MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD CON LA FX 9860G SLIM

MATEMÁTICAS Y TECNOLOGÍA CON CALCULADORA GRÁFICA 5. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD CON LA FX 9860G SLIM DIVISIÓN DIDÁCTICA MAURICIO CONTRERAS

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Y REGRESIÓN CON LA FX 9860G SLIM Itroducció Vamos a estudiar a cotiuació las utilidades estadísticas de la calculadora FX 9860G SLIM que icorpora ua hoja de cálculo especialmete adecuada para el trabajo e Estadística. 1.- Estadística descriptiva 1. MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA E u estudio geético, la comida regular se coloca e cada uo de 20 frascos y se aota el úmero de moscas de u geotipo particular que come de cada frasco. Se cueta tambié el úmero de moscas para otro cojuto de 20 frascos que cotiee zumo de vio. Los datos recogidos so los siguietes: Número de moscas (comida regular) 15 20 31 16 22 22 23 33 38 28 25 20 21 23 29 26 40 20 19 31 Número de moscas (Zumo de vio) 6 19 0 2 11 12 13 12 5 16 2 7 13 20 18 19 19 9 9 9 a. Haz ua comparació visual de las dispersioes respecto a sus cetros de las dos distribucioes. b. Calcula la media y la desviació típica para cada cojuto de datos. a) Abrimos el Editor de Hoja de calculo S SHT. Itroducimos la primera lista de datos e la columa A y la seguda lista e la columa B de la siguiete forma: Para represetar los datos gráficamete, accedemos al meú GRAPH. Asigamos el primer gráfico, GPH1 a la columa A y el segudo gráfico, GPH2 a la columa B y seleccioamos el diagrama de cajas [MedBox] como tipo de gráfico. Los diagramas de caja para cada cojuto de datos so los siguietes: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 1

comida regular zumo de vio Ua comparació gráfica puede obteerse al dibujar ambos gráficos e la misma patalla. Elegimos SEL para seleccioar los dos gráficos, tal como sigue: Observa que los cetros de las mediaas de ambas distribucioes so diferetes (está represetadas por lieas verticales e el cetro de las cajas). Los datos de las moscas asociadas al zumo de vio (gráfico de abajo) represeta u cojuto más simétrico, ya que la líea que represeta a la mediaa está exactamete e el cetro de la caja. Ambos cojutos de datos parece estar dispersos de la misma forma. Pulsado [SHIFT] [F1] (TRACE] podemos recorrer los diagramas de caja y ver las diferecias etre los parámetros. U diagrama de cajas es ua represetació gráfica de los datos que usa cico medidas, la media, el primer y el tercer cuartil y el máximo y el míimo de los datos. Los cuartiles divide el cojuto de datos e cuatro partes iguales. El segudo cuartil es la mediaa. U diagrama de caja ayuda a visualizar el cetro, la dispersió y la simetría del cojuto de datos. E este ejemplo, la costrucció de los diagramas de caja permite comparar las dispersioes respecto al cetro de las dos distribucioes. Observa que e el cojuto de moscas que come la comida regular, el míimo es 15 y el máximo es 40. La mediaa es 23 moscas. Por otra parte, para el cojuto de moscas que toma zumo de vio, el míimo es 0 y el máximo es 20. La mediaa es 11,5 moscas. Q1 y Q3 so los cuartiles. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 2

b) Pulsado [1Var] después de dibujar los diagramas de caja correspodietes a cada cojuto de datos, podemos ver los estadísticos uivariates asociados a los datos elegidos. Obteemos los siguietes parámetros estadísticos correspodietes a cada cojuto de datos: comida regular zumo de vio Observa que e el cojuto de moscas que come comida regular, la media x es 25.1 y la desviació típica xσ 1 es 6.8433602. E el cojuto de moscas que toma zumo de vio, la media x es 11.05 y la desviació típica xσ 1 es 6.19401238. Ua observació que podemos hacer es que las desviacioes típicas de ambos cojutos de datos difiere ta solo e 0.65. Ua perspectiva gráfica puede ayudar tambié a hacer esta observació. E los diagramas de caja vemos que la dispersió de cada cojuto de datos es aproximadamete la misma. Observamos tambié que la media del úmero de moscas que come comida regular es mayor que la media del úmero de moscas que toma zumo de vio. Esta observació es tambié cosistete co los diagramas de caja obteidos. María ispeccioa los precios para u cuarto de cierta marca de aceite de motor. Los datos, e dólares por cuarto, se resume e la siguiete tabla: a. Represeta los datos gráficamete. Precio por cuarto 0.99 1.09 1.19 1.29 1.39 1.49 FRECUENCIA 2 3 7 10 14 4 b. Cuál es la media y la desviació típica de los precios? a) E este ejemplo, uestros datos icluye iformació del precio y frecuecia. U histograma es u gráfico que puede resumir esta iformació. Los precios por cuarto se señala e el eje horizotal y las frecuecias e el eje vertical. E el editor de Hoja de cálculo, itroducimos los precios e la columa A y las correspodietes frecuecias e la columa B. Para el gráfico de los datos, seleccioamos histograma [HIST]. E la siguiete patalla idicamos el iicio del histograma y la achura de cada itervalo de datos: Si recorremos mediate [TRACE] el histograma de izquierda a derecha, para cada itervalo, la calculadora muestra el extremo de la izquierda como x y la frecuecia del itervalo como f, tal como se muestra e la siguiete patalla: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 3

b) La media de los precios x es aproximadamete $1.2975 y la desviació típica de los precios xσ 1 es aproximadamete 0.13085027. La baja desviació típica os dice que el precio o está demasiao disperso y se acerca a la media. Teemos la siguiete patalla: Para estudiar la composició de las familias de Wislow, Arizoa, se seleccioaro al azar 40 matrimoios aotádose el úmero de iños por familia. Los datos obteidos so los siguietes: 3 1 0 4 1 3 2 2 0 2 0 2 2 1 4 3 1 1 3 4 2 1 3 0 1 0 2 5 1 2 3 0 0 1 2 3 1 2 0 2 a. Costruye u histograma para represetar los datos. b. Calcula la media de iños por familia. c. Calcula la desviació típica del úmero de iños por familia. a) La frecuecia de cada uo de los datos es 1, porque cada dato represeta el úmero de iños e ua sola familia. Como los datos so eteros, ajustamos la cofiguració del histograma de forma que la achura de cada barra sea 1. El histograma obteido es el siguiete: b) El úmero medio de iños por familia es, aproximadamete, 1 75 o redodeado, 2 por familia. c) La desviació típica del úmero de iños por familia es alrededor de 1,32. Teemos la siguiete patalla de parámetros estadísticos: Nota: Las respuestas a los tres ejercicios ateriores se puede obteer tambié itroduciedo los datos e el meú STAT. Los gráficos y cálculos se obtiee usado comados similares. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 4

