Tema..-- Números comlleos y asores..- Números comleos..a. Deinición y oeraciones elementales Los números comleos ueden exresarse en la orma: ab (orma binómica [] donde a y b son números reales y es la unidad imaginaria ura; i.e., - y - [] La arte real de se exresa como ( a; la arte imaginaria como ( b: ( ( (orma binómica [3] Suma y resta: ( a b ( a b ( a a ( b b Multilicación: ( a b ( a b ( aa - bb ( ab a b División: ( ( ( ( ( ( a b a b a - b aa bb a b -ab a b a b a - b a b El comleo conugado * del número comleo es Módulo de un comleo: * a-b [4] ( ( * a b a- b a b [5] Z a b Z * [6]..b. resentación geométrica Tomamos como ee real (o olar el ee x y como ee imaginario el ee y. Entonces, el número comleo a b viene reresentado or un segmento orientado (lecha o agua que une el origen de coordenadas con el unto (a, b del lano comleo. Las royecciones de sobre los resectivos ees son ( e b y Z a x (. Números comleos y asores./6
Llamamos argumento del número comleo al ángulo deinido or su reresentación geométrica y el ee real. Podemos exresar el número comleo en unción de su módulo y de su argumento: Z Z(cos sen (orma trigonométria o olar [7] ìï ì a Zcos Z a b ï í ï í b Zsen b ï ï arctg a En la reresentación gráica, la suma de los números comleos obedece la ley del aralelogramo, como se ilustra en la igura. Los números comleos oseen algunas de las roiedades de los vectores en el esacio bidimensional, ero no deben conundirse con éstos. [8] b Z a..c. resentación exonencial cordemos la relación existente entre las unciones exonencial, sinusoidal y cosinusoidal: e cos sen [9] que se deduce del desarrollo en serie de Taylor de los tres términos. Podemos escribir Z Ze (orma exonencial [0] Esta orma es articularmente adecuada ara la reresentación de la amlitud y de la ase de una oscilación. En las ormas olar y exonencial, la multilicación y división de comleos es muy simle y adecuada ara cálculos numéricos: Multilicación: ( ì Z Z Z Z ï í ï ( ( Ze Ze ZZ e Z Z División: ì Z æ Z Z Z ç çè ø ï í æ ï Ze ç Z çè ø - Ze ç Z ç e ( - Z Z Números comleos y asores./6
A artir de la reresentación gráica de los números comleos, resulta que multilicar o dividir un número comleo or otro equivale a multilicar o dividir su módulo (agrandarlo o acortarlo y hacerlo girar en el lano comleo. El roducto es conmutativo. Los números comleos de módulo unidad (Z ertenecen a la circunerencia de radio unidad con centro en el origen del lano comleo y son de la orma:..d. Algunas alicaciones Es ácil demostrar que e cos sen[] n n n ( e e ( cos sen cosn sen n (órmula de Moivre n [] la cual, igualando searadamente sus artes reales e imaginarias, nos conduce directamente a las órmulas del seno y coseno de ángulos múltilos. Así, ( ( cos sen cos - sen sencos cos sen sen sen cos cos cos sen - A artir de la órmula de Moivre se deducen muchas relaciones trigonométricas: Como eercicio, utilícese [9] ara obtener: cos e e y sen e e - - [3] Una ecuación con magnitudes comleas debe satisacerse searadamente or su arte real y su arte imaginaria. Así, odemos manear una oscilación x Asen( wt en la orma comlea ( t t x Ae w Ae e w [4] ( t considerando tan sólo la arte imaginaria del comleo Ae w. Al inalizar los desarrollos y cálculos, consideraremos únicamente la arte imaginaria del resultado. Esto se uede hacer con toda libertad en tanto que no aarezcan roductos de números comleos; i.e., cuando las ecuaciones son lineales en las magnitudes comleas. Debemos restar mucha atención a los roductos de números comleos. Así, suongamos que estamos interesados en el roducto y y de dos magnitudes reales. Si escribiésemos ì x y ï í - ï x y ( x x y y ( x y x y Números comleos y asores.3/6
la arte imaginaria del roducto es ( las artes imaginarias ( ( yy. x y x y, que no es igual al roducto de..e. Eemlo Encontrar la resultante de las oscilaciones æ Δw x Asen ç w t çè ø y æ Δw x Asen ç w - t çè ø. Con notación asorial: ìï æ Δw ç w t Δw Δw çè ø t - t x ï Ae e e wt æδw í Δ cos æ w ç w- t ç è ø çè ø ï x Ae x x x A e A t e y tomando tan sólo la arte imaginaria del resultado æδw wt æδw x Acos t ( e Acos t senwt çè ø çè ø w w de modo que el resultado es una oscilación de recuencia w cuya amlitud está modulada con una recuencia de ulsación w w- w. wt Números comleos y asores.4/6
..- resentación asorial Fasor es una magnitud de naturaleza comlea cuyo argumento aumenta uniormemente con el tiemo. En su reresentación geométrica, uede interretarse como un número comleo rotatorio. El argumento del asor será de la orma wt 0. Normalmente se le reresentan en el instante t 0. La notación asorial es muy adecuada ara la reresentación de la amlitud y de la ase de una oscilación. Así, yt ( sen( wt 0 y ( ìï ( wt 0 e 0 t 0 ï í ïï wt 0 ïécos( wt 0 sen( wt 0..a. Desase entre asores En muchas ocasiones, estamos interesados en el estudio de oscilaciones que tienen todas la misma recuencia. En estas circunstancias, solo estaremos interesados en los desases relativos entre ellas, or lo que consideraremos una instantánea de las oscilaciones (v.g., t 0, de modo que trabaaremos con asores de la orma: ( cos sen 0 e 0 0 0 y el desase entre dos asores será ì sen( y wt ì ì ï e í ï í ï í desase - y sen( wt ï ï e desase Números comleos y asores.5/6
.3.- Derivación e integración temoral de una magnitud asorial.3.a. Derivación ( w sen( w é cos t 0 t 0 d wé sen( wt 0 cos( wt 0 dt - cos( t w é w 0 sen( wt 0 La derivada de se adelanta π/ con resecto de. 0 90º 0 También odemos escribir: ( wt 0 d ( wt 0 ( wt 0 e we we dt d wt w 0 wt 0 dt [5].3.b. Integración ( w sen( w é cos t 0 t 0 dt ésen( wt 0 cos( wt 0 ò w - écos( wt 0 - sen( wt 0 - w La integral de se retrasa π/ con resecto de. / 0 0-90º ò dt También odemos escribir: ( wt 0 ( wt 0 ( wt 0 ( wt 0- e ò dt e - e e w w w æ wt dt 0 ò ç çèw ø 0 wt - [6] Números comleos y asores.6/6