Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 2 - Matrices y Determinantes 1 Matrices 11 Definición Una matriz A es cualquier ordenamiento rectangular de números o funciones a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A a m1 a m2 a mn A una matriz con m filas (horizontales) y n columnas (verticales) se la designa usualmente como matriz de m n A una matriz de n n se la designa como matriz cuadrada Al elemento ubicado en la fila número i y la columna número j de una matriz A de m n se lo denota por a ij Por consiguiente, una matriz A se escribe abreviadamente como A (a ij ) m n, o simplemente A (a ij ) Una matriz de 1 1 es sencillamente interpretada como una constante 12 Definiciones básicas 121 Igualdad de matrices Dos matrices A y B de m n son iguales si a ij b ij para cada i y cada j 122 Matriz columna Una matriz columna X es cualquier matriz que tiene n filas y una columna b 11 b 21 X (b i1) n 1 b n1 A una matriz columna también se la llama vector columna, o simplemente, vector 123 Múltiplo de una matriz: Se define el múltiplo de una matriz A como el producto de k por la matriz: en donde k es una constante ka 11 ka 12 ka 1n ka 21 ka 22 ka 2n ka ka m1 ka m2 ka mn (ka ij) m n
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 2 124 Matriz cero o nula Se llama matriz nula a una matriz cuyos elementos son todos ceros 125 Matriz traspuesta Se llama matriz traspuesta de una matriz A de n m a la matriz A T de m n donde las filas de A T son las columnas de A 3 2 9 3 2 4 1 Ejemplo: Si A 2 0 2 7, entonces A T 2 0 2 4 2 7 9 2 7 1 1 7 1 13 Suma de matrices Se define la suma de dos matrices A y B de m n como la matriz 14 Producto de matrices A + B (a ij ) m n + (b ij ) m n Sea A una matriz que tiene m filas y n columnas y sea B una matriz que tiene n filas y p columnas Definimos el producto AB como la matriz de m p a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n AB a m1 a m2 a mn b 11 b 12 b 1p b 21 b 22 b 2p b n1 b n2 b np a 11 b 11 + a 12 b 21 + + a 1n b n1 a 11 b 1p + a 12 b 2p + + a 1n b np a 21 b 11 + a 22 b 21 + + a 2n b n1 a 21 b 1p + a 22 b 2p + + a 2n b np a m1 b 11 + a m2 b 21 + + a mn b n1 a m1 b 1p + a m2 b 2p + + a mn b np n ( a ik b kj ) m p Ejemplo: 5 8 Si A 1 0 y B 2 7 k1 ( ) 4 3 2 0 5( 4) + 8,2 5( 3) + 8,0 4 15 AB 1( 4) + 0,2 1( 3) + 0,0 4 3 2( 4) + 7,2 2( 3) + 7,0 6 6 Observación: El producto de matrices no es conmutativo Esto es: AB BA
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 3 141 Matriz identidad Para un número entero positivo n se denomina matriz identidad a la matriz de n n: 1 0 0 0 0 1 0 0 I 0 0 0 1 Para cualquier matriz A de n n se tiene: 15 Propiedades 151 Asociatividad AI IA A El producto de matrices es asociativo: Si A es una matriz de m p, B es una matriz de p r y C es una matriz de r n, entonces 152 Distributividad A(BC) (AB)C Si B y C son matrices de r n y A es una matriz de m r entonces: A(B + C) AB + AC 2 Determinante de una matriz Para cada matriz cuadrada A existe un número llamado determinante de la matriz El determinante de una matriz se denota por det A o por A ( ) a11 a El determinante de una matriz A 12 de 2 2 se define: a 21 a 22 det A A a 11 a 22 a 12 a 21 a 11 a 12 a 13 El determinante de una matriz A a 21 a 22 a 23 de 3 3 se puede calcular: a 31 a 32 a 33 repitiendo las dos primeras filas debajo de la tercera y procediendo del siguiente modo: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 det A a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 (a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 ) (a 13 a 22 a 31 + a 23 a 32 a 11 + a 33 a 12 a 21 ) O sea la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden hacia la derecha menos la suma de los productos de los elementos de las diagonales que descienden hacia la izquierda Este procedimiento se llama Regla de Sarrus
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 4 21 Menor complementario Se llama menor complementario de un elemento de una matriz de orden n al determinante de orden n 1 de la matriz que se obtiene si en la matriz inicial se borra la fila y la columna que contienen al elemento indicado Ejemplo: Para la matriz El menor complementario del elemento 0 1 1 2 3 2 1 5 1 0 1 a 23 3 es: 4 3 2 5 22 Cofactor Se llama cofactor de un elemento de una matriz al producto del menor complementario por ( 1) k, donde k es la suma de los números de la fila y columna que contienen al elemento dado Ejemplo: Para la matriz 0 1 1 2 El cofactor del elemento a 23 3 es: 3 2 1 5 1 0 1 ( 1) 2+3 ( 1) 5 4 4 3 2 5 23 Cálculo de determinantes por fila (o columna) Para calcular un determinante de orden n se elige una fila (o columna) y se procede a sumar los productos de sus elementos por los cofactores correspondientes, de esta manera se obtienen n determinantes de orden n 1 Se sigue aplicando este método hasta tener determinantes de orden 2 o 3 que se resuelven con los métodos anteriores Ejemplo: Calculo general de un determinante de 3 3 usando la primera fila det A ( 1) 1+1 a a 22 a 23 11 a 32 a 33 + a ( 1)1+2 a 11 a 13 12 a 31 a 33 + a ( 1)1+3 a 21 a 22 13 a 31 a 32 Verificar que se obtiene el mismo resultado que el obtenido por la Regla de Sarrus Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz: 0 1 1 2 3 2 1 5 Si se desarrolla por la segunda fila: 0 1 1 1 1 1 ( 1) 2+1 2 1 1 2 + ( 1) 2+2 1 + 0 1 1 2 3 2 1 5 2 1 5 3 1 5