ACTIVIDADES: 1. Cosidera los siguietes datos: LLUVIA MENSUAL EN SEATTLE, WASHINGTON JAN FEB MAR APR MAY JUNE JULY AUG SEPT OCT NOV DEC 5.4 4.0 3.8 2.5 1.8 1.6 0.9 1.2 1.9 3.3 5.7 6.0 LLUVIA MENSUAL EN PHEONIX, ARIZONA JAN FEB MAR APR MAY JUNE JULY AUG SEPT OCT NOV DEC 0.7 0.7 0.9 0.2 0.1 0.1 0.8 1.0 0.9 0.7 0.7 1.0 a. Haz ua comparació visual de las dispersioes respecto al cetro de las dos distribucioes. b. Calcula la media y la desviació típica para cada cojuto de datos. 2. Los siguietes datos so los resultados de u exame e ua clase de Estadística: PUNTUACIONES EN EL TEST ( e %) 99 74 85 93 80 70 NÚMERO DE ESTUDIANTES 2 3 7 10 14 4 Cuál es la media y la desviació típica de las putuacioes del test? SOLUCIONES: Actividad 1. a) Los diagramas de caja so los de la siguiete figura. Elige SEL para que se muestre simultáeamete los dos gráficos e la patalla: El diagrama de caja de arriba correspode a la lluvia e Seattle. El míimo y máximo valor so 0.9 y 6 respectivamete, co mediaa 2.9. Por otra parte, el diagrama de caja de abajo correspode a la lluvia e Arizoa. Observa que el míimo y el máximo valor so pequeños e comparació co los de Seattle, 0.1 y 1 respectivamete, co mediaa 0.7. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 5

b) Para los datos de lluvia e Seattle, la media x es 3.175 y la desviació típica xσ 1 es 1.80711975. Por otro lado, para los datos de Arizoa, la media x es 0.65 y la desviació típica xσ 1 es 0.33. La lluvia e Seattle es más dispersa, tiee mayor desviació típica. Estos resultados se cofirma por la forma de los diagramas de caja. Seattle Arizoa Actividad 2. a) Teemos la siguiete cofiguració para dibujar el histograma: El histograma de las putuacioes del test es el siguiete: b) La media de las putuacioes del test es aproximadamete 83.625, mietras que la desviació típica es aproximadamete 8.11673642. 2. USANDO LA HOJA DE CÁLCULO PARA HALLAR MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA La media co la hoja de cálculo Cómo se calcula la media? La media de u cojuto de datos se obtiee mediate la fórmula: xi i= µ = 1 es decir, se suma todos los datos y el valor resultate se divide etre el úmero de datos. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 6

a) Cico estudiates mide el tiempo que utiliza e ir a la escuela por la mañaa. Sus datos se muestra e la siguiete tabla, e la que se idica sus ombres (e la columa A) y sus tiempos (e la columa B). Para calcular la media, mueve el cursor hasta la celda C1. Pulsa = para itroducir la fórmula de la fució. Al hacerlo se muestra ua barra de meús como la siguiete: Pulsa ahora (CEL) para abrir u meú co seis fucioes de hoja de cálculo: Pulsa (Mea). Teclea el rago de valores B1 a B5 e uestro caso y pulsa l. Aparece el resultado. Observa que tecleado el ombre de la fució y los parámetros =CellMea(B1:B5) obtiees ua resultado idético, pero acabas co u mesaje de error. La fució media debe ser seleccioada desde el meú. b) Icremeta uo de los valores co 1 uidad. Qué le ocurre a la media? Cambiado diferetes valores e la columa B, se obtiee diferetes efectos? c) Icremeta todos los valores 1 uidad. Qué le ocurre a la media? d) La media de u cojuto de valores es 63. Icremeta u valor e 5. Dismiuye otro valor e 5. Predice el valor de la media. e) Preguta el úmero de calzado de los alumos de tu clase. Teclea sus respuestas e ua hoja de cálculo. Calcula el úmero medio de calzado de tu clase. f) Usado ua balaza, pesa a los estudiates de tu clase. Puedes itroducir sus pesos e ua hoja de cálculo. Calcula la media. g) Seleccioa todos los estudiates co los zapatos del mismo úmero de calzado. Pesa sus zapatos. Calcula su media. Comprueba que si el tamaño de los zapatos es exactamete igual a la media de los tamaños, su peso medio es exactamete igual a la media de los pesos de todos los zapatos. Si la diferecia de tamaños respecto a la media es la más grade, cabe esperar que tambié lo sea la diferecia e pesos. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 7

La desviació típica co la hoja de cálculo Observa la siguiete figura. Los dos cojutos de datos tiee la misma media. Si embargo, los valores de la columa A a la izquierda so más dispersos respecto de la media que los de la derecha. Expresamos este hecho mediate la desviació típica que mide la dispersió de los datos respecto de la media. Se calcula co la fórmula: σ = i= 1 ( x µ) i 2 a) Para calcular la desviació típica del cojuto de datos de la derecha co la hoja de cálculo, sigue los siguietes pasos: 1. Calcula la media e la celda B1. 2. Calcula la diferecia etre los valores y la media (e la celda C1). Después copia la fórmula de C1 a la columa C, tomado la referecia a B1 como referecia absoluta $B$1 3. Calcula los cuadrados de los valores de la columa C e la columa D. 4. Suma los cuadrados (po el resultado e la celda E1). 5. Divide el resultado por el úmero de elemetos (e la celda F1). 6. Calcula la raíz cuadrado del resultado aterior (e la celda G1). La desviació típica de dicho cojuto de datos es 1.4142. b) Calcula la media y la desviació típica para los datos de la izquierda. Observa que, auque la media es la misma, la desviació típica es diferete: La desviació típica, 8.3666, es ahora mucho mayor, porque los datos está más dispersos. c) Los cálculos ateriores muestra el algoritmo completo para obteer la desviació típica. Pero o ecesitamos realizarlos co tato detalle. La hoja de cálculo dispoe de ua fució que permite el cálculo directo. Por ejemplo, supogamos que hemos itroducido los datos e la columa A. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 8

