FUERZ ENTRE CRGS EN REPOSO. LEY DE COULOM La ley de Coulomb dice: La fueza con ue dos cagas en eposo se ataen o epelen, según sean sus signos, es popocional en módulo al poductos de sus cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia ue las sepaa. La diección de la fueza es según la ecta ue une las cagas y el sentido atactivo si las cagas tienen distinto signo y epulsivo si tienen el mismo. F K u u es un vecto unitaio en la diección de la línea ue une los centos de las cagas y el sentido, como se hacía en el campo gavitatoio, se toma desde la caga ue cea el campo hacia la ota. Obseva ue, a difeencia de la ley de gavitación de Newton, esta expesión no lleva signo menos y ello se debe a la existencia de dos tipos de caga. El signo menos se intepetaba como una fueza atactiva, es deci ue tiene la diección del vecto unitaio u. hoa no es necesaio, poue cuando se tate de dos cagas positivas, o dos cagas negativas, al sustitui esultaá un vecto en diección y sentido de u, es deci se epelen. Cuando se tate de una caga positiva y ota negativa esultaá un vecto en la diección y sentido de u, es deci se ataen. este especto es impotante tene en cuenta ue si ueemos calcula el vecto fueza debemos sustitui los valoes de las cagas con su signo incluido ue es pecisamente uién nos daá el sentido de la fueza. Sin embago si solamente ueemos calcula el valo del módulo de la fueza entonces seá suficiente con sustitui el valo de las cagas en valo absoluto. K es una constante de popocionalidad llamada constante de Coulomb y hace un papel simila al ue hacía G en la ley de gavitación univesal, aunue a difeencia de auella ésta no es ealmente una constante poue depende del medio en el ue están situadas las cagas. K 4π es una constante específica de cada medio ue se llama pemitividad o constante dieléctica. Su valo paa algunos medios es:
Medio (C /N.m ) acío 8,85 0 ie 8,85 0 gua 76,85 0 idio 53,00 0 Mica 35,00 0 Las unidades de K se obtienen fácilmente despejándola de la fómula de Coulomb y su valo paa el caso del vacío o del aie es: K 9 0 9 N m Es impotante tene en cuenta ue, lo mismo ue con las masas, la fueza actúa tanto sobe una caga como sobe la ota y ue son iguales y de sentidos opuestos, es deci, una es la de acción y la ota de eacción: / C F F F F Lo ue sucede es ue solo nos inteesa sabe la fueza ue actúa sobe el testigo, po ese motivo a la ue actúa sobe la masa ue cea el campo no le pestaemos atención, sin ue ello uiea deci ue no exista. Podías peguntate poué en el encabezamiento dice: fuezas ente cagas en eposo. Como ya sabes, una caga eléctica siempe cea a su alededo un campo eléctico, peo si está en movimiento, entonces, además cea oto magnético como veemos mas adelante y po tanto la cosa cambia. Ejemplo: Dos cagas fijas 3µ C y 6µ C están sepaadas en el vacío una distancia de 0,3m. Calcula la fueza ue se ejecen ente ellas. Dónde debeíamos coloca una caga µ C paa uede en eposo? a) La fueza con ue se epelen las dos cagas, puesto ue tienen el mismo signo, viene dada po la ley de Coulomb: F F K 6 6 9 3 0 o6 0 F 9 0 (0,3 ),8N
b) Paa ue una caga uede en eposo debeemos colocala en la línea ue une las cagas en un punto en la fueza con ue la atae la caga se compense con la fueza con ue la atae la caga : F F K K 3 0 K x 6 6 6 0 K (0,3 x ) x 0,m INTERCCIÓN DE UN CONJUNTO DE CRGS PUNTULES. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN La ley de Coulomb nos da la fueza con ue se ataen dos cagas, peo no hace efeencia a la posible existencia de otas cagas. Ello nos lleva al pincipio de supeposición: Si una caga se encuenta en el campo ceado po vaias cagas, la fueza total sobe ella es la fueza esultante de las ue cada caga, po sepaado, ejeza sobe ella. También podía decise ue el campo eléctico ceado po vaias cagas en un punto es igual a la suma vectoial de los campos ue cean cada caga en ese punto. F total F F i total Ei es deci ue E total E i Ejemplo: Tes cagas elécticas se encuentan en los vétices de un tiángulo euiláteo de lado a como se indica en la figua Qué fueza actúa sobe la caga? Da el esultado en función de, Q, -Q y a. Sencillamente no hay más ue aplica el pincipio de supeposición, así ue calculaemos la fueza ue cada caga hace po sepaado sobe y luego las sumamos vectoialmente.
