Càlcul II / Integració (Esquema)

Transcripción

1 Càlul II / Integrió (Esquem) 1 de setembre de 2015 INEX: Seió 1- PAS E R A R n Seió 2- PRINCIPI E CAVALIERI Seió 3- CANVIS E VARIABLE Seió 4- APLICACIONS

2 Aquestes notes estn bsdes en els tres primers pítols del llibre: [1] Càlul integrl per enginyers, Ediions UPC Que podreu trobr grtuitment internet Integrió R Sigui f : [, b] R R, positiv Considerem el domini que hi h entre l gràfi de f i l intèrvl [, b]: = {(x, y) R 2 : x b, 0 y f(x)} efinirem l integrl de f entre i b prtir de l àre d : b f(x)dx A() L àre d l lulrem prtir de les sumes de Riemnn: ond f : [, b] R onsiderem l prtiió x i = + (b ) i efinim l sum superior i N inferior de Riemnn om: S N = (b ) N i=0 M i ; s N = (b ) N i=0 m i, on M i i m i són respetivment el màxim i mímim de f en el sub-intèrvl [x i, x i+1 ] És lr que tindrem (vegi s l figur 11 de [1]): b f(x)dx = A() = lim N S N = lim N s N Un vegd tenim l definiió d integrl d un funió positiv en un intèrvl, r ho podem estendre (per un funió positiv) un domini ott, diem-n hi, de R de l següent form: Busquem un intèrvl [, b] que ontingui l domini i estenem f [, b] om: Llvors definim on = {(x, y) R 2 : x, = {(x, y) R 2 : x b, f(x) = f(x) si x ; f(x) = 0 si x [, b] \ f(x)dx = A(), 0 y f(x)} que result té extment l mtex àre que 0 y f(x)} Per tnt, f(x)dx = A() = A( ) = b f(x)dx = lim N S N = lim N s N NOTA: Aquestes definiions s estenen qulsevol funió rel de vrible rel (NO f flt que sigui positiv) El que pss és que si f NO es positiv, es perd l interpretió geomètri Integrió R 2 Sigui f : R [, b] [, d] R R, positiv Considerem el domini que hi h entre l gràfi de f i el retngle R = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R, efinirem l integrl de f R prtir de del volum de : f(x, y)dxdy V ( ) R 0 z f(x, y)} El volum de el lulrem prtir de les sumes de Riemnn:

3 S N = (b )(d ) N 2 i,j=0 M ij ; s N = (b )(d ) N 2 i,j=0 on M ij i m ij són respetivment el màxim i mímim de f en el subretngle R ij [x i, x i+1 ] [y j, y j+1 ] m ij, És lr que tindrem, R f(x, y)dxdy = lim N S N = lim N S N Un vegd tenim l definiió d integrl d un funió positiv en un retngle, r ho podem estendre (per un funió positiv) un domini ott, diem-n hi, de R 2 de l següent form: Busquem un retngle R que ontingui l domini i estenem f R om: Llvors definim f(x, y) = f(x, y) si (x, y) ; f(x, y) = 0 si (x, y) R \ f(x)dx = A( ), on = {(x, y, z) R 3 : (x, y), 0 z f(x, y)} que result té extment el mteix volum que = {(x, y, z) R 3 : (x, y) R, 0 z f(x, y)} Per tnt, f(x)dx = A( ) = A( ) = f(x, y)dxdy = lim S N = lim s N N N R NOTA: Aquestes definiions s estenen qulsevol funió rel de dues vribles (NO f flt que sigui positiv) El que pss és que si f NO es positiv es perd l interpretió geomètri Resumint: A R si tenim f : R R, mb f 0 sbem que f és l àre delimitd per l gràfi de f i el domini Anàlogment, si tenim f : R 2 R mb f 0 tindrem que f és el volum que delimitd per l gràfi de f i el domini EXERCICI: Qun vl 1 x? Vl 1/2 per que el volum sot l gàfi de 1 x és l meitt [0,1] 2 del ub [0, 1] 3 Comproveu que s obté el mteix resultt lulnt lim N S N Soluió: En el nostre s x i = i i y N j = j, per tnt, M N ij = 1 x i = 1 i L sum superior N de Riemnn serà: S N = 1 ( 1 i ) = 1 N 2 N N 3 i,j=0 (N i) = 1 i,j=0 1 N(N + 1) N 3 2 j=0 N 3 ( N) = j=0 = N + 1 N + 1 ( ) = 2N 2 2N 1 2 Not: ont [, b] R tenim que 1dx = b és l l longitut de l intèrvl [, b] Anàlogment, [,b] tenim que per 1 R 2 l sev àre és A() = 1dxdy 2 I generlitznt R 3 : R 3 el seu volum és V ( ) = 1dxdydz Propietts de l integrl:

