξ 3f 4 ξ h3 regl dels trpezis 9 h 5 regl de Simpson 8 h 5 regl dels 3/ f ξ 945 h 7 regl de Milne Els coeficients de Côtes són positius per n < 8, però prtir de n = 8 preixen coeficients negtius. Amb l finlitt d evitr cncel lcions, és recomnble no emprr fórmules de Newton Côtes mb n 8 i.e., 9 nodes o més. A continució estudirem mb detll els csos prticulrs n = i n =. Fórmules de Newton Côtes 4/4 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 48/7 Regl dels trpezis És l fórmul de Newton Côtes per n =. Dont [, b], prenem h = b n = b i denotem per P el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {, f, b, f b}. Denotrem l regl dels trpezis per T f,, b = Trobrem els pesos de tres mneres. L regl dels trpezis P xdx. P h = b f b Regl dels trpezis cont. Integrnt el polinomi interpoldor: dividides per trobr P : d on i per tnt: b f f b P x = f + f b f b Emprem diferències f b f x, b Regl dels trpezis / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 49/7 Regl dels trpezis / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7

14 Regl dels trpezis cont. [ f b f T f,, b = P xdx = f x + b f b f = f b + b b f + f b = b, d on, finlment, T f,, b = b f + f b. x ] x=b x= El nom de regl dels trpezis prové del fet que T f,, b és l àre del trpezi delimitt pels punts {,,, f, b, f b, b, }. Regl dels trpezis cont. Usnt les fórmules 9 i 8: essent Resumint, α = α = Tenim T f,, b = h α f + α f b t [ t = t [ t = T f,, b = h ] t= t= ] t= t= =. f + f b. =, Regl dels trpezis 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Regl dels trpezis cont. Imposnt exctitud: L fórmul de Newton Côtes mb n = és un fórmul d integrció interpoltòri de nodes, i per tnt, d cord mb el penúltim dels lemes nteriors, és exct per polinomis de gru, d on ho és per ls monomis i x. Per simplificr, triem = i b = n =, d on i per tnt T f,, b = T f,, = α f + α f, = = dx = α + α xdx = α + α d on, α = α = que, òbviment, ens torn donr l fórmul nterior recordem que els coeficients de l fórmul són independents de l funció f i de l intervl [, b]. Aquest mètode costum ser el més pràctic per trobr els coeficients de Côtes mà. Regl dels trpezis 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 53/7 }, Regl dels trpezis 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Regl dels trpezis cont. Anem trobr l expressió de l error per l regl dels trpezis. Proposició Per f : [, b] R de clsse C, se stisfà f xdx = T f,, b f ξ h3 per cert ξ [, b]. L error de truncment de l regl dels trpezis és, per tnt, Oh 3. Regl dels trpezis / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 54/7

15 Regl dels trpezis cont. Per demostrr l proposició usrem el Teorem del vlor mitjà per integrls Siguin h, g : [, b] R contínues. A més g no s nul l, b. Llvors, existeix ξ [, b] tl que Observció gxhxdx = hξ gxdx. L hipòtesi que g no s nul l, b és crucil. Si no, gfnt gx = hx = x i [, b] = [, ], tindríem: gxhxdx = hξ gxdx = ξ x dx > i xdx =. Regl dels trpezis 7/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 55/7 Regl dels trpezis cont. Regl dels trpezis cont. Demostrció del Teorem vlor mitjà per integrls Com que g no s nul l, b, multiplicnt per si cl, podem suposr que gx > per tot x, b. Com que h és continu, pel Teorem de Bolzno Weierstrss tenim que existeixen m, M tls que m hx M per tot x, b. Llvors com que gx > Integrnt, m mgx gxhx Mgx. gxdx gxhxdx M Com que gx >, gxdx >. Dividint, m gxhxdx b gxdx M. gxdx. Regl dels trpezis 8/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Regl dels trpezis cont. Demostrció del Teorem vlor mitjà per integrls cont. Ar, el Teorem de Bolzno ens diu que existeix ξ [, b] tl que hξ = gxhxdx b gxdx. Això demostr l tesi del teorem. Demostrció de l error de truncment de l regl dels trpezis Dond f, sigui P el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {, f, b, f b}. Aleshores, f xdx T f,, b = b f x Px dx = f [, b, x]x x b veure el Corol lri de l trnsprènci 4/93 d Interpolció. Demostrció de l error de truncment de l regl dels trpezis Com que f [, b, x] és contínu en x i x x b no cnvi de signe [, b], pel teorem del vlor mitjà per integrls, f [, b, x] es pot treure for de l integrl cnvint x per un punt desconegut dins [, b]: f xdx T f,, b = f [, b, ξ ] x x bdx = f ξ b 3, on, l últim igultt, hem plict l Observció i el càlcul de les trnsprències 4/93 i 5/93 d Interpolció i hem vlut l integrl x x bdx. Regl dels trpezis 9/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 57/7 Regl dels trpezis / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 58/7