La fueza ue la caga Q ejece sobe es epulsiva po tene el mismo signo y en la diección de la ecta ue une ambas cagas. Su módulo de acuedo con la ley de Coulomb es: Q F K a La fueza ue la caga Q ejece sobe es atactiva po tene distinto signo y en la diección de la ecta ue las une, y el módulo (ecueda ue paa calcula el módulo solo tomamos las cagas en valoes absolutos) F Q K a hoa solo hay ue suma dos vectoes. Paa ello elegimos un sistema de efeencia cualuiea, aunue paece apopiado uno como el de la figua: el siguiente paso es descompone los vectoes según los ejes del sistema de efeencia elegido, y luego se esciben vectoialmente las fuezas: F cos60i F sen60 j F cos60i F sen60 j F F ( F F )cos60i ( F F )sen60 j F Q Teniendo en cuenta ue como hemos visto antes F F K nos uedaía ue a Q Q F K cos60i y como cos60/ F K i a a
NOCIÓN DE CMPO ELÉCTRICO: INTENSIDD DE CMPO ELÉCTRICO DE UN CRG PUNTUL En geneal, el vecto Intensidad de campo, o simplemente campo, en un punto, se definió como la fueza, en ese punto, po unidad de agente sensible, con objeto tene una magnitud ue solamente dependa de la posición del punto en el campo, y no dependa del testigo: F I c Paticulaizando paa el campo eléctico, donde el testigo es una caga, tendemos ue: F K u E Como puede vese el valo de la Intensidad de campo eléctico solamente depende de la caga ue cea el campo y de, es deci de la posición del punto. Como el testigo siempe se toma como una caga unidad y positiva, el vecto intensidad de campo eléctico en un punto, P, apunta hacia la caga ue cea el campo si es negativa, (las cagas negativas son sumideos) y si la caga ue cea el campo es positiva apuntaía hacia fuea (las cagas positivas son fuentes). Po oto lado, hemos visto ue el campo eléctico ceado po vaias cagas en un punto es igual a la suma vectoial de los campos ue cean cada caga en ese punto. E total E es deci se cumple el pincipio de supeposición. i
Ejemplo: Una patícula de masa m y caga -0-6 C se encuenta en eposo al esta sometida al campo gavitatoio teeste y a un campo eléctico unifome E 00 N C - de la misma diección. a) Haga un esuema de las fuezas ue actúan sobe la patícula y calcule su masa. b) nalice el movimiento de la patícula si el campo eléctico aumentaa a 0 N C - y detemine su aceleación. a) Obviamente paa ue la patícula cagada esté en euilibio, la fueza peso debe contaestase con la eléctica. Como sabemos las líneas de fueza tienen el sentido en ue se moveía una caga positiva (ese fue el citeio ue se adoptó) así ue como la fueza eléctica debe i hacia aiba paa compensa al peso y como la caga es negativa, el campo eléctico debe i hacia abajo. (ecueda ue al multiplica un vecto ( E ) po un escala negativo () el esultado es un vecto ( F ) en la misma diección y sentido contaio). Podemos pescindi del caácte vectoial de las magnitudes ya ue el movimiento tiene luga en una sola dimensión, po tanto nos limitaemos a iguala los módulos de las fuezas y en ese caso ecueda ue el valo de la caga se sustituye en valo absoluto. F elect F gavit mg E m 0 0 m 0 De hace el tatamiento vectoial, habíamos planteado ue F 0, es deci ue: 6 5 Kg 00 m g E 0 6 m 0( j ) ( 0 ) 00( j ) 0 m 0 5 Kg b) Si el campo eléctico aumenta de valo, la fueza eléctica seá mayo ue el peso y en consecuencia habá una fueza neta, y po tanto, de acuedo con la segunda ley de Newton, la patícula tendá un movimiento ectilíneo unifomemente aceleado hacia aiba, es deci, en la diección y sentido de la fueza esultante. plicando la segunda ley de Newton: 0 F F elect F gavit E mg ma 0( j ) 0 ma 0( j ) 0 6 5 5, 0 j 0 j 0 a 4 4 5 a jm / s a
Ejemplo: a) Expliue las analogías y difeencias ente el campo eléctico ceado po una caga puntual y el campo gavitatoio ceado po una masa puntual, en elación con su oigen, intensidad elativa, diección y sentido. b) Puede anulase el campo gavitatoio y/o el campo eléctico en un punto del segmento ue une a dos patículas cagadas? Razone la espuesta. a) nalogías: Los dos son campos de fuezas centales, y po tanto consevativos Todas las expesiones de uno y oto son semejantes. (El papel ue la constante de gavitación univesal y las masas hacen en el campo gavitatoio, en el eléctico lo hacen la constante de Coulomb y las cagas. Las líneas de fueza en estos campos son