89 _ 000-000.qd /7/08 0:9 Página Matemáticas ESO opción B Biblioteca del profesorado SOLUCIONARIO El Solucionario de Matemáticas para.º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana, dirigido por Enric Juan Redal. En su realización han intervenido: Ana María Gaztelu Augusto González EDICIÓN Angélica Escoredo Mercedes de Lucas Carlos Pérez Rafael Nevado DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez Figueroa Santillana
Presentación El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento de presentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de los contenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en la vida real. El saber matemático, dentro de la etapa obligatoria de la enseñanza, debe garantizar no solo la interpretación y la descripción de la realidad, sino también la actuación sobre ella. En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como una materia esencialmente procedimental, recogemos en este material la resolución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alumno. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino que pueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisición de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en el libro del alumno. SUMA, RESTA Y MULTIPLICACIÓN Polinomios y fracciones algebraicas DIVISORES DE UN POLINOMIO POLINOMIOS POTENCIAS REGLA DE RUFFINI VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO DIVISIÓN Un hombre de principios Días negros y noches largas, estas últimas semanas habían sido especialmente difíciles para Paolo Ruffini. Mientras caminaba en dirección a su casa, pensaba en lo duro que le había sido tomar la decisión de no jurar fidelidad a la bandera de los invasores franceses. Un golpecito en el hombro y la voz amiga de Luigi lo devolvieron a la realidad: Paolo! Qué has hecho? En la universidad no se comenta otra cosa. El responsable político ha asegurado que nunca volverás a sentarte en tu cátedra y que has marcado tu destino; se le veía terriblemente enfadado. Lo pensé durante mucho tiempo y cuando comuniqué mi decisión me he sentido aliviado argumentó Ruffini, plenamente convencido. Pero no has pensado en tu familia o en tu posición? Luigi mostró la preocupación que parecía haber abandonado a Ruffini. Luigi, cuánto darías por un puesto de funcionario? Estaban llegando al mercado y Ruffini se paró en seco. Yo no estoy dispuesto a pagar tanto por la cátedra; si hiciera el juramento, habría traicionado mis principios y mutilado mi alma, mantendría mi cátedra pero el Paolo Ruffini que conoces habría muerto. Ruffini se dedicó por entero a su oficio de médico en los años en que estuvo alejado de la docencia. En la división de polinomios P() : ( a), calcula el grado del cociente y del resto. TEOREMA RAÍCES DEL RESTO DE UN POLINOMIO FRACCIONES ALGEBRAICAS El grado del cociente es un grado menor que el grado del polinomio P(), y el grado del resto es cero, pues es siempre un número (un número es un polinomio de grado cero). SIMPLIFICACIÓN OPERACIONES Polinomios y fracciones algebraicas SOLUCIONARIO 80 EN LA VIDA COTIDIANA 097 Dentro de los proyectos de conservación de zonas verdes de un municipio, se ha decidido instalar un parque en el solar que ocupaba una antigua fábrica. Disponemos de una superficie cuadrada de 00 metros de lado. Podríamos dividir el parque en tres zonas. 098 Al recoger el correo, Ana ha recibido la factura de su consumo de luz en los dos últimos meses. Cómo han hecho las cuentas en esta factura? Ana le pide ayuda a su hermano y ambos se disponen a analizar la factura con detalle. El parque tendrá tres áreas delimitadas: la zona de juego, la zona de lectura, que rodeará a la zona de juego, y el resto, que se dedicará a la zona de paseo. Aún no han hecho mediciones, pero los técnicos han determinado que la zona dedicada a los juegos sea cuadrada y su lado medirá 0 metros. Aparecen varias variables: la potencia, p, contratada,, kw cada mes; el consumo, c, 7 kwh. No olvides los precios de cada variable y los impuestos. FACTURACIÓN Potencia... 8,9 cent. Consumo... 8,99 cent. Alquiler... 7 cent. Impto. electricidad IVA a) Qué epresión nos da el área de la zona para pasear? Y el área de la zona de lectura? b) Si deciden que la zona de paseo tenga un ancho de 0 metros, cuáles serán las áreas de cada zona? a) A juego 0.600 m Alectura (00 ) 0 8.00 00 + Apaseo 00 (00 ) 00 b) A juego 0.600 m Alectura (00 0) 0.000 m Apaseo 00 60 6.00 m Con esta información, escriben un polinomio:,6 [,09 (p + cy) + z] siendo el importe de la potencia al mes, y el importe de la energía consumida y z el importe mensual del alquiler. Ahora comprenden por qué la factura ha sido de 9,8. a) Comprueba el importe. b) Deciden bajar la potencia a, kw y el consumo aumenta a kwh. Cuánto tendrán que pagar en la factura de los dos próimos meses? a) Importe,6 [,09 (p + cy) + z],6 [,09 (, 8,9 + 8,99 7) + 7].98,8 céntimos 9,8 b) El importe de la factura de los dos próimos meses es:,6 [,09 (p + cy) + z],6 [,09 (, 8,9 + 8,99 ) + 7].,9 céntimos,
Índice Unidad 0 Repaso - Unidad Números reales -7 Unidad Potencias y radicales 8-79 Unidad Polinomios y fracciones algebraicas 80- Unidad Ecuaciones e inecuaciones -9 Unidad Sistemas de ecuaciones 0-8 Unidad 6 Semejanza 86-09 Unidad 7 Trigonometría 0- Unidad 8 Vectores y rectas -7 Unidad 9 Funciones 7-99 Unidad 0 Unidad Funciones polinómicas y racionales 00- Funciones eponenciales y logarítmicas 6-77 Unidad Estadística 78-0 Unidad Combinatoria 06-9 Unidad Probabilidad 0-
0 Repaso NÚMEROS 00 Epresa en forma decimal estas fracciones. Qué tipo de decimal obtienes? a) 7 7 c) 8 90 b) d) 6 0 a) 7 8 0,87 Decimal eacto b),8 Decimal periódico mito 6 c) 7 90 0,8888 Decimal periódico mito d) 0 0,0 Decimal periódico mito 00 Calcula. 7 6 7 a) b) : + c) 0 7 0 6 7 : 9 7 a) 0 8 6 8 0 0 00 7 00 b) 6 7 7 6 0 0 0 + 6 6 : + + 0 7 8 0 0 70 6 6 8 6 7 c) : 7 : 9 7 7 9 7 7 8 89 6 0 89 00 Opera y simplifica, teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones. a) 6 6 b) + 7 ( ) c) + +
