Problema 1 PROBLEMAS DE PROBABILIDADES Y ESTADÍSTICA Hoja 2 Una población de 20 animales insectívoros se introduce en una zona donde el 14% de los insectos que le sirven de alimento son venenosos. Cada animal devora al día 5 insectos. Calcular la probabilidad de que al cabo de una semana sobrevivan como mínimo la mitad de la población, suponiendo independencia. Definimos la variable aleatoria X nº de insectos que sobreviven en una semana. X β(20, p) Donde p representa la probabilidad de sobrevivir un insecto cualquiera durante una semana. Calculemos la probabilidad p mediante teoría de conjuntos. En primer lugar definimos el suceso D i como sobrevivir el dia i-ésimo p=p[d 1 D 2. D 7 ]=P(D) 7, siendo P(D) la probabilidad de sobrevivir un dia cualquiera. Calculemos la probabilidad P(D). Para ello definimos el suceso I j como el insecto j- ésimo no es venenoso. Se define D=I 1... I 5. Por tanto P(D)=P(I 1... I 5 )= P(I) 5, siendo P(I) la probabilidad de que un insecto cualquiera no sea venenoso; es decir, 0.86. Entonces P(D)=0.86 5 = 0.47 y p=0.47 7 =0.005 Por tanto, X β(20, 0.005). Es decir, P[X 10] 0 Problema 2 La experiencia en un hospital de maternidad muestra que el 51% de los recién nacidos son niños. Si en una determinada semana hay 20 partos simples, calcular la probabilidad de que: (a) Haya igual número de niños que de niñas. (b) El número de niños sea menor que el de niñas. (c) Haya al menos 8 niños. (d) No haya más de 12 niñas. (e) Si los 5 primeros recién nacidos son niños, calcular la probabilidad conjunta de que en total haya igual número de niños que de niñas.
Definimos la variable aleatoria X nº de niños en los 20 partos. X β(20,0.51) (a) P[X=10] = 20 10 0.5110 0.49 10 = 0.175494 (b) P[X<10] = P[X=0] +.+ P[X=9] = 0.377 (c) P[X 8] = 0.886681 (d) P[X 8] = 0.886681 (e) Definimos una nueva variable para describir la situación en los 15 partos en los que hay incertidumbre. Sea Y nº de niños en los 15 partos siguientes. Nos piden P[Y=5]= 0.08267 Y β(15,0.51) Problema 3 Seis personas se dedican a desvalijar casas en Alcorcón. Estiman que en esta época del año el 65% de las casas están vacías, facilitando sus operaciones. Si cada uno se encarga de subir a una casa cada día, (a) Cuál es la probabilidad de que en la operación de mañana Martes al menos la mitad de ellos no sean descubiertos por los dueños de la casas? (b) Si en cada casa roban por valor de 400, cuánto se espera que obtenga el grupo mañana? (c) Si realizan cada día este tipo de operación, cuál es la probabilidad de que no descubran a ninguno hasta el Domingo? Sea p probabilidad de casa vacía probabilidad de no ser descubierto uno de ellos un día cualquiera = 0.65 (a) Definimos la variable aleatoria X nº de ladrones no descubiertos en un día. X β(6,0.65)
Nos piden P[X 3] = 0.8825 (b) Definimos Y ganancia del grupo un día cualquiera = 400 X Nos piden E[X] = E[400 X]= 400 E[X]= 400 x 6 x 0.65 = 1560 (c) Sea D i el suceso el ladrón i no es descubierto un día cualquiera P(D i ) = p = 0.65 El suceso S no ser descubierto ninguno un día cualquiera está definido por la intersección de sucesos independientes D 1 D 2... D 6. Luego la probabilidad P(S) = P(D 1 D 2... D 6 )= p 6 = 0.65 6 = 0.07542 Luego la probabilidad de descubrir al menos uno de ellos un día cualquiera es 1-p 6 = 0.9246 Sea la variable aleatoria ordinal Z día en el que se descubre al menos alguno de ellos Rango Z = {1º, 2º, 3º,...} Z sigue una geométrica de parámetro 0.9246: Z Ge (0.9246) El domingo es el 6º día del desde el lunes que es el presente. Nos piden P[Z = 6]= 0.0754 5 x 0.9246 = 0.0000023 Problema 4 Cuando se importan figuras de porcelana china vienen en lotes de 400 figuras, realizándose el siguiente control de calidad: se rechaza el lote sólo en caso de encontrar más de una figura defectuosa, entre 10 de ellas tomadas al azar del lote. La calidad que garantiza China es un 9 por mil de defectuosas. Calcular: (a) Probabilidad de aceptar un lote con 12 defectuosas. (b) Probabilidad de rechazar un lote que debería ser aceptado al tener sólo un 9 por mil de defectuosas. (c) Cuántas figuras no defectuosas se espera que haya en un lote como el del apartado anterior?