abietas, es deci, no se ciean sobe sí mismas como suceda en el campo magnético. Difeencias: Hay dos tipos de cagas: positivas y negativas y solo una clase de masas. Como consecuencia de lo anteio la fueza ente dos cagas puede se atactiva o epulsiva, mientas ue en las masas siempe es atactiva Consecuencia diecta de lo anteio es el signo menos ue apaece en las expesiones del campo gavitatoio La constante de gavitación univesal G es una constante, mientas ue la constante de Coulomb ealmente no lo es puesto ue depende del medio: K / 4π ya ue depende de ue es la constante dieléctica del medio en ue se encuentan las cagas. b) Como hemos dicho antes, hay solo una clase de masas, así ue siempe podemos enconta un punto en la línea ue une dos masas donde el campo gavitatoio sea nulo, peo en el caso de las cagas eso solo seá posible si las dos cagas tienen el mismo signo, (las dos positivas o las dos negativas), peo si tienen signo contaio en cualuie punto de la línea ue une las cagas los campos ceados po cada caga tendán el mismo sentido, siendo imposible ue se anulen:
ENERGI POTENCIL ELECTROSTÁTIC DE UN CRG EN PRESENCI DE OTR. SUPERPOSICIÓN. Como sabemos, el campo eléctico es un campo de fuezas centales y po tanto consevativo, así ue en él puede definise una enegía potencial. Se definió difeencia de enegía potencial (ddp) de una patícula, ente dos puntos y, como el tabajo ealizado po nosotos paa lleva la patícula del punto al. W, nosotos Ep Ep Ep W, campo También vimos ue el tabajo ealizado po nosotos paa lleva una patícula de un punto a oto es igual y de signo contaio al ue hace el campo, así ue: W, campo Ep Ep Ep podíamos deci ue el tabajo (o la ciculación de la fueza) ue hace el campo eléctico paa lleva una caga de un punto hasta oto es igual a difeencia de enegía potencial ente los puntos y, y solo depende de la posición de los puntos y. hoa vamos a ve la expesión conceta de la enegía potencial eléctica, paa ello no hay mas ue calcula el tabajo ue hace el campo eléctico paa lleva una caga desde el punto al : Ep Ep W,campo F elect d K u d K d donde hemos tenido en cuenta ue vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así ue si ue cos0. Teniendo en cuenta además, ue d nos uedaía ue: W,campo K K Ep Ep Ep Ep K
Enegía potencial eléctica en un punto. Como sabemos estictamente solamente podemos habla de difeencia de enegía potencial ente dos puntos (poue es el tabajo paa lleva la caga desde uno a oto), peo si, po acuedo, asignamos ceo a la enegía potencial en un punto, entonces podemos haba de enegía potencial absoluta en un punto. Paece ue lo azonable seía asignale ceo a la enegía potencial en el infinito, poue como la fueza disminuye con el cuadado de la distancia, en ese punto puede decise ue no hay campo, po tanto, la difeencia de potencial ente un punto y el infinito seía la enegía potencial en ese punto. Dicho de ota manea: La enegía potencial de una caga en un punto es igual al tabajo ue hace el campo paa lleva a la caga desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo ue cuenta ue nuesto tabajo y el ue hace el campo son iguales y de signo contaio, podíamos deci ue la enegía potencial de una caga en un punto es igual a tabajo ue tenemos ue hace paa tae a la caga desde el infinito hasta ese punto) como 0 Ep Ep Ep K K 4π W,nosotos donde es la distancia ue sepaa las dos cagas. Como puedes ve la enegía potencial eléctica en un punto no es siempe negativa como pasaba a la gavitatoia. En este caso solo seá negativa si las cagas tienen signo contaio. Cuando las cagas tienen el mismo signo, la Ep es positiva poue paa lleva la caga desde el infinito hasta al punto tenemos ue hace ealmente un tabajo. La caga no iía sola puesto ue se epelen. Po el contaio, cuando las cagas tienen distinto signo (como pasaba con las masas) la caga iía sola desde el infinito hasta el punto y po eso su Ep es negativa, poue el tabajo no lo haíamos nosotos sino el campo ceado po la caga. La Ep eléctica tiene su máximo valo positivo si las cagas son del mismo signo (o máximo valo negativo si las cagas son de distinto signo ) en la supeficie de la caga ue cea el campo y va disminuyendo (o aumentando) al alejanos hasta llega a ceo en el infinito. En cualuie caso, en el infinito la Ep es ceo.
