Aplicaciones de las integrales dobles

Aplicaciones de las integrales dobles Las integrales dobles tienen multiples aplicaciones en física en geometría. A continuación damos una relación de alguna de ellas.. El área de una región plana R en el plano viene dada por una integral doble. area(r) = R dd. El volumen V encerrado entre una superficie z = f(, )(> 0) una región R en el plano es V = f(, )dd R 3. Sea f(, ) la función de densidad (=masa por unidad de área) de una distribución de masa en el plano. Entonces la masa total de un trozo plano R es M = R f(, )dd 4. El centro de gravedad de la masa del trozo plano R anterior tiene coordenadas, donde: = f(, )dd, = f(, )dd M R M R 5. Los momentos de inercia I e I de la masa de R con respecto a los ejes e respectivamente son: I = R f(, )dd; I = R f(, )dd

APLICACIONES E LAS INTEGRALES MÚLTIPLES En este capítulo se presentan algunas de las aplicaciones tanto físicas como geométricas de las integrales múltiples, específicamente para las integrales dobles para las integrales triples. APLICACIONES E LAS INTEGRALES OBLES Entre las aplicaciones de las integrales dobles, se tienen las aplicaciones geométricas las físicas. En el primer grupo se encuentran: el cálculo del área de una figura plana el cálculo de volúmenes de sólidos en el espacio; entre las aplicaciones físicas están el cálculo de: masa, momentos estáticos de figuras planas, centros de masa momentos de inercia para una región bidimensional. ÁREA E UNA FIGURA PLANA En el capítulo de este trabajo, se eplicó el significado intrínseco de la integral doble de una función f positiva en una región bidimensional, ( ) f, da, como el volumen del sólido S definido sobre la región bajo la gráfica de la función f. Ahora, si se considera que f ( ) como:, =, entonces la integral anterior queda Recuerde que la integral, da doble ( ), f también puede escribirse como * * ( ) n m Lim f i, j Aij P 0 i = j = ( ) f, da = da (III.) Por lo tanto, empleando la definición de la integral doble, se tiene que: n m da = Lim A ij (III.) P 0 i = j =

donde Aij es el área del rectángulo genérico denotado ij, el cual puede observarse en la figura 3. i (i *, j * ) d = m j j- ij j c = 0 a = 0 i- i n = b Figura 3. Región dividida en subrectángulos ij En otras palabras, la integral da representa el volumen de un sólido de sección transversal constante, cua base es la región cua altura es igual a la unidad. Para un sólido con estas características, el volumen se obtiene como el producto del área de la base la altura del mismo. A partir de todo lo anterior, se define el cálculo del área de una región plana. ÁREA E UNA FIGURA PLANA Sea una región bidimensional, tal que área de la región, entonces:. Sea A el A = dd (III.3)

Recuerde que una región es de tipo si se cumple: ( ), a b = f ( ) g( ) Observe que si la región es de tipo, la ecuación anterior queda como: ( ) b g b g [ ] a f (III.3) a f ( ) ( ) ( ) A = dd = d b a ( ) ( ) A = g f d (III.4) onde la última integral, representa el área comprendida entre las gráficas de = f ( ) = g( ) en el intervalo cerrado [ ] a,b. Esta integral se estudia en la asignatura Análisis Matemático II, dentro de las aplicaciones de la integral definida. Ejercicio ibuje la región calcule su área, empleando las integrales dobles: dd, = { (,) 4 } dd Recuerde que la gráfica de la ecuación: = a + b + c Es una parábola horizontal = = 4 Figura

Para calcular el área de la región por medio de la integral doble dd, es necesario definir los límites de integración, que se ilustran en la figura 3.3 Observe que la región es una región tipo, por lo cual el área se obtiene empleando una sola integral doble de la forma dd. Valor de a la entrada de = Valor de a la salida de = 4

Ejercicio ada la región, determine las ecuaciones de las curvas que la limitan calcule su área empleando las integrales dobles: dd dd. C C C 3 Figura 3.5 Región del ejemplo 3. Las ecuaciones de las curvas en función de la variable son: 0 C: = 6 0 C : = C: =± Las ecuaciones de las curvas que limitan a la región son: C: = 6+ 0 C : = + 0 C : 3 = 4 a) Para el cálculo del área de la región por medio de la integral doble dd, se necesita saber que valor toma la variable a la entrada salida de la región. En la figura 3.6 se pueden observar estos valores.