SOLUCIONARIO 0 a) 6 6 0 b) 9 8 0 60 0 6 + 7 ( ) + 7 7 ( ) + + + 7 6 6 6 + 7 8 7 9 8 8 8 c) + + + + 6 0 9 0 6 0 0 0 0 00 Indica a qué conjunto numérico pertenece cada número. a) 8,6777 c) 8,6777 e) 0,680 g), b) 6 d) f), h) π a) 8,6777 Decimal periódico mito b) 6 Natural c) 8,6777 Decimal eacto d) Entero e) 0,680 Irracional f), Decimal eacto g), Decimal periódico puro h) π Irracional 00 Escribe tres números decimales periódicos puros y otros tres periódicos mitos, y trúncalos a las milésimas. Periódicos puros:, ;, 7;, Truncamiento:,;,7;, Periódicos mitos:,;,0 ;,06 Truncamiento:,;,0;,06 006 Redondea y trunca los siguientes números irracionales a las décimas y a las milésimas. a) π,9 b) e,788 c) Φ,680 Número π,9 e,788 φ,680 Aproimación a las décimas Redondeo Truncamiento,,,7,7,6,6 Aproimación a las milésimas Redondeo Truncamiento,,78,68,,78,68
Repaso 007 Juan quiere instalar un cable eléctrico a lo largo de las cuatro paredes de una habitación cuadrada de m. Calcula la longitud, en cm, y el coste, en, del cable, si cada centímetro del cable cuesta 0,0. Como la habitación es cuadrada y tiene m de área, el lado de cada pared mide m de longitud. Longitud del cable 0 m.000 cm Coste del cable.000 0,0 600 ECUACIONES 008 Escribe cuatro epresiones algebraicas. + + y z y + z 0 009 Epresa los enunciados en lenguaje algebraico. a) El doble de un número. b) Un número al cuadrado. c) La mitad de un número menos. d) Un número menos el doble de otro. e) El cubo de un número menos el triple de su cuarta parte. f) El cuádruple de un número. g) La suma de dos números. h) El cuadrado de la diferencia de dos números. i) La quinta parte de un número más su triple. a) d) y g) + y b) e) y h) ( y) c) f) i) + 00 Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones. a) ( ) ( ) + 6 b) + ( ) + 8 c) 8 + 6 + d) ( ) ( + ) e) + 6 + 8 f) ( + ) a) Identidad d) Ecuación b) Identidad e) Ecuación c) Ecuación f) Identidad 6
SOLUCIONARIO 0 0 Indica los miembros y términos de estas ecuaciones señalando su coeficiente y su incógnita. a) + b) + 7 + 9 c) + 6 + a) b) c) Miembros Términos Coeficientes Incógnita + Miembros + 7 + 9 Miembros + 6 + Términos 7 9 Términos 6 Coeficientes 7 9 Coeficientes 6 Incógnita Incógnita 0 Resuelve estas ecuaciones. a) (8 ) ( + ) c) b) 7 ( + ) ( ) 6 8 + a) (8 ) ( + ) 6 6 + 8 8 7 8 b) (7 + ) + 6 70 + 0 0 7 0 0 7 ( ) c) + ( + ) 6 8 6 8 0 9 + 9 + 7
Repaso 0 Dentro de años la edad de Paloma será el triple de la que tenía hace 9 años. Qué edad tiene Paloma? edad actual de Paloma + edad de Paloma dentro de años 9 edad de Paloma hace 9 años + ( 9) + 7 6 Paloma tiene 6 años. 0 Cristina iba a pagar 7.800 por los 0 menús de los invitados a su boda. a) Si al final asistieron 0 invitados más, cuánto pagó en total? b) Si el coste del banquete hubiera sido de 8.76, cuántos invitados más asistieron respecto de los 0 iniciales? a) Menús Coste-( ) 0 7.800 0 7 800. 0 7.800 90 90 90. 8. 000 9. 880 0 Si asistieron 0 invitados más, pagó 9.880. b) Menús Coste-( ) 0 7.800 0 7 800. 0 8.76 7.800 8.76 8. 76. 0. 00 68 7. 800 Al banquete asistieron 8 invitados más. 0 En una peña quinielística de 0 socios, cada uno aporta a la semana. a) En el caso de que fueran 60 socios más, cuánto aportaría cada socio? b) Si quisieran jugar 0 a la semana, cuánto tendría que aportar cada uno? a) Socios Aportación-( ) 0 0 0 80 80 80 Si fueran 60 socios más, cada socio aportaría. 60 80 b) Apuesta-( ) Aportación-( ) 60 60 60 0 0 0. 60, 60 Si quisieran jugar 0 a la semana, cada uno de los socios tendría que aportar,0. 8
SOLUCIONARIO 0 06 Pedro compró m de tubería de cobre por,0. Si tiene que comprar m de la misma tubería, cuánto le costará? Tubería (m) Coste ( ),0 0, 0, Los metros de tubería le costarán. 07 Un tren que circula a 80 km/h tarda horas en llegar a una ciudad. Cuánto tardará circulando a 60 km/h? Velocidad (km/h) Tiempo (h) 80 60 80 60 80 60 Circulando a 60 km/h, el tren tardará horas. 08 En una escalada llevan agua para ecursionistas durante 8 horas. Si pasadas horas se marchan ecursionistas, para cuántas horas tendrán agua? Pasadas horas, a los ecursionistas les quedaría agua para 6 horas. Personas Tiempo (h) 6 6 0 0 Tendrán agua para 0 horas después de marcharse los ecursionistas. GEOMETRÍA 09 Determina gráficamente el vector v de la traslación que transforma F en F', y el vector w de la traslación que transforma F' en F. F v F' w 9
Repaso 00 Determina la figura simétrica de F respecto del eje e. F e F' 0 Aplica a la figura F un giro de centro O y ángulo. (Los ángulos negativos van en el sentido de las agujas del reloj.) F O F' 0 Obtén la figura simétrica de F respecto del punto O. F O F' FUNCIONES 0 Razona si las siguientes relaciones son funciones. a) El peso de una persona y su edad. b) El diámetro de una esfera y su volumen. c) El número de DNI de una persona y la letra de su NIF. d) El número de teléfono de una persona y su número de DNI. a) No, por ejemplo, una persona puede pesar lo mismo en dos años distintos. b) Sí, el volumen de una esfera depende de su radio. c) No, pues solo se consideran funciones las relaciones entre variables numéricas. d) Sí, a cada teléfono le corresponde un único número de DNI. 0
SOLUCIONARIO 0 0 Epresa algebraicamente, mediante una tabla y una gráfica, la función que: a) Asocia a un número su mitad más unidades. b) Relaciona la cantidad de peras compradas en kilogramos y su precio ( kg cuesta, ). a) y + 0 9/ 6 Y X b) y, 0 0,, 9 Y X 0 Describe, mediante un enunciado, las siguientes funciones. a) y c) y + e) y 9 b) y ( ) d) y ( + ) f) y + a) El cubo de un número menos. b) El número anterior a un número al cubo. c) La quinta parte de un número más. d) El producto de un número por el siguiente número. e) Un número multiplicado por 9 menos. f) Un número más su cuadrado. 06 Epresa, mediante una fórmula, la función que relaciona el número de CD y su precio. Después, construye una tabla de valores y representa los puntos que obtienes. Puedes unirlos? Y 0 0 0 X CD 8,0 6,0,60,80 Cada CD cuesta:,80 : 8,0 La función es: y 8, Los puntos no se pueden unir porque no podemos comprar fracciones de CD.