Enegía potencial de una caga debida al campo ceado po una asociación de cagas: de acuedo con el pincipio de supeposición la enegía potencial ue tendá es la debida al campo ue independientemente cada caga cea sobe ella, así ue: n Ep K k K K n n i i i Enegía potencial de una asociación de cagas: En este caso la enegía potencial debida a todas ellas se obtiene sumando la enegía potencial de todos los paes de cagas. Po ejemplo la enegía potencial de la asociación de la figua seía: Ep K 3 3 3 3 Ep K i ij j Ejemplo: Una bolita de plástico de g se encuenta suspendida de un hilo de 0 cm de longitud y, al aplica un campo eléctico unifome y hoizontal de 000 N C - el hilo foma un ángulo de 5º con la vetical. a) Dibuje en un esuema el campo eléctico y todas las fuezas ue actúan sobe la esfea y detemine su caga eléctica. b) Expliue cómo cambia la enegía potencial de la esfea al aplica el campo eléctico. g 0 m s - a) Se tata de un péndulo ideal ue se encuenta pobablemente ente las amaduas de un condensado plano, ente las ue se cea un campo eléctico unifome (salvo en los bodes). La masa del péndulo está sometida po una lado a su peso y po oto lado, al esta cagada, a la fueza eléctica debida al campo eléctico. Suponiendo ue la caga sea positiva, el campo iía hacia la deecha, ya ue en tal caso la fueza y el campo tienen la misma diección y sentido: F E
Paa ue el péndulo esté en euilibio, es peciso ue la suma de las fuezas sea nula, así ue eligiendo un sistema de efeencia como el de la figua no hay más ue descomponelas e iguala las componentes en el eje X. mg tgα 0,00 0 tg5 mg senα E cosα E 000 5,36 0 6 C Las componentes en eje Y también dan esultante nula: T mg cosα E senα b) Como hemos visto al aplica el campo eléctico la bola cagada se desplaza de la posición de euilibio. hoa el tabajo ealizado po el campo eléctico está guadado en foma de enegía potencial gavitatoia. Como vemos en la figua, si tomamos nivel ceo de Ep la ue tiene en la posición de euilibio (punto ), el punto está po encima una altua h L Lcosα Ep, gavit Ep,gavit mgh mg( L Lcosα ) 0,00 0( 0, 0,cos5 ),36 0 4 J POTENCIL ELÉCTRICO Ya hemos visto ue la ciculación de la fueza del campo (tabajo) paa lleva una patícula desde un punto hasta el solamente depende de la posición de los puntos, siendo igual a Ep Ep Ep F campo d W, campo, campo (*)
si tenemos en cuenta ue I c F, podíamos deci ue la ciculación del vecto Intensidad de campo, igualmente, solo depende de la posición de los puntos y. De esta foma podemos defini una función análoga a la Ep, peo ue además no dependa del testigo y a la ue llamaemos Potencial () campo d I, c Ep Ep Como puede vese la difeencia de Potencial ente dos puntos es igual a la difeencia de Enegía potencial ue tiene ente esos puntos un testigo unidad. Paa el caso conceto del campo eléctico, donde el testigo es la caga podemos obtene la expesión específica de la ddp ente los puntos y utilizando cualuiea de las dos expesiones, es deci, integando al vecto E o bien dividiendo la expesión de la difeencia de enegía potencial po la caga.,campo,campo,campo d K d u K d E donde hemos tenido en cuenta ue vecto unitaio u y el vecto desplazamiento d tienen la misma diección y sentido, así ue si ue cos0. Teniendo en cuenta además, ue d nos uedaía ue: K K K l mismo esultado llegaemos, como ya hemos dicho, si dividimos la defeencia de enegía potencial po el testigo ya ue la ddp ente dos puntos es igual a la difeencia de Enegía potencial ue tiene ente esos puntos un testigo unidad: K Ep Ep
Es obvio ue lleguemos al mismo esultado, ya ue en ealidad hemos hecho lo mismo. En el pime caso hemos calculado la ciculación de E y en el segundo hemos dividido la ciculación de F po (acuédate ue la ciculación de F es Ep Ep. Mia más aiba (*) La ddp se mide en voltios, y teniendo en cuenta ue: o bien ue: W W,campo,nosotos ( ) ( ) El campo eléctico ealiza un tabajo W cuando una caga positiva se mueve desde un luga en el ue el potencial es alto a oto en el ue el potencial es más bajo. Si >0 y > entonces W>0. (lo contaio puede decise paa la caga negativa) Una patícula con caga positiva tendeá a movese libemente en el sentido de potenciales dececientes, es deci, desde zonas de potencial mayo hacia zonas de potencial meno. Podemos deci ue: ente dos puntos, y, hay una ddp de oltio cuando el tabajo ue hemos de ealiza paa lleva una caga de Culombio de uno a oto es de Julio. Potencial eléctico en un punto. Como sabemos estictamente solamente podemos habla de ddp ente dos puntos (poue se ha definido como la ciculación de E ente esos dos puntos), peo si po acuedo asignamos ceo al potencial en un punto, entonces podemos haba de potencial absoluto en un punto. El punto ue se elige es el infinito poue allí se supone ue ya no hay campo. W,campo Dicho de ota manea, teniendo en cuenta ue podemos deci ue: El potencial en un punto es igual al tabajo ue hace el campo paa lleva una caga de C desde ese punto hasta el infinito. (Teniendo ue cuenta ue nuesto tabajo y el ue hace el campo son iguales y de signo contaio, podíamos deci ue el potencial en un punto es igual al tabajo ue tenemos ue hace paa tae una caga de C desde el infinito hasta ese punto). K como 0 K donde es la distancia ue sepaa la caga ue cea el campo del punto. Como puedes ve, el potencial eléctico puede se positivo o negativo, dependiendo el valo de la caga, sin embago el potencial gavitatoio siempe es negativo.