Pulsa [F6] (para que aparezca más opcioes del meú desplegable). E dicho meú, pulsa CALC para mostrar su submeú. E el submeú seleccioa 1VAR. La ueva vetaa obteida es la siguiete: E ella podemos observar los valores de los distitos parámetros estadísticos. d) Halla la desviació típica del cojuto aterior e la celda G1. Seleccioa al azar dos celdas e la columa A. Aumeta u valor e 7 uidades. Dismiuye el otro valor e 7 uidades. La media queda igual. Qué ocurre co la desviació típica? e) Se divide la clase e cuatro grupos de estudiates. Cada grupo puede cambiar ua par diferete de celdas: 1. Aumeta A1 e 4 uidades; dismiuye A4 e 4 uidades. 2. Dismiuye A1 e 4 uidades; aumeta A4 e 4 uidades. 3. Aumeta A2 e 6 uidades; dismiuye A3 e 6 uidades. 4. Dismiuye A2 e 6 uidades; aumeta A3 e 6 uidades. Observa que todos los pares de operacioes preserva la media. Cada grupo referirá a los otros lo que ocurre co la desviació típica: Aumeta? Dismiuye? Cuado los valores cambiados está cerca de la media, la desviació típica dismiuye. Cuado los valores está lejos de la media, la desviació típica aumeta. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 9

2. Aálisis de regresió 1. REGRESIÓN LINEAL I Cosidera los datos de la siguiete tabla que represeta los valores de las accioes de la compañía Vaguard Idex Trust desde 1987 a 1997. a) Llamamos x=años e y=valor de las accioes de Vaguar Idex Trust. Dibuja u diagrama de dispersió para estos datos. b) Calcula la pediete de la recta que pasa por los dos putos que represeta el valor de la acció e 1987 y e 1991. Haz lo mismo para los putos que represeta los datos e 1991 y e 1995. c) Cuál de las pedietes calculadas e (b) es mayor e valor absoluto? Qué sigifica esto? d) Halla la recta que mejor se ajusta a los datos. Cuál es esta recta? Iterpreta la pediete de esta recta. e) Si tu fueras u dirigete de esta empresa, cuál de las tres pedietes que has calculado utilizarías para covecer a alguie para ivertir? f) Cuál es la tedecia e los datos? g) Supoiedo que la tedecia cotiua, cuál será el valor de la acció e 2006? Valor AÑO (dólares) 1987 54.26 1988 63.07 1989 82.81 1990 80.08 1991 103.27 1992 113.20 1993 123.11 1994 130.29 1995 170.32 1996 185.81 1997 201.40 Solució: Abrimos el Editor de Hoja de cálculo e itroducimos los datos. Itroducimos los años e la primera columa y los valores de las accioes e la seguda columa, tal como se idica e la figura: a) Pulsamos GRPH y SET para cofigurar los ragos de celdas del diagrama de putos: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 10

b) Calculamos las pedietes de las rectas e el Editor RUN. La pediete de la recta que ue los putos (1987,54.26) y (1991,103.27) se calcula así: La pediete de la recta es 12.2525. Por otro lado, la recta que ue los putos (1991, 103.27) y (1995,170.32) tiee pediete 16.7625 y se calcula así: c) La pediete de la recta que ue los putos (1991, 103.27) y (1995,170.32) es mayor e valor absoluto que la pediete de la recta que ue (1987,54.26) y (1991,103.27). Esto sigifica que etre los años 1991 y 1995, el valor de cada ua de las accioes aumetó alrededor de 16.7625 dólares por térmio medio. Este valor es superior e 4.51 al compredido etre los años 1987 y 1991, e los cuales el valor de cada acció aumetó alrededor de 12.2525 dólares por térmio medio). d) Para hacer la recta de mejor ajuste, itroducimos el comado Liear regressio mietras el gráfico de dispersió se muestra e patalla: La recta de mejor ajuste es y = 14.6313636x 29026.801. La recta se dibuja e el diagrama de putos, tal como vemos e la siguiete figura: La pediete de la recta de mejor ajuste puede iterpretarse como el icremeto medio del valor de la acció para u año; e uestro caso este icremeto es de 14.6313636 dollars, aproximadamete. Cuál es la bodad del ajuste? La respuesta se puede obteer calculado el coeficiete de correlació r que es la medida de la itesidad de la relació lieal que existe etre dos variables. Cuato más próximo a 1 sea el valor de r más perfecta es la relació lieal etre las variables. E la patalla obteida ateriormete, hemos visto que r es 0.98126479, lo que idica que el ajuste lieal etre las dos variables es bueo. e) Puede ser más razoable usar la pediete 14.6313636 de la recta de mejor ajuste, la cual idica el crecimieto e el valor de la acció para u icremeto de x de u año y muestra la tedecia de los datos. f) La tedecia de los datos es que el valor de la acció aumeta cuado x aumeta. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 11

g) Supoiedo que la tedecia cotiua, podemos usar la recta de mejor ajuste para determiar el valor de la acció e 2006. Primero, copiamos los cálculos que hemos obteido respecto de la recta de mejor ajuste e el meú gráfico co el Editor de Hoja de cálculo. A cotiuació dibujamos el gráfico (e la patalla de la izquierda e la siguiete figura). Después, pulsamos [SHIFT] (G-Solv) y [Y-CAL], lo que os permite aproximar el valor de la acció sustituyedo el año 1997 usado la recta de mejor ajuste (patalla de la derecha e la figura). Podemos idicar el valor de x, por ejemplo, x=2006, y la calculadora muestra el correspodiete valor de e el gráfico. E el año 2006, el valor aproximado de la acció es de $323.71. El valor de y correspodiete a x = 2006 usado la recta de mejor ajuste puede tambié obteerse e el Editor RUN, usado el comado OPTN STAT como se muestra a cotiuació: E el Editor RUN, tambié puede obteer el valor de x correspodiete a u valor dado de y. Por ejemplo, el apartado (g) que hemos visto puede sustituirse por el siguiete: h) Supoiedo que la tedecia cotiua, cuado el valor de la acció valdrá aproximadamete $500? E el Editor RUN, obteemos el siguiete cálculo: Usado la recta de regresió, estimamos que el valor de la acció puede valer alrededor de $500 e el año 2018. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 12