Números reales NÚMEROS REALES NÚMEROS RACIONALES RELACIÓN DE ORDEN NÚMEROS IRRACIONALES APROXIMACIONES TRUNCAMIENTO REDONDEO POR EXCESO ERRORES EN LA APROXIMACIÓN
Mi desconocido amigo La misiva parecía urgente y el general Pernety, al que le unía una profunda amistad con Sophie Germain, dejó a un lado sus despachos y ordenó a su ayudante que hiciera pasar a su amiga. Tras tomar ambos asiento, el general comenzó a hablar: Ahora, Sophie, cuéntame qué es eso tan importante. La agitación volvió a la mujer que, con voz nerviosa, comenzó a hablar de manera atropellada: No permitas que le pase lo mismo que a Arquímedes! La guerra no respeta nadie y él no ha hecho ningún mal; su pérdida sería irreparable. De qué hablas? la interrumpió el general. No entiendo nada. La guerra con Prusia! El ejército imperial invadirá la ciudad de Brunswick y allí vive un sabio que nada sabe de guerras, se llama Gauss. Protégelo cuando tus tropas entren en la ciudad! Tranquila, me encargaré de que ningún mal le suceda a tu amigo. Tiempo después, tras la campaña, de vuelta en París el general Pernety volvió a reunirse con Sophie: Estarás contenta, cumplí tu encargo; sin embargo, hubo algo muy etraño, pues cuando le dije quién era su benefactora, él aseguró no conocerte. Los matemáticos son muy raros! Sophie sonrió, le dio las gracias y le eplicó que solo conocía a Gauss por correspondencia y que ella firmaba sus cartas con otro nombre: Le Blanc. En una de esas cartas aparecen los números primos de Germain, son los números primos tales que su doble más una unidad también es un número primo. Encuentra 0 números primos de Germain. Los primeros 0 números primos de Germain son:,,,,, 9,,, 8 y 89 + + 07
Números reales EJERCICIOS 00 Indica, sin realizar las operaciones, qué tipo de epresión decimal tienen estos números. a) c) e) 0 60 b) 0 d) f) 6 6 a) Decimal eacto d) Periódico puro b) Periódico puro e) Decimal eacto c) Periódico mito f) Periódico mito 00 Escribe dos fracciones que epresen: a) Un número decimal eacto. b) Un número decimal periódico mito. a) y b) 6 y 00 Son racionales todos los números decimales periódicos? Sí porque se pueden poner en forma de fracción. 00 Epresa en forma de fracción los siguientes decimales. a),7 c),7 e),67 b) 0,96 d) 0,96 f) 0,96 Simplifica al máimo las fracciones obtenidas para llegar a la fracción generatriz. 7 96 a),7 d) 096, 00 99 96. 67 b) 096, e), 67 00 999 7 96 c) 7, f) 0, 96 99 999 6 7 00 Epresa en forma de fracción. a),9 b),9 c) 0,9 A qué equivale el período formado por 9? a),9 6 b),9 8 c) 0,9 9 9 El período formado por 9 equivale a una unidad entera. 9 9
SOLUCIONARIO 006 Completa. a) 6, b) 6, 8 a) 6, b) 6, 007 008 Encuentra la fracción generatriz de los números decimales. a),6 c) 0, e) 0, b), d),66 f) 0, a),6,6. 9 d),66,6. 900 990 b), 9. 998. 999 e) 0, 9. 000. 00 999 c) 0, f) 0, 0 990 900 Sin realizar las operaciones, deduce cuál de estas igualdades es cierta.. a) 6,. c) 6, 99 990. b) 6,. d) 6, 999 909 El denominador está formado por dos 9 seguidos de un 0; luego es el apartado c). 009 Indica, sin realizar las operaciones, cuál de las igualdades es cierta. 0 a) 000, b) 000, c) 000, d) 000, 99 98 9 Son ciertas las igualdades de los apartados b) y d). 99 00 Realiza las siguientes operaciones, ayudándote de la fracción generatriz. a) (, ) c), 0,7 b),7 + 0,7 d), : 0, a) (, ) 9 8 b),7 + 0,7 8 7 7. 68 +,7 00. 00 c), 0,7 d), : 0, 6 9 7 9 9 99 99 7 : 9
Números reales 0 Considera las raíces cuadradas de los números naturales desde hasta 0, indica cuáles de ellas son números racionales y cuáles son números irracionales. Son racionales:,, 9, 6. El resto son números irracionales porque no son cuadrados perfectos. 0 Escribe cuatro números irracionales, eplicando por qué lo son., 7, y 7 son irracionales porque no son cuadrados perfectos. 0 Indica de qué tipo son los números. a), b) 0,680 c) a) Racional, periódico puro. b) Racional, decimal eacto. c) Irracional. 0 0 Razona si estas afirmaciones son ciertas. a) La suma de dos números irracionales es siempre un número irracional. b) La raíz cuadrada de una fracción es un número irracional. a) Es falso, por ejemplo: + y + + 8 b) Es falso, cuando el numerador y el denominador son cuadrados perfectos. 9 Compara los siguientes pares de números. 7 9 a) y c) y 7 b) y,7 d) y,60 7 9 a) < c) < 7 b) <,7 d),60 < 06 Indica el conjunto numérico al que pertenece cada número. a) 8,0999 d) g) b) e) 6,6 8 h) 7 c), f),... i) π 6
SOLUCIONARIO a) Racional, periódico mito. f) Irracional. b) Entero. g) Irracional. c) Racional, decimal eacto. h) Racional, periódico puro. d) Racional, decimal eacto. i) Irracional. e) Racional, periódico mito. 07 Escribe dos números racionales y otros dos irracionales comprendidos entre y. Racionales:, y, Irracionales:,000000 y,678 08 Observa lo que sucede en la desigualdad < si: a) Restamos a los dos números. b) Multiplicamos ambos números por. a) La desigualdad es cierta: < 0. b) La desigualdad cambia de signo: 6 > 0. 09 Puedes encontrar un número racional entre dos números racionales cualesquiera? Y un número irracional? Justifica tu respuesta. Entre dos números racionales siempre eiste un número racional; por ejemplo, el punto medio de ambos. Entre dos números racionales siempre podemos encontrar un número irracional; por ejemplo, el número resultante de sumar al menor de los dos cualquier número irracional que sea menor que la diferencia entre ambos números. 00 Saca factor común, opera y simplifica la epresión resultante. a) b) c) 7 + 7 7 + 7 0 + + 90 7 7 a) + 7 + 7 7 7 77 7 7 b) + 7 + 7 0 0 c) 0 90. 890 + + ( 6 + + 90) 9 7
Números reales 0 0 Calcula el opuesto y el inverso de los siguientes números reales. a) c) 0, e) π b) d) f) 8 8 a) Opuesto: Inverso: d) Opuesto: Inverso: 8 b) Opuesto: Inverso: e) Opuesto: Inverso: 0 c) Opuesto: 0, Inverso:, f) Opuesto: π Inverso: π Calcula el inverso de 0,07. 0 007, 990 007, 990 0 0 Representa los siguientes números reales. a) b), c) 7 d), e) f),,, 7 π F F F F G G 0 6 7, 0 Halla con la calculadora los números 6, 7 y 0, y represéntalos de manera aproimada en la recta. 6 0 F F 0 7 G 0 Observa esta recta real y escribe. A B C D 0 a) Dos números enteros entre A y C. b) Tres números racionales no enteros entre B y C. c) Tres números irracionales entre C y D. a) 0 y b) 0,; y 0, c), y 8