Potencial de una distibución de cagas: En el caso de ue el campo sea debido a la pesencia de más de una caga, el potencial en un punto, aplicando el pincipio de supeposición seá la suma de los potenciales debidos a cada caga, y po tanto: K 3 3... K i i Paa temina, te ecomiendo ue asocies el vecto intensidad de campo en un punto con el potencial en ese punto y a la fueza ue actúa sobe un testigo colocado en un punto con la enegía potencia ue tiene. Po supuesto son conceptos distintos, peo ealmente nos pemiten defini un campo de cualuiea de las dos fomas: ectoialmente, mediante los vectoes fueza e intensidad de campo, o escalamente mediante la enegía potencial y el potencial. Ejemplo: Cuato cagas elécticas o se encuentan en los vétices de un cuadado de lado a. Qué tabajo hay ue ealiza paa lleva una uinta caga o desde hasta. éase la figua. Sencillamente lo ue hay ue hace es calcula el potencial en el punto y luego el potencial en el punto y luego tene en cuenta ue el tabajo ue hacemos nosotos paa lleva la caga o es igual al valo de la caga po la ddp ente esos puntos: W,nosotos o ( ) amos ahoa con las opeaciones, y paa pode distingui las cagas, poue son iguales, mejo las llamaemos con nombes difeentes. Las distancias ente las cagas y los puntos son fáciles de calcula son más ue aplica el teoema de Pitágoas. K 3 3 4 4 o K a 5 o a 5 a o a o Ko( 4 5 0 ) 5a
fíjate ue si hiciéamos opeaciones, el potencial en el punto es negativo, poue ( 4 5 0 ) es negativo. K o K a o a o a o a 3 4 3 4 El tabajo ue nosotos tenemos ue hace paa lleva una caga o desde el punto hasta el seá: W,nosotos ( o ) o K o( 4 5 0 ) K 0 5a o 0 ( 4 5 0 ) 5a Debes date cuenta de ue el tabajo ue tenemos ue hace es positivo, indicando esto ue ealmente debemos hace tabajo paa lleva la caga o desde hasta. Efectivamente esto ea de espea, puesto ue si te fijas en la distibución de cagas, nunca la caga se moveá hacia de foma espontánea, ya ue esta siendo ataída po las cagas negativas y seía epelida po las dos positivas de aiba. RELCION ENTRE CMPO Y POTENCIL ELECTROSTÁTICO Si te das cuenta el campo ( E ) es un vecto y el potencial () es un escala, así ue su coecta elación es a tavés de un opeado vectoial llamado gadiente, peo eso escapa de la pogamación de bachilleato, así ue nos limitaemos a elaciona el módulo del campo y el potencial. Teniendo en cuenta la definición de ddp, y si nos limitamos a unos puntos en los el campo puede considease constante, entonces podemos sacalo de la integal:,campo E d E ( ) E d Dice ue la ddp ente dos puntos es igual al valo del campo, supuesto constante, po la distancia ente esos puntos. La elación efeida a un punto conceto, teniendo en cuenta las expesiones del módulo de E y la del potencial en un punto: E K K E.