Observacioes: Observa que los cálculos e el Editor RUN perteece a los datos guardados e el Editor de Hoja de cálculo (como los cálculos que hemos visto e las dos patallas ateriores), pero o puede ser utilizado e el modo e activity. Este puede ser utilizado solamete cuado usamos el Editor de Hoja de cálculo del meú pricipal. ACTIVIDAD Los siguietes datos idica el úmero de persoas muertas a causa del SIDA e Estados Uidos desde 1982 hasta 1992. años 1982 1983 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 Muertos 843 1651 6681 11535 15451 19656 26151 28053 30579 22660 a) Basádote e estos datos, compara el úmero de muertos iterpolado e 1990 co el dato real 28053. b) Usa el modelo de regresió lieal para estimar el úmero de muertos a causa del SIDA e el año 2006. c) Si la tedecia cotiua, es posible que los muertos a causa del SIDA llegue a 200000? E qué año? Solució: a) E el Editor de Hoja de cálculo, itroducimos los datos y dibujamos el diagrama de dispersió. Etoces la recta de mejor ajuste es la siguiete, dibujada sobre el diagrama de dispersió: La recta de regresió es y = 3067.32267x 6079000. Usado la recta de regresió, el úmero iterpolado de muertos e 1990 es 24,607.77. El úmero real de muertos es 28053. Ua diferecia de aproximadamete 3445. Observa que la recta que hemos obteido tiee coeficiete de correlació, r = 0.94, lo que sugiere ua correlació positiva alta; o es perfecta, esperamos que exista algua diferecia etre los datos iterpolados y los valores reales. b) El úmero estimado de muertos e 2006 es alrededor de 73,685. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 13

c) E el Editor RUN, obteemos aproximadamete que e 2047, los muertos será alrededor de 200,000. 2. REGRESIÓN LINEAL II Las pepitas de oro Hay u rio cerca del campus. La mia de oro cercaa está agotada desde hace alguos años, pero alguos buscadores de oro ocasioales refia el agua del rio para buscar pepitas de oro. Los estudiates ha creado u Club de Buscadores de Oro como ua especie de etreteimieto que puede tambié ayudarles a recoger fodos para la fiesta de Navidad. Va e fies de semaa, refia la area del rio y cosigue records e sus hazañas (ver la tabla de la hoja de cálculo). Como vemos e la tabla, o todos los miembros del club so igual de activos. Fioa la presideta del club opia que hay ua relació etre el úmero de visitas al río y la catidad de oro recolectado por cada persoa. Quiere demostrarlo a los otros. Ha estudiado u curso de Estadística y quiere aprovechar su coocimieto del método deomiado Regresió Lieal. a) Fioa itroduce los datos e ua hoja de calculo de su calculadora. Primero muestra a los otros que los datos puede represetarse e forma de ube de putos. Para hacerlo, seleccioa [GRAPH]. Del submeú seleccioa [SET]. Los días cosumidos e el río forma la variable idepediete x (las celdas B2 a B11), la cueta de pepitas de oro forma la variable depediete y (las celdas C2 a C11). Regresado al submeú gráfico y seleccioado q el gráfico aparece e patalla. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 14

La gráfica cosiste e putos aislados, uo por cada buscador de oro. Si la forma de la ube o es complicada, tiee ua tedecia: para valores muy grades de x, los valores de y tiede a ser muy grades. Esta tedecia puede expresarse por ua recta de regresió, cuya ecuació geeral es y = ax + b dode y represeta la cueta aproximada de pepitas ecotradas e x días. Los parámetros a y b se calcula desde la tabla de valores usado las fórmulas: a = b = i= 1 i= 1 y x i i y i i= 1 a x 2 i i= 1 x i i= 1 E geeral, hemos de cosiderar todos los pares de elemetos de los dos cojutos x 1, x 2, x 3,, x (úmero de visitas al río por persoa) y y 1, y 2, y 3,, y (úmero de pepitas de oro ecotradas por cada idividuo). Combiado los úmeros y usado las fórmulas, obteemos el resultado. Fioa o se asusta de estas espatosas fórmulas, porque sabe que la calculadora puede obteer a y b directamete. Para hacerlo, pulsa [CALC]. El uevo meú aparece e la parte iferior de la patalla: x i i= 1. x i i= 1 2 y i Después pulsa w (x), la calculadora muestra el siguiete resultado: La fució que permite aproximar el úmero de pepitas de oro después de x días está defiida como y = 2.13871549x 1.7604383. Para ver su gráfica, pulsa [DRAW]. ACTIVIDAD Cuátas pepitas podemos esperar ecotrar después de 30 días de búsqueda? Solució: Como hemos hecho ua estimació, o ecesitamos cálculos muy exactos. Dos cifras decimales so suficietes: (2.14 x 30)- 1.76 = 62.4 Esperamos ecotrar alrededor de 62 pepitas. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 15

El fertilizate Durate los últimos años, u grajero está utilizado u fertilizate e sus campos. Matiee registros de la catidad de fertilizate usado (e toeladas) y producció (e toeladas de cosecha). La tabla muestra estos registros. a) Usado regresió lieal, muestra la depedecia etre las catidades de fertilizate y las cosechas. Dibuja el diagrama de putos. b) Haz el cálculo correspodiete. Registra los parámetros a y b. c) Dibuja la recta de regresió. d) El grajero ha aceptado ua oferta de u comprador a grael de 80 toeladas de productos de la última cosecha. Cuátas toeladas de fertilizate es recomedable que compre el grajero? Solució: El parámetro a vale 21.2, b vale 19.6. Hemos de resolver la ecuació 80 = 21.2x + 19.6. El resultado es 2.84 (aproximadamete 3 toeladas). Resistecia deportiva E u acotecimieto deportivo, u médico del equipo mide el tiempo empleado por los deportistas de diferete edad e ua carrera. Todos los deportistas empieza e el mismo mometo. El médico del equipo aota el tiempo que tarda cada persoa e pararse por estar exhausto. Los registros so los de la siguiete hoja de cálculo. a) Dibuja u diagrama de dispersió basado e estos datos. Haz el cálculo de los parámetros de la recta de regresió y dibújala. b) Cuáto tiempo cabe esperar que resista ua persoa de 40 años? c) Qué edad aproximada correspode a u tiempo de resistecia de 19 miutos? d) Por qué la recta de regresió es decreciete? Solució: a) El parámetro a es aproximadamete igual a -0.32; b es aproximadamete igual a 28.15: y = -0.32x +28.15 y = 15.35 b) La persoa de 40 años puede resistir alrededor de 15 miutos. c) Como a = -0.32 y b = 28.15, hemos de resolver la ecuació: 19 = -0.32x + 28.15, cuya solució es x = 28.125. La persoa capaz de resistir 19 miutos tiee, aproximadamete, 28 años de edad. d) La duració de la carrera decrece co la edad. Por ello, la recta de regresió es decreciete. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 16

3. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN I Las pepitas de oro 2 Recuerda los datos del problema Las pepitas de oro" Por qué Fioa cofía e la existecia de ua relació etre las dos variables? Porque cooce la forma de obteer el coeficiete de correlació co su calculadora. Para ver la relació etre dos cojutos de úmeros, los datos debe ser itroducidos e ua tabla de hoja de cálculo de la calculadora. Para ello, seleccioa [CALC]. E el submeú CALC, primero seleccioa [SET] para especificar el rago de valores Seleccioa el rago B2 a B11 para la x; y el rago C2 a C11 para la y. Si especificar ambos ragos, la calculadora mostraría u mesaje de error o produciría resultados icorrectos. Regresa a la hoja seleccioado [EXE]. Seleccioa [CALC] [REG]. El siguiete submeú ofrece ua variedad de métodos de regresió. Elegimos el más secillo, la regresió lieal pulsado [x]. El cálculo es ejecutado. Observa el valor de r obteido. Este valor se llama coeficiete de correlació y su fórmula es verdaderamete compleja: = = = = = = = = 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1. i i i i i i i i i i i i i i i y y x x y x y x r CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 17