Definamos dos tipos de lote L 1 lote con 12 defectuosas En este caso concreto, la probabilidad de ser defectuosa es 12/400 = 0.03 (información conseguida del tipo de lote) L 2 lote que cumple la garantía de calidad (9 de cada mil son defectuosas) En este caso general, la probabilidad de ser defectuosa es 9/1000=0.009 (información obtenida del fabricante) (a) Definamos la v.a. discreta X 1 nº de defectuosas en una muestra de 10 piezas aleatorias de un lote de tipo L 1 X 1 β(10,0.03) La probabilidad de aceptar el lote se define por P[X 1 1] 10 P[X 1 1] = P[X 1 = 0]+ P[X 1 = 1] = 0.03 0 x 0.97 10 10 + 0.03 1 x 0.97 9 = 0 1 0.9655 (b) Definamos la v.a. discreta X 2 nº de defectuosas en una muestra de 10 piezas aleatorias de un lote de tipo L 2 X 2 β(10,0.009) La probabilidad de rechazar el lote L 2 se define por P[X 2 1] 10 P[X 2 1] = 1 - P[X 2 = 0]- P[X 2 = 1] = 1-0.009 0 x 0.991 10-0 10-0.009 1 x 0.991 9 = 0.00347 1 (c) Definamos la v.a. discreta Y nº de figuras no defectuosas en un lote L 2 Y β(400,0.991) Nos piden E[Y] = 400 x 0.991 = 396.4
Es decir, en un lote de tipo L2 se esperan entre 396 y 397 figuras no defectuosas. Problema 5 La probabilidad de que un satélite, después de colocarlo en órbita, funcione adecuadamente es 0.9. Supóngase que cinco de estos se colocan en órbita y operan de manera independiente. (a) Cuál es la probabilidad de que, al menos, el 80% funcione adecuadamente? (b) Cuál es la probabilidad de que el primero que funcione sea el tercero que se lance? (c) Si la probabilidad de que un meteorito alcance a un satélite en un día es 0.0001, cuál es el número esperado de días que estaría un satélite cualquiera sin ser alcanzado por un meteorito? (d) Si la ganancia por cada satélite puesto en órbita es de 10 millones de euros y la pérdida por cada uno que no funciona es de 5 millones, cuál es la ganancia esperada al lanzar los 5 satélites? Definamos la variable aleatoria X nº de satélites, de los 5 lanzados, que funcionan. X β(5,0.9) (a) Nos piden la probabilidad de que funcionen 4; es decir, P[X 4] 5 P[X 4] = P[X = 4]+ P[X = 5] = 0.9 4 x 0.1 10 5 + 0.9 5 x 0.1 0 = 0.9185 4 5 (b) Definamos la variable aleatoria Y nº de lanzamientos hasta realizados hasta el primer satélite que funciona Rango Y = {1º, 2º, 3º,...} Y sigue una geométrica de parámetro 0.9 : Y Ge (0.9) Nos piden P[Y = 3]= 0.1 2 x 0.9 = 0.009 (c) Definamos la variable aleatoria Z nº de días que está el satélite en órbita sin ser alcanzado por un meteorito Rango Z = {0, 1, 2, 3,...} Z sigue una geométrica generalizada de parámetro 0.0001: Z βn (1,0.0001) E[Z] = q/p = 0.9999/0.0001 = 9999 días (d) Definamos la variable aleatoria W ganancia en millones de euros
Se verifica que W = 10X 5(5 X) = 15X 25 Nos piden E[W] = E[15X 25] = 15 E[X] 25 = 42.5 millones de Problema 6 Una banda de diez presos se ha escapado de la cárcel y quiere salir del país. Tras falsificar diez mil euros en billetes de 50 euros, y repartírselos en partes iguales, pretenden cambiar cada billete por 5 de 10 euros verdaderos, a lo largo de distintos días hasta lograr cambiarlos todos. Deciden que cada uno cambie dos billetes cada día. La probabilidad de que descubran que un billete es falso es 0.1, en cuyo caso el preso descubierto iría a la cárcel. (a) Calcular la probabilidad de que al cabo de tres días sigan libres al menos 9 miembros de la banda. (b) Cuál es el número de días que un preso cualquiera espera estar libre? (c) Con qué probabilidad podrán fugarse todos del país? Existen 200 billetes de 50 y 10 presos. Luego el reparto será de 20 billetes por cada preso. (a) Definamos la variable aleatoria X nº de hombres libres al cabo de 3 días. X β(10, p) Sea D i el suceso un ladrón no es descubierto el día i el ladrón cambia dos billetes sin ser descubierto. P(D i ) = 0.9 2 =0.81 p probabilidad de no ser descubierto en 3 días P(D 1 D 2 D 3 )= (0.9 2 ) 3 =0.81 3 = 0.531 Nos piden P[X 9] = P[X = 9] + P[X = 10] = 0.0176 (b) Sea la variable aleatoria ordinal Y día en el que se descubre a un ladrón concreto X βn (1, 0.19) q 0. 81 E[Y] = = = 4.26. Es decir, se esperan que estén libres entre 4 y 5 días. p 0. 19