Quiee deci ue: si multiplicamos el módulo del campo en un punto po la distancia del punto a la caga ue cea el campo se obtiene el potencial en ese punto. Hay un detalle impotante: Si en un punto de un campo conocemos el valo de la Intensidad de campo ( g o E ) podemos pesumi exactamente lo ue ocuiá cuando colouemos una masa m o a una caga en un punto cualuiea (podemos calcula exactamente el módulo de la fueza ue actuaá, su diección y sentido, ya ue F mg o bien F E ) Sin embago, si en un punto del campo solo conocemos el potencial en ese punto no podemos pedeci lo ue ocuiá. Cosa distinta seía si conocemos el potencial en dos puntos, entonces sí, poue, tanto la masa como la caga se moveán hacia donde disminuya su enegía potencial. Ejemplo: El potencial eléctico en un punto P, ceado po una caga Q situada en el oigen, es 800 y el campo eléctico en P es 400 N C -. a) Detemine el valo de Q y la distancia del punto P al oigen. b) Calcule el tabajo ue se ealiza al desplaza ota caga, 0-6 C desde el punto (3, 0) m al punto (0, 3) m. Expliue po ué no hay ue especifica la tayectoia seguida. K 9 0 9 N m C E K Q 9 0 9 P 400 P P P K Q P P Q 9 9 0 Q 800 7 Q, 78 0 C ; P m b) Paa calcula el tabajo ue tenemos ue hace solo hay ue calcula el potencial en el punto y luego el potencial en el punto y tene en cuenta ue: W,nosotos ( )
FLUJO DE L INTENSIDD DE CMPO TRES DE UN SUPERFICIE CERRD. TEOREM DE GUSS El teoema de Gauss no da la expesión del flujo de la Intensidad de campo a tavés de una supeficie ceada de foma cualuiea. Según vimos el flujo elemental del campo viene dado po el poducto escala del vecto Intensidad de campo po el vecto supeficie: d φ I ds donde ds es un vecto pependicula a la supeficie y módulo igual al áea de la supeficie (o del elemento de supeficie en este caso) Supongamos una supeficie ceada de foma esféica, (paa mayo sencillez, aunue el esultado es geneal) y ue en su inteio enciea una caga. El flujo a tavés de la supeficie seía: d φ E ds Según la definición de poducto escala, y teniendo en cuenta ue α0º dφ E ds cosα E ds El flujo a tavés de toda la supeficie se obtiene integando a toda ella: φ E ds K ds K ds K S S S 4π 4πK donde hemos tenido en cuenta ue la integal de supeficie como epesenta a todos los sumandos elementales de la esfea, su solución seá la supeficie de ésta, es deci 4π y posteiomente ue K / 4π En el caso de ue dento de la supeficie hubiea vaias cagas, el flujo total seía la suma del debido a cada una de ellas, lo ue se conoce como ley de Gauss, y es una de las 4 ecuaciones de Maxwell fundamentales del electomagnetismo: φ i
Es muy impotante tene en cuenta ue: Solamente contibuyen al flujo las cagas (o masas en el caso del gavitatoio) ue estén enceadas en el inteio de la supeficie. El flujo es independiente de la posición de las cagas en el inteio de la supeficie, ya ue su expesión no depende de. Como puede vese, el flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie ceada debido a las cagas ue enciea en su inteio puede se positivo o negativo, dependiendo del signo de las cagas, mientas ue en el caso del campo gavitatoio siempe ea negativo ( φ 4πGm ). Mediante la ley de Gauss podemos calcula muy fácilmente el valo de la intensidad de campo eléctico ceada po una distibución de cagas, siempe ue podamos calcula el valo de la supeficie gausiana. Ejemplo: Obtene, utilizando el teoema de Gauss, la expesión de la intensidad de campo eléctico ceado po una caga a una distancia de la misma. Qué fueza actuaá sobe una caga colocada en dicho punto? Po supuesto ya sabemos la expesión ue tiene, peo vamos a obtenela a pati del teoema de Gauss. Dibujamos alededo de la caga una supeficie ceada ue va a se una esfea cuya distancia a la caga seá. Según la ley de Gauss: φ es deci ue: S E ds Como: El vecto E y el vecto ds foman ángulo de 0º El módulo de E es constante en toda la supeficie, poue al se la supeficie esféica en todos sus puntos dista igual a la caga. E ds E 4π S y despejando: E K 4 π
