Campo eléctico 0 de 12 INDICE Repaso Ley de Coulomb Unidades. Fueza sobe una caga situada en un campo eléctico. Concepto de intensidad de campo. Pincipio de supeposición. Enegía potencial electostática Difeencia de potencial ente dos puntos de un campo Flujo de un vecto a tavés de una supeficie. Teoema de gauss paa un campo electico. Aplicación del teoema de Gauss el cálculo de campos. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Campo eléctico 1 de 12 REPASO Los átomos están constituidos po patículas que en algunos casos poseen caga eléctica. La mateia suele se elécticamente neuta y solo cuando los potones o los electones están en exceso son las esponsables de la caga en la mateia. El signo positivo o negativo asignado a cada tipo de caga fue algo totalmente abitaio aunque aceptado univesalmente. Las cagas que tienen signo contaio se ataen mientas que las cagas que tienen el mismo signo se epelen. Po ota pate la caga total se conseva, cuando un cuepo se electiza po cualquie método (po ejemplo po fotamiento) oto también se caga con cagas de signo contaio. Po ota pate la caga libe meno que se conoce es la caga del electón (-) o la del potón (+) y su valo es en ambos casos de 1,6 10-19 C. Se dice que es la unidad natual de caga. LEY DE COULOMB. Chales Augustin Coulomb fue quien, ente 1784-85 ealizó la pimea investigación cuantitativa de la ley que ige las fuezas ente cuepos cagados, utilizando una balanza de tosión del mismo tipo que la empleada posteiomente po Cavendish paa medi las fuezas gavitatoias. Coulomb demostó entonces que las fuezas existentes ente dos cuepos cagados (atactivas o epulsivas) ean invesamente popocionales al cuadado de la distancia que había ente ellos. (1) Antes de caga la esfea pequeña (2) Después de caga la esfea pequeña la fueza ente cagas povoca la tosión del hilo (M = f = k α) siendo k coeficiente de tosión y α el ángulo giado. La balanza de tosión consiste en dos bolas muy ligeas unidas a los extemos de una baa que a su vez está suspendida po un cable. Una de estas bolas tiene una caga (q'). Paa medi la inteacción electostática se usa ota bola más, cagada (q) a una distancia de la pimea (). Las dos bolas cagadas se epelen o se ataen, según sean los signos de las cagas, povocando una tosión en el hilo que se puede medi. Se ve que la fueza es invesamente popocional al cuadado de la distancia: F α Aunque el concepto de cantidad de electicidad (caga) no ea conocido con mucha pecisión, Coulomb ideó una foma de, a pati de una esfea cagada y po contacto con otas iguales, obtene cagas mitad, tecio... de la pimea. De esta foma se vio que la fueza atactiva o 2
Campo eléctico 2 de 12 epulsiva de la que se habló antes ea diectamente popocional a las cagas de los q q' F cuepos: 2 Esta popoción puede convetise en una igualdad si se multiplica po una constante: q q' F = K 2 El valo de esta constante depende del sistema de unidades en el que se expesen la fueza, la caga y la distancia. En el sistema intenacional de unidades y cuando las cagas se encuentan en el vacío el valo de K es 9 10 9 N m 2 C -2. También K apaece en función de ota constante ε 0 K = 1 4πε 0 Se conoce como pemitividad dieléctica del medio, en el vacío es 8,842 10-12 C 2 N -1 m -2. En otas ocasiones apaece la pemitividad elativa cuyo valo viene dado po ε / ε 0, siendo ε la pemitividad del medio consideado. Lógicamente en el vacío la pemitividad elativa es 1 al igual que en el aie. Este es pues el enunciado de la ley de Coulomb: "la atacción o epulsión ejecida sobe un cuepo cagado po oto, es diectamente popocional a las cagas e invesamente al cuadado de la distancia que los sepaa." Esta ley queda estingida a cuepos cuyo tamaño sea pequeño compaado con la distancia que los sepaa (cagas puntuales). Si el signo es el mismo son fuezas epulsivas, si es distinto son fuezas atactivas. Unidades. La unidad natual de caga es el electón, sin embago dado que es una caga muy pequeña se elige como unidad en el sistema intenacional el culombio (C). La definición de coulombio se haá más adelante a pati de la unidad de intensidad de coiente eléctica. La caga de un electón equivale a 1.6 10-19 C. La unidad de caga en el S.I. ecibe el nombe de culombio (C) y se puede defini como la cantidad de caga eléctica que ataviesa la sección del conducto en un tiempo de 1 segundo cuando este está ecoido po una coiente de intensidad 1 ampeio (A)
