Tema: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Tema: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1. Las siguientes ecuaciones tienen alguna solución entera. Intenta encontrarlas tanteando. Qué tipo de ecuación es cada una?. a) x + 6 = b) x x = 0 c) x x = 1 1 d) + = 1 e) x = f) x = 8 x. Resuelve las ecuaciones polinómicas de primer grado: a) x + 6 = b) x + 6 = ( x + 1) + x c) x + 6 = ( x + ) + x. Resuelve la ecuación Sol: x = ( x ) x + 5 x + = x 5. Resuelve las ecuaciones polinómicas de segundo grado: a) 10x x = 0 b) x 0x + 100 = 0 c) x + 5x + 11 = 0 5. Resuelve las ecuaciones x( x ) x + 1 x x 1 x x a) = b) x x + + = 0 6 10 Sol: a) x = 0 x = b) No hay solución. 6. Resuelve la ecuación polinómica de tercer grado: 6x + 15 = 7x + 1x Sol: x = 1 5, x =, x = x x 1 7. Resuelve la ecuación x ( x x + 1) + 1 = x Sol: x = 0 9 65 9 + 65, x =, x = 8. Resuelve las ecuaciones: a) ( + 1)( x x + ) = 0 Sol: a) x =, x = b) x = 1 5 5 +, x =, x = c) x = 0 7 17, x =, 9. Resuelve las ecuaciones polinómicas: a) x = x + b) x 6 = x + Sol: a) x =, x = b) x =, x = 10. Resuelve las ecuaciones polinómicas sencillas: a) x 6 = 0 b) x + 16 = 0 c) x 8 = 0 d) x + 8 = 0 e) 5 5 = x + x 0 f) x = x g) ( x ) = 16 x b) ( x + 1)( x x + ) = c) ( x + 1)( x x + ) = 11. Resuelve la ecuación racional: x 1 = x x x x + Sol: x = 1 7 + 17 x =

1. Resuelve la ecuación racional: 5 5 x x = 1 + x x + 1 x + 1 Sol: x = 1 1. Resuelve las ecuaciones irracionales: a) x + 1 = 5 b) x + 7 x = c) 18 x = x 9 Sol: a) 1 b) x = 6 c) x =, x =, x =, x = 1 1. Resuelve la ecuación irracional: x + 1 + x + = 5 Sol: x = 15. Resuelve las ecuaciones irracionales: x a) + x = 1 x b) = c) x = 6 + 5x x Sol: a) x = 8 1 b) x = c) x = 9 16. Resuelve la ecuación irracional: x = x Sol: x = 0, x = 1, x = + 1 17. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por reducción y sustitución e interpreta los resultados geométricamente: x + y = x + 6y = 1 x + 6y = a) b) c) x y = 10 6x + 9y = 6x + 9y = Sol: a) x = 1, y = b) No hay solución c) Todos los puntos de la recta x + y = 1 18. Resuelve el sistema de ecuaciones lineales: (x + y) (x y) = x x + y = 1 7 Sol: x =, y = 9 9 19. Resuelve los sistemas no lineales: xy = 8 x = y a) 1 b) y = x y = + x 16 Sol: a) x =, y = ; x =, y = b) c) x + y = xy y = 0 9 5 x =, y = c) x = 1, y = 1 ; x =, y = 0

0. Resuelve los sistemas no lineales: 1 1 + = 1 x + y = x y a) b) x + y = 8 7 + = x y 1 Sol: a) x =, y = 0 ; x =, y = 0 b) x =, y = 1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. x + y z = 9 x + y z = 9 x + y z = 9 a) x y + z = b) x y + z = c) x y + z = x y + 6z = x + z = 6 x y + 6z = 5 1 λ 8λ + 1 Sol: a) x = 6, y =, z = 5/ b) Incompatib le c) x =, y =, z = λ. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss. Interpreta los resultados geométricamente. x + y = 1 x + y = 1 x + y + z = 1 x y = a) x + y = 0 b) x + y = 0 c) d) x + y = 1 x + y + z = 0 x + y = 5x + y = 10 1 λ Sol: a) x =, y = b) Incompatib le c) x =, y =, z = λ d) x =, y = 0 Problemas de ecuaciones y sistemas Conviene que repaséis el planteamiento de ecuaciones sencillas de º ESO. Ver los videos de los ejercicios del 5 al 7 del tema ecuaciones, sistemas e inecuaciones de ºESO opción B www.josejaime.com/videosdematematicas. Una empresa de alquiler de coches cobra por día y por kilómetros recorridos. Un cliente pagó 160 por días y 00 km, y otro pagó 175 por 5 días y 00 km. Averigua cuánto cobran por día y por kilómetro. Sol: La empresa cobra 0 por día y 0,5 por cada kilómetro recorrido.. Un inversor compra dos cuadros por 650. Al cabo de dos años, los vende por 1 ganando en uno de ellos un 0% y en el otro un 15%. Cuánto le costó cada cuadro? Sol: El valor de los cuadros es de 150 y de 110. 