Problemas de demostración AUTOR: Begoña Soler de Dios 1 Máster en Profesor de Educación Secundaria Esp. Matemáticas 1 besode@alumni.uv.es
Problemas de demostración 1. Dados una circunferencia, un triángulo cualquiera ABC inscrito en la circunferencia y la recta r tangente a la circunferencia en A, discute la relación entre los ángulos ACB y BAN. Demuestra que tu conjetura es correcta. Si nos paramos a observar diversos casos del mismo problema podemos observar que los ángulos ACB y BAN serán iguales. Cómo lo podemos demostrar? Empezaríamos demostrando la relación entre un ángulo inscrito y su arco. Lo que correspondería en nuestro caso a la relación entre el ángulo ACB y su arco ( ). Relación: El ángulo KQP es sumplementario de MQP por lo que ambos sumados formarán un ángulo de 180 =KQP+MQP. Al ser el triángulo MPQ isósceles tendrá dos ángulos iguales QMP=MPQ por lo que 2QMP+MQP=180 debido a la suma de los ángulos internos del triángulo MPQ. Juntando la primera ecuación MQP=180-KQP con la de la suma de los ángulos del triángulo obtenemos que 2QMP+180-KQP=180, es decir, 2QMP=KQP QMP=KQP/2 El ángulo inscrito QMP mide la mitad del arco. Traducido a nuestra situación diríamos que el ángulo ACB es la mitad del arco. También se puede encontrar la relación entre un arco y un ángulo semi-inscrito en él. Lo que correspondería en nuestro problema a la relación entre el arco y el ángulo BAN. 2
Los ángulos DBC y DAB miden 90. Por lo tanto ADB+DBA=90 =DBC y DBC=DBA+ABC. Juntando ambas relaciones DBA+ABC=ADB+DBA, es decir ADB=ABC. De la demostración anterior obtenemos que ADB=AOB/2 y por lo tanto, como ADB=ABC ABC=ACB/2. Traducido a nuestra situación diríamos que el ángulo BAN es la mitad del arco. Recordando la demostración anterior de que el ángulo ACB es también la mitad del arco podemos concluir que BAN=ACB. Podemos demostrar la misma afirmación basándonos en la representación gráfica: A partir de la demostración anterior el ángulo AOB será dos veces el ángulo ACB por lo que el ángulo AOD tendrá de valor ACB. Teniendo en cuenta que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180 y que AOD=ACB, podemos obtener el valor del ángulo OAD que será ACB+90+OAD=180 OAD=90-ACB. Como OAF=90=OAD+BAN BAN=90-OAD=90-90+ACB=ACB, es decir, BAN=ACB. 3
2. Cuánto vale la suma de los ángulos de un polígono de n lados? Demuestra tu respuesta. Como sabemos, la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180. Un cuadrilátero, por su parte, se puede descomponer en dos triángulos (trazando todas las diagonales que salen de uno de los vértices del polígono), por lo que la suma de sus ángulos es 180 2=360 (180 el número de triángulos que lo forman). Utilizando el mismo procedimiento descomponemos en tres triángulos un pentágono y obtenemos que la suma de sus ángulos interiores es 180 3=540. 4
Haciendo este procedimiento para más polígonos demostramos el valor de la suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados. Lados Diagonales Triángulos Suma de los ángulos interiores 3 0 1 180 1=180 4 1 2 180 2=360 5 2 3 180 3=540 6 3 4 180 4=720 7 4 5 180 5=900 n n-3 n-2 180 (n-2) n+1 n-2 n-2 180 (n-1) Es decir, un polígono de n lados tiene n vértices y a partir de uno de ellos podemos trazar n-3 diagonales para dividir el polígono en triángulos. Esto es debido a que hay que excluir los dos vértices adyacentes y el propio vértice desde el cual se trazan las diagonales. Mediante el trazo de diagonales obtendremos los triángulos, formando cada diagonal uno excepto la última que forma dos. Por lo que el número de triángulos que se formarán a partir de las diagonales será uno más que el número de diagonales trazadas desde un vértice, es decir, se formarán n-2 triángulos. Por lo tanto, como la suma de los ángulos interiores de todos los triángulos creados a partir de las diagonales que salen de un vértice es igual a la suma de los ángulos interiores del polígono, si multiplicamos 180 (suma de los ángulos interiores de un triángulo) por el número de triángulos, n-2, obtendremos la suma de los ángulos interiores del polígono: (n-2) 180. Podemos hacer la demostración por inducción: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5
