Sesión No. 1 Nombre: Probabilidad Contextualización ESTADÍSTICA INFERENCIAL 1 La teoría de la probabilidad se desarrolló en 1654 a partir de la correspondencia entre Antoine Chevalier de Méré y Blaise Pascal respecto a un juego de azar que consistía en lanzar un par de dados 24 veces. El dilema era decidir si se debía o no apostar a que en el transcurso de los 24 lanzamientos aparecerían por lo menos un par de seises. Como resultado de este intercambio epistolar, surgen los principios fundamentales de la teoría de la probabilidad.
2 Introducción al Tema Actualmente, la teoría de la probabilidad brinda soporte a la Estadística, especialmente en lo que concierne al diseño de muestras para el estudio de poblaciones, estimación de parámetros poblacionales y comprobación de hipótesis en diversas áreas administrativas, sociales, naturales y de ingeniería.
3 Explicación Fenómenos y su clasificación Un fenómeno es una manifestación tanto de la naturaleza como de los colectivos sociales. Para su estudio, los fenómenos pueden clasificarse en deterministas y probabilísticos. Los fenómenos deterministas son aquellos que al repetirse en las mismas condiciones arrojan siempre los mismos resultados. Algunos ejemplos de fenómenos deterministas periódicos son: La temperatura a la que se congela el agua. La posición de la luna respecto a la tierra. La ocurrencia de eclipses. Las estaciones del año. Por su parte, a los fenómenos probabilísticos también se les denomina aleatorios. Por esta razón se dice que dependen del azar. Algunos ejemplos de fenómenos probabilísticos son: Cara que resultará de lanzar una moneda. La ocurrencia de un terremoto. Número de personas que llegan a solicitar cierto servicio a una oficina pública. Duración de la vida útil de una lámpara. Por la gran cantidad y complejidad de variables que los componen, los fenómenos probabilísticos tienen patrones de comportamiento no visibles, es decir, no predecibles en el corto plazo. Sin embargo, a partir de estudios teóricos de tales fenómenos se han desarrollado reglas sobre el comportamiento que de ellos puede esperarse.
4 La probabilidad En la teoría de la probabilidad no se garantiza o niega la ocurrencia de un evento; únicamente se asigna un valor numérico indicando en términos porcentuales qué tan factible es que dicho evento ocurra. Conceptos de probabilidad En 1713, el matemático suizo Jakob Bernoulli dio por primera vez una definición clásica de probabilidad, la cual posteriormente fue reformulada por el matemático francés Abraham de Moivre. En este enfoque, denominado clásico, se asume que todos los resultados del experimento son igualmente posibles, de manera que la probabilidad se expresa por: Probabilidad= Nº de posibles resultados del evento. Nº total de resultados posibles del experimento Por ejemplo, al lanzar un dado, la probabilidad denotada por la literal P de que la cara de arriba corresponda al tres es: = 0.1666 = 16.66% Debido a que el dado tiene un total de seis caras y sólo una de ellas corresponde al número tres. El concepto clásico de probabilidad también se conoce como enfoque a priori, pues anticipa una medida sobre la posibilidad de que un evento ocurra. El concepto clásico de probabilidad se basa en el conocimiento del número de casos favorables, sin embargo, cuando dicho número se desconoce es imposible utilizar el enfoque a priori para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento. Consciente de ello, Bernoulli propuso el enfoque a posteriori, que consiste en determinar la probabilidad de ocurrencia de un fenómeno mediante la observación de una gran cantidad de resultados de pruebas similares. Esto se resume en la siguiente expresión:
5 Probabilidad =Nº de veces que ocurre el evento en el pasado Nº total de repeticiones del experimento Por ejemplo, en cierta población se registra el género de los recién nacidos. Si de cada 100 mil casos 65 mil han sido mujeres, cuál es la probabilidad de que en esa población nazca una mujer? La respuesta a este problema sería: P(mujer)= 65,000 100,000 =.65 =65% En lenguaje técnico, este principio frecuentista obedece a la denominada Ley de los grandes números, la cual establece que a largo plazo los fenómenos probabilísticos presentan un patrón de comportamiento o regularidad estadística. En el segundo cuarto del siglo xx, el matemático y filósofo Frank P. Ramsey introdujo una nueva interpretación denominada subjetiva, en la cual la probabilidad cuantifica el grado de creencia de un investigador en la verdad de una proposición, midiéndola dentro de un rango que va desde el cero hasta el uno. Expresión de la probabilidad El término probabilidad se emplea para medir la posibilidad de ocurrencia de un evento determinado. Para su estudio es necesario considerar los siguientes conceptos: Un experimento es un fenómeno que tiene asociado un conjunto de posibles resultados, los cuales son de carácter aleatorio. Un experimento puede denotarse con la literal griega ε (épsilon). Un evento es un resultado específico de un experimento. Generalmente se denota con la literal E.