5. Un joyero tiene dos lingotes de oro, uno con un 80% de pureza y otro con un 95%. Cuánto debe fundir de cada uno para obtener un lingote de 5 kg con un 86% de pureza? Sol: Debe fundir kg del de 80% de pureza con kg del lingote que tiene un 95% de pureza. 6. Un comerciante compra dos motocicletas por 000 y las vende por 0. Calcula cuánto pagó por cada una si en la venta de la primera ganó un 5% y en la de la segunda perdió un 10%. Sol: Por una pagó 1 800 y por la otra, 100 C. 7. Por la mezcla de 5 kg de pintura verde y kg de pintura blanca he pagado 69. Calcula el precio de un kilogramo de pintura blanca y de pintura verde sabiendo que si mezclase un kilogramo de cada una el precio de la mezcla sería 15. Sol: La pintura verde cuesta 1 el kilogramo, y la blanca, C 8. La edad actual de Rosa es el cuadrado de la de su hija y dentro de 9 años será solamente el triple. Qué edad tiene cada una? Sol: La edad de Rosa es de 6 años y la de su hja 6.

9. Halla las dimensiones de un rectángulo del que conocemos su perímetro, m, y su área, 60 m. Sol: Las dimensiones del rectángulo son 5 m y 1 m 0. Un triángulo isósceles mide cm de perímetro y la altura correspondiente al lado desigual mide 8 cm. Calcula los lados del triángulo. Sol: Los lados iguales miden 10 cm, y el lado desigual, 1 cm 1. El área total de un cilindro es Sol: Vcilindro = 160π cm 11π cm, y entre el radio y la altura suman 1 cm. Halla su volumen.. Si el lado de un cuadrado aumenta 5 cm, su área se multiplica por. Cuál era el lado inicial del cuadrado? Sol: La longitud del lado inicial es de 5 cm. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 8 cm y la hipotenusa es 1 cm menor que la suma de los dos catetos. Calcula el cateto desconocido. Sol: Los catetos miden 1 cm y 8 cm, y la hipotenusa. 5 cm. El perímetro de un triángulo rectángulo es 6 cm y un cateto mide cm menos que el otro. Halla los lados del triángulo. Sol: Los catetos miden 1 cm y 9 cm, y la hipotenusa, 15 cm 5. Una persona tarda horas más que otra en hacer el mismo trabajo. Si lo hacen entre las dos, tardan horas. Cuánto tarda cada una por separado? Ayuda: si una tarda x horas en hacer todo el trabajo, en 1 hora hace 1/x de este. Sol: Una tarda h, y otra, 6 h 6. Tenemos cuatro grifos para llenar una piscina. Si abrimos sólo el grifo A, tardará un cuarto de día en llenarla. Si abrimos sólo el grifo B, tardará medio día en llenarla. Si abrimos sólo el grifo C, tardará tres cuartos de día en llenarla y si abrimos sólo el grifo D, tardará un día en llenarla. Cuando está llena la piscina y los grifos cerrados, el desagüe tarda días en vaciar la piscina. Si tenemos en cuenta que el día tiene horas, cuántas horas tardará en llenarse la piscina si abrimos los cuatro grifos y el desagüe a la vez? Sol: horas minutos 9,79 sg 7. Un grupo de amigos alquila una furgoneta por 90 para hacer un viaje. A última hora se apuntan dos más y así se devuelven 8 a cada uno de los otros. Cuántos fueron de excursión y cuánto pagó cada uno? Sol: Son 7 amigos y cada uno paga 70. 