La región no es una región tipo, sin embargo se puede dividir en tres regiones:, 3., que sí lo son. Por esta razón, para resolver la integral doble dd se debe emplear la propiedad aditiva respecto a la región de integración. Valor de a la entrada de 0 = 6 Valor de a la entrada de 3 0 = 6 = 6 3 = 4 Valor de a la salida de 3 0 = Valor de a la salida de = Valor de a la entrada de = Valor de a la salida de = Figura 3.6 Región del ejemplo 3. como tres regiones tipo Como = 3, entonces: donde: A = dd + dd + dd 3 = (,) 0 4 0 = (,) 4 6 6 0 0 3 = (,) 6 0 6

Ejercicio 3 Calcule, empleando integrales dobles, el área comprendida entre dos círculos concéntricos de radios 4. Considere una corona circular con centro en el origen del sistema de coordenadas tal como se observa a continuación. La región planteada en el ejemplo 3.3 recibe el nombre de corona circular, su área es: A = π ( R r ) donde R: Radio eterno r: radio interno + = 4 + = 6 Figura 3.8 Región del ejemplo 3.3 Como A = dd la región es simétrica respecto al origen, entonces para simplificar el cálculo de área, sólo se evaluará A = dd, donde A es el área de la región que se encuentra en el primer cuadrante, denotada como A = 4A La región denotada como, se muestra en la figura 3.9.

Valor de a la salida de.a = 6 Para calcular el área de la región, se puede dividirla en dos regiones tipo : =.A.B.A = Valor de a la salida de.b = 6.B Valor de a la entrada de.a = 4 Figura 3.9 Valor de a la entrada de.b = 0 Región del ejemplo 3.3 Luego: A = dd + dd.a, donde:. A. B {( ) 0 4 6 }.B = {( ) 4 0 6 } =,,

VOLUMEN E UN SÓLIO EN EL ESPACIO En el capítulo de este trabajo, se determinó que la integral f ( ), da representa el volumen del sólido S definido sobre la región bajo la gráfica de la función f ; sin embargo, la integral doble también puede emplearse para determinar el volumen de un sólido más general. Sean f : VOLUMEN E UN SÓLIO EN EL ESPACIO g : dos funciones reales, continuas en una región bidimensional, tales que f (, ) g(, ) (, ). Sea V el volumen del sólido acotado superiormente por la gráfica de la función g acotado inferiormente por la gráfica de la función f, entonces: (, ) (, ) V = g f da (III.5) Ejercicio 4 ibuje el sólido S acotado por las superficies: z = + z = 0 plantear su volumen empleando integrales dobles. En la figura 3.0 se muestra el sólido S de este ejemplo, donde la superficie superior es dada por la ecuación z = 0 la superficie inferior viene z = +.

Valor de z a la salida de S z = 0 La superficie definida por la ecuación: z = 0 Es una semiesfera (parte superior). La superficie definida por la ecuación: z = + Es un cono. S Valor de z a la entrada de S z = + Figura 3.0 Sólido S del ejemplo 3.4 El volumen del sólido S, mostrado en la figura anterior, se obtiene mediante la integral doble: V = 0 + da donde es la proección del sólido S en el plano. Esta proección, para este ejemplo, resulta ser un círculo con centro en el origen, al que se obtiene en la intersección de las dos superficies: z = + z = 0 + = 0 ( ) 4 + = 0 + = 4 Entonces: {(, ) 4 } = +

Valor de a la salida de = 4 onde es una región tipo también tipo, pero en este ejemplo se trabaja como una región tipo. Es decir, ( ) Figura 3. Valor de a la entrada de = 4 Región del ejemplo 3.4 {, 4 4 } = En el siguiente capítulo, se mostrará como resolver una integral de este tipo, empleando un cambio de variable apropiado. Volviendo a la integral de volumen, se tiene que: V 4 = 0 dd + 4