6 El término espacio muestral hace referencia al conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Es común representarlo con la letra griega Ώ (omega). Atendiendo a su definición clásica, la probabilidad de ocurrencia de un evento E se determina al dividir el número total de casos favorables del espacio muestral entre el número total de elementos del mismo. Esta probabilidad se representa con la expresión P(E). Por ejemplo, si se lanza un dado legal, cómo podría determinarse la probabilidad de que la cara sea igual a tres? La respuesta sería: ε= Lanzamiento de un dado E= Cara del dado igual a tres Ώ= {1,2,3,4,5,6} Puesto que en el espacio muestral se tiene un caso favorable del total de seis elementos que lo constituyen, la probabilidad de que aparezca la cara con valor tres está dada por: =0.1666 =16.66% Debe notarse que la probabilidad es un valor decimal comprendido entre cero y uno, lo que se representa con la siguiente expresión: Esta probabilidad se expresa en términos porcentuales (multiplicando por cien). Si se obtiene que la probabilidad de ocurrencia de un evento es de cero por ciento, se dice que el evento es imposible o improbable; por el contrario, si tiene un valor de cien por ciento de probabilidad, puede considerarse un evento seguro.
7 Conclusión La probabilidad estadística es un medio y una herramienta muy útil que ayuda a determinar posibilidades y conocer la viabilidad sobre cuestiones útiles en mercadotecnia y muchas ramas de estudio mas. Al hablar de estadística se tratan temas en las hipótesis que pueden ser las soluciones y se consideran varios elementos, como los negativos o alternativos para poder cubrir lo mas que se pueda sin dejar de considerar elementos mínimos, lo que ayudará a tener un mejor resultado.
Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes Eventos mutuamente excluyentes ESTADÍSTICA INFERENCIAL 8 Se dice que dos eventos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos imposibilita la ocurrencia del otro. La proposición exacta es la siguiente: si E es un evento con probabilidad P(E) 1, entonces su complemento denotado por E c tiene una probabilidad de ocurrencia de P(E c E). Se tiene entonces que E y E c son eventos mutuamente excluyentes. En consecuencia, la suma de dos eventos mutuamente excluyentes es igual a un evento seguro: P(E) E c ε, Ώ, E, E c, P(E), P(E c c ), la respuesta sería: ε= Lanzar una moneda. E 1 = La cara que aparece es águila. Ώ={a,s} en donde a= águila y s= sol. E 2 = La cara que aparece es sol. Se observa que E 1 y E 2 son eventos mutuamente excluyentes, ya que la aparición de uno imposibilita la aparición del otro (es imposible que al lanzar una moneda salga águila y sol al mismo tiempo). Asimismo:
Eventos que no son mutuamente excluyentes ESTADÍSTICA INFERENCIAL 9 Son aquéllos cuya ocurrencia de uno no imposibilita la ocurrencia del otro. Por ejemplo, considerar el experimento de lanzar un dado y dos eventos en los que: E 1 = El valor de la cara que aparece es mayor que tres. E 2 = El valor de la cara que aparece es un número par. Estos eventos no son mutuamente excluyentes, ya que la cara del dado puede ser mayor que el número tres y, al mismo tiempo, puede ser un número par, como lo son las caras con valores de cuatro y seis. Es importante mencionar que aunque aquí se ha representado a un evento con la literal E, suelen emplearse también las primeras letras del abecedario: A, B, C, D... para denotar varios eventos asociados a un experimento.
10 Actividad de Aprendizaje Instrucciones: en base a lo visto anteriormente resuelve los siguientes ejercicios. 1.- Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados. P(4, 4, 4)= 2.- Calcula la probabilidad de no obtener ningún seis al lanzar 4 dados. P= 3.- Calcula la probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería si juegan 100.000 números a uno. 4.- calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2.
11 Bibliografía García, M. (2005). Introducción a la teoría de la probabilidad. México: Fondo de Cultura Económica. Hernández, A. y O. Hernández (2003) Elementos de probabilidad y estadística. México: Sociedad Matemática Mexicana. Meyer, P. (1986). Probabilidad y aplicaciones estadísticas. E.U.: Addison-Wesley Iberoamericana. Ulloa, V. y V. Quijada (2006). Estadística aplicada a la comunicación. México: UNAM. Lipschutz, S. (1988). Probabilidad. México: McGraw-Hill.
12 Panel de Verificación 1.- Calcula la probabilidad de obtener tres cuatros al lanzar tres dados. 2.- Calcula la probabilidad de no obtener ningún seis al lanzar 4 dados. 3.- Calcula la probabilidad de ganar el premio mayor de la lotería si juegan 100.000 números a uno. P= 1 = 0,00001 0,001% 100.000 4.- Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2. P= 1= 0,166 =16,6% 6