8. Un comerciante quiere vender por 60000 los ordenadores que tiene en su almacén. Pero se le estropean dos y tiene que vender los otros 50 más caros para recaudar lo mismo. Cuántos ordenadores tenía y a qué precio los vendió? Sol: Vende 8 ordenadores a 150 cada uno. 9. Un transportista va a una ciudad que está a 00 km de distancia. Al volver, su velocidad media ha sido superior en 10 km/h a la velocidad de ida, y ha tardado una hora menos. Calcula las velocidades y los tiempos empleados a la ida y a la vuelta. Sol: A la ida va a 50 km/h y tarda 6 horas. A la vuelta va a 60 km/h y tarda 5 horas. 0. Tenemos una parcela rectangular. Si su base disminuye en 80 m y su altura aumenta en 0 m, se convierte en un cuadrado. Si disminuye en 60 m su base y su altura aumenta en 0 m, entonces su área disminuye en 00 m. Cuáles son las dimensiones de la parcela? Sol: La parcela tiene 160 m de base y 0 m de altura. 1. Halla las dimensiones de un rectángulo cuya diagonal mide 1 m, y su área, 60 m. Sol: Las dimensiones del rectángulo son 5 m y 1 m

. El lado de un rombo mide 5 cm, y su área, cm. Calcula la longitud de sus diagonales. Sol: Las diagonales del rombo miden 6 cm y 8 cm.. La suma de las dos cifras de un número es 8. Si al número se le añaden 18 unidades, el número resultante está formado por las mismas cifras en orden inverso. Cuál es ese número? Sol: El número es el 5.. Las dos cifras de un número se diferencian en una unidad. Si dividimos dicho número entre el que resulta de invertir el orden de sus cifras, el cociente es 1,. Cuál es el número? Sol: El número buscado es el 5. 5. Halla el radio y la generatriz de un cono que tiene 15 cm de altura y cuya área lateral es de16π cm. Sol: El radio del cono mide 8 cm, y la generatriz, 17 cm. 6. Subo una colina a una velocidad de km/h y pretendo que la velocidad media entre el ascenso y el descenso sea de 6 km/h. A qué velocidad debo descender? Sol: Debe descender a 1 km/h. 7. Una ambulancia recibe el aviso de un accidente de tráfico y sale del hospital A hacia el punto B a una velocidad de 60 km/h. La vuelta al hospital la hace escoltada por la policía y consigue hacerla a 100 km/h. Cuál fue la velocidad media del recorrido? Sol: La velocidad media del recorrido fue de 75 km/h. 8. En una tienda de ropa se liquidan los pantalones que han quedado sin vender en la temporada. Los hay de tres tipos: - Sin defecto, todos al mismo precio de 0 euros. - Con defecto no apreciable, con una rebaja del 0% sobre el precio de los anteriores. - Con defecto apreciable, con una rebaja del 60% sobre el precio de los que no tienen defecto. Hay 70 pantalones para vender. El precio total de todos ellos es de 180 euros, y los que tienen defecto suponen el 0% de los que no lo tienen. Cuántos pantalones hay de cada clase?. Sol: 50 sin defecto, 15 con defecto no apreciable y 5 con defecto apreciable. 9. En una clase de segundo de Bachillerato, por cada tres alumnos que estudian Tecnologías de la información, diez estudian Comunicación audiovisual, y por cada dos alumnos que estudian Tecnologías de la información, tres estudian Francés. Calcula el número de alumnos que cursan cada una de las materias mencionadas sabiendo que en la clase hay 5 alumnos y que cada uno de ellos sólo está matriculado en una de las asignaturas. Sol: 6 Tecnología, 0 Comunicación y 9 Francés. 50. Escribe la expresión de un polinomio de tercer grado P(x) de forma que: P(0) = 0, P(1) = 0, P(-1) = y P(-) = -6. Sol: P( x) = x + x x 51. En una papelería entran tres clientes: el primero compra cuatro lapiceros y seis gomas de borrar y paga 1,60 euros; el segundo compra cinco lapiceros y tres bolígrafos y paga,5 euros, y el tercero paga 1,0 euros por cinco gomas de borrar y dos bolígrafos. a) Averigua el precio de cada uno de los productos. b) Cuánto deberá pagar otro cliente por cinco lapiceros, cinco gomas de borrar y diez bolígrafos? Sol: a) lapicero: 0,5, goma borrar: 0,10, bolígrafo: 0,0. b) 5,75. 