TEMA 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS. Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Realizar correctamente operaciones con fracciones: Suma, resta, producto, cociente, potencia y radicación. O.1.2 Resolver operaciones complejas aplicando la jerarquía de operaciones. O.1.3 Saber representar números racionales en la recta numérica. O.1.4 Saber convertir números decimales en fracciones y viceversa. O.1.5 Conocer e identificar los números irracionales. O.1.6 Saber aproximar números decimales por exceso, defecto y redondeo. O.1.7 Saber calcular el error absoluto y relativo en las aproximaciones. O.1.8 Saber representar números reales, intervalos y semirrectas en la recta real. O.1.9 Conocer el concepto de valor absoluto y saber calcularlo. O.1.10 Saber realizar operaciones con fracciones utilizando la calculadora electrónica. 1 Fracciones (Página 8) Def. Fracción. Una fracción es un cociente indicado entre dos números. Se expresa con los números separados por una barra o raya. El de debajo se llama denominador, el de arriba se llama numerador. El denominador indica en cuántas partes se ha dividido la unidad. El numerador indica cuántas de esas partes se han tomado. Def. Fracciones equivalentes. Dos fracciones son equivalentes si expresan la misma cantidad que se llama número racional. Todas ellas puede obtenerse a partir de otra multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por la misma cantidad Def. Fracciones propias son las que tienen el numerador más pequeño que el denominador. Su valor es menor que la unidad. Def. Fracciones impropias son las que tienen el numerador mayor que el denominador. Su valor es mayor que la unidad. Def. Números mixtos. Un número mixto es un número formado por una parte entera y una parte fraccionaria. Para pasar de número mixto a fracción se multiplica el denominador por la parte entera y se le suma el numerador, el resultado es el numerador resultante, el denominador se conserva. Un número mixto no es el producto de un entero por una fracción.
2. Operaciones con fracciones (Página 10) SUMA DE FRACCIONES Para sumar o restas fracciones, deben reducirse en primer lugar a común denominador. Para ello, debe calcularse primero el mínimo común múltiplo de los denominadores. Cálculo de mínimo común múltiplo de los denominadores: 1º Se descomponen los denominadores en factores primos. 2º Se toman los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. Una vez reducidas las fracciones a común denominador, se suman o restan los numeradores EJEMPLOS 2 6 + 3 4 + 4 15 Los denominadores son 6, 4 y 15. Los descomponemos en factores primos: 6= 2 3 4= 2 2 15 = 3 5 No hay factores comunes. Son factores no comunes el 2, el 3 y el 5, con mayor exponente son, el 2 2, el 3 y el 5 entonces, el mínimo común múltiplo es 2 2 3 5 = A continuación se reducen las fracciones, para calcular los nuevos numeradores de cada fracción, se divide el común denominador (m.c.m.) entre el denominador inicial, y se multiplica por el numerador inicial, así: 6 = 10,10 2= 20 2 6 = 20 4 = 15,15 3= 45 3 4 = 45 15 4 = 4,4 4= 16 15 = 16 PRODUCTO Y COCIENTE DE FRACCIONES Para multiplicar o dividir fracciones NO ES NECESARIO REDUCIRLAS A COMÚN DENOMINADOR.