16 Regl de Simpson Regl de Simpson cont. És l fórmul de Newton Côtes per n =. Dont [, b], i un funció f, prenem P el polinomi interpoldor de Lgrnge mb punts de suport {, f, +b, f +b, b, f b }. Definim l regl de Simpson per Sf,, b = L regl de Simpson P xdx. P +b h = b Trobem els pesos imposnt exctitud l intervl [, ]. f b D cord mb 9, Sf,, = α f + α f + α f. Sbem que Sf,, és exct per f Π, d on = dx = S,, = α + α + α = xdx = Sx,, = α + α + α 8 3 = x dx = Sx,, = α + α + α Resolent el sistem s obté α = /3, α = 4/3 i α = /3, d on recordem que els coeficients de l fórmul són independents de l funció f i de l intervl [, b] de 9, Sf,, b = b f + 4f + b/ + f b. Regl de Simpson /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 59/7 Regl de Simpson cont. A més, Sx 3,, = /3 3 +4/3 3 +/3 3 = 4/3+8/3 = 4 = x 3 dx. És dir, l fórmul de Simpson és exct per polinomis de gru 3. Per trobr l error de truncment, provem d integrr l fórmul de l error d interpolció. Tenim, f xdx Sf,, b = = f x P x dx f [, + b, b, x] x x + b x bdx, però r no podem plicr el teorem del vlor mitjà per integrls, com fèiem mb l regl dels trpezis, dont que x x +b x b cnvi de signe [, b]. Regl de Simpson 3/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Regl de Simpson /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Regl de Simpson cont. Aquest problem el podríem esquivr si, en comptes de x x +b +b x b, tinguéssim x x x b. Aquest terme correspon l polinomi d Hermite que, més d interpolr f {, + b/, b}, interpol f + b/. Aquest ide ens permet obtenir: Proposició Per f : [, b] R de clsse C 4, se stisfà f xdx = Sf,, b f 4 η h 5 9 per cert η [, b]. L error de truncment de l regl de Simpson és, per tnt, Oh 5. Regl de Simpson 4/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

17 Regl de Simpson cont. Demostrció Sigui H 3 el polinomi interpoldor d Hermite que stisfà H 3 =f, H 3 +b +b = f, H 3b=f b, H 3 +b =f +b. Com que H 3 interpol {, + b/, b}, se stisfà f xdx Sf,, b = f xdx SH 3,, b. Per ltr bnd, com que l fórmul de Simpson és exct per polinomis de gru 3 i H 3 té precisment quest gru: SH 3,, b = H 3xdx. Per tnt f xdx SH 3,, b = f xdx H 3 xdx. Regl de Simpson 5/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Regl de Simpson cont. Regl de Simpson cont. Demostrció cont. Llvors, f xdx Sf,, b = = f [, + b = f [, + b f x H3 x dx, + b, + b, b, ξ], b, x]x x + b x bdx x x + b x bdx, on l últim igultt hem plict el teorem del vlor mitjà per integrls. Un càlcul directe permet veure que x x + b x bdx = 4 b 5. 5 Regl de Simpson /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Regles compostes de Newton Côtes Demostrció cont. Per ltr bnd, l Observció i el càlcul de les trnsprències 4/93 i 5/93 d Interpolció mostren que existeix η [, b] tl que f [, +b, +b, b, ξ] = f 4 η/4. Ajuntnt-ho tot, obtenim per h = b /. f xdx Sf,, b = f 4 η h 5 9 Les regles de Newton Côtes tl com les hem vist són dequdes només per b petit. Si b no hi h res fer, dont que hem vist que l error de l regl de Simpson és O b, que no podem ssegurr que sigui petit. Per b < però no petit per exemple.75, l únic mner de pujr l precisió és pujr l ordre de l fórmul de Newton Côtes que emprrem. Però ixò, prt de l fein que supos trobr els pesos de fórmules d odre lt, present l inconvenient de l inestbilitt numèric recordem que les fórmules de Newton Côtes de més de 9 nodes tenen pesos negtius. És per ixò que, per [, b] rbitrri, se segueix un ltr estrtègi. El que es f és trencr [, b] en diversos subintervls més petits, en cdscun dels quls s plic un regl d integrció numèric. Les fórmules d integrció numèric que s obtenen d quest mner s nomenen regles compostes d integrció numèric. A continució estudirem les regles compostes dels trpezis i de Simpson. Regl de Simpson 7/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