5. Una fábrica de perfumes dispone de 600 L de un producto A y de 00 L de otro producto B. Mezclando los productos A y B se obtienen diferentes perfumes. Este año se quieren preparar dos clases de perfume: el de la primera clase llevará tres partes de A y una de B, y será vendido a 50 euros el L, y el de la segunda clase llevará los productos A y B al 50% y será vendido a 60 euros el L. a) Cuántos litros de cada clase de perfume se podrán preparar?. b) Qué ingresos totales se obtendrán por la venta de la totalidad de los productos fabricados?. Sol: a) 00 L de la primera clase y 600 L de la segunda. b) 56000 5

5. En una tienda de regalos se adquiere un libro y una pulsera. La suma de los precios que marcan los dos productos es de 5 euros, pero el dependiente informa al cliente de que los libros están rebajados el 6%, y las pulseras, el 1%, por lo que en realidad debe pagar 1,0 euros. a) Qué precio marcaban el libro y la pulsera?. b) Qué precio se ha pagado finalmente por cada uno de estos dos productos?. Sol: El libro marcaba 10 y la pulsera 5. Por el libro paga 9,0 y por la pulsera. 5. Halla un número de tres cifras sabiendo que su suma es 1, que la cifra de las unidades es igual a la semisuma de las cifras de las centenas y de las decenas, y que, por último, el número que resulta al invertir las cifras del buscado es 198 unidades más pequeño que este. Sol: El número es 6. 55. Si una persona invierte el 0% de sus ahorros en acciones de tipo A y el resto en acciones de tipo B, el interés medio resultante es del,8%, mientras que si invierte el 0% de sus ahorros en acciones de tipo A y el resto en acciones de tipo B, el interés medio resultante es del,%. Calcula el interés que proporcionan las acciones de cada tipo. Sol: Las acciones del tipo A dejan el 6% de interés y las de tipo B, el %. 56. Una empresa produce aparatos de música de tres clases: potencia alta, potencia media y potencia baja. En la fabricación del producto, este pasa por tres departamentos especializados: montaje, conexión y comprobación de calidad. La siguiente tabla muestra el número de horas de trabajo que precisa cada aparato en cada uno de los departamentos, así como la disponibilidad de horas de trabajo de cada uno de ellos. Potencia alta Potencia media Potencia baja Total Montaje 00 Conexión 1 0 Comprobación 1 1 175 Comprueba si existe alguna posibilidad de fabricación que consuma todas las horas disponibles. Sol: 50 unidades de potencia alta, 5 de potencia media y 0 de potencia baja. 57. Se conocen los siguientes datos sobre cómo ha variado la población de una determinada localidad: La población al comienzo del período era de 61 habitantes, y al final, de 6. El número de nacimientos superó en un 5% al de fallecimientos. El número de emigrantes fue igual al 7,5% de inmigrantes. Coincidió el número de defunciones con el de emigrantes. Calcula el número de nacimientos, defunciones, inmigrantes y emigrantes correspondientes a ese periodo. Sol: N=15, D=1, I=, E=1. 58. Determina la medida de cuatro pesas de una balanza si se sabe que pesadas en grupos de tres dan como resultados respectivos 9, 10, 11 y 1 g. Sol: g, g, g, 5 g. 59. Tres arroyos diferentes surten a un depósito de agua destinada al consumo humano. El primero y el segundo juntos tardan 6 horas en llenarlo; el primero y el tercero, 70 horas, y el segundo y el tercero, 90 horas. a) Calcula el tiempo que tardará en llenar el estanque cada uno de los arroyos por separado. b) Calcula el tiempo que tardarán los tres arroyos juntos en llenar el estanque. Sol: a) 105 h, 157,5 h, 10 h. b) Juntos tardarán 8 h 8 m. x + y + z = 5 60. Dado el sistema: x y + z = 1 a) Añade una tercera ecuación para que sea incompatible. 6