SOLUCIONARIO 06 Epresa mediante intervalos el conjunto de números reales que verifican que: a) Son menores que. c) Son mayores que 0. b) Son menores o iguales que. d) Son mayores o iguales que. a) b) c) (0, + ) d) +,,, 07 Representa sobre la recta real y usando la notación matemática. a) { R, } c) { R, < 7} b) { R, > } d) { R, 6 < < 9} a) (, ] b) (, + ) 0 c) [, 7) 6 7 8 d) (6, 9) 6 7 8 9 0 08 Epresa como intervalo estos conjuntos numéricos. a) < b) < c) a) (, ) b) No tiene solución. c) (, + ) 09 Halla las aproimaciones de,69 a las centésimas y las milésimas, por defecto y por eceso. Decide cuál de ellas es el redondeo. Centésimas Milésimas Defecto,,6 (redondeo) Eceso, (redondeo),7 00 Aproima a las centésimas por truncamiento y por redondeo. a),87 c),9 e),67 b),07 d),8 f),67 Redondeo Truncamiento a),87,6, b),07,, c),9,9,9 d),8,6, e),67,6,6 f),67,6,6 9
Números reales 0 Una profesora decide redondear las notas de 0 alumnos. Qué notas les pondrá?,8 6, 9,7,,8 8, 9,7,,8 6, Les pondrá estas notas:, 6, 0,, 6, 8, 0,, y 6. 0 Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 0 cm. Qué clase de número se obtiene? Redondea el resultado a las milésimas. Es un número irracional. d 8 + 0 6, 806 0 Obtén el error absoluto y relativo cometido: a) Al redondear, a las milésimas. b) Al truncar,6 a las diezmilésimas. c) Al redondear a las centésimas. d) Al truncar a las décimas. e) Al aproimar por defecto,76 a las milésimas. a) E a,, 0 E r,,, 0 0% b) E a,6,66 0,00006 E r, 6, 66 6, 0, 000096 0,009 % c) E a,6 0,0087 E r, 6 0, 008 0, % d) E 0,006 a 066, 066, E 0,009 r 0,99 % e) E a,76,7 0,0006 E r, 76, 7, 76 0, 00097 0,0 % 0
SOLUCIONARIO 0 0 La cantidad de antibiótico en una cápsula es de, g ± 0, %. a) Qué significa esta afirmación? b) Entre qué valores oscila la cantidad de antibiótico en cada cápsula? a) Significa que una cápsula contiene, gramos, con un error relativo del 0, %. 0,, 0, b) 0, % de, 0, 00 00 00 La cantidad oscila entre: (, 0,00;, + 0,00) (,97;,0) Escribe dos aproimaciones de, que tengan el mismo error relativo. Por ejemplo, las aproimaciones, y,. ACTIVIDADES 06 Utiliza la epresión numérica adecuada a cada situación. a) Reparto golosinas entre 8 niños. b) He gastado y 7 céntimos. c) En esta tienda hacen un por ciento de descuento. d) Llevo un cuarto de hora esperando el autobús. e) He pagado de las cuotas del coche. f) El 0 por ciento de los estudiantes asegura que no come verduras. g) El viaje ha durado horas y media. 0 a) b),7 c) d) hora e) f) g), horas 8 00 00 07 08 Cuántos números racionales hay en esta serie? Hay algún número entero? Y natural? 6 00 0,,,,,,,,, 8 8 00 0 00 00 Racionales: todos. Enteros: 6 y. Natural:. Transforma las siguientes fracciones en números decimales, e indica el tipo de decimal. a) 0, Decimal eacto f),7 8 Periódico puro b), Periódico mito g) 0, Periódico puro c) 0,7 Decimal eacto h) 0,00 Decimal eacto d) 0,0 Periódico mito i) 0,708 Periódico mito e) 0,8 Periódico mito
Números reales 09 Escribe dos fracciones cuya epresión decimal sea un número: a) Decimal eacto. b) Decimal periódico puro. c) Decimal periódico mito. 7 7 a) y b) y c) 6 y 00 Escribe un número decimal que cumpla las siguientes características. a) Periódico puro, de período. b) Eacto, con tres cifras decimales. c) Periódico mito, de anteperíodo 8. d) Periódico puro, con período de cifras. e) Periódico mito, con período 7. f) Eacto, con parte entera. a), c),8 e) 6,87 b), d),68 f),6 0 Halla la fracción generatriz. a) 0, c) 9,7 e) 0,0 g), b), d) 8,000 f) 7,87 h) 0,000000 a) 97 c) e) 0 00 g) b) 0. 00 0 d) f). 000 8 h) 8. 0. 000. 000 0 Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos. a), e) 0,07 i),6 b),90 f),00 j) 0, c),99 g),78 k) 0,00097 d),7 h) 0,8 l),7 a) 6 e) 9 9. 900. 90 i) b). 897. 96 0. 98 f) 999 900 0 j) c) 7. 6. g) 9 99 k) 7 8 d) h) l) 90 8 9. 999 0. 8. 09 990 9 97 99. 000. 0 9. 990. 999
SOLUCIONARIO 0 Indica el tipo de decimal y calcula, si es posible, su fracción generatriz. a), c), e), b), d), f). 79 a) Periódico mito d) Decimal eacto 90 8. 0 b) Periódico puro e) Periódico puro 99 8 9 6 c) Irracional f) Decimal eacto 0 Escribe la fracción generatriz de estos números decimales. a), c), e) 0,... b), d), f) 8,7... a) 9 0 c) 9 e) b) 0 d) 99 90 f) 999 7. 7. 87 900 0 0 Los siguientes números decimales tienen de período 9. Averigua a qué números equivalen, epresándolos en forma de fracción. a),9 b),9 c) 0,9 8 a) b) 6, c) 9 90 8 90 0, 06 Ordena los números decimales, de menor a mayor.,999,9,9,9,99,9,9 <,9 <,99 <,9 <,9 <,999 07 Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.,99,9,9,99,9,9 <,9,99 <,99 <,9 08 Ordena estos números decimales, de mayor a menor.,7,7,7,77,77,77,77 >,77,7 >,77 >,7 >,7
Números reales 09 Ordena, de menor a mayor, los siguientes números decimales. a) 7, < 7, < 7, < 7, < 7, b),6 <,6 <,6 <,6 c) 8, < 8, < 8, < 8, d) 7, < 7, < 7, 00 Escribe un número racional comprendido entre: a), y,00 b),6 y,68 c), y, a),00 b),6 c), 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE OPERA CON NÚMEROS DECIMALES PERIÓDICOS? Haz esta operación:,7 + 7, PRIMERO. Se calculan las fracciones generatrices de cada uno de los números decimales. 7, 7 0 7, 7 7 9 6 9 SEGUNDO. Se realizan las operaciones indicadas, sustituyendo los decimales por sus fracciones generatrices.,7 + 7, 7 6 7 9 + 6 0 + 0 9 90. + 60. 79 9,9 90 90
SOLUCIONARIO 0 Opera, utilizando las fracciones generatrices. a), +, c),6 + 8, e),6 +,9 b) 0,,7 d), + 6,7 f), +, a), 7 7 +, + b) 0,,7 9 0 90 9 90 c),6 + 8, 87 9 + 99 99 99 d), + 6,7 6 0 + 9 9 9 e),6 +,9 f), +,. 7. 686. 6 + 99 990 990 0 8. 69 7. 9. 8 + 99 990 990 0 0 Realiza las operaciones. a),, c),76,8 b) 0,0 :,9 d), :, a),, c),76,8 9 86. 9 6 90 9 b) 0,0 :,9 6 d), :, : 90 90 6 0 : 90 06 0 Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades. a),9 c),89 + 0, e) 0, + 0,6 b), : 0, d) 0, 0, 0 a),9 8 9 Verdadera b), : : 9 9 0, Verdadera c),89 + 0, 7 0 8 + Falsa 90 90 90 d) 0, 0, 9 9 0 Verdadera e) 0, + 0,6 6 + 9 9 Verdadera