4 Linelitt f + bg = f + b g Aditivitt Si = 1 2 mb 1 2 =, llvors: f = f + 1 f 2 Monotoni En prtiulr: f g = f f f g Teorem del vlor mig f : [, b] R, mb f C 0 [, b], llvors b I per tnt, tenim les següent otions f(x) = f()(b ), per lgun [, b] m(b ) b f(x) M(b ), on m = min x [,b] f(x) i M = mx x [,b] f(x) El mteix pss en dimensions més ltes Si r tenim f : R R n, ott i r-onnex, i f C 0 ( ), llvors f(x) = f()m() per lgun, i on m() és l mesur del onjunt (longitut en dimensió 1, àre en dimensió 2, volum en dimensió 3,) I per tnt, tenim les següent otions mm() f(x) Mm(), on m = min x f(x) i M = mx x f(x) Exerii: Afiteu superior i inferiorment BR 3 (0) e x 2 Exerii: emostreu que dxdy 1/6 y x + 3 1/4, on és el tringle de vèrtexs (0, 0), (1, 1) i (1, 0)

5 PRINCIPI E CAVALIERI ont = {(x, y, z) : x [, b]} R 3, sigui (x 0 ) R 2 l seió que s obté l tllr mb el pl x = x 0 (vegi s l figur 21 de [1]) iem A(x 0 ) l àre de (x 0 ), llvors el volum de és V ( ) = Exemple:(Volum d un on) = {z 2 = x 2 + y 2, z I = [0, H]} Llvors V ( ) = Exemple:(Volum d un ellipsoïde) H 0 b A(z)dz = A(x)dx H x y2 b 2 + z πz 2 dz = πh 3 /3 Al tllr mb plns z onstnt s obtenen ellipses de l form x 2 2 ( 1 z2 2 ) + y 2 b 2 ( 1 z2 2 ) 1 Com lulem l àre d un ellipse? ons, plint Cvlieri en dimensió 2, ie, tllnt mb retes perpendiulrs ls eixos lulnt l longitut del segment interseió i despres integrnt respete de l vrible que prmetritz questes retes En quest s l longitut és L(x) = 2b ixí dons, V = A(z)dz = 4 3 πb 1 x2 2 A PROBLEMES: Fer els exeriis 3() i 3(d) z2 2 i per tnt A(z) = L(x)dx = πb ( 1 z2 2 ), TEOREMA E TONELLI: = {(x, y, z) : x [, b], y [, d], z [0, f(x, y)]}, mb f 0 Sbem que el volum de és f(x, y)dxdy on R = [, b] [, d] R Tenim A(x) = d f(x, y)dy i per tnt, V ( ) = b A(x)dx = b d f(x, y)dydx, és dir, el volum sot l gràfi d un funió positiv es lul mitjnçnt un integrl iterd! Apliquem r el Prinipi de Cvlieri mb plns de l form y = y 0, llvors plit en quest mteix exemple tindrem V ( ) = d A(y)dy = d b és dir, que si tenim un funió positiv es stisfrà b d f(x, y)dydx = d b f(x, y)dxdy, f(x, y)dxdy, quest és el Teorem de Tonelli e fet, result que quest resultt és ert per totes les funions Teorem de Fubini Així, tindrem R on R = [, b] [, d] f(x, y)dxdy = b d f(x, y)dydx = d b f(x, y)dxdy, Apliions:

6 1 Per = {(x, y) : x [, b], y I x = [φ 1 (x), φ 2 (x)]} mb φ 1 φ 2 (vegi s figur 23 de [1]) tenim f(x, y)dxdy = b φ2 (x) φ 1 (x) f(x, y)dydx 2 Per = {(x, y) : y [, d], x Īy = [φ 1 (y), φ 2 (y)]} mb φ 1 φ 2 (vegi s figur 25 de [1]) tenim f(x, y)dxdy = d φ2 (y) φ 1 (y) f(x, y)dxdy 3 Per = {(x, y, z) : x [, b], y I x = [φ 1 (x), φ 2 (x)], z I x,y = [ψ 1 (x, y), ψ 2 (x, y)]} mb φ 1 φ 2 i ψ 1 ψ 2 tenim Exemples: f(x, y, z)dxdydz = b φ2 (x) ψ2 (x,y) φ 1 x ψ 1 (x,y) f(x, y, z)dzdydx 1 = {(x, y) : 0 x 1; 0 y x 2 } Esriviu les dues integrls iterdes 2 domini limitt per les orbes y = x 2 i x = y 2 Esriviu les dues integrls iterdes 3 Cluleu y ey/x dxdy 4 Cluleu x2 sin(xy)dxdy on = {(x, y) R 2 : 0 y 1, y x 1} 5 Cluleu xyzdxdxydz on és el onjunt limitt per les superfiies y = x2, x = y 2, z = xy i z = 0 A PROBLEMES: Fer els exeriis 8(b), 8(), 8(e), 11(e), 11(g), 14(), 14() i 15(e)