18 Regl compost dels trpezis Suposem que volem proximr f xdx mb [, b] grn. Triem N N, definim h = b /N i x i = + ih per i = N. Aleshores, xi+ f xdx = N x i f xdx N N = x i+ x i f x i + f x i+ = h T f, x i, x i+ N f x + f x N + f x i. D cord mb ixò, es defineix l regl compost dels trpezis per T N f,, b = h N f x + f x i + f x N. Regl compost dels trpezis /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Regl compost dels trpezis cont. Exemple d plicció de l regl dels trpezis Suposem que volem proximr dx = ln = x Emprnt diversos pssos, obtenim l següent tul: N h T N +x,, error = T N +x,, ln Regl compost dels trpezis 3/3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Regl compost dels trpezis cont. Per trobr el corresponent error de truncment, fem f xdx T N f,, b = = N N xi+ x i N f xdx f ξ i h 3 = h3 N pliquem el teorem dels vlors intermedis, h3 N f ξ i = h3 N i substituïm N = b /h per obtenir f ξ i, T f, x i, x i+ f η = h3 Nf η, f xdx T N f,, b = b f η h. Per tnt, l regl compost dels trpezis és qudràtic en el ps entenent com ps l distànci entre dos nodes consecutius. Regl compost dels trpezis /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Regl compost de Simpson Suposem que volem proximr f xdx mb [, b] grn. Triem N N prell i definim h = b /N i x i = + ib /N per i = N. Aleshores, f xdx = = = h 3 = h 3 N/ N/ xi+ x i f xdx N/ Sf, x i, x i+ h f x i + 4f x i+ + f x i+ 3 f x + 4f x + f x + 4f x f x N + 4f x N + f x N f x + f x N + 4 N i senr f x i + N i= i prell f x i. Regl compost de Simpson /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7

19 Regl compost de Simpson cont. Com bns, per trobr el corresponent error de truncment, fem Resumint, f xdx S N f,, b = = que és, per tnt, Oh 4. N/ N/ xi+ x i N/ f xdx Sf, x i, x i+ f 4 ξ i h 5 = h5 N 9 9 f 4 η = b f 4 η h 4. 8 f xdx S N f,, b = b f 4 η h 4, 8 Regl compost de Simpson cont. Exemple d plicció de l regl de Simpson El mteix d bns: volem proximr +x dx = ln = Emprnt diversos pssos, obtenim l següent tul: N h S N +x,, error = S N +x,, ln Que, com er d esperr, per un h fixd don uns errors molt més petits que l regl compost dels trpezis. Regl compost de Simpson /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Exemple d ús de les regles compostes Regl compost de Simpson 3/3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Exemple d ús de les regles compostes cont. Volem clculr e x dx mb error menor que 4. Usnt l regl compost dels trpezis: L error és 4 > f η b h = f η b b n. Per ltr bnd, f x = + 4x e x i f η mx f x = f =. x [,] Per tnt, tenim 4 > n, que dón n = 4 > 4.8. És dir, necessitem 4 nodes. Usnt l regl compost de Simpson: 4 f 4 η > b h4 8 = f 4 η 8 Ar tenim b b 4 n 4 Per ltr bnd, f 4 η = 3 x + 4x 4 4e x i f 4 η mx f 4 x = f 4 =. Per tnt, tenim x [,] 4 > 8 n 4, que dón n = > 5.8. És dir, dont que j és prell, necessitem 7 nodes 3 intervls de Simpson.. Exemple d ús de les regles compostes / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 73/7 Exemple d ús de les regles compostes / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 74/7