(c) Probabilidad de fugarse un preso cualquiera probabilidad de estar libre durante 10 días = P(D 1 D 2... D 10 )= 0.81 10 La probabilidad de fugarse 10 presos será (0.81 10 ) 10 = 7,0550791E-10 Problema 7 Un comerciante tiene seis televisores que alquila por semanas. Se sabe que la demanda semanal de alquiler X sigue una distribución de Poisson de parámetro 4. Calcular la probabilidad de que: (a) Al menos dos aparatos queden sin alquilar. (b) La demanda sea superior a la oferta. (c) Exactamente en dos de cuatro semanas quede exactamente un televisor sin alquilar. (d) El comerciante está pensando en comprar un televisor más que cuesta 700 euros. Sabiendo que alquila los televisores a 10 euros cada uno a la semana, amortizará el precio de la compra en cinco años? (Suponer que un año tiene 52 semanas). Sabemos que la v.a X (4). 1 4 4 4 4 (a) Nos piden P[X 4] = P[X = 0] + P[X = 1] +...+ P[X = 4] = e (1 + +... + ) = 1! 4! 0.6288 (b) Nos piden P[X > 6] = 1 P[X 6] = 0.11067 (c) Definamos la variable aleatoria Y nº de semanas, de las 4, que queda un TV sin alquilar. Y β(4, p) p probabilidad de no alquilar 1TV probabilidad de alquilar exactamente 5 TV = P[X = 5] = 0.1562 Nos piden P[Y = 2] = 0.10423
(d) Utilizamos la siguiente conversión de unidades de tiempo. 5 años 260 semanas Definamos la variable aleatoria Z nº de semanas, de las 260, en las que se alquila el 7º TV Z β(260, P[X 7] ) β(260, 0.11 ) Definamos, ahora, la variable aleatoria W ganancia obtenida en 5 años con el alquiler del 7º TV = 10 X Para dar solución al problema de decisión de comprar o no el 7º TV, utilizaremos la esperanza matemática de la v.a W. E[W] = E[10 X] = 10 E[X] = 286 < 700 (precio de compra). Luego, no amortizará la compra de un nuevo TV en 5 años. Problema 8 Una empresa fabrica en masa disquetes y se sabe que, en promedio, solo un 1.5% de los producidos son defectuosos. Los disquetes fabricados se empaquetan en lotes de 200 unidades que se envían a los comerciantes. En función de un acuerdo existente, el comerciante asume el riesgo de recibir a lo sumo dos disquetes defectuosos en cada lote. Si un lote contiene más de 2 disquetes defectuosos pero no más de 5, el fabricante pagará 0.15 euros al comerciante. Por cada lote que contenga más de 5 defectuosos el pago será de 0.25 euros. Determinar: (a) La probabilidad de que entre tres lotes tomados al azar de los recibidos por el comerciante, éste reciba además exactamente 0.40 euros. (b) Pago esperado por lote elegido aleatoriamente. Denotaremos por L 1 al lote que tenga, a lo sumo, dos disquetes defectuosos; por L 2 al lote que tenga entre 3 y 5 defectuosos; y por L 3 al que tenga más de 5 defectuosos. Sea X nº de disquetes defectuosos en un lote (200 unidades)
X β(200, 0.015) (3) puesto que np=3>1 y p<0.1 (a) Para conseguir 0.40 con tres lotes se necesitan uno de tipo L 1, otro L 2 y otro L 3. Las probabilidades de obtener lotes de estos tipos son P[L 1 ] = P[X 2] = 0.423 P[L 2 ] = P[2<X 5] = P[3<X 5] = 0.4931 P[L 3 ] = P[X>5] = 0.0834 Existen 3! formas de obtener esos tres lotes en un muestreo al azar, por tanto si definimos el suceso S como S obtener 0.40 con tres lotes elegidos al azar tenemos que P(S) = 3! P[X 2] P[2<X 5] P[X>5] = 0.1040 (b) Definimos la variable discreta Y pago recibido por un lote elegido al azar 0 si X 2 Y 0.15 si 2< X 5 0.25 si X > 5 Nos piden E[Y]= 0 x P[X 2]+ 0.15 x P[2<X 5] + 0.25 x P[X >5] 0.09 Problema 9 Un vivero prepara pedidos de la planta Actinida (kiwi). Se necesita planta macho y planta hembra para la fructificación. El vivero estima que el 6% de las plantas son machos. Si se realiza un pedido de 100 plantas, (a) Cuál es la probabilidad de que no se consiga la fructificación?
