Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del examen final del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO. (x ) sen(x ) a. Use la regla de l Hôspital para hallar lim. x cos(x ) b. Encuentre la ecuación del miembro de la familia de curvas que pasan por (, ) y son ortogonales a la curva x +y =. c. Dadas la integrales definidas 4 4 4 f(x)+g(x) =7y f(x)+g(x) = 4, calcule f(x). d. Sabiendo que log b =, encuentre b 4. e. Halle la longitud aproximada de la curva y = x/ en el intervalo,. SOLUCION: a. Llamando f(x) al numerador y g(x) al denominador, esto es: f(x) =(x ) sen(x ) g(x) = cos(x ) se tiene: Por tanto, de que: f(x) ( ) sen( ) lim = = sen x g(x) cos( ) cos = = f (x) sen(x )+(x ) cos(x ) g = (x) sen(x ) aplicando la regla de l Hôspital se obtiene: f(x) lim x g(x) = lim f (x) sen( )+( ) cos( ) sen + cos x g = = = + = + = (x) sen( ) sen Razón por la cual, de que: f (x) cos(x ) + cos(x ) (x ) sen(x ) cos(x ) (x ) sen(x ) g = = (x) cos(x ) cos(x ) aplicando, de nuevo, la regla de l Hôspital se obtiene: f(x) lim x g(x) = lim f (x) cos( ) ( ) sen( ) cos sen x g = = = = = (x) cos( ) cos = Entonces, la respuesta a este subpunto es: Utilizando la regla de l Hôspital resulta: (x ) sen(x ) lim = x cos(x )
b. Derivando implícitamente respecto de x se obtiene: 4x +y = x + y = Como se trata de encontrar la ecuación de la familia de curvas ortogonales a la curva dada, en la ecuación diferencial obtenida se debe reemplazar / por / con lo cual la ecuación diferencial resultante será ladela familia mencionada: ( x + y ) = x y = x = y Resolviendo esta última ecuación diferencial resulta: x = y x = y ln x =ln y + C ln x / =ln y +lnc ln x =ln ( y C ) x = y C Como la curva cuya ecuación debemos encontrar pasa por el punto (, ), para hallar la constante C debemos reemplazar la x porylay por con lo cual se obtiene: Entonces, la respuesta a este subpunto es: = C =C =C C = La ecuación de tal miembro de dicha familia de curvas es: y x = o también y = x c. Sumando a la primera integral la segunda multiplicada por resulta: 7 8= 4 7 4= 4 f(x)+g(x) +( ) f(x)+g(x) 6f(x) g(x) = = 4 f(x) 4 4 f(x)+g(x) f(x) 6f(x)+g(x) g(x) 4 f(x) = Se concluye que la respuesta a este subpunto es: 4 f(x) = d. De que log b =, como logaritmo de un número es el exponente al cual hay que elevar la base para que resulte el número dado, se desprende: Entonces, la respuesta a este punto es: b log b = b = b 4 = 4 = 8=9 b =9
e. Derivando resulta: = x/ = x/ Tomando u =+x se tiene du =, por tanto: longitud pedida = + Entonces, la respuesta a esta subpunto es: = u / 4 La longitud pedida es 4 ( = ) 4 = +x= u / du 4 / / = 8 = 7=4 4.66667 unidades longitudinales PUNTO. Cuál es el área máxima posible de un rectángulo cuya base está enelejex y con dos vértices superiores en la gráfica de la ecuación y = x como lo muestra la figura? (x, y) - - SOLUCION: Llamemos (x, y) al vértice superior derecho del rectángulo, como aparece en la figura. Como, de acuerdo a los datos del problema, este vértice está sobre la parábola se deduce que debe satisfacer su ecuación, esto es: y = x De que dicho vértice está en el primer cuadrante se desprende que tanto la abscisa x como la ordenada y deben ser no negativas, por tanto: y x x x Puesto que el área de un rectángulo es el producto de su base por su altura y el rectángulo que aparece en la figura tiene una base de longitud igual a x y una altura de longitud igual a y, suárea a viene dada por: a = ( x ) y =xy =x( x ) a =6x x Para maximizar el área a debemos obtener su derivada, esta es: da =6 6x = 6( x ) da = 6( + x)( x)
Entonces, un análisis de signos para esta derivada es: a da + x + +x + + Intervalo (, ) (, ) En el se muestra que en x = el área a presenta un máximo cuyo valor es: a =6x x =6 =6 =4 x= La respuesta a este punto es entonces: Tal área máxima es 4 unidades cuadradas PUNTO. a. Utilizando integración por partes calcule la siguiente integral indefinida: e x sen x b. Evalúe la siguiente integral impropia: + x +9 SOLUCION: a. Tomemos I = e x sen x y también: u = e x, dv = sen x por tanto du = e x, v = cos x Aplicando la fórmula para la integración por partes, o sea udv = uv vdu, resulta: I = u v v du = e x cos x e x cos x I = e x cos x + I () Donde hemos tomado I = e x cos x y además tomamos: u = e x, dv = cos x por tanto du = e x, v = sen x Aplicando, de nuevo, la fórmula para la integración por partes resulta: I = u v v du = e x sen x e x sen x I = e x sen x I () Reemplazando () en () se obtiene: I = e x cos x + e x sen x I I = e x( sen x cos x ) I = ex ( sen x cos x ) + C Entonces, la respuesta a este subpunto es: e x sen x= ex ( sen x cos x ) + C 4