Si en el punto P colocamos una caga sobe ella actuaá una fueza dada po: F E K ue es la ley de Coulomb y ue como vemos puede demostase fácilmente a pati de la ley de Gauss. Pocediendo de foma análoga, si la caga en luga de se puntual hubiese tenido foma esféica el esultado había sido el mismo, lo ue nos indica ue es como si toda la caga de la esfea estuviese concentada en su cento. Po esa azón cuando medimos las distancias ente dos cagas (o masas) lo hacemos desde cento a cento. Ejemplo: Calcula el campo eléctico a una distancia de un hilo indefinido cagado unifomemente con una densidad lineal de caga λ. La diección del campo eléctico ceado po el hilo cagado, po azones de simetía, es pependicula al hilo, po tanto elegiemos como supeficie de gauss un cilindo de adio y una altua h cualuiea. El teoema de Gauss nos dice ue el flujo a tavés de una supeficie ceada, el cilindo en este caso, es igual a la caga ue enciea en su inteio dividido po la constante dieléctica: E ds S El flujo a tavés de todo el cilindo es igual al flujo a tavés de las tapas más el flujo a tavés de la envoltua. El flujo de E a tavés de las tapas es nulo, poue como vemos en la figua E y ds foman ángulo de 90º y su poducto escala es nulo poue cos90º0. Nos ueda entonces ue el flujo total seá el ue ataviesa la envoltua lateal del cilindo: en ese caso E y ds tienen la misma diección. Teniendo en cuenta ue el áea de la envoltua es π h
S E ds E π h E π h Teniendo en cuenta ahoa ue λ es la densidad lineal de caga, es deci, la caga po unidad de longitud. La caga ue hay enceada en el cilindo de altua h seá λ h y po tanto, sustituyendo nos uedaía ue: Ejemplo: E λ π Obtene la expesión del campo eléctico ceado po una chapa delgada de supeficie infinita y ue se encuenta cagada con una densidad supeficial de caga σ. Po simetía, la diección del campo eléctico es pependicula a la chapa. Elegimos una supeficie gausiana, po ejemplo, cilíndica como la de la figua, cuyas tapas tienen una supeficie igual a. Como sabemos: S E ds Y puesto ue como se ve en la figua, la única contibución al flujo es a ue tiene luga a tavés de las tapas anteio y posteio, donde E y ds tienen la misma diección, así ue: E E Teniendo en cuenta ahoa ue σ es la densidad supeficial de caga, es deci, la caga po unidad de áea. La caga ue hay enceada en el cilindo seá σ y po tanto, sustituyendo nos uedaía ue: σ E σ E Obseva como el valo de la intensidad de campo es el mismo paa todos los puntos a ambos lados de la chapa. El esultado también es válido paa el caso de ue la chapa tenga dimensiones finitas, aunue no valdía en los bodes de la chapa.
Ejemplo: Calcula el valo del campo eléctico ente las placas de un condensado plano de supeficie. Un condensado es un dispositivo fomado po dos placas (llamadas amaduas) muy póximas, cagadas igualmente peo con cagas de signo contaio. Recodando ue la diección del campo es la ue tomaía una caga positiva, podemos dibuja el campo: Como puedes ve la intensidad de campo eléctico fuea del condensado es nula poue el campo ceado po una placa se anula con el ue cea la ota amadua. Solo dento del condensado el campo tiene un valo distinto de ceo. Paa calcula el campo dento del condensado elegimos una supeficie gausiana como si se tataa de una caja de ceillas ue pase po medio de la amadua, como se ve en la figua: El flujo de E a tavés de todas las caas de la caja de ceillas es nulo salvo de la caa inteio. La explicación es sencilla: en las caas supeio e infeio es nulo poue E y ds fomaían ángulo de 90º y su poducto escala es nulo. En la caa ue pasa po medio de la amadua el flujo es nulo, poue como veemos más adelante el campo eléctico en el inteio de un conducto en euilibio es nulo. Solo ueda la caa ue está ente las amaduas, donde E y ds tiene la misma diección. S E ds E E El campo eléctico dento del condensado no depende de la distancia a las placas, y po tanto tiene el mismo valo en todos los puntos ente ellas (salvo en los bodes). Se dice entonces ue es unifome.
PROPIEDDES DE L CRG ELÉCTRIC La caga, como hemos visto, es una magnitud ue se intoduce paa explica los fenómenos elécticos. Las popiedades más impotantes de la caga son:. Hay dos tipos de caga: positiva y negativa. Esta denominación coesponde al físico enjamín Fanklin, ue le asignó caga negativa al electón y positiva al potón, aunue ninguno de ellos tienen nada intínseco ue les haga se negativo o positivo. Simplemente se les asignó de esa foma. Como sabes, un cuepo cagado negativamente es auel ue tiene un exceso de electones, mientas ue un cuepo cagado positivamente es auel ue ha pedido los electones. Los electones son los ue se ganan o se pieden, peo nunca los potones, ya ue si así fuea los elementos dejaían de se los ue son y se tansfomaían en otos.. La caga está cuantificada. Esto uiee deci ue no puede toma cualuie valo, sino ue siempe debe se múltiplo de un valo disceto. Esto es fácil de entende ya ue como un cuepo se caga poue gana o piede electones es obvio ue su caga siempe seá múltiplo enteo de la caga del electón, poue un cuepo puede gana dos o tes 9 electones, peo nunca dos y medio. Dicho de ota foma, la caga del electón,6 0 Culombios es la caga elemental. 