EJERCICIO 5 ibuje el sólido S acotado por las superficies: z = 4 + z = dentro del cilindro +, calcule su volumen empleando integrales dobles. En la figura siguiente se aprecia el sólido S, acotado por las superficies z = 4 + z = dentro del cilindro +. Valor de z a la salida de S z= 4 + S + = Valor de z a la entrada de S z = Figura 3. Sólido S del ejemplo 3.5 El volumen del sólido S, se obtiene mediante la integral doble: [ 4 ] [ 3 ] V = + da = + da donde es la proección del sólido S en el plano. Esta proección, se observa en la figura 3.3

En este ejemplo, la región es de tipo también tipo, pero se trabaja como una región Valor de a la entrada de = Valor de a la salida de = Figura 3.3 Región del ejemplo 3.5 En este caso, la región se define como: {(, ) } = EJERCICIO 6 ibuje el sólido S acotado por z 3 3 = + +, 0 z =, 3 = = + calcule su volumen empleando integrales dobles. En la figura 3.4 se observa el sólido S, acotado superiormente por z 3 3 = + + e inferiormente por z = 0 ; mientras que las superficies 3 = = + definen las paredes de dicho cuerpo tridimensional.

Valor de z a la salida de S 3 3 z = + + S Valor de z a la entrada de S z = 0 Figura 3.4 Sólido S del ejemplo 3.6 onde, el volumen del sólido S, se obtiene como: = + + = + + V 3 3 3 3 0 da da Al proectar el sólido anterior en el plano, se obtiene la región bidimensional, la cual se aprecia en la figura 3.5 En la figura 3.5, se observa que la región del ejemplo 3.6 es una región de tipo. Valor de a la salida de 3 = Figura 3.5 Valor de a la entrada de = + Región del ejemplo 3.6

Por lo tanto, la región se define como: 3 {(, ) 0 } = + La integral de volumen queda como: 3 V 0 3 3 = + + dd + 3 9 0 7 8 7 6 3 57 V = 4 d + + = 4 4 60 MASA E UNA FIGURA PLANA En la figura 3.6 la región es no homogénea, por lo cual su sombreado no es uniforme. A continuación, se eplica como determinar la masa de una figura plana no homogénea, de área, como la región mostrada en la figura 3.6; es decir para regiones donde la densidad varía en cada punto (,). Adicionalmente: ρ, = 0, ( ) ( ) La densidad tiene unidades de masa por área unitaria. Para esta aplicación, considere que la función densidad ρ es continua en la región. Figura 3.6 Región no homogénea

Si se escoge un punto arbitrario ( *, * ) de este subrectángulo, denotada como Integrales Múltiples Sus Aplicaciones * * (, ) ij i j ij i j ij, entonces la masa m ij, se obtiene como: m = ρ A (III.6) Por lo tanto la masa de la placa plana de área A, se puede estimar mediante la doble suma de Riemann: ( *, * ) n m ρ i j ij (III.7) i= j= m A Si se aumenta el número de subintervalos, de manera que la norma de la partición P tienda a cero, se tiene: ( *, * ) n m ρ i j ij (III.8) P 0 i = j = m= Lim A n m ρ( *, * i j ) ij ρ(, ) (III.9) m= Lim A = da P 0 i = j = Entonces, el cálculo de la masa de una figura plana se obtiene mediante: El cálculo de masa de una región, también puede emplearse para calcular la carga eléctrica, Q, distribuida sobre una región. Q σ, da = ( ) onde σ es la función densidad de carga. MASA E UNA FIGURA PLANA Considere una lámina plana de densidad variable ρ (,), que ocupa una región en el plano, entonces su masa, denotada m, se obtiene como: (, ) m= ρ da (III.0)