Por tato, hemos de cosiderar todos los pares de elemetos de los dos cojutos x 1, x 2, x 3,, x (el úmero de visitas al río por persoa) y y 1, y 2, y 3,, y (el úmero de pepitas de oro ecotradas por cada idividuo). Sustituyedo los datos e la fórmula aterior obteemos el resultado. Afortuadamete, la calculadora permite su obteció, siempre que especifiquemos los ragos de x y de y. El resultado es siempre u úmero real etre 1 y +1 (0.92383508 e uestro caso). Los valores 1 y +1 (y valores cercaos a los extremos del itervalo) idica ua relació etre los cojutos de datos comparados. Los valores del cetro del itervalo idica que o hay ua relació (co valores 0 o cercaos a 0). El fertilizate 2 Recuerda los datos del problema El fertilizate. Se muestra e la siguiete tabla. Calcula el coeficiete de correlació y utiliza el resultado para extraer ua coclusió sobre la fiabilidad de la estimació para el presete año (evaluado los parámetros a y b de la recta de regresió). Observa que la especificació del rago es fudametal porque teemos tres columas de úmeros. Nuestros ragos a seleccioar so la catidad de fertilizate (B2 a B6) y la cosecha (C2 a C6). Resistecia deportiva 2 Recuerda los datos del problema Resistecia deportiva Calcula el coeficiete de correlació etre los dos cojutos de datos. Podemos utilizar lar regresió lieal para hacer estimacioes e este caso? Estatura y televisió U grupo de estudiates recoge datos sobre su estatura (e metros) y la catidad de horas de ve la televisió diariamete. Está iteresados e ver si hay ua relació etre estos dos cojutos de datos. El coeficiete de correlació r = 0.2367005 idica que o hay ua relació importate. Lo mismo podemos observar e el diagrama de dispersió. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 18

E este caso se dice que o hay correlació etre las variables. E geeral esto ocurre cuado el coeficiete de correlació r toma valores cercaos a 0. 4. COEFICIENTE DE CORRELACIÓN II Las grajas e EEUU Los siguietes datos idica el úmero de grajas e los Estados Uidos durate los años 1910 a 1999: Años 1910 1920 1930 1940 1950 1959 1969 1978 1987 1999 Número de grajas 6.4 6.5 6.3 6.1 5.4 3.7 2.7 2.3 2.1 1.9 (e milloes) a. Dibuja u diagrama de dispersió de los datos. b. Determia la fució que mejor se ajusta a los datos. c. Usa la respuesta del apartado (b) para estimar el úmero de grajas e 1900 y e 1975. Solució: a) Accedemos al Editor de Hoja de cálculo. Tomamos como coordeada x de cada puto el úmero de años trascurridos desde 1900 y como coordeada y el úmero de grajas. Los años los itroducimos e la columa A (1910 se itroduce como 10, 1920 como 20 y así sucesivamete) y el úmero de grajas e milloes lo itroducimos e la columa B: Para dibujar el diagrama de dispersió, accedemos al meú GRPH. Asigamos el primer gráfico, GPH1 y especificamos las columas que represeta la x y la y, seleccioamos [Scatter] como tipo de gráfico. Observa que el gráfico de putos puede recorrerse co las teclas de cursor, lo que es ua buea forma de cosultar los datos itroducidos. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 19

b) Ua vez dibujado el gráfico, el siguiete paso cosiste e explorar la relació etre x e y buscado fucioes que ajuste los datos aproximadamete. Pulsamos [CALC] y elegimos el tipo de fució. Por ejemplo, supogamos que seleccioamos el modelo lieal. Los coeficietes de regresió se calcula de la siguiete forma: El modelo lieal obteido es y =-0.0640032x + 7.80897744. Observa que el coeficiete de correlació r es aproximadamete -0.9538903. El coeficiete de correlació mide el grado de bodad del ajuste por ua fució lieal. E pricipio, observamos que el valor r 0.95 idica ua muy buea regresió; pero es posible que los datos se pueda ajustar por otro modelo fucioal. De hecho, si dibujamos la recta sobre la ube de putos, podemos observar que la recta o parece ajustarse del todo bie. Alguos putos o está e la recta; de hecho, la ube de putos o se parece mucho a ua recta. Así, u ajuste mejor se puede obteer mediate ua curva. Experimetamos otros tipos de fucioes (cuadráticas, expoeciales, cúbicas, cuárticas) y observamos la calidad del ajuste. E las siguietes patallas se muestra los modelos de regresió expoecial y cuadrático: Como e el modelo lieal, observamos que alguos putos o está cerca de las curvas expoecial y cuadrática. Los coeficietes de correlació correspodietes a los modelos expoecial y cuadrático so aproximadamete 0.9532007 y 0.9560633 (alrededor de -0.95, la misma aproximació que la obteida co el modelo lieal) Otra exploració produce los siguietes resultados: co la curva cúbica se obtiee r - 0.9911923 y co la curva cuártica r - 0.9955864101. E ambos casos se obtiee u coeficiete de regresió: r 0.99, que es muy cercao a 1. Si embargo, el valor de r para la curva cuártica es más cercao a 1 que el de la curva cúbica. Por tato, el mejor ajuste es aparetemete la curva cuártica! La fució cuártica de ajuste óptimo viee dada por la expresió: 0.000000089162x 4 + 0.000009047x 3-0.003424x 2 + 0.13022957x + 5.33504058 CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 20