20 Mètode de Romberg El mètode de Romberg consisteix plicr l extrpolció de Richrdson l regl dels trpezis compost. Per ixò ens cl un expnsió dient de l error. Un d elles ve dond per l Fórmul d Euler Mclurin Per f C m+ [, b] es té T N f,, b = f tdt + m l= B l h l f l b f l l! + b B m+h m+ f m+ ξ m +! on h = b /N i {B i } són els nombres de Bernoulli, que són x els coeficients del desenvolupment de Tylor de e x. Un mner d obtenir-lo és vlunt els polinomis de Bernoulli B i x zero: B i = B i. Mètode de Romberg /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 75/7 Mètode de Romberg cont. Mètode de Romberg cont. Polinomis de Bernoulli Un de les mneres de definir els polinomis de Bernoulli és B x, B x = x i, per k, B k+ x = k + B kx, demnnt que B l+ = B l+ =. Alguns d ells són B x, B x x, B x = x x +, B 3 x = x 3 3 x + x, B 4x = x 4 x 3 + x 3. Resumint: l fórmul d Euler Mclurin ens dón un expnsió de l form T N f,, b, h = f xdx + h + h h +... per h = b /N. Mètode de Romberg /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Mètode de Romberg cont. D cord mb ixò, el mètode de Romberg es duu terme com segueix: prenem h = h = b, q > i construïm el següent esquem tringulr: on / T, / 4 T, T, / T, T, T,3 T 3, T, T,3... Cs generl T i, = T N f,, b, q i h, q = / T i, = T N f,, b, h/ i, Com en el cs de Richrdson, l error ve dont per: T i,j = f xdx + O q i h j T i,j = f xdx + O h i j i el criteri d turd és: T,j f xdx qp j q p T j,j T,j < tol T,j f xdx 4 j T,j T,j < tol T i,j+ = T i,j + T i,j T i+,j q j T i,j+ = 4j T i+,j T i,j 4 j Mètode de Romberg 3/7 Mètode de Romberg 4/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 77/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 78/7

21 Mètode de Romberg cont. Observció divertid Si T, = T f,, b, llvors T, = Sf,, b. En efecte, T, = T, + T, T, 4/4 = T, 4 3 T, T, = 3 T, T, = 3 b f + f b b f + f + b + f b 4 = b f + 4f + b + f b = Sf,, b. Prlnt informlment, l esquem tringulr que defineix les T i,j, cp l dret, pugem l ordre de l regl d integrció, i cp vll, l convertim en compost. Exercici Si T, = T f,, b, llvors T,3 és l regl de Milne. Mètode de Romberg 5/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 79/7 Mètode de Romberg cont. Mètode de Romberg cont. Exemple d plicció del mètode de Romberg Mntenim l mteix integrl: + x = ln = Per h = /N, definim T h = T n,,. Aleshores, l esquem tringulr +x qued T =.75 T = T 4 = T 8 = T = respecte de l ordre en què s obtenen els T i,j veure l exemple de Richrdson. Notem que l primer i segon column corresponen ls exemples de les regles compost dels trpezis i compost de Simpson, respectivment. Mètode de Romberg /7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Integrció Gussin: Màgi trint el nodes Observció sobre el clcul reitert dels T i, = T N f,, b, h/ i Observem que si N = b, b = N. Llvors, per x h h/ i = + i h i =,,..., N, tenim T N f,, b, h/ = h 4 = = N f x + f x N + f x i h N f x + f x N + h f + f b + = T Nf,, b, h + h N N i senr i= i prell f + i h + h N 4 f + ih + h N f x i. i senr i senr f x i f x i A les fórmules de qudrtur nterior hem ust punts equi-espits per simplicitt però, com vrem veure l Fenomen de Runge, usr questes proximcions un funció f pot donr problemes que s hereten en proximr f xdx per l integrl del polinomi interpoldor. L ide de les fórmules de Qudrtur Gussin és intentr superr quest problem trint curdment el nodes d interpolció. Per ltr bnd buscrem fórmules per clculr integrls de l form ωxf xdx, mb ωx pes no negtiu l intervl [, b]. Mètode de Romberg 7/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Integrció Gussin: Màgi trint el nodes / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7

