CÁLCULO DIFERENCIAL Equipo 4 Prueba de la Primera Derivada / Concavidad y Puntos de Inflexión Estos son los ejercicios que deberá el equipo explicar dentro de la clase, este equipo tendrá un máximo de 5 integrantes, y deberá valerse de materiales o presentaciones, no solo explicación de pizarrón, para dar a entender el tema.
Cálculo Diferencial P R U E B A D E L A P R I M E R A D E R I V A D A / C O N C A V I D A D Y P U N T O S D E I N F L E X I Ó N Funciones creciente y decreciente Una función que siempre es creciente o decreciente en un intervalo, se dice que es monótona en ese intervalo.. Página 1
En la figura de la izquierda se esboza la interpretación geométrica del teorema: "Prueba de la primera derivada". En la parte izquierda de la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f '(x)>0 para x<c (en algún intervaloque tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo) P r o c e d i m i e n t o Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de la siguiente manera: 1. Se halla la derivada de la función: f '(x) 2. Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los cuales f '(x) = 0 o para los cuales f ' no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos de f aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valores x en los que ocurren extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f es creciente; (d) determine los intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace la gráfica correspondiente. Página 2
S o l u c i o n e s x f (x) f '(x) Conclusión f decrece 0 f tiene un mínimo relativo Página 3
x f (x) f '(x) Conclusión 0 f tiene un máximo relativo f decrece 0 f tiene un mínimo relativo Tabla de valores x y -1-1 -1/3 5/27 0 0 1-1 2 2 Página 4
x f (x) f '(x) Conclusión f decrece 4 0 f tiene un máximo relativo 0 f tiene un mínimo relativo Página 5
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Tabla de valores x -6-2.5-1.5 0 2 6 y 2 9-7 -1 0 0.5 Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla: x f (x) f '(x) Conclusión No existe No existe f decrece 0 f tiene un mínimo relativo Página 7
Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla: x f (x) f '(x) Conclusión 0 0 No hay un extremo relativo 0 f tiene un máximo relativo f decrece 0 0 f tiene un mínimo relativo Página 8
Concavidad y puntos de inflexión (fig.1) (fig.2) (fig.3) Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada no existe. Página 9
Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión. S o l u c i o n e s En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos: x f (x) f '(x) f ''(x) Conclusión la gráfica de f es cóncava hacia abajo 0 9 0 f tiene un punto de inflexión + la gráfica de f es cóncava hacia arriba Página 10
fig.2 x f (x) f '(x) f ''(x) Conclusión + la gráfica de f es cóncava hacia arriba 0 0 0 f tiene un punto de inflexión la gráfica de f es cóncava hacia abajo -256-128 0 f tiene un punto de inflexión + la gráfica de f es cóncava hacia arriba Página 11
En la tabla que sigue se resumen los resultados obtenidos: x f (x) f '(x) f ''(x) Conclusión + la gráfica de f es cóncava hacia arriba 0 no existe no existe f tiene un punto de inflexión la gráfica de f es cóncava hacia abajo Página 12