Los valores egativos de r idica que la relació etre x e y es iversa. Así, cuado x crece, la y decrece. Esta relació puede visualizarse e el diagrama de putos. Observa que el valor de r o aparece e estas patallas. E realidad, o es ecesario coocerlo. Basta saber el valor de r 2, para coocer la calidad del ajuste. Como el valor de r 2 es cercao a 1, el ajuste es bueo. Ua buea forma de visualizar el ajuste por la curva es dibujarla sobre la ube de putos. Esto es especialmete útil para comparar los gráficos de los diferetes modelos fucioales respecto de los datos. Ua vez obteido y guardado e memoria el diagrama de dispersió co el ombre Pict1, pulsamos [OPTN]: El diagrama se puede usar ahora como dibujo [SHIFT SET UP] de la siguiete forma: Los modelos fucioales obteidos por regresió se puede copiar a la lista de fucioes gráficas y se puede guardar como patallas de dibujo. Por ejemplo, copiamos las fucioes cúbica y cuártica obteidas por regresió al Editor de Gráficos. Asigamos los trazos ---- para la fució cúbica y para la fució cuártica. Pulsamos [DefG] para dibujar ambos gráficos co el diagrama de putos como dibujo: Podemos visualizar que ambas curvas de ajuste pasa muy cerca de los putos y cofirma esto que las dos podría usarse como curvas de ajuste. Es difícil averiguar, e alguos casos, qué modelo es mejor usar, fijádose solamete e los gráficos o e la forma de las ubes de putos. Para decidir, por ejemplo, cuál de los dos modelos ateriores (cúbico o cuártico) es mejor, hemos de referiros al valor del coeficiete de correlació para determiar la fució de mejor ajuste. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 21

c) Usamos la fució cuártica obteida e (b) para estimar el úmero de grajas e 1900 y e 1975. Después de pulsar [DefG], pulsamos [DRAW], después [SHIFT G-Solv Y-Cal]. Especificamos el valor de x para obteer el correspodiete valor de y. E el año 1900, habrá alrededor de 5.335 milloes de grajas, y e 1975, alrededor de 2.477 milloes de grajas. El Ídice de Precios al Cosumo Los siguiete datos idica los iveles del Ídice de Precios al Cosumo (IPC) e Diciembre de distitos años: Año 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 IPC 121.2 128.0 134.8 137.2 139.0 143.0 147.1 150.2 156.5 158.9 a. Dibuja u diagrama de putos de los datos. b. Determia el modelo (expoecial, logarítmico, potecial o lieal) que mejor describe la relació etre los años y el IPC. c. Usa el modelo obteido e (b) para predecir el IPC para Diciembre de 2006. Solució: a) Accedemos al Editor de Hoja de cálculo, e itroducimos los años e la primera columa y los iveles del IPC e la seguda columa. Aplicamos la siguiete fórmula de sucesió para geerar los años, pulsado [EDIT] y después [SEQ]. El diagrama de putos es el siguiete: b) Los coeficietes de regresió para varios tipos de regresió so los siguietes: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 22

Resumimos los resultados obteidos e la siguiete tabla: Tipo de curva COEFICIENTE DE CORRELACIÓN Potecial 0.98788553 Expoecial 0.98783476 Logarítmica 0.99129492 Lieal 0.99127019 Los cuatro tipos de curvas da ua buea correlació. El hecho de que r sea positiva idica que la relació etre x e y es directa. Cuado x crece, y crece. El valor de r para todas las curvas es cercao a 1; si embargo, el mejor ajuste es aparetemete la curva logarítmica. El modelo logarítmico es: 59682.713 + 7870.94425 l x. El gráfico de la curva logarítmica superpuesto e el diagrama de dispersió es el siguiete: c) Usamos el modelo logarítmico para determiar el ivel del IPC e 2006. Obteemos aproximadamete 167.1435873. Observacioes: Los cálculos y gráficos de regresió obteidos e el Editor de Hoja de cálculo se puede obteer tambié e el Editor STAT usado los mismos comados. Además, cuado trabajamos fuera de ua hoja de e activity, es posible usar el modelo fucioal para hacer cálculos a través de los editores GRAPH, TABLE y RUN. Para hacer esto, la fució debe copiarse primero e el Editor de Gráficos. Por ejemplo, e el apartado (c) del problema aterior, calculamos el valor de y para x=2006 e el Editor RUN, de la siguiete forma: Trabajado e el Editor GRAPH o RUN podemos o sólo hayar la y, sio tambié la x. Por ejemplo, supogamos que queremos determiar aproximadamete e qué año el IPC será 180. Usado el Editor RUN, la respuesta es el año 2009: E el Editor GRAPH obteemos ua respuesta similar usado ua vetaa apropiada: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 23

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CON LA FX 9860G SLIM Itroducció La palabra azar tambié puede sigificar ua cierta desviació respecto de la uiformidad. Cuado vemos u grupo de cico persoas, registramos diferecias e sus estaturas y pesos bastates fuertes. Al mismo tiempo, u grupo de cico iños es aparetemete más pequeño que u grupo de cico adultos. La distribució de estaturas de cico persoas se puede caracterizar como ua distribució de probabilidad. Vamos a estudiar a cotiuació las utilidades de la ueva calculadora FX 9860G SLIM para el aálisis de distribucioes de probabilidad. 1.- Distribucioes de probabilidad I 1. MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL Recoge iformació sobre las estaturas de los compañeros de tu clase. Crea 10 grupos de estaturas, cada uo de 5 cm de achura, cetrados e la media (por ejemplo, si la media es 170 cm, los grupos va desde meos de 150 hasta más de 190 ). Para cada grupo, cueta el úmero de persoas que tiee esa estatura. Escribe los resultados e ua tabla de hoja de cálculo (tambié llamada tabla de frecuecias, que muestra las frecuecias de los estudiates que tiee la misma estatura). Represeta gráficamete los resultados. La forma real del gráfico depede de las persoas que hay e cada clase, pero, e geeral, los valores cercaos a la media so los más frecuetes y los valores alejados de la media tiee u carácter más excepcioal. Por tato, el gráfico obteido puede ser diferete al siguiete, pero tedrá ua forma bastate similar: los resultados más frecuetes e el cetro y los meos frecuetes e los extremos. Fija el rago de las celdas de tu gráfico (graph1) de forma que sea similar al aterior. Depediedo de las medidas reales de tu clase, los valores de Y mi e Y max será diferetes. La forma ideal de la distribució de u cojuto de datos está expresada por ua fució llamada distribució ormal. Pulsa [DIST] y después [NORM]. De uevo pulsa [Npd] para la distribució de probabilidad ormal. La patalla muestra ahora el sigificado de cada ítem. La variable x represeta los datos, σ la desviació típica, µ la media. Mueve el cursor hacia abajo para seleccioar Execute y pulsa [DRAW]. Para σ =1 y µ = 0, el gráfico de la fució es el siguiete: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 24