22 Integrció Gussin: Màgi trint el nodes cont. Polinomis ortogonls Sigui [, b] R i sigui ωx un pes no negtiu l intervl [, b] permetem que ω o ωb o tots dos siguin +. L utilitt d quest enfoc és que permet d obtenir millors fórmules de qudrtur per clculr l integrl de productes de funcions qun un d elles no cnvi de signe el cs usul és ωx i gilitzr el clcul mssiu d integrls mb el mteix pes desenvolupnt fórmules d-hoc en funció del pes. Ar hem d prendre decidir els nodes d integrció i clculr els coeficients de l fórmul de qudrtur en funció d quests nodes. Per fer ixò, primer, hem d estudir els polinomis ortogonls. Definició n-èssim moment L n-èssim moment respecte del pes ω per n =,,,..., es defineix com: µ n := x n ωxdx. L hipòtesi bàsic sobre el pes, implic que l n-èssim moment µ n respecte del pes ω està ben definit per tot n i, més, µ >. Integrció Gussin: Màgi trint el nodes / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 83/7 Polinomis ortogonls cont. Polinomis ortogonls / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 84/7 Polinomis ortogonls cont. Definició producte interior i ortogonlitt L expressió f, g := ωxf xgx dx defineix un producte interior semidefinit positiu l espi vectoril de les funcions fitdes l intervl [, b]. Aquest producte interior indueix un noció d ortogonlitt de l mner hbitul: dues funcions són ortogonls si i només si el seu producte interior és zero. Polinomis ortogonls / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 85/7 Definició fmíli de polinomis ortogonls respecte d un pes Sigui {ϕ n x} n= un fmíli de polinomis tls que, per tot n, ϕ n té gru n. Direm que {ϕ n x} n= és ortogonl respecte del pes ωx l intervl [, b] si i només si ϕ i, ϕ j = ωxϕ i xϕ j x dx = per cd i j. Observem que ϕ n, ϕ n > per cd n. Observció L fmíli {ϕ n x} n= és ortogonl respecte del pes ωx l intervl [, b] si i només si ϕ n, ϕ k = per cd n =,,... i k =,,... n. Polinomis ortogonls 3/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7

23 Polinomis ortogonls cont. A continució estudirem les propietts dels polinomis ortogonls. Lem Els polinomis ortogonls són bse L fmíli {ϕ k } n k= és bse de l espi Π n dels polinomis de gru més petit o igul que n. Demostrció Es fàcil veure que {ϕ k } n k= és un sistem generdor de Π n. Anem veure que són linelment independents. Suposem que l combinció linel n α iϕ i s nul l l intervl [, b] n α iϕ i. Per l linelitt del producte interior i l ortogonlitt tenim = ϕ k, α i ϕ i = α i ϕ k, ϕ i = α k ϕ k, ϕ k per tot k {,,,..., n}. Per tnt, α k = j que ϕ k, ϕ k >. Polinomis ortogonls 4/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 87/7 Polinomis ortogonls cont. Lem Sobre les rrels dels polinomis ortogonls Per cd n, totes les rrels de ϕ n són rels, simples i pertnyen l intervl, b. Demostrció Siguin x < x < < x m totes les rrels de ϕ n de multiplicitt senr contingudes l intervl, b i sigui Qx = x x x x x x m. Notem que Q té gru m n. El fet que les rrels x i són de multiplicitt senr implic que ϕ n cnvi de signe cd x i i solment quests punts. Per tnt, el polinomi Qxϕ n x no cnvi de signe [, b]. Llvors, Q, ϕ n = ωxqxϕ n x dx. Pel lem nterior, Q h de tenir gru n. Així m = n i el lem es cert. Polinomis ortogonls / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 89/7 Polinomis ortogonls cont. Lem Els polinomis ortogonls ho son tots els de gru més petit Sigui Q Π n un polinomi rbitrri de gru més petit o igul que n. Llvors, Q, ϕ k = Demostrció ωxqxϕ k x dx = per cd k > n. Pel lem nterior podem escriure Q = n α iϕ i mb α i s dequts. Llvors, Q, ϕ k = ϕ k, α i ϕ i = α i ϕ k, ϕ i =. Polinomis ortogonls 5/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 88/7 Polinomis ortogonls cont. Teorem Existènci i càlcul dels polinomis ortogonls Per cd n existeix un únic polinomi ortogonl mònic ϕ n de gru n definit per les fórmules: mb ϕ x, ϕ x = x µ µ, i ϕ n+ = x α n ϕ n x β n ϕ n x per n =,,..., Exercici Comproveu que α n = ϕ n, xϕ n ϕ n, ϕ n i β n = ϕ n, ϕ n ϕ n, ϕ n >. α := ϕ, xϕ ϕ, ϕ = µ µ i que β = µ µ α. Polinomis ortogonls 7/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7