3. La caga se conseva. Quiee deci ue no apaece ni desapaece, solamente se taspasa de unos cuepos a otos. Quiee deci ue si un cuepo tiene electones de más habá oto ue seá uien se los ha cedido. Como ejemplo podemos ve, po ejemplo, la desintegación del uanio 38: El uanio tiene 9 potones y se desintega emitiendo una patícula alfa, ue tiene dos. La consevación de la caga exige ue se fome un elemento con 90 potones, como así sucede: U 38 34 9 Th90 α 4 continuación vamos a descibi el expeimento de Millikan paa detemina la caga del electón. Ejemplo: Una gota de aceite cagada elécticamente y de masa,5.0-7 Kg está situada ente las placas de un condensado plano con las placas paalelas hoizontales, de 0,075 m de supeficie. Cuando la placa supeio tiene una caga de 4,5.0-7 C y la infeio igual, aunue negativa, la gota se mantiene en euilibio. cuál es su caga? Despecia las fuezas viscosas y el empuje. Datos: 8,85.0 - C /N.m
Millikan utilizó un dispositivo como el de la figua. La tapa supeio tiene una peueña abetua po donde se intoducen gotas de aceite cagadas, lo ue se consigue iadiándolas con ayos X. Las amaduas están conectadas a una pila vaiable, mediante la cual se puede ajusta la ddp adecuada ente las placas hasta consegui ue la gota uede en euilibio, lo ue se puede ve a tavés de un viso. La gota de aceite al encontase en el campo eléctico ceado ente las placas del condensado estaá sometida, si despeciamos el ozamiento y el empuje, al peso y a la fueza eléctica ue deben se iguales paa ue la gota se euilibe. E mg Teniendo en cuenta ue la intensidad de campo eléctico ente las placas del condensado es E / S, (donde es la caga del condensado y S el áea de sus amaduas), sustituyendo nos ueda ue : mg S,5 0 7 0 8,85 0 7 4,5 0 0,075 8,6 0 3 C El valo de la caga tendía signo menos po debese a un exceso de electones. Millikan compobó ue los valoes de las cagas ean siempe múltiplos de una caga elemental, la del electón. Po consiguiente pudo medi la caga eléctica ue posee un electón. Este valo es: e,60 0-9 CONDUCTORES Y LISLNTES Conductoes elécticos son auellos cuepos en los ue las cagas (los electones) pueden movese libemente. Unos conductoes excelentes son los metales, poue en la edes metálicas los electones de la última capa electónica no están ligados a ningún átomo en paticula sino ue petenecen a todo el metal y pueden movese libemente po él. Los electones libes se mueven aleatoiamente como lo hacen las moléculas de un gas contenido en un ecipiente. Peo si ente los extemos del conductos establecemos una ddp, en el inteio del conducto metálico se establece un campo eléctico constante y
los electones modifican sus movimientos aleatoios, siendo aastados en sentido opuesto al campo eléctico E poue sobe ellos actúa una fueza F E Po el contaio, cuando en un cuepo los electones está muy ligados a sus átomos decimos ue se tata de un aislante, sin embago no existe el aislante pefecto, puesto ue siempe podemos establece una ddp paa la cual el campo eléctico sea suficiente paa aancalos de los átomos y en consecuencia hace ue se vuelva conducto. Como aclaación mia algunos voltajes ue aplicados a aislantes de cm de espeso los volveía conductoes: Mica idio ie (a atm) 300.000 a.000.000 300.000 a.500.000 30.000 demás de estos tipos de cuepos hay otos llamados semiconductoes, poue su capacidad paa conduci la electicidad es intemedio. Los semiconductoes son pácticamente aislantes a bajas tempeatuas, peo a medida ue aumenta se compotan casi como conductoes, aunue sin llega a tanto. Ejemplos de ellos son el silicio y el gemanio. PROPIEDDES DE LOS CONDUCTORES EN EQUILIRIO Se dice ue un conducto está en euilibio cuando o hay movimiento macoscópico de cagas en él. Las popiedades son:. El campo eléctico en el inteio de un conducto en euilibio es nulo: E 0. En efecto, ya ue de no se así sobe los electones actuaía una fueza F E y entonces se moveían, dejando de esta en euilibio.. Si cagamos un conducto y espeamos a ue alcance el euilibio, las cagas se distibuián en la supeficie, y aunue el campo en su inteio deba se nulo paa ue haya euilibio, en la supeficie no lo es, aunue es absolutamente necesaio ue la diección del campo en la supeficie sea nomal al conducto. S E ds Si en el inteio E0 0 Po oto lado, si la diección de E no fuese nomal a la supeficie, tendía una componente en la diección a la supeficie y las cagas se moveían a lo lago de ella, dejando entonces de esta en euilibio.
3. Todo el conducto en euilibio es una supeficie euipotencial: cte. En efecto, esto debe se así ya ue teniendo en cuenta la elación ente el campo eléctico y el potencial: E d,campo es evidente ue si E d ello implica su poducto escala sea ceo y ue po tanto lo ue uiee deci ue cte, es deci ue en todo el conducto el potencial es el mismo.