b. Llamemos a(t) alárea, que aparece sombreada en la siguiente figura, bajo la gráfica de función f(x) = x +9 y sobre el intervalo,t del eje x. π/..6 f(x) arctg x - -. t 4 - Entonces, se tiene: lim a(t) = t lim t t Por tanto, la respuesta a este subpunto es: PUNTO 4. t f(x) = lim t = lim t arctg t arctg x +9 = lim t arctg x t = lim t arctg t = π = π 6.99 El resultado de evaluar tal integral impropia es: π.6 unidades cuadradas 6 a. Los archivos indican que t horas después de medianoche, la temperatura en el aeropuerto de una cierta ciudad es de f(t) = t +4t + grados. Cuál es la temperatura media en el aeropuerto entre las 9: y el mediodía? b. La región R limitada por la curva y = x + y la curva y = x + 4 se gira alrededor de la recta horizontal y =: Encuentre los puntos de intersección de las curvas. Dibuje las curvas sombreando la región R. Encuentre el volumen V del sólido de revolución resultante. SOLUCION: a. Se tiene: temperatura media = 9 f(t)dt 9 = 9 t +4t + dt = = t + 4t +t 9 ( = t +t +t 9 ) + + ( ) 9 + 9 + 9 = 666 + 6 = 78 666 = 4 = 8 =7.6
Por tanto, la respuesta a esta parte del punto es: Entre tales horas la temperatura media en el aeropuerto de esa ciudad es de 7.6 grados b. Para encontrar los puntos de intersección de las curvas igualemos las y de sus ecuaciones, esto es: x +=x +4 x x = (x + )(x )= x += x = x = x = Las correspondientes ordenadas vienen dadas por: y = x +4 = +4=, y = x +4 =+4=6 x= x= Entonces, la respuesta a este apartado es: Los puntos de intersección de tales curvas son: P =(, ), P =(, 6) Un gráfico aproximado de tales curvas donde aparece sombreada la región R es: 6 recta P parábola 4 P r i r e eje - El elemento de volumen dv de una arandela de ancho como la que aparece en la figura es: dv = π r e r i = π (y recta y eje ) (y parábola y eje ) = π (x +4 ) (x + ) = π (x +) (x +) = πx +6x +9 x 4 x = π 8+6x x x 4 Por tanto, el volumen V del sólido de revolución que se forma al rotar la región R alrededor del eje y = viene dado por la suma de los elementos de volumen de todas las arandelas que se forman cuando la x se mueve entre x = yx =, esto es: 6
x= V = dv = x= π 8+6x x x 4 = π 8x + 6x x x ) = π 8 + (8( )+( ) ( ) ( ) = π 8x +x x x = π 6+ 8 ( 8++ + ) = π 8 8 +8 = π 9 = π = π Entonces, la respuesta a este apartado es: = 7π El volumen de tal sólido de revolución es: 7π =.4 π 7. unidades cúbicas PUNTO. Una escalera de metros de longitud se apoya contra un edificio. Halle la velocidad a que se mueve el extremo superior cuando el inferior se aleja del edificio a una velocidad de 6 metros por segundo y se encuentra a una distancia de él de 4 metros. SOLUCION: Un gráfico aproximado que ayuda a visualizar la situación a que se refiere el punto es: v y y v x Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo de la figura se obtiene: x x + y = x + y = () En el instante t en que el extremo inferior de la escalera se encuentra a una distancia del edificio de 4 metros, se tiene: 4 + y = 6 + y = y = 6=9 y = 9= lo cual significa que en ese instante el extremo superior de la escalera se encuentra a metros del suelo. Como la velocidad a que se mueve el extremo inferior de la escalera es v x = y la velocidad a que se mueve el extremo dt superior de la escalera es v y =, derivando () respecto del tiempo t, resulta: dt x +y = x dt dt dt + y = dt dt = x y dt v y = x y v x 7
Como de los datos suministrados por el problema se obtiene: v x = =6 dt t=t podemos concluir: v y = x y v x = 4 6= 4 = 8 Por tanto, la respuesta a este punto es: En tal instante la velocidad a que cae el extremo superior de la escalera es de 8 metros por segundo PUNTO 6. a. A partir de (x + y) +y = y utilizando derivada implícita encuentre. b. Se mide el radio de un círculo obteniéndose cm, y se usa la fórmula A = πr para calcular el área. Si el error en la medida del radio es inferior al %, cuál es la precisión en el cálculo del área? (expresada en porcentaje) SOLUCION: a. Derivando implícitamente respecto de la variable x se obtiene: ( x + y ) ( + ) + = ( x + y ) ( ) + x + y + (x ) = + y + = ( x + y ) ( ) x + y = ( ) x + y + b. Como la derivada de la función A = πr respecto del radio r es da dr con relación a la siguiente figura, se tiene: =πr y, por los datos del problema, r =. r, A θ r A r Por tanto: tg θ = da dr =πr = A r La respuesta a este punto es entonces: A =πr r =πr.r A =.6πr A A =.6πr πr =. El porcentaje de error en la medida del área del círculo es 6 por ciento 8