24 Polinomis ortogonls cont. Demostrció Primer demostrrem l recurrènci per inducció i, l mteix temps, demostrrem l existènci de l fmíli de polinomis ortogonls. En virtut d un observció nterior hem de demostrr que ϕ n, ϕ k = per cd n =,,... i k =,,... k. Per tnt, ϕ és rbitrri i, per ltr bnd, ϕ x és l únic polinomi mònic de gru. Ar clculem ϕ. Com que és mònic i de gru tenim ϕ = x α. Per ltr bnd, l ortogonlitt impos que = ϕ, ϕ = x α, = x, α, = µ α µ. Per tnt, α = µ µ. Polinomis ortogonls 8/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Polinomis ortogonls cont. Demostrció cont. Ar comprovem k = n. Notem que xϕ n és un polinomi mònic de gru n. Per tnt, xϕ n = ϕ n + Q mb Q Π n. A més ϕ n, Q = pel lem que firm que els polinomis ortogonls ho son tots els de gru més petit. Per ltr bnd, ϕ n, ϕ n = i, per tnt, ψ, ϕ n = x α n ϕ n β n ϕ n, ϕ n = x α n ϕ n, ϕ n β n ϕ n, ϕ n = ϕ n, x α n ϕ n β n ϕ n, ϕ n = ϕ n, xϕ n α n ϕ n, ϕ n β n ϕ n, ϕ n = ϕ n, ϕ n + Q β n ϕ n, ϕ n = ϕ n, ϕ n + ϕ n, Q β n ϕ n, ϕ n = ϕ n, ϕ n ϕ n, ϕ n ϕ n, ϕ n ϕ n, ϕ n =. Polinomis ortogonls / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 93/7 Polinomis ortogonls cont. Demostrció cont. Suposem que hem demostrt l recurrènci fins gru n i demostrem-l per gru n +. Definim ψx := x α n ϕ n x β n ϕ n x, que és clrment un polinomi mònic de gru n +. Per veure que ψx = ϕ n+ x n hi h prou de veure que ψ, ϕ k = per k =,,..., n. Comencem mb k {,,..., n }. Tenim, ψ, ϕ k = x α n ϕ n β n ϕ n, ϕ k = x α n ϕ n, ϕ k β n ϕ n, ϕ k = ϕ n, x α n ϕ k β n ϕ n, ϕ k. El segon terme és zero j que k n. Per ltr bnd, notem que x α n ϕ k té gru més petit o igul que n. Per tnt, el primer terme tmbé és zero pel lem que firm que els polinomis ortogonls ho son tots els de gru més petit. Polinomis ortogonls 9/ Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Polinomis ortogonls cont. Demostrció cont. Usnt com bns que ϕ n, ϕ n =, tenim: ψ, ϕ n = x α n ϕ n β n ϕ n, ϕ n = x α n ϕ n, ϕ n β n ϕ n, ϕ n = xϕ n α n ϕ n, ϕ n = xϕ n, ϕ n α n ϕ n, ϕ n = xϕ n, ϕ n ϕ n, xϕ n ϕ n, ϕ n ϕ n, ϕ n =. Ar demostrem l unicitt. Fixt n suposem que existeixen dos polinomis ortogonls mònics de gru n, ϕ n i ϕ n. Clrment, P = ϕ n ϕ n Π n i, llvors, ϕ n, P = ϕ n, P =. Per tnt, contrdicció. = ϕ n, P ϕ n, P = ϕ n ϕ n, P = P, P > ; Polinomis ortogonls / Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 94/7

25 Exemple: Polinomis de Txebishev [, ] mb pes ωx = x Exemple: Polinomis de Lguerre [, + mb pes ωx = e x Fórmul recurrent T x = T x = x T n+ x = xt n x T n x. Definició trigonomètric T n x = cosn rccos x o, equivlentment, són els únics polinomis que stisfn T n cosϑ = cosnϑ Propiett de semigrup Els primers polinomis de Txebishev T x = T x = x T x = x T 3 x = 4x 3 3x T 4 x = 8x 4 8x + T 5 x = x 5 x 3 + 5x T x = 3x 48x 4 + 8x T 7 x = 4x 7 x 5 + 5x 3 7x T 8 x = 8x 8 5x + x 4 3x + T 9 x = 5x 9 57x x 5 x 3 + 9x. Fórmul recurrent L x = L x = x L n+ x = n + xl nx nl n x n + Formul de Rodrigue s d n L n x = ex e x x n n! dx n = n d n! dx x n Els primers polinomis de Lguerre L x = L x = x + L x = x 4x + L 3 x = x3 + 9x 8x + L 4 x = 4 x4 x 3 + 7x 9x + 4 L 5 x = x5 + 5x 4 x 3 + x x + T n T m x = T nm x Les rrels: Els nodes de Txebishev k x k = cos n π, k =,..., n. Figur extret de l wikipedi Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 95/7 Exemple: Polinomis de Legendre [, ] mb pes ωx = Fórmul tncd n k L n x = x k k k! k= Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel Fórmul recurrent de Bonnet P x = P x = x P n+ x = n + n + xp nx n n + P n x Formul de Rodrigue s P n x = d n [ x n]. n n! dx n Fórmul tncd P n x = n x n k x + k. n k k= Els primers polinomis de Legendre P x = P x = x P x = 3x P 3 x = 5x 3 3x P 4 x = 8 35x 4 3x + 3 P 5 x = 8 3x 5 7x 3 + 5x P x = 3x 35x 4 + 5x 5 P 7 x = 49x 7 93x x 3 35x Definició Siguin f definid l intervl [, b] i el pes ωx > [, b]. Donts els nodes {x i } n [, b], de mner similr com ho hem fet en el cs sense pesos, l fórmul de qudrtur mb pesos es defineix per on ω i = ωxf xdx I [f ] = ω i f x i. ωxl i,{xj }xdx mb L i,{xj }x = n j= j i x x j x i x j. Figur extret de l wikipedi Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel /9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 97/7 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 98/7

