LA INTEGRAL INDEFINIDA Auores: Paco Marínez (jarinezbos@uoc.edu), Parici Molinàs (polinas@uoc.edu). ESQUEMA DE CONTENIDOS Méodos Ejeplos Inegral Indefinida Priiiva Ariéica Inegración por cabio de variable Inegración de funciones racionales Inegración Inediaa Inegración de irracionales Derivadas Inegración por pares Inegración de funciones rigonoéricas Propiedades Proyeco e-mah
INTRODUCCIÓN En ese ah-bock raareos el problea inverso de hallar la derivada de una función: calcular una priiiva de la isa. Aunque se sabe que cualquier función coninua iene priiiva, no eisen fórulas, ni éodos, para calcular ésas con eaciud ás que unos pocos casos. El objeo de ese ea es eponer algunos de dichos éodos, y su iporancia se noará en el capíulo de la Inegral definida y sus aplicaciones, donde vereos la relación que hay enre el área y la inegral definida y la regla de Barrow, coneión enre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Inegral. Calculareos inegrales indefinidas de odo ipo: inediaas, ediane cabio de variable, por pares, inegración de funciones racionales, irracionales y rigonoéricas. OBJETIVOS. Conocer y aplicar el concepo de priiiva de una función.. Ver la inegral coo la operación inversa de derivar.. Calcular inegrales inediaas, aplicando las propiedades de las priiivas.. Transforar una inegral en ora ás sencilla haciendo un cabio de variable.. Hallar inegrales por el éodo de inegración por pares. 6. Saber uilizar las funciones racionales y el éodo de inegración derivado de ellas, descoponiendo dichas funciones en fracciones siples, cuyas inegrales son inediaas. 7. Calcular inegrales irracionales y rigonoéricas eligiendo el cabio de variable adecuado. CONOCIMIENTOS PREVIOS A fin de poder aprovechar al áio esa unidad es recoendable ener conociienos básicos sobre funciones de una variable, derivación y uso del prograa Mahcad. CONCEPTOS FUNDAMENTALES Concepo de Priiiva Sea I un inervalo abiero, y f una función definida en I. Una priiiva de f en I es una función, F, coninua en I que verifica: F'() f() I. Luego odas las priiivas de f son del ipo G() F() C, siendo C una consane cualquiera, pues G () F'() 0 f(). El conjuno forado por odas las priiivas de f se llaa inegral indefinida de f, y se designa por f() d (se lee inegral de f() diferencial de ). Luego, escribireos f()d F() C Proyeco e-mah
Ejeplo: d c, ya que F() ; F () f() Una priiiva de f() cos es F() sin. Añadiendo consanes, obeneos ás priiivas Inegración inediaa A las priiivas que resulan aplicando en odo inverso las fórulas de derivación se les llaa inegrales inediaas. El recuerdo del cuadro de las derivadas de las funciones fundaenales, así coo la regla de derivación de una función de función, nos van a periir recordar una abla de inegrales inediaas, cuyo uso se hace iprescindible: e d e c Propiedades: Veaos a coninuación las propiedades que verifican las inegrales indefinidas, que son consecuencia inediaa de la definición de priiiva y de las propiedades de las derivadas.. ( f ( ) g( )) d f ( ) d g( ) d. kf ( ) d k f ( ) d k R. ( f ( ) kg( )) d k f ( ) d k k g( ) d k, k R Proyeco e-mah
Ejeplo: ( cos e ) d d cos d e d sin e Inegración por cabio de variable c Una écnica para enconrar priiivas iene la regla de la cadena coo base. La regla de la cadena nos indica que si eneos una función f() que sabeos inegrar, y, en lugar de poneos alguna ora función de, g(), enonces: f ( g( )) g'( ) d f ( ) d Después inegraos con respeco a y, ya para acabar, deshaceos el cabio. Se raa de ransforar una inegral en ora ás sencilla haciendo un cabio de variable adecuado. sin( ) Ejeplo: Calcular d cos( ) Solución: Podeos ejorar uchísio el aspeco de esa inegral efecuando el siguiene cabio de variable: cos( ) que conlleva d. Subsiuyendo abas epresiones podeos escribir: d sin( ) sin( ) sin( ) d ) d cos( ) cos( d d ln c Deshaciendo el cabio: sin( ) d ln cos( ) c cos( ) Inegración por pares Ese éodo se basa en la fórula ( ) g'( ) d f ( ) g( ) f f '( ) g( ) d cuya deducción es rivial a parir de la regla de derivación de un produco. Ejeplo: Calcular e sin d Proyeco e-mah