En el caso de los ángulos exteriores, su suma es siempre 360. Teniendo en cuenta que el ángulo exterior de un polígono está formado por un lado cualquiera y la prolongación del que está a continuación podemos deducir que el ángulo interior más el exterior formarán 180. Por lo tanto, en un triángulo, la suma total de los ángulos interiores y exteriores es 180 3=540 (180 por cada uno de sus vértices) y que si a este número le restamos la suma de los ángulos interiores, nos queda la suma de los ángulos exteriores. Como en todo triángulo la suma de los ángulos interiores es 180, se obtiene que la suma de los ángulos exteriores será 540-180=360. Este método se puede extender para polígonos con más lados, obteniendo siempre que la suma de los ángulos exteriores será 360. Lados Suma de los ángulos exteriores e interiores Suma de los ángulos interiores Suma de los ángulos exteriores (S. ángulos ext.+int. Menos S. ángulos interiores) 3 180 3=540 180 540-180=360 4 180 4=720 360 720-360=360 5 180 5=900 540 900-540=360 6 180 6=1080 720 1080-720=360 7 180 7=1260 900 1260-900=360 n 180 n 180 (n-2) 180n-180(n-2)= 180n-180n+180 2= 180 2=360 6
3. Sea ABCD un paralelogramo. Por un punto cualquiera de su diagonal AC trazamos dos segmentos paralelos a los lados de ABCD (ver la figura). Demuestra que las superficies sombreadas tienen la misma área. Ya que ABCD es un paralelogramo y AC es su diagonal, ABC y ACD serán dos triángulos con la misma área. Este razonamiento se basa en el hecho de que al ser paralelos los lados dos a dos, ambos triángulos tendrán la misma base y la misma altura, por lo que al calcular su área obtendremos la misma. Es decir, en todo paralelogramo los ángulos y los lados opuestos son iguales y la diagonal divide el área en dos partes iguales, por lo que los triángulos ABC y ACD tendrán la misma área. ( ) ( ) i Si observamos ABCD podemos ver que AEOH es también un paralelogramo con diagonal AO y que igualmente OFCG es otro con diagonal OC. Por el mismo razonamiento anterior, el área del triángulo AEO es igual a la del triángulo AOH y el área del triángulo OFC será la misma que la del triángulo OCG. ( ) ( ) ( ) ( ) A partir del razonamiento anterior podemos deducir que el área del triángulo AEO junto el área del triángulo OCG es igual al área del triángulo AOH junto con el área del triángulo OFC. ( ) ( ) ( ) ( ) Finalmente, como el área del triángulo ABC es igual al área del triángulo ACD, y que las áreas AEO=AOH y OFC=OCG, concluimos que el área del paralelogramo HOGD es igual a la del paralelogramo OEBF. (Restando los triángulos obtendremos el área del paralelogramo coloreado). 7
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8
4. Cuántas diagonales tiene un polígono de n lados? Demuestra tu respuesta. Partimos definiendo el concepto de diagonal de un polígono. Una diagonal de un polígono es un segmento que une dos vértices no consecutivos. Podemos ver algunos ejemplos: En un triángulo no hay diagonales. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales. Un pentágono tiene 5 diagonales. Es decir, teniendo en cuenta que n es el número de lados y que por lo tanto n será también el número de vértices, podremos trazar desde cada vértice n-3 diagonales. Esto es debido a que hay que excluir los dos vértices adyacentes (las diagonales solamente unen vértices no consecutivos) y el propio vértice desde el cual se trazan las diagonales. De este modo 9
obtendremos las diagonales que salen de un vértice. Si esta cantidad la multiplicamos por el número de vértices que tiene el polígono obtendríamos el número de diagonales que saldrían de todos los vértices. Finalmente necesitaríamos dividir el resultado por dos para no contar dos veces cada diagonal (ya que cada diagonal contiene dos vértices), obteniendo con este procedimiento el número de diagonales del polígono. Lados Diagonales 3 0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) n+1 ( )( ) Podemos comprobarlo por inducción: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i Se hace uso de la notación (MNC) para referirse al área del triángulo MNC. 10