Números reales 0 06 Escribe 6,8 como suma de dos números decimales periódicos. 7 67 68, +, +,6 Cuál es la vigésimo seta cifra decimal que obtenemos al epresar en forma decimal? Razona tu respuesta. 8 9. 999 8 0,08. Como el período tiene cuatro cifras, la vigésimo seta cifra 9. 999 decimal es la segunda cifra del período,. 07 a Qué tipo de decimal se obtiene de la fracción, si a es un número entero? Se obtiene un número entero o decimal eacto, ya que el cociente es producto de potencias de y de. 08 Razona cuáles de los siguientes números decimales son racionales y cuáles son irracionales. a), e), b), f), c), g), d), h), a) Racional, periódico puro. e) Racional, periódico mito. b) Racional, decimal eacto. f) Racional, periódico puro. c) Irracional. g) Racional, periódico mito. d) Irracional. h) Racional, decimal eacto. 09 Indica cuáles de los números son racionales y cuáles son irracionales. a) d) 0 g) 6 b) 9 e) h) 6 c) f) i) 7 Son racionales los números de los apartados b) y h), y el resto son irracionales. 060 Averigua cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales. a) + c) 9 e) 6 6 b) d) 8 + 0 f) Son racionales los números de los apartados c), e) y f). Son irracionales los números de los apartados a), b) y d). 6
SOLUCIONARIO 06 Escribe tres números racionales y otros tres irracionales. Eplica cómo lo realizas. Los números racionales son el resultado de fracciones de números enteros.,;, y 7,09 Los números irracionales son números cuya parte decimal no tiene período., ;, ;, 06 Escribe un número irracional comprendido entre: a) y b) 0, y 0, c) 0,7 y 0,7 d), y, a), b) 0, c) 0,70 d),0000000000 06 Calcula y determina qué tipo de número es, en un triángulo equilátero: a) La altura, si el lado mide 0 cm. b) El área, si el lado mide cm. c) La altura y el área si el lado mide cm. a) h 0 7 cm Es irracional. 7 b) h A 7 7 cm cm Es irracional. 9 c) h cm A cm Son irracionales. l h 06 Ordena, de menor a mayor, ayudándote de la calculadora. + 7 + + 8 < < < + < 7 < 8 < + < + 7
Números reales 06 HAZLO ASÍ CÓMO SE DEMUESTRA QUE UN NÚMERO ES IRRACIONAL? Demuestra que 7 es un número irracional. PRIMERO. Se supone que es un número racional, por lo que se puede epresar como una fracción irreducible. 7 a a, con irreducible b b SEGUNDO. Se eleva al cuadrado en ambos miembros. a a 7 7 b b Es decir, a es divisible por b, lo cual es imposible porque a y b son primos entre sí. Por tanto, 7 no se puede epresar como una fracción. 066 Demuestra que 0 es un número irracional. a Si 0 a, con irreducible, elevando al cuadrado, tenemos b b que 0 a, por lo que a es divisible por b, siendo esto imposible b porque a y b son números primos entre sí. 067 Clasifica los siguientes números reales en naturales, enteros, racionales o irracionales. Di de qué tipo es su epresión decimal. a),7 e) π 6 7 b) f) 7 90 c) g) 6 d) h) a) Racional, decimal eacto. b) Racional, periódico puro. c) Racional, decimal eacto. d) Irracional. e) Irracional. f) Racional, periódico mito. g) Entero. h) Entero. 8
SOLUCIONARIO 068 069 Compara estos pares de números. a), y, b) 9 y ( ) c), y d) 9 a), >, b) 9 ( ) c), < d) 9 y Ordena, de menor a mayor, los siguientes conjuntos de números reales. a) 7, 7, 7, 7,... b),6,667788,666777,67 c) 8, 8,666 8, 8, > a) 7, < 7, < 7, < 7, b),6 <,667788 <,666777 <,67 c) 8, < 8, < 8, < 8,666 070 Calcula el inverso y el opuesto de: a) d) g) b) e) π h), c) f), i) 0, a) Inverso: 0, Opuesto: b) Inverso: 0, Opuesto: c) Inverso: 07, Opuesto:, d) Inverso: 0,6 Opuesto: e) Inverso: 0 809886 Opuesto: π,96 π, f) Inverso: 0,7 8 Opuesto:, 7 g) Inverso: 0, 77069 Opuesto: 9 h) Inverso: 0,69 07 Opuesto:, 90 i) Inverso: 8,8 Opuesto: 0, 7,, 700808 9
Números reales 07 Razona si las afirmaciones son verdaderas o falsas. a) Hay números enteros que no son racionales. b) Eisten números irracionales que no son números reales. c) Un número real es racional o irracional. d) Cualquier número decimal es un número real. a) Falsa, ya que cualquier número entero se puede epresar en forma de fracción de números enteros: el mismo número dividido entre la unidad. b) Falsa, pues los números irracionales están incluidos en el conjunto de los números reales. c) Verdadera. d) Verdadera, porque los números decimales son racionales o irracionales, y todos son números reales. 07 Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones. Razona tu respuesta. a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción. b) Todos los números reales son racionales. c) Un número irracional es real. d) Eisten números enteros que son irracionales. e) Hay números reales que son racionales. f) Cualquier número decimal es racional. g) Un número racional es entero. h) Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales. i) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten. j) Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones. a) Falsa, pues solo se pueden escribir como fracción los números racionales. b) Falsa, ya que los números irracionales no son racionales. c) Verdadera. d) Falsa. e) Verdadera. f) Falsa, porque los números irracionales no son racionales. g) Falsa, ya que es el cociente de dos números enteros. h) Verdadera. i) Falsa, pues los decimales eactos tienen un número finito de cifras. j) Verdadera. 0
SOLUCIONARIO 07 Realiza las operaciones, sacando factor común. a) + + + + + 66 + 77 + 88 b) + + + + c) + 7 d) + 9 a) ( + + + + + 6 + 7 + 8) 6 96 b) ( + + + + ).66 c) + 7 67 d) + 9 07 Si a y b son dos números reales y a < b, qué sucede con sus opuestos? Y con sus inversos? Contesta razonadamente. Inversos: > a b Opuestos: a > b 07 Opera e indica qué tipo de número real resulta. a),7 b),09,9 c), a),7 9 Racional b),09,9 69 6 7 90 90 90 0 7, Racional c) 9 Racional 076 A qué número corresponde esta representación? + 0
Números reales 077 Representa de forma eacta en la recta numérica, utilizando el teorema de Pitágoras, estos números irracionales. a) 8 b) c) d) a) 8 9 G 0 8 b) 0 G 0 c) d) 9 G 0 0 6 G 9 078 Ordena, de menor a mayor, y representa estos números. 0, 0, < < 0, < < < F F F G G 0