26 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Definició Un fórmul de qudrtur mb pes té ordre d exctitud igul d si és exct per tots els polinomis de Π d. Anàlogment l cs sense pes tenim: Lem Tot fórmul de qudrtur mb pes de n nodes és exct per polinomis de Π n, és dir, p Π n I [p] = ωxpxdx. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Observció L exctitud de l fórmul de qudrtur per gru implic: µ = ωxdx = ω i. A més, en el cs especil en que ωx es té µ = b. Aquest lem, com en el cs sense pes, ens don l millor mner de clculr els coeficients de l fórmul de qudrtur un vegd hem trit els n nodes: imposnt exctitud fins gru n. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel /9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 99/7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. El següent teorem és el resultt clu que motiv l ús de l Qudrtur Gussin. Es bs en un rgument simple i màgic que us fortment l ortogonlitt. En prticulr explic com cl trir correctment els nodes d integrció. Teorem Siguin x, x,..., x n els zeros simples del polinomi ortogonl ϕ n de gru n respecte del pes ωx l intervl [, b]. Llvors l fórmul de qudrtur I [f ] = n ω if x i mb ω i = ωxl i,{x j }xdx és exct per polinomis de gru més petit o igul que n. Observció l màgi El sol fet de trir el nodes d integrció com els zeros d un polinomi ortogonl f que pssem d ordre d exctitud n n dupliquem l ordre d exctitud!! Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 4/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 3/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Demostrció del teorem sobre l tri dels nodes d integrció Sigui ψ Π n. Per l lgorisme de l divisió de polinomis, Llvors: ψx = ϕ n xqx + rx mb q, r Π n. ωxψxdx = ϕ n x i = per tot i per l elecció dels nodes d integrció x i. = = ωxϕ n xqxdx + ωxrxdx = ω i rx i ω i ϕ n x i qx i + rx i = ωxrxdx ω i ψx i. ϕ n x i qx són ortogonls pel lem que diu que els polinomis ortogonls ho son tots els de gru més petit. Per tnt, quest integrl és zero. Pel lem nterior, l fórmul de qudrtur és exct per r, que té gru més petit o igul que n. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 5/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

27 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. A més tenim: Proposició En les hipòtesis del teorem els pesos ω i són rels i positius. Demostrció Dont que tenim n nodes d integrció, L i,{xj }x té gru n per cd i. Llvors, L i,{xj }x té gru n i, per tnt, l fórmul de qudrtur és exct per quests polinomis. En conseqüènci, com que ωx >, < ωx L i,{xj }x dx = ω k Li,{xj }x k = ωi Li,{xj }x i = ωi k= Proposició Fórmul de l error per l qudrtur Gussin Siguin x, x,..., x n els zeros simples del polinomi ortogonl ϕ n de gru n respecte del pes ωx l intervl [, b] i sigui f : [, b] R de clsse C n. Llvors, mb < ξ < b. ωxf xdx ω i f x i = f n ξ ϕ n, ϕ n n! recordem que L i,{xj }x k = qun i k i L i,{xj }x i =. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel /9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Observció Dont que x, x,..., x n són els zeros de ϕ n, que és un polinomi mònic de gru n, el polinomi n x x i que preix l fórmul de l error d interpolció és precisment ϕ n. Així n n b n ϕ n, ϕ n = x x i, x x i = ωx x x i dx. Observció L constnt de l error ϕ n, ϕ n es pot clculr directment o més fàcilment plicnt l fórmul lgun polinomi de gru n per exemple x n : ωxx n dx j que dn dx n x n = n!. ω i x n i = n! n! ϕ n, ϕ n = ϕ n, ϕ n Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 8/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 7/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7 Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel cont. Exercici per lliurment suplementri Demostrr l proposició nterior fórmul de l error per l qudrtur Gussin. Indicció: Podeu usr l mteix tècnic que per clculr l fórmul de l error d integrció de l Regl de Simpson però mb un polinomi interpoldor d Hermite de gru n. Fórmules de qudrtur de Guss Christoffel 9/9 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