Campo eléctico 3 de 12 La caga de 1 C es muy gande dado que según la ley de Coulomb, la fueza con que se ataeían dos cagas de 1 C distanciadas 1 m en el vacío seía de 9 10 9 N. Po esta azón se tienden a usa submúltiplos de esta unidad. Nomalmente se usa 1mC = 10-3 C; 1µC = 10-6 C, 1nC = 10-6 C, 1pC = 10-9 C. Oto sistema de unidades al que nos podemos efei es el sistema C.G.S. En este sistema K = 1 en el vacío y la unidad de caga es la unidad electoestática de caga. 1 C = 3 10 9 uee(q). FUERZA SOBRE UNA CARGA SITUADA EN UN CAMPO ELECTRICO. CONCEPTO DE INTENSIDAD DE CAMPO. En pime luga vamos con el concepto de campo eléctico: 1. Se definiá, al igual que se hizo con el campo gavitatoio, como una zona del espacio donde una patícula cagada (con una caga q') expeimenta una fueza, atactiva o epulsiva. El campo está ceado po ota u otas cagas. El módulo de la fueza que ejece la caga que cea el campo (Q), sobe cualquie ota (q') que se sitúa en él a una distancia (), viene dado po: q q' F = K 2 Siendo Q la caga que cea el campo. La magnitud activa en el caso de un campo eléctico es la caga. Su diección es la ecta que une las dos cagas y su sentido depende del signo de la caga que cea el campo y de la ota caga que se situa en uno de sus puntos. 2. Si en un punto del espacio existe una caga Q se define en todos los puntos que la odean un vecto que tiene la diección de la ecta que une el punto con la caga Q y el sentido hacia Q si es negativa y el contaio si es positiva y cuyo módulo seá: F q E = = K 2 q' Este vecto se llama intensidad del campo eléctico. Sus unidades seán N/C 3. Si en un punto del espacio en que está definido un campo eléctico de intensidad E se coloca una caga q', esta expeimentaá una fueza cuyo módulo seá: F = q' E
Campo eléctico 4 de 12 4. Se ve aquí que la intensidad de campo se puede defini numéicamente como la fueza que ejece el campo en cualquie punto sobe la unidad de caga positiva. Sin embago no se tata de una fueza puesto que sus unidades seían N/C 5. Las líneas de fueza se definen como las tayectoias que seguiía la unidad de caga positiva situada en un deteminado punto del campo. Seán líneas convegentes hacia la caga que cea el campo (q) si ésta es negativa y divegentes si ésta fuese positiva. Po esta azón se dice que una caga positiva es un manantial de líneas de fueza y una caga negativa es un sumideo de líneas de fueza. Además estas líneas seán tangentes en cualquie punto al vecto intensidad de campo. Éstas líneas tomaán difeentes fomas según que el campo ceado lo sea po una o vaias cagas y que éstas sean positivas o negativas como se ilusta en el ejemplo. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION PARA FUERZAS ELECTROSTATICAS. Supongamos la caga q positiva sobe la que ejecen fuezas (de atacción) las cagas q' (negativas) que se encuentan en sus poximidades. También en este caso se aplica el pincipio de supeposición paa las fuezas en campos vectoiales. En este caso se puede expesa en la foma siguiente: "Las fuezas electostáticas ente dos patículas cagadas son independientes de la pesencia de otas patículas cagadas". Es deci que la fueza total que actúa sobe la caga q' es la suma vectoial de las fuezas que ejecen cada una de las otas patículas sobe ella.
Campo eléctico 5 de 12 De ahí se deduce que el vecto intensidad de campo eléctico (E) en el punto ocupado po q' seá igual a la suma vectoial de cada una de las intensidades de campo debidas a cada una de las patículas que en conjunto cean el campo eléctico. ENERGIA POTENCIAL ELECTROSTATICA (I) (II) (III) Supongamos una caga q' que se mueve debido a la acción de la fueza que ealiza sobe ella el campo eléctico ceado po una patícula de masa m y caga Q que se supone fija en el oigen de coodenadas. La patícula de masa m' descibe la tayectoia indicada en la figua ente los puntos 1 y 2. Esta tayectoia es plana debido a que la fueza que actúa sobe la patícula es cental. Podemos calcula el tabajo ealizado po las fuezas del campo paa lleva a la caga q' desde el punto 1 hasta el punto 2 en la foma que se indica a continuación en la pizaa.