b) Añade una tercera ecuación para que sea compatible determinado. c) Añade una tercera ecuación para que sea compatible indeterminado. 61. En una población se han presentado dos partidos políticos, A y B, a las elecciones municipales y se han contabilizado 66 votos. Si 655 votantes del partido A hubiesen votado a B, ambos partidos habrían empatado a votos. La suma de votos no válidos y en blanco supone el 1% de los que han votado a A o a B. Halla el número de votos obtenidos por cada partido. Sol: El partido A ha obtenido 855 votos y el B 55 6. A, B y C son tres amigos. A le dice a B: si te doy la tercera parte de mi dinero, los tres tendremos la misma cantidad. Calcula lo que tiene cada uno si entre los tres tienen 60. Sol: A lleva 0, B lleva 10 y C lleva 0 6. Un almacenista dispone de tres tipos de café: el A, de 9,80 /kg; el B, de 8,75 /kg, y el C, de 9,50 /kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de 10,5 kg a 9,0 /kg. Cuántos kilos de cada tipo debe mezclar si tiene que poner del tipo C el doble de lo que ponga del A y del B?. Sol: 1,5 Kg del café A, Kg del café B y 7 Kg del café C. 6. Dos amigos invierten 0000 cada uno. El primero coloca una cantidad A al % de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al 6%, ganando 1050 de intereses. El otro invierte la misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al %, ganando 950. Determina las cantidades A, B y C. Sol: La cantidad A es 5000, la B es 5000 y la C es 10000 65. Una tienda ha vendido 600 videojuegos por un total de 68. El precio original era de 1 por copia, pero también ha vendido copias defectuosas con descuentos del 0% y del 0%. Si el número de copias defectuosas vendidas fue la mitad que el de copias en buen estado, a cuántas se les aplicó el 0% de descuento? Sol: A 10 copias 66. Para fabricar collares con 50, 75 y 85 perlas, se utilizan en total 17500 perlas y 0 cierres. Cuántos collares de cada tamaño se han de fabricar si se desean tantos collares de tamaño mediano como la media aritmética del número de collares grandes y pequeños? Sol: 60 collares pequeños, 80 medianos y 100 grandes. 67. Nos cobran 00 por dos chaquetas y una blusa. Si compramos una chaqueta y un pantalón y devolvemos la blusa, nos cobran 100. Cuánto nos cobrarán por cinco chaquetas, un pantalón y una blusa?. Sol: 500 68. La suma de las edades actuales de tres hermanos es 6 años. Hace dos años, la edad del mediano era 5 años más que un tercio de la suma de las edades de los otros dos, y dentro de cuatro años, el menor tendrá 9 años más que la quinta parte de la suma de los otros dos. Halla las edades actuales de cada uno de los hermanos. Sol: 7, 0 y 16 años. 69. Las edades de un hijo, su padre y su abuelo cumplen las siguientes condiciones: La suma de las edades del padre, del hijo y el doble de la del abuelo es 18 años. El doble de la edad del hijo más la del abuelo es 100 años, y la del padre es α veces la de su hijo. a) Halla sus edades suponiendo que α =. b) Es posible que α =? c) Si α = y en la primera condición la suma es 00, qué ocurre con el problema? Sol: El hijo tiene 18 años, el padre 6 años y el abuelo 6 años. b) El sisitema es incompatible, c) infinitas soluciones 70. La suma de los cuadrados de dos números naturales impares consecutivos es 1570. Calcula el valor del siguiente impar. Sol: 1 7