Se procede de la siguiente forma: Colegio La Inmaculada PARA MULTIPLICAR: se multiplican el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, también el denominador de la primera fracción con el denominador de la segunda. Por ejemplo 3 5 7 8 = 3 7 5 8 = 21 40 PARA DIVIDIR: se multiplican el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, también se multiplica en denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda. ES DECIR, SE MULTIPLICAN EN CRUZ. 3 5 : 7 8 = 3 8 5 7 = 24 35 La inversa de una fracción a/b es otra que se obtiene cambiando numerador por denominador y viceversa siempre que el nuevo denominador no sea cero. Por ejemplo: la inversa de 3 4 es 4 3 3. Jerarquía de operaciones (Página 11) Las operaciones algebraicas se realizan siempre en el siguiente orden: 1º Paréntesis y corchetes, desde el más interno hacia fuera. 2º Potencias y raíces. 3º Divisiones y productos. 4º Sumas y restas. NOTA: Cuando hay varias operaciones seguidas del mismo nivel, por ejemplo varias multiplicaciones y divisiones seguidas, se opera empezando por la izquierda y siguiendo hacia la derecha. POR EJEMPLO, TENEMOS QUE HACER LA SIGUIENTE OPERACION: 4 2 1 3 5 * : 3 5 4 2 7 MULTIPLICACIONES Y DIVISIONES: 4 2 1 3 5 4 2* 1 3* 7 4 * : 3 5 4 2 7 3 5* 4 2* 5 3 2 20 21 10
SUMAS Y RESTAS Y AHORA YA ESTÁ TERMINADO 4 2 21 80 6 126 80 6 126 40 3 20 10 b c 4. Utilización de la calculadora (Página 10) Las operaciones con fracciones en la calculadora se realizan utilizando la tecla: ola tecla b a c según queramos introducir un número mixto o una fracción. En la calculadora se visualizan de la siguiente manera: una fracción se ve como a b y un número mixto como a b c Un número mixto es una forma de escribir fracciones impropias (que tienen más grande el numerador que el denominador) que son las que valen más que la unidad. Para pasar de fracción impropia a número mixto se divide el numerador y el denominador, luego se coloca: El cociente como parte entera, el resto como nuevo numerador. Se mantiene el 35 denominador que había. Por ejemplo: 8 = 4 3 8 5. Expresiones fraccionarias de números decimales (Página 12) Para pasar a fracción un decimal exacto: se coloca en el numerador el número sin coma decimal y en el denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el número. Para pasar a fracción un decimal periódico: Un decimal periódico, puro o mixto, consta de tres partes: 3,45676767 4 es la Parte entera (E) 45 es el Anteperiodo (A) 67 es el Periodo (P) Para escribirlo como fracción se aplica la siguiente fórmula: E AP= EAP EA 9...90...0 con tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.
6. Tipos de números (Páginas 13 y 14) Hay cuatro tipos de números que debes conocer y poder distinguir, es muy fácil: Números Naturales (N), Números Enteros, (Z), No tienen decimales y son positivos. No tienen decimales y pueden ser positivos o negativos Números Racionales (Q), Unos no tienen decimales, otros tienen decimales, pero: o los decimales se acaban o los decimales se repiten. Números Irracionales (I), Tienen infinitos decimales y los decimales no se repiten periódicamente. 7.Valor absoluto (Página 14) Def. Valor Absoluto. De un número es la distancia de ese número a cero en la recta real. Coincide con su valor numérico si le quitamos el signo. Se expresa entre dos barras verticales y se lee valor absoluto de a o módulo de a. /a/ 8. Errores y aproximaciones (Página 15) Def. Aproximación. Una aproximación de un número decimal es otro de valor parecido pero con menos cifras decimales. Todas las aproximaciones tienen un error Aproximación por defecto (truncado): Se suprime las cifras decimales de un número, a partir de un decimal determinado. Aproximación por exceso: Se suprimen las cifras decimales a partir de una dada y la última que queda se incrementa en 1. Aproximación por redondeo: se suprime las cifras decimales a partir de una dada. Si la primera suprimida es de 0 a 4 se deja el número como estaba, si es de 5 a 9 se suma 1 a la última cifra decimal. Def. Error Absoluto. Es la diferencia entre el número exacto y su aproximación. e.a.= aproximación número exacto Def. Error Relativo. Es el cociente entre el error absoluto y el número exacto. error absoluto e.r.= número exacto
9. Representación en la recta real (Página 16) Números fraccionarios. Fracciones propias: dividimos el intervalo de 0 a 1 en tantas partes como dice el denominador y tomamos tantas partes como dice el numerador. Fracciones impropias: se convierte la fracción propia en número mixto. Se divide el intervalo entre el número entero del número mixto y el siguiente en tantas partes como indica el denominador y se toman tantas como indica el numerador. Intervalos y semirrectas. Intervalo es un conjunto de números consecutivos que tienen un principio y un final. Intervalo abierto es un intervalo en el que no se incluyen los extremos. Se expresa con paréntesis y se representa con circunferencitas. ( ) Intervalo cerrado es un intervalo en el que se incluyen los extremos, se indica con corchetes y se representa con circulitos. ( ) Semirrecta es un intervalo en el uno de sus extremos es + ó -. Se representan con una flecha en el intervalo infinito. ( ) Operaciones con Intervalos y semirrectas. Unión: U La unión entre intervalos es otro intervalo que incluye todos los puntos que pertenecen o a un intervalo o al otro. Intersección: La intersección entre intervalos es otro intervalo formado por los puntos que pertenecen simultáneamente a los dos intervalos.