Pendiente exacta de una curva en alguno de sus puntos
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- Víctor Manuel Campos Botella
- hace 7 años
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1 Pendiente eacta de una curva en alguno de sus puntos Para calcular la pendiente de una curva representada mediante la unción y ( en un punto es necesario que el punto considerado pertenezca a esa unción. El dato eacto de la pendiente de la curva en un punto debe encontrarse haciendo uso de la derivada m ( la cual es objeto de estudio del Cálculo Dierencial conocido también como Cálculo ininitesimal. El concepto de derivada es semejante al concepto que ya se tiene para la pendiente de la línea recta en el sentido que también es una razón de cambio; pero ahora se considera que tanto como se han reducido ininitamente de tamaño hasta convertirse en los dierenciales y. Por deinición si ( es una unción continua su derivada es el límite de la razón de cambio de y respecto a cuando el cambio de tiende a cero siempre y cuando el límite eista. Lim ( 0 Para ilustrar el concepto de derivada desde el punto de vista de su deinición a continuación se deduce la órmula para calcular la pendiente de una curva en un punto utilizando límites. y la cual es eactamente igual a la pendiente de la recta tangente que se apoya especíicamente en ese punto de la gráica. Se pretende calcular la pendiente de una curva en el punto ( Figura. Recta tangente apoyada en el punto ( y Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page
2 Por otro lado sabemos que la pendiente de una línea recta se calcula haciendo uso de las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta en cuestión m y en donde ( y ( y considerada. son puntos ubicados en el lugar geométrico de la línea recta y Si se toman dos puntos en una curva para calcular la pendiente de una recta secante realmente se está encontrando la pendiente aproimada de un segmento de la curva que nos interesa. Figura. Recta secante que pasa por dos puntos de una curva. Asimismo se pueden tomar los dos puntos cada vez mas cerca uno de otro a in de que el segmento considerado de la curva sea cada vez más pequeño. El procedimiento se inicia considerando que la pendiente de un segmento de una curva situado entre dos puntos es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por esos puntos. Se continúa calculando la pendiente de rectas secantes que tocan puntos cada vez mas cercanos entre sí. El procedimiento inaliza cuando la distancia entre los dos puntos desaparece quedando la recta apoyada en un solo punto por lo que la recta secante que se consideró al inicio se ha transormado en una recta tangente. Los puntos a considerar son: ( y ( y ( los cuales se muestran en la gráica de la igura en donde se ha utilizado la gráica de la unción y + Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page
3 La distancia en el eje entre las coordenadas horizontales de ambos puntos es. Asimismo y es la distancia en el eje y entre las coordenadas verticales de los mismos puntos. Al igual que en cualquier línea recta la pendiente de la recta secante es: y Figura (a. Vista ampliada de la recta secante que pasa por dos puntos de una curva. A medida que la distancia entre los dos puntos se hace mas pequeña se reducen las dimensiones tanto de como de y. El proceso mediante el cual se transorma en y en equivale a decir que los puntos considerados para trazar la secante se acercan cada vez más hasta llegar a ser un solo punto por lo cual la recta considerada deja de ser secante para transormarse a tangente. Este proceso es lo que está implícito cuando se evalúa el límite cuando tiende a cero. Cuando se dice que Lim 0 tiende a cero se pretende que el punto ( se acerque al punto ( puntos en los cuales es discontinua por lo cual ( y y buscándolo como meta. Deinitivamente una unción no puede derivarse en aquellos debe pertenecer a la unción. y se planteó en la Figura con un que debe reducirse a su mínima epresión. El resultado es la Figura en donde se La recta secante para el cálculo de la pendiente en ( muestra una recta tangente que se apoya en el punto ( y Para eectos de ilustrar de una orma numérica el procedimiento descrito a continuación se toman especíicamente los puntos que corresponden a. 5 y Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page y
4 ( y (.5.5 ( y ( 5 Figura (b Datos numéricos correspondientes a la gráica (a La pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos de la curva es: y En las Figuras (b 4 y 5 se muestra varios acercamientos de la misma gráica de la Figura en la que se observa que cuando se hace más pequeño automáticamente y también se hace más pequeño. Para hacer el acercamiento que se presenta en la Figura (b se eligió una ventana cuyas dimensiones son: 0 0 y 0 Para trazar la Figura 4 se amplió una porción de la Figura (b. Esta ventana tiene las dimensiones 0 y 4 Los puntos considerados corresponden a. 5 y. 6 La pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos de la curva es: y Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page 4
5 Figura 4. Recta secante que pasa por los puntos: ( y (.5.5 ( y (.6.56 Finalmente se tomó una ventana con dimensiones y. 4 para trazar la Figura 5 Figura 5. Recta secante que pasa por los puntos: ( y (.5.5 ( y ( La pendiente de la recta secante que pasa por estos dos puntos de la curva es: y Como puede verse a medida que se hace más pequeño la recta secante se apoya en dos puntos cada vez más cercanos. Cuando ha disminuido suiciente para que su valor casi sea cero la recta secante prácticamente se está apoyando solamente en el punto ( y por lo que se considera que es la recta tangente mostrada en la Figura. Otro aspecto a avor de que se considere una línea recta como reerencia para calcular la pendiente de una curva en un punto es que a medida que se ampliica la ventana alrededor del punto ( y la curvatura de la gráica se hace menos perceptible hasta llegar a ser una línea recta cuando estamos llegando a valores sumamente pequeños de y de y. Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page 5
6 El concepto de dierencial se ubica precisamente en la situación en que se ha reducido tanto que su valor es casi cero. Por tanto todo lo que se ha mencionado respecto a la pendiente de la recta secante calculada con límites es conceptualmente válido al reerirse a dierenciales. De acuerdo a la deinición de derivada la órmula para el cálculo de la pendiente de una recta tangente que se apoya en cualquier punto de una unción ya mencionada como ecuación ( es: m Lim 0 Si a los puntos ( y y ( y les llamamos respectivamente punto ( ( ( + ( + y se sustituyen en la ecuación anterior la ecuación toma la orma y punto Lim ( + ( ( + 0 (4 inalmente simpliicando los términos semejantes se llega a: Lim 0 ( + ( (5 la cual implica el cálculo de la pendiente de una recta secante en el límite cuando cero. tiende a Algunos autores utilizan h en lugar en lo absoluto el tema tratado. lo cual solo es un cambio de simbología y no altera Ejercicio resuelto Usando la deinición de derivada (en términos de límites a Encuentre la ecuación para el cálculo de la pendiente en cualquier punto para la unción y ( + la cual corresponde a la gráica de la Figura. b Calcule la pendiente eacta de la misma unción en.5 Resolviendo a Para empezar debe establecerse ( + para la unción planteada. Esto es: ( + ( + + ( + Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page 6
7 Utilizando la ecuación (5 Lim 0 ( + ( sustituyendo los polinomios que corresponden a ( y a ( + Lim 0 ( + ( + + ( + desarrollando los binomios elevados a una potencia Lim 0 ( + + ( + ( ( + + ( + ( + simpliicando los términos semejantes y sacando un actor común se tiene simpliicando Lim 0 ( + + ( + en numerador y denominador Lim ( ( + evaluando el límite cuando 0 m Esta respuesta proporciona una órmula para calcular la pendiente de y ( + en cualquier punto. b Para.5 el valor de la pendiente se obtiene evaluando la derivada en ( ( El valor.75 obtenido para la derivada es el valor de la pendiente de la recta tangente que se apoya en el punto de la curva en donde.5 Catalina Inés Aguirre de Aguirre Page 7
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