Matemáticas Universitarias
1 Sesión No. 11 Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas. Objetivo de la asignatura: En esta sesión el estudiante aplicará los conceptos relacionados con las funciones exponenciales y logarítmicas, sus elementos, métodos de solución para obtener resultados de problemas reales Contextualización Las funciones exponenciales y logarítmicas son trascendentes, ya que no se pueden definir sólo en términos de suma, resta, multiplicación, división y potencias racionales de una variable x. Tienen gran importancia en matemáticas y se aplican en casi todos los campos de trabajo del hombre En esta sesión aprenderemos a conocer e interpretar las funciones exponenciales y logarítmicas y entender que entre ellas hay una estrecha relación siendo la principal relación entre ellas que son inversas.
2 Introducción al Tema En qué áreas de trabajo se pueden aplicar las funciones exponenciales y logarítmicas? Estas funciones también se pueden trabajar como ecuaciones y se podrá encontrar su solución? Las funciones exponencial y logarítmica son funciones que se aplican ampliamente en el campo laboral del hombre; resultando especialmente útiles en los campos de la química, biología, física e ingeniería, donde contribuyen a describir cómo crecen o decrecen las magnitudes de la naturaleza. http://bibliotecadigital.ilce.edu.mx/sites/ciencia/volumen2/ciencia3/094/imgs/lasrad43.gif
3 Explicación Función exponencial. Definición de la función exponencial general: Si f(x) = a x para todo x en el conjunto de los reales, donde a>0 y a 0. Interpretación Grafica: La curva verde representa la gráfica de f para a>1. La curva rosa representa la gráfica de f para 0 < a < 1. http://1.bp.blogspot.com/- 8f3lOdwp3B8/TayJa6Az1SI/AAAAAAAAAHg/VrJ JptsjO0A/s1600/Aprendizaje827.jpg Una de las aplicaciones que podemos darle a la función exponencial es la de solucionar ecuaciones. Ejemplo 1. Resuelve la ecuación 3 5 x 8 + 2 = x 9 Solución: Por el teorema de funciones exponenciales biunívocas sabemos que si dos ecuaciones exponenciales tienen la misma base tendrán el mismo exponente.
4 Entonces en nuestra ecuación consideremos que para que las bases sean iguales debemos de transformar el 9 en forma exponencial como 3 2, por lo tanto: 3 5x 8 = 3 2( x+ 2) Al tener bases semejantes, se igualan los exponentes: 5x-8 = 2(x+2) Despejamos de esta ecuación x obtenemos: x= 4. Aplicaciones prácticas de la función exponencial Crecimiento de bacterias. Las funciones exponenciales resultan útiles para describir el crecimiento de ciertas poblaciones. Como ilustración supongamos que a nivel experimental se observa que el número de bacterias de un cultivo se duplica cada día. Si hay 1000 ejemplares en el comienzo, se obtiene la tabla siguiente, donde t es el tiempo en días y f(t) es el conteo de bacterias en el tiempo t. T(tiempo en días) 0 1 2 3 4 f(t)(conteo de bacterias) 1000 2000 4000 8000 16000 Está claro que f(t) = (1000)2 t Con esta fórmula se puede predecir la cantidad de bacterias presentes en cualquier tiempo t; por ejemplo en t=1.5 F (1.5) = (1000)2 1.5 = 2828. Definición de función exponencial natural. Está definida por f(x) = e x para todo número real x. Aplicación práctica. Interés compuesto continuamente. Formula: A = Ce it, donde C = Capital inicial, i= tasa de interés anual
5 t= los años que C está invertido A = Cantidad acumulada después de t años. Ejemplo 2: Supón que se depositan $20,000 en una cuenta de mercado de dinero que paga interés a razón de 8% por año compuesto continuamente. Determina el saldo de la cuenta después de 5 años. Solución: aplicamos la formula con C = 20,000, i=.08 y t= 5, tenemos A= (20,000) e (.08) (5) = 20000e.04 Usando la calculadora vemos que A = $29, 836.49 Funciones logarítmica Definición: sea a un número real positivo diferente de 1. El logaritmo de x con base a se define como y= log a x si y solo si x=a y Para toda x>0 y todo número real en y. Notaras que las ecuaciones de la definición son equivalentes. El diagrama que viene puede ayudarte en dominar esta conversión de una en otra. http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//1750/1998/html
6 Conclusión En esta sesión aprendimos a resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas, a interpretar sus gráficas y reconocer que una es inversa de la otra. Aprendimos a resolver problemas de aplicación para la función exponencial que es uno de los usos más importantes de esta función. La siguiente sesión trabajaremos con las progresiones aritméticas y geométricas. http://3.bp.blogspot.com/_4qjoxgx-uv0/tipjsv700ni/aaaaaaaaabu/xlmjbvlv-mw/s1600/geo3.png
7 Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Educatina. (2012). Ecuaciones logarítmicas. Consultado el 25 de abril de 2013: http://www.youtube.com/watch?v=k6bl9ay1f0u Funciones exponenciales y logarítmicas. (s/f). Consultado el 25 de abril de 2013: http://brd.unid.edu.mx/funciones-exponenciales-y-logaritmicas-3/ Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito.
8 Actividad de Aprendizaje Con los conocimientos adquiridos en esta sesión sobre funciones exponenciales y logarítmicas, los aplicaras para resolver los problemas que a continuación se presentan: I.- Resuelve las siguientes ecuaciones. a) 7 x+6 =7 3x-4 b) 3 = 3 2x+ 3 x 2 c) log 6 (4x-5) = log 6 (2x+1) II.- Resuelve los siguientes problemas de aplicación. c) Población de alces. Se introducen 100 alces, cada uno de un año de edad, en una bioreserva. El numero N (t) de animales vivos después de t años se predice mediante la función exponencial N (t)=100(.09) t. Estima el número de animales vivos después de 1 año, 5 años y 10 años. d) Cuánto dinero, invertido a una tasa de interés de 11% por año compuesto continuamente, alcanzara un monto de 100,000 dólares después de 18 años? Sube tu trabajo a la plataforma.
9 Bibliografía Swokowski, E., y Cole, J. (2002). Algebra y trigonometría con geometría analítica. México. Thomson Learning.