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 5 1 0 1 1 0 1 +( 1) 2+3 ( 3) + ( 1) 2+4 ( 1) 0 1 1 3 2 5 3 2 1 Se sigue con el cálculo de los cuatro determinantes de tres por tres 3 Matriz Inversa Sea A una matriz de n n Si existe una matriz B de n n tal que: AB BA I en donde I es la matriz identidad, entonces se dice que B es la inversa multiplicativa de A y se la denota por B A 1 31 Definición Sea A una matriz de n n Si det A 0, entonces se dice que A es no singular Si det A 0, entonces se dice que A es singular 32 Teorema Una matriz A de n n tiene una inversa multiplicativa A 1 si y solo si A es no singular 33 Teorema Sea A una matriz no singular de n n y sea A ij la matriz de n n formada por los cofactores de cada elemento de la matriz, entonces: A 1 1 det A (A ij) T Ejemplo: Hallar, si es posible, la matriz inversa de 1 0 1 A 1 3 1 Puesto que det A 6, A es una matriz no singular de 3 3 y por el teorema admite matriz inversa La matriz de los cofactores A ij es: 3 1 1 2 1 1 1 3 0 2 0 1 A ij 0 1 1 1 1 2 0 2 1 0 7 2 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1 1 0 3 0 3 1 1 1 3 Luego, la inversa de A es: A 1 1 7 1 3 7/6 1/6 1/2 2 2 0 1/3 1/3 0 6 1 1 3 1/6 1/6 1/2
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 6 4 Ejercicios 1 Dadas las matrices: A 0 4 0 2 3 2 1 5 1 2 B 0 3 1 0 1 C 2 1 3 0 1 1 2 3 1 D 5 9 7 F 1 0 4 ( 1 ) 0, 1 10 2 G ( 1 ) 2 2 4 H Calcular: ( 1 0 ) 1 0 1 1 M ( ) 16 20 1 1 0 L 2 E 2 1 5 0 1 a) Si es posible: a) F + G b) C + D c) 2C + D T d) D 4C e) C C T f) 2H T + E g) H + E T h) F + C i) A + B b) Si es posible: a) F G b) CD c) HE d) EH e) ML T f) AB g) DL h) AC i) CH c) Utilizando la definición de igualdad entre matrices, la matriz X de 2 2 si: a) F X G b) XF I + X T d) Los determinantes: a) det(f ) a) det(c) a) det(a) a) det(g) e) Si es posible: a) D 1 b) F 1 c) G 1 d) A 1 f ) Si es posible: a) D 1 D b) DD 1 b) AA 1 g) Verificar que D (D 1 ) 1 h) El ejercicio c) multiplicando, a la izquierda, por F 1 ambos miembros de la igualdad 2 Una compañía tiene cuatro panaderías y cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de centeno, e integral El número de kilogramos de pan producidos diariamente en cada una de las panaderías se muestra en la siguiente tabla Panaderias A B C D Blanco 180 200 250 100 Centeno 50 75 100 50 Integral 200 250 300 175 Los precios, en pesos, por kilogramo de cada clase de pan son: Blanco Centeno Integral Precio 1,80 2,10 2,30
Nivelación de Matemática MTHA UNLP 7 Complete la siguiente tabla con el dinero recaudado por cada panadería : Recaudación A B C D Indicación: escribir una matriz con las cantidades, una matriz fila con los precios, hacer el producto que corresponda 0 t t 3 Dada la matriz: P t 1 t Calcular det P Estudiar para que valores t t 0 de t P admite matriz inversa y calcularla x 0 0 4 Dada la matriz: R 0 y 0 Calcular det R Estudiar para que valores 0 0 z de x, y, z R admite matriz inversa y calcularla 5 a) Una matriz cuadrada A se dice diagonal si se cumple que a ij 0 si i j Escribir una matriz de 4 4 que sea diagonal b) Una matriz cuadrada A se dice simétrica si se cumple que A T A 1 2 7 Verificar que A 2 5 0 7 0 3 4 es simétrica c) Una matriz cuadrada A se dice antisimétrica si se cumple que A T A Escribir una matriz de 4 4 que sea antisimétrica Cuáles son los elementos de la diagonal principal? 6 En un vivero se cultivan cinco clases de árboles: roble, cerezo, pino, abeto y acacio Los árboles se envían a tres bocas de expendio según la siguiente tabla ROBLE CEREZO PINO ABETO ACACIO A 25 15 50 25 50 B 50 75 25 100 50 C 100 25 50 75 125 Las ganancias, en pesos, por la venta de cada árbol es la siguiente: ROBLE CEREZO PINO ABETO ACACIO GANANCIAS 3,50 4,10 2,75 1,75 2,50 Calcular el beneficio obtenido por cada boca de expendio si todavía no se vendieron las siguientes cantidades de árboles: ROBLE CEREZO PINO ABETO ACACIO A 5 1 0 2 5 B 2 7 2 10 10 C 12 6 8 15 25 Indicación: realizar los cálculos definiendo las matrices adecuadas