Solución: Aplicareos inegración por pares, con f ( ) sin, g ( ) e. Así: f ( ) cos, g( ) e e I e sin d e sin e cos d. Aplicando de nuevo inegración por pares, oando g ( ) e, f ( ) cos eneos g( ) e, f ( ) sin quedando: I e sin d e sin e cos d e sin ( e cos e sin e cos I e sin d) Luego: I e sin e cos I I e sin e cos Despejando I, se iene que I e (sin cos ) Inegración de funciones racionales P( ) Una función racional iene la fora:, donde P() y Q() son polinoios. Sabeos que Q( ) si grado de P() grado de Q(), enonces podeos dividir P() enre Q() obeniendo: P ( ) C( ) Q( ) R( ), siendo C() el cociene y R() el reso, adeás R() 0, o bien, grado R()<grado Q(). Así: P( ) Q( ) R( ) R( ) d Q( ) Q( ) d C( ) d C( ) d La priera inegral es polinóica, luego inediaa. La segunda inegral vale cero (si R() 0), o grado R()<grado Q(), en cuyo caso Q() se puede descoponer en facores irreducibles (según un eorea del álgebra), es decir, por edio de sus raíces. R( ) Según oro eorea algebraico, la fracción se puede descoponer en sua de Q( ) fracciones de coeficienes irreducibles. Veaos odo eso con un ejeplo. Ejeplo: Calcular d Solución: Coo el grado del nuerador es igual al del denoinador, procedereos anes de inegrar a dividir enre siendo el cociene obenido y el reso: Proyeco e-mah
Proyeco e-mah 6 d d d d Mienras que la priera inegral es inediaa, la segunda requiere descoponer la fracción en sua de fracciones de coeficienes irreducibles: C B A Resolviendo la ecuación anerior, deerinaos que Reoando la inegral: d d d c arcg ln ln c arcg ln ln y siplificando: c arcg ln Vereos en los casos prácicos con sofware coo el Mahcad puede, adeás de calcular la inegral direcaene, hacer la descoposición, en fracciones siples, por nosoros. Inegración de funciones irracionales Las inegrales del ipo d d c b a d c b a R s r p n ),,, ( L, (R cociene enre epresiones) y p,...,s naurales, se ransforan en una racional si se hace el cabio d c b a M siendo ),, (.. s p c M L Ejeplo: Calcular d
Solución: Hagaos el cabio 6 con lo que: / 6 ( ) y d 6 d, 6 6 d d d Teneos una función racional. Coo el grado del nuerador es ayor al del denoinador, dividireos 6 enre siendo 6 6 6 el cociene obenido y -6 el reso: 6 6 d 6 6 6 d 6 6Ln Luego, deshaciendo el cabio: C d 66 6Ln( 6 ) C Inegración de funciones rigonoéricas Tipo sin cos n d siendo y n naurales y ipo R (sin,cos ) d (R cociene) Se hace los cabios sin, cos, g ó g(/) según convenga. Ejeplo: Calcular sin d cos Solución: Dado que la derivada de cos es sin, efecuaos el siguiene cabio de variable: cos, d sin d, obeniendo una inegral inediaa: sin d d c () c () c () () cos cos Para efecuar la inegral ediane oro cabio de variable, nos fijaos que podeos rescribir la fracción de funciones rigonoéricas de la siguiene fora: sin g d d cos cos que deja enrever el inerés de realizar abién ese oro cabio de variable: d d. Con ese cabio, la inegral se conviere en inediaa: cos g y Proyeco e-mah 7
g d c() c() () Los resulados obenidos en () y () no son foralene iguales aunque equivalen realene coo vereos a coninuación. Dividiendo la ecuación fundaenal de la rigonoería por cos obeneos: g cos Subsiuyendo g en el resulado obenido en () obeneos el resulado en cos () enos. Basa, pues, para coprender lo que sucede, redefinir la consane arbiraria de la inegración en () coo la en () ás, es decir, c ( ) c(). Proyeco e-mah 8
CASOS PRÁCTICOS CON SOFTWARE Ejeplos de inegración inediaa y con cabio de variable Calcular (a) d, (b) d e e (a) Descoponiendo la inegral en varios suandos, según las propiedades de las inegrales, quedaría: d d d d d d d c c ln ln / / Las inegrales resulanes, una vez siplificadas, son inediaas. (b) Realiceos la inegración ediane cabio de variables (epresado en los cálculos siguienes enre llaves): e e u d e e d du Con el Mahcad: du ln u ( u ) c { u e } ln( e ) c Proyeco e-mah 9
Ejeplo de inegración por pares Calcular la inegral ln d Sabiendo que (ln )' y que d c, parece razonable inegrar por pares. Toeos f ( ) ln y '( ) g y enonces: ln d ln d ln d ln c que, una vez siplificado, equivale a: ln c. Con el Mahcad, uilizando el coando sibólico collec para sacar facor coún de la variable, quedaría así: Proyeco e-mah 0
