5. Cálculo de primitivs Definición. Se dice que un función F () es un primitiv de otr función f() sobre un intervlo (, b) si pr todo de (, b) se tiene que F () f(). Por ejemplo, l función F () es un primitiv de f() en todo R pues ( ). El siguiente teorem es un consecuenci trivil del teorem del vlor medio de Lgrnge. Teorem. Sen F () y F () dos primitivs de l función f() en (, b). Entonces, pr todo de (, b), F () F () const. Es decir dd un función f() sus primitivs difieren en un constnte (en delnte denotremos por C un constnte culquier). Definición. El conjunto de tods ls primitivs de un función f() definid en (, b) se denomin integrl indefinid de f() y se denot por f() d. De mner que, si F () es un primitiv de f(), f() d F () + C (.3) Medinte un simple derivción es sencillo comprobr el siguiente Teorem. (Propieddes de l integrl indefinid.) [ ] d. f() d f() d. df () F () + C 3. 4. [f() ± g()] d [A f()] d A f() d ± f() d g() d Teorem.3 Tbl de Integrles. 0 d C. d + C 3. 4. 5. 6. 7. 8. α d α+ + C, α + α R, α d log + C d + C, log > 0, sen d cos + C cos d sen + C cos d tn + C
6 CÁLCULO DE PRIMITIVAS 9. 0... 3. 4. 5. 6. 7. sen d cotn + C d rc sen + C rc cos + C rctn + C + d rcctg + C ± d log + ± + C d log + + C sinh d cosh + C cosh d sinh + C cosh d tnh + C sinh d coth + C.. Métodos de integrción.... Integrción por cmbio de vrible. Teorem.4 Se t φ() un función derivble en y sen X (, b) el dominio y T φ[(, b)] l imgen de φ(). Supongmos que sobre el conjunto T eiste l primitiv de l función g(t), o se, g(t)dt G(t) + C. Entonces sobre todo el conjunto (, b) l función g[φ()]φ () tiene un primitiv y demás g[φ()]φ () d G[φ()] + C. Demostrción: Bst notr que (G[φ()]) G [φ()]φ () g[φ()]φ (). Ejemplo. ) Clculr cos() d. Como l integrl no es de l tbl es necesrio convertirl en un de l tbl. Pr ello hcemos: y cos() d dy d b) Clculr de l tbl: cos(y) dy sen y + C sen() + C e cos sen d. Como l integrl no es de l tbl es necesrio convertirl en un e cos sen d t cos dt sen d e y dy e y + C e cos + C
. Métodos de integrción. 7... Integrción por prtes. Supongmos que ls funciones u() y v() son derivbles en un intervlo (, b) y eiste l primitiv de l función v()u () en (, b). Entonces, sobre (, b) eiste l primitiv de u()v () y se cumple que u()v () d u()v() v()u () d, (.4) o en form diferencil u()dv() u()v() v()du(). (.5) Demostrción: Pr probrlo es suficiente notr que [u()v()] u ()v() + u()v () y l propiedd del teorem.. Ejemplo. ) Clculr n log d. Como l integrl no es de l tbl es necesrio convertirl en un de l tbl. Utilicemos l integrción por prtes: u() log, du() n log d d dv() n d, v() n+ n+ ( n+ log n + b) Clculr I n + ) + C n+ n + log n n + d e cos b d. Como l integrl no es de l tbl es necesrio convertirl en un de l tbl. Utilicemos l integrción por prtes: I e u() e cos b d, du() e d dv() cos b d, v() e sen b e sen b d. b sen b b b L integrl e sen b d es de l mism form que l originl sí que volveremos plicr integrción por prtes: e u() e sen b d, du() e d dv() sen b d, u() b cos b Juntndo ls dos fórmuls nteriores concluimos que e cos b b I e sen b + b b e cos b b I, de donde, resolviendo l ecución respecto I obtenemos: I e b sen b + cos b cos b d + b e + C. + b e cos b d. Alguns de ls integrles que pueden ser clculds utilizndo l integrción por prtes son:. Ls integrles donde prezcn ls funciones log, rc sen, rc cos, log φ(), potencis enters de ls funciones nteriores, entre otrs donde tendremos que escoger como función u() lgun de ls funciones nteriores (ver ejemplo ).. Ls integrles ( + b) n sen c d, ( + b) n cos c d y ( + b) n e c d. Donde pr encontrr ls primitivs hy que utilizr l fórmul de integrción por prtes n veces tomndo cd vez u() ( + b) n, u() ( + b) n,..., respectivmente. 3. Ls integrles de l form e sen b d, e cos b d, sen(log ) d y cos(log ) d. Pr encontrr ls primitivs hy que denotr por I culquier de ls integrles nteriores, plicr dos veces integrción por prtes y resolver l ecución resultnte respecto I (ver ejemplo b).