SOLUCIONARIO 079 Ordena, de menor a mayor, y representa, de forma eacta o aproimada, justificando tu elección. 6, +,67 < 6, < 67, < < +,6,67 F F G 0 G G + 080 Eisten relaciones métricas, tanto en la naturaleza, como en construcciones o en la vida cotidiana, donde aparece el número áureo, Φ +. Se puede representar este número de forma eacta en la recta numérica? Razona tu respuesta. Sí, es posible. Se representa (diagonal de rectángulo ), luego se le suma (se añade con el compás una unidad al segmento ), y se halla el punto medio del segmento resultante. 08 Describe y representa los siguientes intervalos en la recta real. a) (0, 0) c) (, ) e) [, 0) b) (, 7] d) [, ] f) [, + ) a) 0 < < 0 b) < 7 c) < d) e) < 0 f) 0 0 6 7 8 0 6 6 7 8 9 0
Números reales 08 Escribe el intervalo que corresponde a los valores de. a) < < c) e) > g) < 9 b) 6 < 7 d) < f) 7 h) 0 a) (, ) c) (, ] e) (, + ) g) [, 9) b) (6, 7] d) (, ) f) [7, + ) h) [0, ] 08 Epresa mediante intervalos estas situaciones. a) La altura de las casas es menor que 8 m. b) El descuento se aplica a niños con edades comprendidas entre y años, ambos incluidos. c) La tarjeta sirve para menores de 6 años. d) La entrada es gratuita para menores de años o mayores de 6 años. e) La temperatura osciló entre 7 C y C. a) (0, 8) b) [, ] c) (0, 6) d) (0, ) (6, + ) e) [7, ] 08 Representa los intervalos (0, ) y (, ) en la misma recta, y señala el intervalo intersección. 0 El intervalo intersección es (0, ). 08 Representa los intervalos (, 8) y [, + ) en la misma recta, y señala mediante un intervalo los puntos que pertenecen a ambos. 0 6 7 8 El intervalo intersección es [, 8). 086 Escribe dos intervalos cuya intersección sea [, ]. Por ejemplo: [, ) ( 8, ] [, ] 087 Escribe dos números racionales y otros dos irracionales contenidos en el intervalo [0, ]. Racionales:, y, Irracionales: y
SOLUCIONARIO 088 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL INTERVALO QUE CONTIENE EL RESULTADO DE UNA OPERACIÓN? Si pertenece al intervalo (, ) e y pertenece a (, ), indica a qué intervalo pertenece el resultado de estas operaciones. a) + y b) y PRIMERO. Se toman los etremos de los intervalos y se opera como se indica en cada caso. Etremos inferiores Etremos superiores a) + y + + y + 6 b) y y 0 SEGUNDO. Se toman los resultados como los etremos de los nuevos intervalos. a) + y pertenecerá al intervalo (, 6). b) y pertenecerá al intervalo (, 0). 089 Si dos números reales, e y, pertenecen a los intervalos (, ) y [0, ], respectivamente, a qué intervalo pertenece el resultado de las operaciones? a) + y b) y c) y d) y a) (, ) b) (, ) c) (, ) d) (, 6) 090 Con ayuda de la calculadora, escribe en forma decimal y sus aproimaciones por eceso y por defecto a las diezmilésimas.,7008076887797609 Aproimación por eceso:,7 Aproimación por defecto:,70 09 Redondea a las milésimas el número 7. Calcula sus aproimaciones por eceso y por defecto. Qué observas? Aproimación por eceso:,66 Aproimación por defecto:,6 09 Aproima por eceso y por defecto con dos cifras decimales. a) b) c) d),6 7 a) Aproimación por eceso: 0,7 c) Aproimación por eceso:, Aproimación por defecto: 0,7 Aproimación por defecto:, b) Aproimación por eceso:,0 d) Aproimación por eceso:,66 Aproimación por defecto:,09 Aproimación por defecto:,6 )
Números reales 09 Qué aparecerá en la pantalla de la calculadora científica, al introducir cada uno de estos números, si previamente pulsamos la secuencia de teclas necesaria para fijar decimales? Y si fijamos? a),879677 d),6678 b) 0,66666 e) 8,0009 c) 8,98766 f),908009 decimales decimales a),879677,8797,87968 b) 0,66666 0,6666 0,66666 c) 8,98766 8,9877 8,98766 d),6678,6,67 e) 8,0009 8,00 8,00 f),908009,9080,9080 09 Escribe un número: a) Decimal periódico puro, cuyo redondeo a las milésimas es,677. b) Decimal periódico mito, con truncamiento a las centésimas 0,97. c) Irracional, cuyo redondeo a las diezmilésimas sea 0,00. a),67 b) 0,97 c) 0,00678 09 Eiste algún caso en el que las aproimaciones por eceso y por defecto coincidan? Y si consideramos el redondeo, puede coincidir con la aproimación por eceso y por defecto? Las aproimaciones por eceso y por defecto coinciden cuando aproimamos a un orden y todas las cifras, distintas de cero, del número son de órdenes superiores. El redondeo siempre coincide con uno de los anteriores; luego puede coincidir con uno o con los dos. 096 Obtén el error absoluto y relativo cometido al redondear y truncar: a) 7 a las centésimas. 9 b) 7,68 a las milésimas. c) 0,6 a las décimas. a) Redondear Truncar Error absoluto 0,00 0,008 Error relativo 0,00088 0,007088 6
SOLUCIONARIO b) c) Redondear Truncar Error absoluto 0,000 0,0008 Error relativo 0,000078 0,000087 Redondear Truncar Error absoluto 0,0 0,06 Error relativo 0,00999 0,00708 097 Si aproimamos 0,69 por 0,, qué error se comete? Y si lo aproimamos por 0,? Cuál es la mejor aproimación? Por qué? Al aproimar por 0,; el error absoluto es de 0,0. Al aproimar por 0,; el error absoluto es de 0,069. Es mejor aproimación 0,; ya que se comete un error menor. 098 099 Una aproimación por defecto de 8,679 es 8,6. Halla el error absoluto y el error relativo. Error absoluto: 0,0079 Error relativo: 0,000978 Escribe el número en forma decimal con la mínima cantidad de cifras 7 para que el error sea menor que centésima. 7 0, 0, < 0, 00 7 00 Aproima el número,6, de forma que el error absoluto sea menor que 0,00. Valen cualquiera de estas aproimaciones:, o,6 0 Considera el número de oro o número áureo: Aproímalo por redondeo hasta las centésimas, y halla el error absoluto y relativo. Φ,6 Error absoluto: + Φ +, 680 6, 0,0096600 Error relativo: + + 6, 0,00067789 7
Números reales 0 Realiza estas operaciones y redondea los resultados a las décimas. Después, redondea cada número a las décimas y resuelve la operación. Por qué procedimiento se comete menor error? a), + 8, b), 8,9 c),,7 d) 0,9 :, a), + 8,,70,7, + 8,,8 Se comete mayor error redondeando cada sumando. b), 8,9,9,, 8,9, Se comete el mismo error. c),,7 6, 6,,,7 6, Se comete mayor error redondeando el resultado. d) 0,9 :, 7,707 7,7 0,9 :, 7,7698 Se comete mayor error redondeando el resultado. 0 Siguiendo los pasos de la actividad anterior, halla una aproimación por defecto. a),7 +,879 b) 7,8,9 c) 6,,9 d) 00, : 8, a),7 +,879 8,99 8,,7 +,8 8, Se comete el mismo error. b) 7,8,9 00,6 00,6 7,8,9 00,6 Se comete mayor error aproimando el resultado. c) 6,,9 7, 7, 6,,9 7, Se comete el mismo error. d) 00, : 8,,0, 00, : 8,,096 Se comete mayor error aproimando los factores. 8