Cambiado σ y µ resulta diferetes formas de la fució de distribució ormal. Su fórmula es: 2 ( x µ ) 2 2 1 σ f ( x) = e 2πσ Observa que la curva es simétrica respecto de la media µ. Como represeta ua distribució de probabilidad, la media y valores cercaos so más probables. Los valores más alejados de la media so meos probables. Esto se correspode co la experiecia: los valores extremos so más raros. ACTIVIDADES 1) Calcula la desviació típica σ y la media µ para los datos de tu clase. Dibuja el gráfico co ua cofiguracio apropiada para tus valores, usado la herramieta STAT. 2) Cambia el valor de µ. Qué efectos tiee los cambios? 3) De la misma forma, cambia el valor de σ. Qué efectos tiee los cambios? Solucioes a. Seleccioa STAT de la patalla de meús. Después pulsa F5, después F1 y de uevo F1. Asiga tus valores para la media y desviació típica. Mueve el cursor para ejecutar y después seleccioa F6 (DRAW). No olvides cofigurar las dimesioes de la patalla co los valores apropiados usado V- Widow. E geeral, el itervalo de valores de x será simétrico etoro a la media µ. Los valores recomedados de x está e el itervalo (µ 3σ, µ + 3σ). b. Cada cambio de µ mueve los valores más probables hacia la izquierda o hacia la derecha, de forma que la media siempre se matiee como el valor más probable. c. El crecimieto de σ icremeta el itervalo de valores probables y la curva se vuelve aplastada. El decrecimieto de σ hace que la curva se haga más estrecha, porque el itervalo de valores co alta probabilidad se ecoge. 2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON La distribució ormal o es la úica. Hay otra muy frecuete que es la distribució de Poisso. Por ejemplo, el úmero de iños e las familias sigue esta distribució. Iteta llamar a todas las familias que cooces, averigua si tiee iños o o y forma ua tabla co los datos. Dibuja u diagrama de dispersió co los datos. Las figuras reales varía segú países (y segú regioes), pero siempre aparece ua forma similar. La curva crece cerca de la media porque las familias co u úmero de iños medio so más frecuetes. E la figura, las familias co 1-2 iños so más frecuetes. Después la curva cae costatemete. La probabilidad de valores muy altos es muy pequeña, pero uca cero. (Algua vez se ha publicado oticias de familias co 18 o 23 iños) CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 25

La fució de la distribució de Poisso se expresa por la fórmula: x µ µ e P( x) = x! dode x es el cojuto de úmeros aturales (0, 1, 2, 3, ) y µ es la media (u úmero o egativo, posiblemete co ua cierta catidad de decimales). La gráfica para µ=1.5 es la siguiete: Las diferetes distribucioes de probabilidad de Poisso depede del valor de su media µ. Para ver esta ifluecia iicia la aplicació STAT e la patalla de meús. E la columa List1 itroduce los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, que so los posibles hijos de las familias. Pulsa [DIST] [POISN] [Ppd]. E la siguiete patalla, e la líea µ itroduce el valor 1,5. Mueve el cursor hasta la líea Execute y pulsa [F1] (CALC). Aparece ua patalla e la que se idica que si la media fuera µ=1.5, etoces la probabilidad de que ua familia tega 1 iño es 0.3346 (aproximadamete 1/3); la probabilidad de que ua familia tega 3 iños es 0.1255 (aproximadamete 1/8). Pulsa [EXIT] y e la patalla de la distribució de Poisso, cambia el valor de µ por 2 y activa la opció Execute moviedo el cursor y presioado [F1] (CALC). La columa que aparece recalcula las probabilidades. Para dibujar el gráfico, copia la ueva lista de probabilidades a la List2 de la vetaa STAT. Después, pulsa [GRPH] [SEL] [DRAW]. El uevo gráfico aparece e patalla. ACTIVIDADES 1) Cambia el valor de la media µ a 1.5, 2.3, 3, 4, 5. Dibuja los gráficos correspodietes. Qué coclusioes puedes hacer acerca de la distribució de probabilidad de Poisso? 2) Preguta a tus compañeros de clase sobre el úmero de coches e sus familias. Haz ua tabla de frecuecias para igú coche, u coche, dos coches, etc. Dibuja u diagrama de dispersió usado la tabla de la hoja de cálculo. Cuál es vuestra estimació de la media de coches por familia? 3) Vigila durate ua hora u semáforo cercao. Cueta el úmero de coches lo cruza e verde e ua direcció particular. Registra los datos e ua tabla. Después de dejar el cruce, calcula las frecuecias para cada úmero de coches que ha pasado (0, 1, 2, 3,...). Dibuja u diagrama de dispersió usado ua hoja de cálculo. Qué puedes decir sobre la distribució de probabilidad? CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 26

Solucioes 1) Co el crecimieto de la media, la probabilidad de que ocurra úmeros altos crece (co el máximo cerca de la media). E geeral, coforme la curva que coecta los putos del diagrama de dispersió se hace cada vez más achatada, su pico se hace más y más bajo. 3) Co tus resultados, podemos estimar el úmero de coches que atraviesa el cruce a la misma hora el dia siguiete. 2.- Distribucioes de probabilidad II 1. MEDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL Ua agecia de cosumidores pregutó a 2750 familias que vivía e ua pequeña població sobre el úmero de aparatos de televisió que poseía. La siguiete tabla muestra la distribució de frecuecias de los datos recogidos por la agecia. Número de aparatos de TV propios 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de familias 120 970 730 410 270 150 75 25 a. Costruye ua tabla de distribució de probabilidad para el úmero de aparatos de TV propios de estas familias. b. Haz ua represetació gráfica de la distribució de probabilidad. c. Si x represeta el úmero de aparatos de TV propios para ua familia seleccioada al azar etre las de la població, halla las siguietes probabilidades: 1. P(x=1) 2. P(x>2) 3. P(x 1) 4. P(1 x 3) d. Calcula la media y la desviació típica para la distribució de probabilidad. Solució: a) Abrimos el Editor de Hoja de cálculo. Sea x el úmero de aparatos de TV propios de ua familia seleccioada al azar etre las de esta població. Itroducimos los valores de x e la columa A y el úmero de familias (que es la frecuecia de cada grupo de televisioes) e la columa B, tal como sigue: Primero covertimos las frecuecias de la columa B e frecuecias relativas y las guardamos e la columa C. Dividimos cada celda de la columa B por 1750, el úmero total de familias que participa e el estudio. Itroducimos [= $B1 2750] y situamos el cursor e la tercera columa primera fila, es decir e la celda C1. El resultado correspodiete aparece e la posició idicada y la fórmula itroducida tambié aparece (e la parte iferior derecha de la patalla). Copiamos esta fórmula a las sucesivas filas de la tercera columa. Haciedo esto obteemos las frecuecias relativas correspodietes a todas las etradas de la columa B: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 27