8 CÁLCULO DE PRIMITIVAS.. Integrción de funciones rcionles. Definición.3 Diremos que un función rcionl f() P n() es simple si el grdo del Q m () polinomio P n () es menor que el del polinomio Q m (), o se, si n < m. Si n > m entonces podemos dividir los polinomios P n () y Q m () de tl form que P n () Q m () p n m() + R k(), donde k < m. Q m () Teorem.5 Supongmos que P n() es un frcción simple, y que el polinomio denomindor Q m () se puede fctorizr de l siguiente form Q n () ( ) n ( p ) n p ( + p + q ) m ( + p k + q k ) m k, (.6) donde,..., p son ls ríces reles de Q m (), y los fctores + p i + q i, i,.., k no tienen ríces reles. Entonces, l frcción simple P n() se puede descomponer en ls siguientes Q m () frcciones elementles simples: P n () Q m () A n ( ) n + A n ( ) n + + A ( ) + + + B n p ( p ) n p + B np ( p ) n p + + B ( p ) + + + M m + N m ( + p + q ) m + + M + N ( + p + q ) + + (.7) + L m k + K mk ( + p k + q k ) m k + + L + K ( + p k + q k ), donde A i, B i, M i, N i, L i y K i son cierts constntes reles. Pr determinr dichs constntes summos los términos de l derech. Nótese que el denomindor común coincide con (.6) y el numerdor es un polinomio de grdo lo sumo n. Luego comprmos el polinomio numerdor que se obtiene l sumr ls frcciones más simples en (.7) con P n (). Igulndo los coeficientes de mbos obtendremos un sistem de n ecuciones con n incógnits que podemos resolver pr encontrr los coeficientes indetermindos A i, B i, M i, N i, L i y K i. No obstnte es posible encontrr el coeficiente A ni de los sumndos correspondientes uno de los ceros reles i, o se, el A ni de utilizndo l propiedd que A ni ( i ) n i + A ni ( i ) n i + + A ( i ), P n ()( i ) ni lím i Q m () A ni. (.8) Como consecuenci de lo nterior, si Q m () tiene m ceros reles y simples, o se, si su fctorizción es de l form Q n () ( )( ) ( m )( m ), (.9) entonces, P n () se puede descomponer en ls frcciones elementles simples: Q m () P n () Q m () A ( ) + A ( ) + + A m ( m ) + A m ( m ), (.0)
. Integrción de funciones rcionles. 9 donde A,..., A m se clculn por l fórmul P n ()( k ) A k lím, k Q m () k,,..., m. (.) Teorem.6 (Primitivs de ls frcciones simples más elementles) A ) d A log + C; B ) ( ) k d B + C, k > ; k ( ) k 3) M + N + p + q d M log N Mp + p + q + rctn + p + C. 4q p 4q p (.) Ejemplo.3 ) Clculr d. Primero encontrremos ls frcciones simples ms elementles: 3 + 3 + Luego, utilizndo (.) obtenemos ( )( ) A + B. ( ) ( ) A lím, B lím ( )( ) ( )( ). Finlmente, utilizndo (.) obtenemos ) Clculr ( ) ( d. Primero encontrremos ls frcciones simples ms element- + ) les: ( 3 + d + ) d log + log + C. ( ) ( + ) A ( ) + B + C + D + A( + ) + B( + )( ) + (C + D)( ) ( ) (. + ) Pr encontrr los coeficientes A, B, C, D igulmos los polinomios de los numerdores: A( + ) + B( + )( ) + (C + D)( ). Dos polinomios de grdo 3 son igules si los coeficientes de ls potencis 3,, y 0 son igules, por lo que igulndo dichos coeficientes obtenemos el sistem de ecuciones: 3 : B + C 0 : A B C + D 0 : B + C D 0 : A B + D 0 cuy solución es A B 0 C 0 D Tmbién es posible utilizr otr propiedd de los polinomios: dos polinomios de grdo n que tomn n vlores igules en n+ puntos ddos son idénticmente igules, es decir, si P n ( k ) Q n ( k ) pr ciertos,..., n+ (distintos entre si), entonces P n () Q n () pr todo R. Se supone que + p + q no tiene ríces reles.