Campo eléctico 6 de 12 Que es la expesión del teoema de consevación de la enegía mecánica en un campo electostático. Como vemos en este caso W 1 2 coincide con el valo de la ciculación de a lo lago de la tayectoia indicada y su valo solo depende de la posición inicial y final con lo que nos encontamos en un campo consevativo igual que lo ea el campo gavitatoio. Como se puede deduci de la fómula la enegía potencial es positiva en el caso de que las cagas tengan el mismo signo y negativa en caso contaio. DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS DE UN CAMPO La difeencia de potencial ente dos puntos A y B se define como el tabajo ealizado po el campo sobe la unidad de caga positiva paa desplazala desde A hasta B. Sin embago no se debe olvida que la difeencia de potencial no es un tabajo y que sus unidades vienen en voltios. Un voltio seía la difeencia de potencial ente dos puntos de un campo eléctico cuando ese campo ealiza un tabajo de 1 J paa lleva la unidad de caga positiva desde el pime punto hasta el segundo. Se definía como potencial en un punto de un campo, la enegía potencial que posee en ese punto la unidad de caga positiva, po lo tanto:
Campo eléctico 7 de 12 V = E q 1 Q = 4πε p ' 0 Siendo Q la caga que cea el campo y la distancia desde ella al punto consideado. Dado que el campo electostático es consevativo: F = gade p y E = gadv puesto que Ep = q' V se deduce que el tabajo ealizado po la fueza del campo sobe una caga q' paa llevala desde la posición 1 a la 2 viene dado po: W 1->2 = E p1 - E p2 = q' (V 1 - V 2 ) Donde se puede iguala la difeencia de potencial ente dos puntos de un campo eléctico con el tabajo ealizado po las fuezas del campo paa lleva la unidad de caga positiva de 1 a 2. Si lo que queemos es defini el potencial en un punto lo haemos diciendo que es igual al tabajo ealizado po las fuezas del campo paa lleva la unidad positiva de caga desde ese punto hasta el infinito (fuea del campo): W 1->fuea del campo = E p1 = q' V 1 Ahoa podemos defini las unidades de potencial en un campo eléctico. En el sistema intenacional la unidad de potencial es el voltio (volt). De la popia definición de potencial se deduce que:1j = 1volt 1C De igual foma y teniendo en cuenta las equivalencias de uee(q) y eg. con C y J se deduce que la unidad electostática de potencial (unidad en el sistema electostático) tiene la siguiente equivalencia: 1 uee(v) = 300 volt FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE. En pime luga se debe ecoda que una supeficie se puede epesenta po un vecto de diección pependicula a ella y cuyo sentido depende del sentido de ecoido que se asigne al peímeto de la misma. Supongamos ahoa la supeficie de la figua situada en el inteio de un campo, se define como flujo del campo a tavés de la supeficie: Φ = S a ds peo dado que: a ds = a ds cos(α) y dado que ds cosα seía el módulo de la supeficie elemental pependicula al vecto a (se nombaá como ds') esulta: Φ = S a ds'
Campo eléctico 8 de 12 Se considea como positivo el flujo cuando las líneas de campo salen hacia afuea de la supeficie (ve signo del poducto escala). Esto ocue si la caga que hay en el inteio de la supeficie es positiva (una caga positiva ejeceá una fueza de epulsión sobe ota caga del mismo signo) seá un manantial de líneas de fueza. TEOREMA DE GAUSS PARA UN CAMPO ELECTRICO. Sea una caga puntual q positiva y centada en ella tazamos una supeficie esféica S. Puesto que el flujo se hace coincidi con el númeo de líneas de fueza que ataviesan la supeficie, se puede ve que éste es independiente de la foma de la supeficie.
Campo eléctico 9 de 12 Si hubiese dos o más cagas en el inteio de la supeficie dado que E = E 1 + E 2 po el pincipio de supeposición se ve que: Φ = Φ 1 + Φ 2 = (q 1 / ε 0 ) + (q 2 / ε 0 ) Si en el inteio de la supeficie no hubiese ninguna caga el flujo seía nulo: Φ = 0 = Φ entante + Φ saliente Po tanto el teoema de Gauss establece que el flujo de un campo eléctico a tavés de una supeficie ceada viene dado po: Φ = q / ε 0 APLICACION DEL TEOREMA DE GAUSS EL CALCULO DE CAMPOS. 1. Cálculo del campo ceado po una esfea cagada unifomemente. a. En el exteio de la esfea Supondemos que la densidad de caga en la esfea es constante y unifome en todos sus puntos: Luego la intensidad de campo ceado po una esfea cagada en un punto que dista > R de su cento es la misma que el que ceaía una caga puntual (Q) situada en el cento de dicha esfea.
Campo eléctico 10 de 12 2. Campo ceado en un punto póximo a un plano cagado. Supondemos que la densidad supeficial de caga es σ = q/s. Consideemos un cilindo imaginaio de base ds (áea). El plano está cagado positivamente. El flujo a tavés de toda la supeficie cilíndica es: Φ= E ds + E ds (se ha de tene en cuenta que el vecto intensidad de campo es pependicula al vecto supeficie coespondiente a la supeficie lateal del cilindo y de la misma diección que los vectoes supeficie de las bases). 3. Campo ceado po un hilo indefinido cagado. Llamaemos λ =q/l la densidad lineal de caga en el hilo. Si queemos calcula Ф a una distancia del hilo lo haemos calculando el flujo a tavés de la supeficie cilíndica.
Campo eléctico 11 de 12 3. Campo ceado po un hilo indefinido cagado. Llamaemos λ =q/l la densidad lineal de caga en el hilo. Si queemos calcula Ф a una distancia del hilo lo haemos calculando el flujo a tavés de la supeficie cilíndica.