SOLUCIONARIO 0 Obtén la aproimación por redondeo hasta las diezmilésimas. 6 a) + b) + 7 c) d) 7 + 8 a) b) c) d) 6 7 +, 666, 6 + 7, 089, 09 0, 007 0, 00 + 8, 09097, 09 0 Qué error se comete al aproimar el resultado de,96 + 0,7 + 0,8 por el número 0,9?,96 + 0,7 + 0,8 0,8 E a 0,8 0,9 0,007 06 Para qué número sería.,7 una aproimación a las milésimas por defecto? Es única la respuesta? Cuántas hay? La aproimación es del número.,7. La solución no es única; hay infinitas soluciones, tantas como números decimales que empiezan por.,7 07 08 Se puede escribir π? Justifica la respuesta y calcula el orden del error cometido. π,96, 99 Es posible escribirlo, ya que el error que se comete es menor que millonésima. E a π,96,99 0,000000667 Razona si es verdadero o falso. a) Si el lado de un cuadrado es un número racional, la diagonal es irracional. b) Si el lado de un cuadrado es un número irracional, el área es racional. c) Si la diagonal de un cuadrado es racional, el área es racional. a) Verdadero, por ejemplo: Lado a Diagonal a b) Falso, por ejemplo: Lado π Área π c) Verdadero, por ejemplo: Diagonal a Lado a a Área 9
Números reales 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA UNA COTA DEL ERROR ABSOLUTO? Escribe una aproimación por defecto y por eceso, hasta las milésimas, del número π. Indica, en cada caso, una cota del error absoluto cometido. PRIMERO. Se calcula la epresión decimal del número irracional, π,9..., y la aproimación por eceso y por defecto. Por eceso Por defecto,, SEGUNDO. El error absoluto eacto no se puede calcular por ser un número irracional. Por eso, se toma una aproimación por eceso de los errores absolutos de un orden inferior al de la aproimación. En este caso, se aproima a las diezmilésimas, pues las aproimaciones de π son a las milésimas.,9..., 0,00008... < 0,000 La cota de error es menor que diezmilésimas.,9..., 0,0009... < 0,0006 La cota de error es menor que 6 diezmilésimas. 0 Escribe una aproimación por defecto y por eceso del número e,788... Indica, en cada caso, una cota del error absoluto. Por defecto:,78. Error: 0,0008 < 0,000 Como hemos aproimado a las milésimas, la cota de error es menor que diezmilésimas. Por eceso:,79. Error: 0,00079 < 0,0008 La cota de error es menor que 8 diezmilésimas. Calcula el lado de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio cm. El número obtenido, es racional o irracional? La diagonal del cuadrado coincide con el diámetro. Lado Diagonal 0 El lado mide cm, que es un número irracional. Halla la diagonal de un cuadrado de lado 8 cm. Si construimos un cuadrado cuyo lado es esa diagonal, cuál es el área del segundo cuadrado? Diagonal 8 cm Área ( 8 ) 8 cm 0
SOLUCIONARIO La base de un rectángulo mide b 8 cm y su altura es a b. Calcula la longitud de la circunferencia circunscrita a este rectángulo y epresa el resultado con tres decimales. El diámetro de la circunferencia es la diagonal del rectángulo. Diagonal 8 + 6 0 cm, radio cm La longitud de la circunferencia es, cm. Calcula el volumen del edificio y redondea el resultado a las milésimas. 0,6 m,9 m,7 m a) Redondea sus dimensiones a las décimas, y calcula el volumen de nuevo. Qué relación tiene con el resultado anterior? b) Halla el error absoluto y relativo cometido en cada caso. El valor eacto del volumen es: Volumen,9,7 0,6 8.97, m Si redondeamos el resultado a las milésimas: Volumen 8.97, m a) Volumen,6,8 0, 8.98,67 m El resultado es mayor que el resultado anterior. b) Volumen,9,7 0,6 8.97, m E a 8.97, 8.97, 0,000 E r 8. 97, 8. 97, 8. 97, 000, 000007 Volumen,6,8 0, 8.98,67 m E a 8.97, 8.98,67 7,8 E r 8. 97, 8. 98, 67 8. 97, 000, 6
Números reales Halla la longitud de los lados y el área de cada una de las piezas del tangram. Suponemos que el lado del cuadrado es l. l a es la mitad de la diagonal del cuadrado: a a 6 b c a l + l l l a b a b b 7 c a b es la mitad de a: b c es la mitad de l: c l l c c Vamos a calcular ahora el perímetro y el área de cada figura. P a + l l + l ( + ) l Figura : a a A l l P a + l l + l ( + ) l Figura : a a A l l P b + c + l l + l Figura : l l A c 8 l + P b + c + l l Figura : b b A l 6 P b l Figura : l A b 8
SOLUCIONARIO + l P b + c + l l Figura 6: b b A l 6 P b + c + l l + l Figura 7: c c A l 8 6 Considera que A, B, C y D son cuatro localidades. La distancia entre A y B es 8 km, con un error de 00 m, y la distancia entre C y D es 00 m, con un error de, m. Qué medida es más adecuada? Por qué? 00 Comparamos los errores relativos: 0,006, < 0,008 8. 000 00 Es más adecuada la medida de la distancia entre C y D por tener menor error relativo. 7 a a + b a b Si es irreducible, razona si y también lo son. b a b a b Compruébalo con números y, después, intenta etraer una regla general. a + b Supongamos que a b es reducible: a + b y, con < a b a b : a b (a + b) a b y + a b y a Como a, b, e y son números enteros y b es irreducible: a + b y a z, con z < b a b a z b a z + b y a z + b z b y a a y z a z b (y z), con z < b b z a Esto no es posible por ser b irreducible. a + b Por tanto, a b es irreducible. a b De manera similar se prueba que a b es también irreducible.
Números reales 8 Comprueba las siguientes igualdades. a),, b) 0, 0, Por qué opinas que se produce este resultado? Crees que es correcto? a), 7 9, 0 90 7 Son iguales. b) 0, 999 Son iguales. 0,. 00 99. 900 999 Son iguales porque el anteperíodo puede integrarse en el período. 9 Escribe aproimaciones decimales del número 6,6, con las siguientes cotas del error absoluto. a) 0,00 b) 0,000 c) 0,0 d) 0, a) 6,7 b) 6, c) 6,6 d) 6,8 0 Justifica de qué orden tendríamos que tomar el redondeo de un número irracional para que la cota del error absoluto fuera menor que una millonésima. El orden del redondeo sería a las diezmillonésimas. EN LA VIDA COTIDIANA En un campamento, los monitores han pedido a los chicos que se agrupen, pinten un mural y, después, lo enmarquen. El grupo de Juan ha hecho un mural cuya área mide m y quiere enmarcarlo. Necesitan calcular la longitud del lado, pero no disponen de reglas para medir ni calculadoras. Vamos a relacionarlo con, que es la longitud de la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide m. Y cómo medimos?