0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS En nuestro ejemplo es conveniente tomr como los k los ceros de los polinomios denomindores y luego el resto de los vlores tomrlos los más sencillos posibles: : A : A 4B 4C + 4D : 5A + 5B + C + D 0 : A B + D 0 cuy solución es A B 0 C 0 D que coincide con l encontrd por el método nterior. Luego, ( ) ( + ) d [ ( ) ] d + ( ) rctn + C..3. Integrles trigonométrics. En este prtdo vmos estudir ls integrles de l form f(sen, cos ) d ls cules se convierten en integrles rcionles medinte l sustitución trigonométric t tn, t tn d dt ( f(sen, cos ) d + t t sen t + t cos t f + t, ) t + t + t dt, + t que es un integrl de un función rcionl. Ejemplo.4 Clculr l integrl d sen. d t tn sen d dt +t sen t cos t +t +t dt tn t log t + C log + C. Eisten vrios tipos de integrles trigonométrics que se pueden rcionlizr con cmbios más sencillos. Ells son ls siguientes:. f(sen, cos ) d, donde f( sen, cos ) f(sen, cos ), cmbio t cos. 3. f(sen, cos ) d, donde f(sen, cos ) f(sen, cos ), cmbio t sen f(sen, cos ) d, donde f( sen, cos ) f(sen, cos ), cmbio t tn Ejemplo.5 ) Clculr l integrl d t cos d dt sen t sen t cos t d. Est integrl es del tipo. Luego, sen que coincide con el resultdo obtenido l utilizr l sustitución t tn b) Clculr l integrl cos 3 d. Est integrl es del tipo. Luego, cos 3 d t sen d dt t cos t sen t dt t log + t tn t +C log +C. t dt t 3 t3 +C sen sen3 +C. 3
.4 Integrles irrcionles. c) Clculr l integrl tn 3 d. Est integrl es del tipo 3. Luego, tn 3 d t tn d dt +t +t cos +t sen t t 3 [ + t dt t t ] + t dt t log( + t ) + C tn.4. Integrles irrcionles. log( + tn ) + C tn + log cos + C. En este prtdo vmos estudir ls integrles de l form f(, ± ) d, f(, ) d y ) f (, n d. +b c+d.4.. Ls integrles f(, ± ) d y f(, ) d. Ests integrles irrcionles se convierten en integrles trigonométrics medinte los cmbios:. f(, ) d, cmbio sen t. 3. f(, ) d, cmbio sen t f(, + ) d, cmbio tn t Ejemplo.6 ) Clculr l integrl d. Est integrl es del tipo. Luego, d sen t d cos tdt cos tdt t + sen t + C, 4 pero, sen t sent cos t sen t sen t, por tnto d rc sen + + C. b) Clculr l integrl d. Est integrl es del tipo. Luego, d sen t d cos t sen t dt y [ ( y dt ) 4 cos t sen 3 t dt ( y) ( y) + (+y) (+y) y cos t dt dy y sen t y ] dt 4 cos t y [ ] y y +log y y+ + C, pero, y cos t sen t, por tnto d 4 log + +C log +C. +
CÁLCULO DE PRIMITIVAS c) Clculr l integrl + d. Est integrl es del tipo 3. Luego, tn t + d d dt cos t [ ( y dt ) 4 pero, y sen t tn t +tn t + d + + y sen t dt dy cos 3 t dt y cos t y sen t y ( y) + ( y) + (+y) + (+y), por tnto + 4 log + + + +C ] dt 4 [ ] y y + log y + y + C, + + log + + +C..4.. Ls integrles f ( ) + b, n c + d d. Ls integrles del tipo f ( ) + b, n c + d d, se rcionlizn medinte el cmbio t n +b c+d. Ejemplo.7 Clculr l integrl d t 3 + 3 + + d 3t dt d + 3 +. Est integrl se rcionliz con el cmbio t 3 +. Luego, 3 t d t + t 3 de donde, deshciendo el cmbio t 3 +, obtenemos (t )dt+3 3 3 + ( 3 + ) + 3 log( + 3 + ) + C. dt t + 3 t(t )+3 log(+t)+c, El cálculo de primitivs es necesrio pr clculr integrles definids de funciones continus. Teorem.7 Teorem fundmentl del cálculo y Fórmul de Newton-Leibniz. Se f : [, b] R continu en [, b]. Entonces f tiene primitiv en [, b] y un de ells es l función F () Además, f() es integrble en [, b] y b c f() d Φ() siendo Φ() un primitiv culquier de f(). f(t) dt, c (, b). (.3) b Φ(b) Φ(), (.4)