Ejeplo de inegración de funciones racionales Calcular (a) d, (b) d e e (a) Coo el nuerador no es de grado inferior al denoinador, procedereos anes de inegrar a dividir enre siendo el cociene obenido y - el reso: d d d d arcan c (b) El inegrando es función racional de e, luego hareos el cabio e, d e d : d d e e ( ) Ahora debe inegarse una función racional cuyo denoinador se descopone en la fora ( ) ( )( ) con lo que: A B C A( )( ) B( ) C( ) ( ) ( )( ) Resolviendo la ecuación anerior, deerinaos que : A ; B ; C. Enonces: 6 ( ln A B C d d d ( ) d 6 ) ln ln 6 c ln 6 c ln 6 e d e e c Con el Mahcad, uilizando el coando sibólico conver o parial fracion para hacer la descoposición en fracciones siples, quedaría así: Proyeco e-mah
Ejeplo de inegración de funciones rigonoéricas sin( ) Calcular (a) d, (b) cos sin d cos ( ) (a) Podeos ejorar uchísio el aspeco de esa inegral efecuando el siguiene cabio de variable: s cos() que conlleva ds sin( ) d. Subsiuyendo abas epresiones podeos escribir: sin( ) d cos ( ) ds s siendo esa úlia una inegral inediaa. Por ano: arcan(s) C y finalene- deshaciendo el cabio, obeneos: arcan(cos( )) C (b) Hagaos el cabio sin, enonces d cos d. Así, eneos que: Proyeco e-mah
Proyeco e-mah d d d d ) ( ) sin ( ) (cos cos, con lo que: C C d d d sin sin sin ) ( ) ( sin cos
BIBLIOGRAFÍA [] Benker, H. (999): "Pracical use of Mahcad. Solving aheaical probles wih a copuer algebra syse", Springer-Verlag New York, Inc. [] Moreno, J.A.; Ser, D. (999): "Mahcad 8. Manual de usuario y guía de referencia de Mahcad 8", ediciones Anaya Muliedia, S.A. [] Agulió, F.; Boadas, J.; Garriga, E.; Villalbí, R. (99): Tees clau de càlcul. Barcelona: UPC. [] Couran, R.; John, F. (97): Inroducción al cálculo y al análisis aeáico. Méico: Liusa. [] Vaquero, A.; Fernández, C. (987): La Inforáica Aplicada a la Enseñanza. Eudea S.A. Madrid.P 7. [6] Orega J. (990): Inroducció a l anàlisi aeáica. Barcelona: Publicacions de la Universia Auónoa de Barcelona. [7] Tang, S. (986): Applied Calculus. PWS Publishers. [8] Burbulla, D.(99): Self-Tuor for Copuer Calculus Using Maple. Prenice Hall. [9] Hun, R. (99): "Calculus". Ed. Harper Collins. Proyeco e-mah
ENLACES [W] hp://www.ec.es/~jlagares/anualwinfun.ca/esraceanualfuncionsperawindows.h Página web sobre un ariculo que ganó el segundo preio en el "concurso de prograas educaivos para ordenador", organizado por el M.E.C. en el año 99. Traa sobre el prograa funciones para windows, e incluye ejeplos gráficos. Ese prograa es capaz de, adeás de calcular inegrales, represenar funciones, calcular los punos de core enre ellas, hallar el área que encierran, ec. Un prograa uy copleo, ineresane y fácil de anejar. [W] hp://www.secoraeaica.cl/educsuperior.h Página web con ejercicios sobre odos los aspecos que abarca la inegración indefinida, desde las inegrales inediaas, hasa las rigonoéricas e irracionales. La página esá esrucurada en una guía de ejercicios, un enlace para resolver inegrales en línea (INTEGRATOR) y oros conenidos que raa. [W] hp://www.okah.co/caego.asp?clave Página web con probleas resuelos, por nivel de dificulad, sobre inegrales inediaas, por pares y rigonoéricas. [W] hp://planeah.org/encyclopedia/inegraionbypars.hl Página web de la enciclopedia de PlaneMah.org sobre Inegración por pares. Tabién se pueden buscar en hp://planeah.org/encyclopedia oros concepos coo inegral, ec. [W] hp://ballo.inforaica.ua.es/aap/svera/docs/apunesi.hl Página web de Salvador Vera Balleseros, profesor del Deparaeno de aeáicas aplicada de la universidad de Málaga. Coniene probleas, eáenes y apunes sobre la inegral indefinida. [W6] hp://cariari.ucr.ac.cr/~ci/calculo.hl Página web que raa sobre un curso de cálculo diferencial. En el capiulo 9. habla de la inegración y la aniderivación. Hay eoría y ejercicios. [W7] hp://www.da.fi.up.es/docencia/prierciclo/calculo/grupo/ Página web del Deparaeno de aeáicas aplicada de la Universidad Poliécnica de Madrid. Coniene ejercicios y eáenes sobre inegración. [W8] hp://www.uco.es/organiza/deparaenos/quiica-fisica/quiica-fisica/cd/cd0.h Página web que raa sobre un curso de aprendizaje de Mahcad. Hay ejeplos sobre inegrales, en el aparado 6) Operadores y en el ) Maeáicas Sibólicas. [W9] hp://www.erra.es/personal/jfjf/hoe.h Página coplea sobre odo lo relacionado con las aeáicas. Aparecen aeáicos faosos y aplicaciones de las aeáicas a diversos capos. Proyeco e-mah