SOLUCIONARIO El monitor les pide que den la longitud con precisión de milímetros, por lo que deben determinar los tres primeros decimales de. Los chicos piensan en rectángulos cuya área coincida con el área del mural y en dimensiones cada vez más parecidas entre sí. Empezamos con un rectángulo de m de base y m de altura. A continuación, toman un rectángulo cuya base es la media entre la base + y la altura del anterior: ; así, la altura debe ser :, y tenemos que: < <. Continuando este proceso, como la diferencia entre la base y la altura de estos rectángulos es cada vez menor y siempre está comprendido entre ellas, Juan procede así hasta que las tres primeras cifras de la base y la altura del rectángulo sean iguales. Cuántos pasos debe dar Juan para lograrlo? PRIMER PASO: < < Cota de error: 6 SEGUNDO PASO: + 7 7 : 7 7 < < Cota de error: 7 0 TERCER PASO: 7 + 7 77 77 86 : 08 08 77 86 77 < < Cota de error: 77 08. 6 La cota es ya menor que milímetro. 77, 08
Números reales Los alumnos de.º ESO han visitado un observatorio astronómico. Johannes Kepler publicó en 69 su libro La armonía del Universo, en el que eponía su descubrimiento, que hoy denominamos la tercera ley de Kepler. Esta ley relaciona el tiempo,t, que un planeta tarda en dar una vuelta completa alrededor del Sol y la distancia, a, que lo separa de él. El guía les da una tabla con datos sobre los seis planetas conocidos en la época de Kepler. Planeta a (millones T de km) (días) Mercurio 7,9 87,969 Venus Tierra Marte Júpiter Saturno 08, 9,6 7,9 778,.7,70 6,6 686,980.,9 0.79, T a Les cuenta que en 78 se descubrió Urano, con un período de 8,0 años; y en 86, Neptuno, con 6,79 años de período. Con esta información, escribe el período (en días) y calcula la distancia de Urano y Neptuno al Sol. 6
SOLUCIONARIO T Teniendo en cuenta que la ley de Kepler indica que a 00, : URANO Período: 0.66 días Distancia al Sol: a T 0. 66 00, 00,.86,6 millones de kilómetros NEPTUNO Período: 60.8 días Distancia al Sol: a T 60. 8 00, 00,.88,77 millones de kilómetros 7
Potencias y radicales POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NOTACIÓN CIENTÍFICA RADICALES EQUIVALENTES SEMEJANTES OPERACIONES CON RADICALES SUMA Y RESTA PRODUCTO Y COCIENTE POTENCIA Y RAÍZ RACIONALIZACIÓN DENOMINADOR CON RADICAL DENOMINADOR CON BINOMIO RADICAL 8
Prueba de valor No eran buenos tiempos para la gente corriente, las ciudades estado italianas se hundían en un río de intrigas, traiciones y violentas guerras, del que no se salvaban ni siquiera los Estados Pontificios. En una de estas ciudades, Brescia, Nicolo Fontana se dispuso a contar la historia de su herida, una fea cicatriz que surcaba su mandíbula. Fue hace dos años, en, la ciudad había caído y grupos de soldados descontrolados campaban a sus anchas por todas partes. Mi madre corría delante de mí en dirección a la iglesia. La narración se detuvo mientras aconsejaba a los más pequeños. No lo olvidéis nunca: en caso de peligro el único sitio seguro es la iglesia! Tras la obligada pausa, Nicolo continuó con su dramática escena. De repente, mi madre tropezó y un soldado se acercó a ella blandiendo la espada. La tragedia parecía irremediable. En ese momento, sin dudarlo ni un instante, salté sobre él para defenderla y rodamos por el suelo. Nicolo hacía aspavientos luchando con el imaginario enemigo. Pero era más fuerte que yo, se revolvió y de un golpe de espada tajó mi cara como aquí veis. La herida tardó tiempo en curarse y me dejó tartamudo, pero lo doy por bien empleado. El muchacho, Nicolo Fontana, apodado Tartaglia, se convirtió en uno de los matemáticos más importantes del siglo XVI. Tartaglia encontró la solución de una ecuación cúbica mediante radicales. Discute el valor numérico de estos radicales según el valor de a: a y a. Para a < 0: a no eiste. Para a 0: Para a > 0: a tiene un único valor. a a 0 a tiene dos valores, que son opuestos. a tiene un único valor.
Potencias y radicales EJERCICIOS 00 Simplifica y calcula. a) z z... z b)... c) ( ) d) 60 veces 0 veces a) z 60 b) 0 c) d) 00 Escribe el inverso de los siguientes números como potencia de eponente entero. a) b) c) d) a) b) c) d) 00 00 00 Epresa estas fracciones como potencias de eponentes enteros. a) b) c) 6 6 a) b) c) 7 6 6 7 Indica cuánto vale ( ) n para los valores positivos y negativos de n. Para ello, comienza dando valores pequeños y obtén una regla general. Independientemente de si n es positivo o negativo, ( ) n si n es par si n es impar Aplica las propiedades de las potencias, y epresa el resultado como potencia de eponente positivo. a) 8 8 6 c) (8 ) e) 8 b) d) f) ( ) 7 Indica qué propiedad has utilizado en cada caso. 7 a) d) 9 8 9 8 b) ( 8 ( ) ) ( 6 ) e) 0 c) ( ) ( ) f) 0 0
SOLUCIONARIO 006 Calcula. a) ( y ) : ( 6 y ) b) (6 y ) : ( y ) ( ) a) y y y b) y ( ) y 6 007 Simplifica y epresa el resultado como potencia. 7 6 a) c) 9 7 6 b) d) 8 a) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 b) 6 0 c) d) 6 8 008 Epresa en notación científica. a) 9.0.000 g) 0,0089 b) 0,000 h) 7 c) 789.00 i) diezmilésima d) billón j) centésimas e) Media decena k) 9 milésimas f) l) 6 trillones a) 9, 0 6 g) 8,9 0 b), 0 h),7 0 c) 7,89 0 i) 0 d) 0 6 j) 0 e) 0 0 k) 9 0 f) l) 6 0 8 009 Estos números no están correctamente escritos en notación científica. Corrígelos. a) 0,7 0 6 b), 0 a) 7 0 b), 0
Potencias y radicales 00 Calcula. a), 0 + 0 b) ( 0 ) (, 0 ) a),8 0 8.000 b), 0 0,0000 0 Realiza las siguientes operaciones, y epresa el resultado en notación científica. a) 9, 0 + 7,6 0 e) (, 0 ) (8 0 ) b) 7,8 0 + 8 0 f) ( 0 6 ) : ( 0 8 ) c) 0 7 7 0 g) (7 0 ) : (, 0 ) d) (9 0 ) (8, 0 ) h) ( 0 ) ( 0 ) : (8 0 ) a) 9,6 0 e),6 0 8 b) 7,88 0 f) 0 c) 6,997 0 g) 0 d) 7,6 0 7 h) 0 0 0 Un microorganismo mide, micras. Sabiendo que micra es la millonésima parte de metro, epresa, en metros y en notación científica, la longitud de millones de microorganismos dispuestos en fila. ( 0 6 ) (, 0 6 ), 0 metros 0 Realiza, utilizando la calculadora y también sin ella, esta suma: 9, 0 99 +,78 0 99. Qué diferencias observas entre las dos formas de realizar la suma? En el caso de que la calculadora solo admita dos cifras en el eponente, no será capaz de hacerlo e indicará un error. Si se realiza manualmente, el resultado es,0 0 00. 0 Transforma las potencias en raíces. a) 6.096 c) ( ) b) 6 d) ( ) 8 6 a) 6. 096 c) b) 6 d) 8 6 0 Calcula el valor numérico, si eiste, de los siguientes radicales. a) 6 b) 8 c) 00 d) a) y c) No eiste b) d)
SOLUCIONARIO 06 Halla, con la calculadora, el valor numérico de estas epresiones. a) + 6 b) 7 c) ( ) 6 a) +,9897,9897 b),78779 7,88 c) No eiste 07 Pon dos ejemplos de radicales cuyas raíces sean y. Eiste un radical con raíces y? Ejemplos: 9 y 8 No es posible que un radical tenga como raíces y, ya que en el caso de tener dos raíces, estas deben ser opuestas. 08 Epresa las siguientes potencias como radicales y halla su valor numérico. a) c) 7 e) b) ( ) d) ( 7) 6 f) ( 6) 6 a), 80989 d) 7 no eiste. b),990 e),887 c) 7,870 f) ( 6),9967 09 Da dos radicales equivalentes a cada uno. 6 a) b) c) 7 0 0 6 9 a) y 8 b) 6 y 6 c) 0 y 0 00 Razona si son equivalentes estos radicales. 6 0 a) y c) y b) 0 y d) y 6 0 a) Equivalentes c) No equivalentes 0 b) No equivalentes d) Equivalentes 0 Epresa en forma de potencia. a) b) c) 6y d) a) b) c) ( 6y ) d) ( 8)