71. Al dividir dos números que suman 17 se obtiene 5 de cociente y 9 de resto. Cuáles son esos números? Sol: 1 y 7. Dos capitales iguales se colocan al % y al %, respectivamente, durante un año. El segundo capital produce 1,50 euros más de intereses que el primero. A cuánto ascendían los capitales iniciales iguales? Sol: 150 7. Un padre tiene cuatro veces la edad de su hija. Dentro de cinco años sólo tendrá tres veces la edad de ella. Cuáles son las edades actuales del padre y la hija? Sol: Padre: 0 años, hija 10 años 7. Hace años, las edades de dos personas estaban en la proporción : 1, y dentro de años estarán en la proporción :. Cuáles son las edades actuales de ambas personas? Sol: 0 y 16 años 75. Se han pagado 00 euros con billetes, unos de 0 euros y otros de 5. Cuántos billetes de cada cantidad se entregaron? Sol: 16 billetes de 0 y 16 billetes de 5 76. Halla una fracción tal que si al numerador y al denominador se les suma una unidad, la fracción 1 1 equivale a, y si se les restan unidades, equivale a 5 7 Sol 77. Un ciclista realiza un trayecto a la velocidad de 1 km/h. En cierto momento se le pincha una rueda, por lo que debe regresar andando a una velocidad de km/h. Calcula a qué distancia del punto de partida se le pinchó la rueda, sabiendo que el tiempo total que invirtió entre la ida y la vuelta fue de dos horas y media. Sol: 7,5 Km 78. Se quiere construir un marco rectangular para adornar una fotografía. Para ello se dispone de un listón de madera de 50 cm de longitud. a) Escribe la expresión algebraica que relaciona el área encerrada por el marco con la longitud de uno de sus lados. b) Determina las dimensiones del marco si se quiere que el área sea de 156 cm. Sol: a) S = 5a a b) 1 y 1 cm 79. En un hotel turístico tienen un total de 6 habitaciones con 60 camas. Solo existen habitaciones individuales y dobles. Calcula el número de habitaciones de cada tipo que hay. Sol: 1 habitaciones individuales y habitaciones dobles. 80. Un coche sale de un punto A a una velocidad de 90 Km/h. En el mismo instante, otro coche sale a su encuentro desde un punto B situado a 10 Km detrás de A y a una velocidad de 115 Km/h. Cuánto tiempo tardará en darle alcance? Sol: minutos. 81. Un coche sale de A en dirección a B a una velocidad de 80 km/h. Tres minutos después, otro coche sale de B en dirección a A a una velocidad de 100 km/h. Calcula el punto de encuentro de los dos coches si A y B distan km. Sol: Se encuentran a 1 Km de A 8. Julia, Clara y Miguel reparten hojas de propaganda. Clara reparte siempre el 0% del total, Miguel reparte 100 hojas más que Julia. Entre Clara y Julia reparten 850 hojas. Plantea un sistema de ecuaciones que permita saber cuántas hojas reparte cada uno. Sabiendo que la 8

empresa paga 1 céntimo por cada hoja repartida, calcula el dinero que ha recibido cada uno de los tres. Sol: Julia reparte 550 panfletos, Clara 00 y Miguel 650. Reciben 5,50, y 6,50 respectivamente. 8. A primera hora de la mañana, en un cajero automático se desea que haya 800 billetes (de 10, 0 y 50 euros) con un valor total de 16000 euros. Sabiendo que por cada billetes de 50 euros son necesarios de 0, plantea un sistema de ecuaciones lineales para averiguar cuántos billetes de cada cantidad ha de haber y resuélvelo por el método de Gauss. Sol: 50 billetes de 10, 00 billetes de 0 y 150 billetes de 50 9