Costruyedo la distribució de probabilidad co el Editor de Hoja de cálculo, descubrimos, exploramos y verificamos fácilmete las características de la distribució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta. Por ejemplo, las frecuecias relativas o probabilidades aproximadas obteidas de la muestra está compredidas etre 0 y 1. Así mismo, la suma de las probabilidades asigadas a todos los posibles valores es igual a 1. La suma de celdas e la hoja de cálculo se puede obteer usado el comado [= Cel Sum]. Las referecias de las celdas a sumar (cosistetes e la letra de la columa y el úmero de la fila) debe especificarse. E la patalla de la derecha de la figura aterior vemos que la suma de las probabilidades de ua distribució de probabilidad es igual a 1. b) La distribució de probabilidad de ua variable aleatoria discreta se puede represetar gráficamete usado u histograma. Para dibujar el histograma a partir de los datos, accedemos al meú GRPH. Asigamos a los datos el primer gráfico, GPH1. Especificamos las columas que represeta los valores de x y las frecuecias relativas, después seleccioamos histograma [Hist] como el tipo de gráfico: El histograma se muestra e patalla. Usamos ua achura de 1 para cada barra del gráfico. c) 1. P(x=1) La probabilidad de que ua familia tega exactamete u aparato de televisió se puede obteer directamete de la hoja de cálculo. Esto tambié se puede obteer recorriedo el histograma mediate [Trace]. E el histograma podemos ver que hay más familias que tiee u sólo aparato de TV. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 28

2. P(x>2) La probabilidad de que ua familia tega más de dos aparatos de TV se obtiee sumado las probabilidades de que tega tres, cuatro, cico, seis y siete aparatos de televisió. Así, P(x>2) = P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) + P(x=7) Usado la calculadora, sumamos las filas 4 a 8 de la columa C de la hoja de cálculo, de acuerdo co la fórmula: P(x=3) + P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) + P(x=7). Guardamos la suma e ua posició libre de la hoja de cálculo: El resultado es P(x>2) = 0.3381. 3. P(x 1) La probabilidd de que ua familia tega meos de u aparato de televisió se calcula así: P(x 1) = P(x=0) + P(x= 1). Usado la calculadora, sumamos las filas 1 y 2 de la columa C de la hoja de cálculo, de acuerdo co la fórmula P(x=0) + P(x=1). El resultado es P(x 1) = 0.3963. 4. P(1 x 3) La probabilidad de que ua familia tega etre uo y tres aparatos de TV se obtiee sumado las probabilidades de que tega uo, dos y tres aparatos. P(1 x 3) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) Sumamos las filas 2, 3 y 4 de la columa C de la hoja de cálculo, de acuerdo co la fórmula P(x=1) + P(x=2) + P(x=3): El resultado obteido es P(1 x 3) = 0.7672. d) Los cálculos 1Var se puede usar para determiar algua iformació sobre la distribució de probabilidad. Pulsamos [CALC 1Var] después de ajustar las preferecias de cálculo (patalla de la izquierda e la siguiete figura). El úmero medio de televisioes por familia es 2,2 aproximadamete. Este tambié es el valor esperado de x, es decir E(x) = 2.2. La desviació típica es 1.47. Observacioes: E el estudio de distribucioes de frecuecia, es de gra ayuda obteer la distribució de probabilidades acumuladas. Veamos u ejemplo e el Editor de Hoja de cálculo. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 29

Primero copiamos la primera etrada de la columa de las frecuecias relativas, e este caso C1, e la primera fila de la cuarta columa, D1, e la cual almaceamos las frecuecias acumuladas relativas. Usado [= GRAB] itroducimos la fórmula de la suma para la primera y seguda frecuecias relativas, D1 + C2 y almaceamos el resultado e D2: Repetimos esta fórmula a lo largo de la cuarta columa, co los comados Copiar y Pegar. E la tercera fila de la cuarta columa, teemos la suma de la primera y tercera frecuecias relativas, D2+C3; e la cuarta fila, D3+C4 y así sucesivamete. E la última etrada teemos que la suma de todas las frecuecias relativas es igual a 1. El gráfico de la distribució de probabilidad acumulada es como sigue: Podemos respoder la preguta del ítem c del apartado 3, P(x 1) = 0.3963636364 usado la opció [Trace] para recorrer el gráfico de la distribució de probabilidad acumulada: Observació: Después de itroducir los datos, podemos guardar toda la iformació e el meú de hoja de cálculo. Llamamos al archivo TVSETS. De la misma forma, llamamos al archivo de la siguiete actividad Machies. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 30

ACTIVIDAD Deportes Elmo vede máquias de ejercicio. E días diferetes, vede diferetes catidades de estas máquias. La tabla que sigue recoge la iformació del úmero de máquias vedidas por día y las probabilidades correspodietes. Máquias vedidas por dia 4 5 6 7 8 9 10 Probabilidad 0.08 0.11 0.14 0.19 0.20 0.16 0.12 a. Haz ua represetació gráfica de la distribució de probabilidad. b. Determia la probabilidad de que el úmero de máquias vedidas por día sea 1. exactamete 6 2. meor que 7 3. etre 5 y 8 4. a lo sumo 6 c. Calcula la media y desviació típica de la distribució de probabilidad Solució: a) Sea x el úmero de máquias vedidas por día. Abrimos el Editor de Hoja de cálculo e itroducimos los valores de x e la primera columa y las probabilidades e la seguda columa. b) El histograma es el siguiete: La cofiguració utilizada es la siguiete: c) 1. La probabilidad de que el úmero de máquias de ejercicio vedidas por dia sea exactamete 6 es 0.14. Este valor se puede obteer directamete de la hoja de cálculo. El valor tambié aparece cuado recorremos el histograma mediate la opció [Trace]. CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 31

2. La probabilidad de que el úmero de máquias de ejercicio vedidas por día sea meor que 7 viee dada por ya que P(x=3) = P(x=2) = P(x=1)= 0. P(x<7) = P(x=6) + P(x=5) + P(x=4) = 0.33, Como se ve e la patalla aterior, sumamos desde la primera hasta la tercera filas de la columa B. 3. La probabilidad de que el úmero de máquias de ejercicio vedidas por día esté etre 5 y 8 viee dada por P(5 x 8) = P(x=5) + P(x=6) + P(x=7)+ P(x=8) El resultado se obtiee sumado desde la seguda fila hasta la quita fila de la columa B. 4. La probabilidad de que el úmero de máquias vedidas por día sea como mucho 6 se obtiee a través de la fórmula P(x 6) = P(x=4) + P(x=5) + P(x=6) = 0.33 que se ha calculado e el apartado (2). c) La media y desviació típica se obtiee de la patalla 1VAR como se muestra a cotiuació: La media es 7.28 y la desviació típica es 1.77245592. Observacioes: Los cálculos estadísticos y gráficos relativos a las distribucioes de probabilidad obteidas e el Editor de Hoja de cálculo tambié se puede obteer e el Editor STAT usado los mismos pasos, auque hay alguos cambios e los comados: Los valores de x se almacea e la List1 y las frecuecias e la List2. Cosidera por ejemplo, la actividad iicial (aparatos de televisió). Los datos se itroduce así: Las frecuecias se covierte e frecuecias relativas y se almacea e la List3, usado el comado: CEFIRE DE GODELLA / CASIO Pág. 32