28 Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Txebishev x f xdx ω i f x i x b+ b n i x i = cos i n π ω i = π n f xdx b b xi + b + ω i f Fórmul dels pesos ω i = π n Veure: Süli i Myers, Exercici.4 Abrmowitz, M. & Stegun, I. A., Hndbook of Mthemticl Functions, th printing with corrections 97, Dover, ISBN Equció Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7 Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre cont. Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre + e x f xdx ω i f x i + e x f xdx ω i f + x i n i x i ω i e e e e e e e e e- Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 8/7 Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre cont. Com exemple clculem els pesos del cs n = 4. Els nodes x i que preixen l tul es clculen numèricment prtir dels polinomis ortogonls mb les estrtègies hbituls Sturm + Regul Flsi + Newton. Moments k-èssims Un càlcul directe ens don l següent tul: i µ i := + x i e x dx 3 Llvors, imposnt exctitud fins ordre n = 3, tenim = µ = I [] = ω + ω + ω 3 + ω 4 = µ = I [x] = ω x + ω x + ω 3 x 3 + ω 4 x 4 = µ = I [x ] = ω x + ω x + ω 3 x 3 + ω 4 x 4 = µ 3 = I [x 3 ] = ω x 3 + ω x 3 + ω 3 x ω 4 x 3 4 El sistem nterior es pot escriure en form mtricil com:.... ω ω ω 3 = ω 4 Notem que l mtriu del sistem és l trnsposd d un mtriu de Vndermonde. Per tnt el sistem té solució únic. Aquest solució són, precisment, els vlors ω i que preixen l tul per n = 4. Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre /3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 9/7 Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Lguerre 3/3 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7

29 Exemple: Fórmules de Qudrtur de Guss Legendre f xdx ω i f x i f xdx b n i x i ω i b xi + b + ω i f Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemple: Clcul efectiu d un integrl cont. En quest exercici seguirem l segon opció. Usrem un fórmul de qudrtur de 3 punts, que ens permetrà comprr l qulitt del resultt mb l Regl de Simpson, que és l formul de 3 nodes equi-espits. Per tnt, l nostr fórmul de qudrtur per un intervl [, b] rbitrri és:.5 e x cosxdx xi + ω i f.5 mb f x = e x cosx i ω i x i x i f x i Exemple: Clcul efectiu d un integrl /5 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 3/7 Exemple: Clcul efectiu d un integrl Volem clculr.5.5 e x cosxdx = ex cosx + ex sinx.5.5 Hi h dues mneres de procedir: Considerr f x = cosx i ωx = e x un pes l intervl [.5,.5], clculr l fmíli de polinomis ortogonls respecte d quest pes fins el gru que es necessiti, clculr els nodes x i i els pesos ω i i, mb ixò, proximr l integrl. Considerr f x = e x cosx i ωx = i usr Guss Legendre. Exemple: Clcul efectiu d un integrl /5 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Exemple: Clcul efectiu d un integrl cont. Tenim: xi + ω i f = = El terme d error després de fer el cnvi de l intervl [, ] l intervl [, b] és b n+ n+ n! 4 R n f,, b = n + n! 3 f n η; η [, b] A l exemple: R 3 f,.5,.5 = 7 4 f f η 7 7! 3 η = f η < Exemple: Clcul efectiu d un integrl 3/5 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 4/7

30 Exemple: Clcul efectiu d un integrl cont. Exemple: Clcul efectiu d un integrl cont. Per ltr bnd l Regl de Simpson és b f +4f +b/ +f b = f.5+4f +f.5 mb error f 4 η 9 = = , h 5 = f 4 η 9 5 f 4 η = f 4 η <. 3. Conclusions sobre l exemple Les dues proximcions de.5.5 ex cosxdx estn correctment dins del seu mrge d error però l proximció dond per Guss Legendre és dos ordres de mgnitud millor. De tot mner l intervl d integrció és mss grn per trctr-lo mb fórmules simples de qudrtur, si volem lt precisió. Exemple: Clcul efectiu d un integrl 4/5 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 5/7 Exemple: Clcul efectiu d un integrl 5/5 Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl /7 Fi: estructures linels i moltes ddes Lluís Alsedà Mètodes Numèrics: Derivció i Integrció Sot llicènci CretiveCommons Índex Generl 7/7