7 CANVIS E VARIABLE T : R n R n ; x x de lsse C 1 mb invers tmbé C 1 és un nvi de vrible Teorem:(nvi de vrible) f(x) = f(t (x )) detjt (x ) Exemples: 1 Polrs: T (r, θ) = (r os θ, r sin θ) = JT (r, θ) = r I l fórmul del nvi de vrible qued: f(x, y)dxdy = f(r os θ, r sin θ)rdrdθ Exerii: Cluleu l àre d un ros de 4 pètls (En polrs l equió de l vor del domini és r = 2 sin(4θ)) Exerii: Cluleu xy, interseió mb el primer qudrnt de l oron irulr de entre (0, 0) i rdi interior 1 i rdi exterior 2 (Soluió: 15) 8 2 Cilíndriques: T (r, θ, z) = (r os θ, r sin θ, z) = JT (r, θ) = r I l fórmul del nvi de vrible qued: f(x, y, z)dxdydz = f(r os θ, r sin θ, z)rdrdθdz Exerii: Cluleu el volum omprès entre el on z 2 = x 2 + y 2 i el prboloide z = x 2 + y 2, per z > 0 Exerii: Prt de l esfer x 2 + y 2 + z 2 = 2 que és exterior l ilindre x 2 + y 2 = b 2 ( > b > 0) (Soluió: 4π 3 (2 b 2 ) 3/2 ) 3 Esfèriques: T (r, θ, ϕ) = (r os θ os ϕ, r sin θ os ϕ, r sin ϕ) = JT (r, θ, ϕ) = r 2 os ϕ I l fórmul del nvi de vrible qued: f(x, y, z)dxdydz = f(r os θ os ϕ, r sin θ os ϕ, r sin ϕ)r 2 os ϕdrdθdϕ Exerii: Cluleu el volum de B 3 R (0) Exerii: Sigui el domini tllt sobre l bol r pel on α ϕ π 2 ( > 0, 0 < α < π 2 ) Cluleu el seu volum (Soluió: 2π3 (1 sin α)) 3 4 Altres nvis: Fer els exeriis 18(), 18(d) i 18(g) A PROBLEMES: Fer els exeriis 1 de polrs 16(), 16(d), 16(g), 17() 2 de ilíndriques 19(b) i 19(e) 3 d esfèriques 20(), 21(b) i 21() 4 de d ltres nvis 18() i 18(f) Not: No s h de dir el nvi L hn de pensr els lumnes A PROBLEMES: Fer els exeriis 23(), 23(e), 23(f), 23(j) i 23(l)

8 APLICACIONS J hem vist que l integrl ens permet lulr l àre d un pl i volum d un os usnt les fórmules: A() = 1dxdy, V ( ) = 1dxdydz Anem veure d ltres pliions de l integrl Mitjn d un funió: Per un funió f : [, b] R, definim l sev mitjn v m (f) om: v m (f) = 1 b b f(x)dx Per un funió f : R 2 R, definim l sev mitjn v m (f) om: v m (f) = 1 f(x, y)dxdy A() Per un funió f : R 3 R, definim l sev mitjn v m (f) om: v m (f) = 1 f(x, y, z)dxdydz V ( ) Exerii: Sigui f(x, y, z) l distàni l qudrt del punt (x, y, z) l punt (0, 0, ) Cluleu l mitjn de f sobre l bol de rdi R entrd l origen de oordendes SOLUCIÓ: v m(f) = 3 5 R2 + 2 A PROBLEMES: Fer l exerii 24 Mss d un os: onts R 2 i R 3 onjunts del pl i de l espi, mb densitts ρ(x, y) i ρ(x, y, z) respetivment Llvors, l mss de i es defineix om m() = ρ(x, y)dxdy, m( ) = ρ(x, y, z)dxdydz Exerii: Cluleu l mss d un pl qudrd de ostt, on l sev dentitt en d punt és igul l qudrt de l sev distàni un vèrtex SOLUCIÓ: m = Centre de msses: ondes n msses puntuls m 1, m 2,, m n situdes en els punt x 1, x 2,, x n de l ret rel El seu entre de msses (CM) es trob en el punt x = m 1x m n x n m m n Pssnt l ontinu, tenim que: Per un intèrvl I de densitt ρ(x) el seu CM és I x = xρ(x)dx m(i) Per un pl R 2 de densitt ρ(x, y) el seu CM és (x, y)ρ(x, y)dxdy ( x, ȳ) = m()