EJERICIO 7 etermine la masa de la placa plana limitada por las curvas = =, cua densidad es igual a la unidad. Recuerde que la densidad se calcula como m ρ (, ) lo tanto para esta placa se tiene: m = da = da, por Ahora, se debe identificar la región para definir los límites de integración. Valor de a la entrada de = Valor de a la salida de = Figura 3.7 Región del ejemplo 3.7 Entonces la región está definida como: {( ) } =,

MOMENTOS ESTÁTICOS E FIGURAS PLANAS El momento estático de una partícula alrededor de un eje se define como el producto de su masa la distancia que la separa de ese eje. A continuación, se trata específicamente, los momentos estáticos de una figura plana alrededor de los ejes coordenados. Considere una lámina o placa plana, dividida en subrectángulos ij, tal como se muestra en la siguiente figura: Los momentos estáticos son momentos de equilibrio. M es una medida de la tendencia a girar en torno al eje, análogamente, M es una medida de la tendencia a girar alrededor del eje. Figura 3.0 Región general no homogénea Entonces, el momento estático alrededor del eje, para cada subrectángulo ij, denotado como M ij (, ) * * * ij j i j ij, viene dado por: M = ρ A (III.) Sumando el momento estático alrededor del eje para cada subrectángulo, se tiene que: (, ) n m * * * j ρ i j ij i= j= M A (III.3)

Tomando el límite cuando el número de subrectángulos aumenta en la epresión anterior: (, ) n m * * * = j ρ i j ij P 0 i = j = M Lim A (III.4) n m * ρ( *, * ) ρ(, ) (III.5) M = Lim A = da j i j ij P 0 i = j = Análogamente, el momento estático alrededor del eje, que se denota M, se obtiene como: n m * ρ( *, * ) ρ(, ) (III.6) M = Lim A = da i i j ij P 0 i = j = MOMENTOS ESTÁTICOS E FIGURAS PLANAS Sea una región del plano, tal que su densidad viene dada por la función (,) ρ :, la cual es continua, entonces el momento estático alrededor del eje, denotado M, se obtiene como: (, ) M = ρ da (III.7) Mientras que el momento estático alrededor del eje, denotado M, se calcula como: (, ) M = ρ da (III.8)

EJERCICIO 8 La región del ejemplo 3.7 se muestra a continuación Y se encuentra acotada por las curvas = =. La densidad es : ρ, = ( ) etermine los momentos estáticos de la placa plana descrita en el ejercicio 7 Solución: Los momentos estáticos se calculan de la siguiente manera: = ρ (, ) ρ (, ) M da Entonces: M da =. ( ) M = dd = d = 0 3 3 8 = = + = 5 4 M dd 3 d (,) =

CENTRO E MASA El centro de gravedad también es llamado centro de masa. El significado físico del centro de gravedad, es que la lámina se comporta como si su masa estuviera concentrada en ese punto. El centro de gravedad de una figura plana, es un punto P de coordenadas (, ), en el cual la región se equilibra horizontalmente. Las coordenadas de este punto se obtienen de las ecuaciones: M = (III.9) m M = (III.0) m El centro de gravedad recibe el nombre de centroide cuando la densidad es constante. onde tanto la masa de la placa plana como los momentos estáticos se calculan por medio de integrales dobles.

CENTRO E MASA Sea una región del plano, tal que su densidad viene dada por la función (,) ρ :, la cual es continua, entonces el centro de gravedad viene dado por: = ρ (, ) da m (III.) = ρ (, ) da m (III.) onde m es la masa de la placa, que se obtiene como (, ) ρ da. EJERCICIO 0 La región del ejemplo 3.7 está acotada por las curvas = =. Su densidad es : ρ, = ( ) Y adicionalmente se obtuvo: m = dd = M M 4 3 = da= 0 8 = da= 5 etermine el centro de masa de la placa plana descrita en el ejercicio 7 El centro de masa es un punto P(,), tal que sus coordenadas se obtienen empleando las ecuaciones III. III.. Como a se calculó la masa los momentos estáticos para esta región, entonces sólo queda sustituir en las ecuaciones III.9 III.0 8 M 5 6 = = = m 4 5 3 M 0 = = = 0 m 4 3