(b) Cuál es el número esperado de plantas macho? (c) Si para asegurar la fructificación de todas las plantas hembra se necesita que al menos el 10% de las plantas sean machos, cuál es la probabilidad de que fructifiquen todas las plantas hembras? Definimos la variable discreta X nº de plantas macho en las 100 observadas X β(100, 0.06) N (6, 2.37), ya que npq=5.61>5 (a) P[X=0] = 0.0025 (b) E[X] = 100 x 0.006 = 6 (c) P[X 10]= 1 P[X<10] = 0.084 Problema 10 Un fabricante produce discos que son controlados antes de dejar la planta de producción para detectar posibles fallos. Un disco sin defectos se clasifica como de grado A, con uno a tres defectos de grado B y los restantes de grado C. Se sabe por experiencia que el número de defectos por disco sigue una distribución de Poisson de media 2.4. (a) Determinar la probabilidad de que un disco seleccionado al azar se clasifique como disco de grado B o C. (b) Obtener la probabilidad de que un disco seleccionado al azar que se sabe que tiene al menos un defecto, se clasifique como de grado B. Si los precios de venta al detalle de discos de grado A son 0.35 euros, de grado B 0.30 euros y de grado C 0.25 euros. (c) Determinar el precio medio de un disco tomado al azar. (d) Determinar el precio medio de un disco si se sabe que tiene al menos un defecto. Se sabe que la variable aleatoria discreta X nº de defectos por disco (2.4) Los discos de diferentes grados pueden describirse mediante dicha variable y esto permite realizar la siguiente identificación de sucesos:
A Ser de grado A {X = 0} B Ser de grado B {1 X 3} C Ser de grado C {X > 3} (a) Nos piden P (B C) = P[X 1] = 1 P[X = 0] = 0.91 (b) Nos piden P[ B B C ] = [ X 3] = P[ X 1] 909 P 1 0.688 0. = 0.7566 (c) Definimos la variable discreta Z precio del disco 0.35 si X = 0 Z 0.30 si 1 X 3 0.25 si X > 3 Nos piden E[Z] = 0.35 x P[X=0] + 0.30 x P[1 X 3] +0.25 x P[X > 3] = 0.2884 (d) Nos piden E[Z X 1] = 0.35 x P[X=0 X 1] + 0.30 x P[1 X 3 X 1] + +0.25 x P[X > 3 X 1] 0.288 Problema 11 En una empresa cuya plantilla está constituida por 1500 personas se ha observado durante un periodo de tiempo que hay una probabilidad del 0:002 de que un trabajador falte cualquier día al trabajo. Suponiendo que el absentismo de los trabajadores es estadísticamente independiente, y que no más de tres trabajadores faltan en cualquier día del año, determinar la tasa promedio de absentismo. Definimos la variable discreta X nº de trabajadores que faltan un día cualquiera del año X β(1500, 0.002) (3) pues np>1 p<0.1
La información adicional que proporciona el enunciado (X 3) hace que nuestra variable aleatoria de interés sea Por tanto el valor que nos piden es X X 3 E[X X 3] = 0 x P[X=0 X 3] +1 x P[X=1 X 3] +2 x P[X=2 X 3] + +3 x P[X=3 X 3] En donde P[X=0 X 3]= [ = 0] = [ 3] 6472 0.0498 0. = 0.08 P[X=1 X 3]= [ = 1] 0.1494 = [ 3] 0. 6472 = 0.22 P[X=2 X 3]= [ = 2] 0.2240 = [ 3] 0. 6472 = 0.35 P[X=3 X 3]= [ = 3] 0.2240 = [ X 3] 0. 6472 P = 0.35 Por tanto E[X X 3] = 1.97. El absentismo laboral es de unos 2 trabajadores Problema 12 El número medio de convocatorias necesarias para que un individuo apruebe una asignatura es de dos, con una desviación típica de 0.5. Qué probabilidad mínima tendrá una persona de usar para aprobar entre una y tres convocatorias?
Consideremos la variable aleatoria X nº de convocatorias que se necesitan para aprobar la asignatura un individuo cualquiera No hay información suficiente como para asignarle una ley de incertidumbre. Simplemente conocemos que E[X] = 2 y que Var[X]= 0.5 2 Aplicando la desigualdad de Chebychev sabemos que Planteando la igualdad P ( E[ X] Kσ X E[ X] + Kσ) > 1 2 1 K [ X] Kσ X E[ X] ( E + Kσ) (1, 3) tenemos que el valor de K=2. Por tanto la probabilidad mínima es de 0.75