9 Per un os R 3 de densitt ρ(x, y, z) el seu CM és (x, y, z)ρ(x, y, z)dxdydz ( x, ȳ, z) = m( ) Not: Qun l densitt és uniforme, ie, NO depèn del punt, llvors el CM s nomen entre geomètri CG, i tindrem: Per un pl R 2 el seu CG és ( x, ȳ) = (x, y)dxdy A() Per un os R 3 el seu CG és ( x, ȳ, z) = (x, y, z)dxdydz V ( ) Propietts del CM i CG: 1 Si dividim un os en dues o més prts, el seu CM és el mteix que el que s obtindri si les msses fossin puntuls i estiguessin onentrdes en els CM orresponents Així, per exemple, si tenim = 1 2, on ( x 1, ȳ 1, z 1 ) i ( x 2, ȳ 2, z 2 ) són respetivment els CM de 1 i 2, llvors: ( x, ȳ, z) = ( x 1, ȳ 1, z 1 )m( 1 ) + ( x 2, ȳ 2, z 2 )m( 2 ) m( ) 2 Si un os té un simetri (pl, ret, punt,) respete l densitt, llvors el CM li pertny En prtiulr, si un os té un simetri, llvors el CG li pertny Apliió: Clulr el CM d un ilindre d lçd h i bse irulr de rdi R, si l sev densitt en d punt és proporionl l sev distàni l bse SOLUCIÓ: (0, 0, 2h 3 ) Apliió: Cluleu el entre geomètri del tringle de vèrtex (0, 0), (1, 0) i 0, 1) on se li h extret un qurt de dis entrt de rdi 1/2 entrt l origen A PROBLEMES: Fer els exeriis 25(), 25(b), 26(), 26() i 28 Segon Teorem de Pppus-Guldin: El volum de revoluió d un os genert per un pl pln uniforme l girr l voltnt d un eix ontingut en el mix pl que onté l pl i que no tll l pl, és igul l produte de l àre de l pl per l longitud de l irumferèni que desrit pel seu CG l girr l voltnt de l eix de revoluió És dir, si diem r l eix de revoluió, d(r, CG) l distàni del CG l eix r, l os de revoluió i l pl pln, tindrem V ( ) = 2πd(r, CG)A() Exerii 1: En el pl (x, y) onsideren un irumferèni de rdi r entrd en el punt (R, 0), R > r), l fer-l girr l voltnt de l eix OY obtenim un tor de revoluió Cluleu el seu volum SOLUCIÓ: V = 2π2 r 2 R Exerii 2: Cluleu el CG d un qurt de dis de rdi R entrt l origen 4R SOLUCIÓ: (, 4R) 3π 3π Moment d inèri: ont un eix r i n msses puntuls m 1, m 2,, m n situdes distàni d 1, d 2,, d n de l eix r,

10 el seu moment d inèri respete l eix r es defineix ompr I r = m 1 d m n d 2 n Pssnt l ontinu, tenim que: Per un pl R 2 de densitt ρ(x, y) el seu moment d inèri respete l eix r és I r = d 2 ((x, y), r)ρ(x, y)dxdy Per un os R 3 de densitt ρ(x, y, z) el seu moment d inèri respete l eix r és I r = d 2 ((x, y, z), r)ρ(x, y, z)dxdxydz, on d((x, y), r) (resp d((x, y, z), r)) és l distàni del punt (x, y) (resp (x, y, z)) l eix r En prtiulr, pels eixos de oordendes tenim I x = y 2 ρ(x, y)dxdy, I y = x 2 ρ(x, y)dxdy I x = (y 2 + z 2 )ρ(x, y, z), I y = (x 2 + z 2 )ρ(x, y, z), I z = (x 2 + y 2 )ρ(x, y, z) Exemple: Cluleu el moment d inèri de l bol unitt de R 3 entrd l origen respete d un diàmetre, si l densitt en un punt és igul l dev distàni l entre de l bol SOLUCIÓ: I = 4π 9 Teorem de Steiner: El moment d inèri d un os respete un eix és l sum del moment d inèri respete de l eix prllel que pss pel CM del os i el moment que tindri si tot l sev mss estigués onentrd en el CM És dir, si diem l os, i s és l eix prllel r que pss pel CM del os, llvors: I r = I s + m( )d 2 (CM, r) Apliió: Considereu el ilindre = {(x, y, z) : x 2 + y 2 R 2, h/2 z h/2}, mb densitt igul 1, i sigui r un eix ( situt en ) el pl z = h/2 que pss pel punt (0, 0, h/2) Cluleu I r SOLUCIÓ: I R r = V ( ) 2 + h2 4 3 A PROBLEMES: Fer els exeriis 34() i 34(d)