5. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS. PROYECCIONES ORTOGONALES. MÍNIMOS CUADRADOS.

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. 5. ESPACIOS VECTORIALES EUCLÍDEOS. PROYECCIONES ORTOGONALES. MÍNIMOS CUADRADOS. SUMARIO: INTRODUCCIÓN OBJETIVOS INTRODUCCIÓN TEÓRICA.- Espacio vecorial euclídeo..- Orogonalidad. Propiedades..- Norma. Propiedades. 4.- Proyecciones en espacios euclídeos. 5.- Méodo de los mínimos cuadrados 6.- Ajuse de daos con el méodo de los mínimos cuadrados. PROBLEMAS RESUELTOS. BILIOGRAFÍA 59

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCION La esrucura de espacio vecorial despliega una gran capacidad operaiva cuando incorpora los concepos de disancia y ángulo enre sus elemenos. Para inegrar esas dos cualidades méricas en un espacio vecorial es preciso definir en él un produco escalar, el cual oorga a dicho espacio el calificaivo de euclídeo, de modo que a odo espacio vecorial doado de un produco escalar se le denominará espacio vecorial euclídeo. Si se doa al espacio vecorial de un produco escalar se va a poder rasladar, al erreno de lo absraco, las nociones de longiud y ángulo, en especial el concepo de orogonalidad, sin que ésas pierdan las propiedades generales que les son inherenes. Anes de comenzar con el esudio de los espacios vecoriales euclídeos es preciso maizar que, en ese curso, dicho esudio se limiará únicamene al caso de producos escalares sobre espacios vecoriales reales. Basándonos en la idea de orogonalidad y proyección orogonal, esudiaremos el méodo de los mínimos cuadrados, para resolver de forma aproximada sisemas de ecuaciones lineales incompaibles. OBJETIVOS Reconocer en una forma bilineal un produco escalar y manejar adecuadamene sus propiedades. Definir la norma asociada a cada produco escalar y demosrar sus propiedades. Obener para cada vecor del espacio su norma, módulo, y para cada par de vecores el ángulo que forman a parir del produco escalar. 60

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. Reconocer diferenes expresiones para un produco escalar al considerarlo en bases diferenes. Enconrar una base del espacio en la cual un produco escalar dado adope la expresión más simple (expresión canónica). Conocer y uilizar con solura el méodo de oronormalización de Gram-Schmi. Deerminar el complemeno orogonal de un subespacio. Enender y calcular la proyección orogonal de un vecor sobre un subespacio. Comprender y manejar el méodo de los mínimos cuadrados. 6

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. INTRODUCCION TEORICA. Espacio vecorial euclídeo. Un conjuno E es un espacio vecorial euclídeo n-dimensional si es un espacio vecorial real de dimensión n en el que se ha definido una operación: f : E E, verificando las siguienes propiedades:. f ( x, y) = f( y, x), x, y E λ + µ, = λ, + µ,, λ, µ y x, yz, E. f ( x y z) f ( x z) f ( y z). f ( x y z) f ( x y) f ( x z), λ + µ = λ, + µ,, λ, µ y x, yz, E 4. f ( xx, ) > 0, x 0, x E Esa operación recibe el nombre de produco escalar y la noación que vamos a uilizar es : f ( x, y) = x y. Mariz Asociada al Produco Escalar Si B { e e e } =,,, es una base del espacio vecorial euclídeo E, n enonces la mariz asociada al produco escalar respeco a dicha base viene dada por: A e e e e e en e e e e e e en e en e en e n n = MATRIZ DE GRAM como el produco escalar es conmuaivo, sucede que e e = e e, i, j y de ahí se obiene que la mariz A es simérica, i j j i es decir: 6

A Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. e e e e en e e e e e e e e en e en en e n n = A =. Orogonalidad. Vecores orogonales. Sea E un espacio vecorial euclídeo. Dos vecores u orogonales si y sólo si u v = 0.. Proposición y v son El vecor 0 es el único vecor orogonal a odos los vecores del espacio.. Vecor orogonal a un subespacio. Un vecor u es orogonal a un subespacio S de E si y sólo si, x S, u x = 0..4 Proposición Un vecor u es orogonal a un subespacio S de E si y sólo si es orogonal a odos los vecores de una base de S..5 Subespacios orogonales. Dos subespacios V y W de E son orogonales si x V, y W x y = 0..6 Proposición Para que dos subespacios V y W sean orogonales es necesario y suficiene que los vecores de una base de V sean orogonales con los vecores de una base de W..7 Propiedades de la relación de orogonalidad. 6

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. Las principales propiedades de la relación de orogonalidad son las siguienes:. Si S = { u, u,, u } es un sisema de vecores orogonales dos a k dos, ui 0, i =,,, k, enonces S es un sisema libre.. Si V, V son dos subespacios de E,al que V V, V V enonces exise un vecor no nulo de V orogonal a odo el subespacio V.. Si V es un subespacio vecorial de E de dimensión k < n, odo sisema libre formado con vecores de V iene como máximo k vecores orogonales dos a dos. 4. Si V es un subespacio de E, de dimensión k < n, el conjuno de odos los vecores orogonales a V es un subespacio de dimensión n k. Dicho subespacio se denomina suplemenario orogonal o complemeno orogonal de V y se represena por V. 5. Si V es un subespacio de E enonces V V = {0}. 6. Si V es un subespacio de E enonces V V = E.. Longiud, norma o módulo de un vecor. Se llama longiud, norma o módulo de un vecor u, y se represena por u ó u a la raíz cuadrada posiivo del produco escalar u u =+ u u u, es decir, : E ------------ + u------------ u =+ u u NOTA: Si u =, se dice enonces que el vecor u es uniario. 64

. Propiedades de la norma.. u > 0, u 0. u = 0 u = 0. λu = λ u, u E, λ. Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. 4. u E, u 0, u, es un vecor uniario en la dirección de u. u 5. Desigualdad de Schwarz, u, v E: u v u v u v 6. Desigualdades riangulares, uv, E: a. u + v u + v b. u v u v. Angulo que forman dos vecores. n Sean uv,, u v el produco escalar usual, es decir, n u v = u v = uv i i i= El ángulo α que forman dos vecores u y v se define por medio de la expresión:. Proposición. n Sean uv, ; uv, 0 cos( α ) = u v u v a) u y v son orogonales ( u v ) cos( α) = 0 u v = 0. b) u y v son paralelos ( u // v ) cos( α) = 0 u v =± u v..4 Bases orogonales y oronormales. Una base de un espacio vecorial euclídeo es orogonal si sus vecores 65

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. son orogonales dos a dos. Una base oronormal es una base orogonal de vecores uniarios..5 Méodo de orogonalización de Gram-Schmid. Ese méodo nos permie consruir una base oronormal a parir de una base cualquiera del espacio. Si B { e e e } =,,, es una base de E, los vecores que se obienen de la n forma: c = e c e c = e c c c c e c e c = e c c c c c c c e c e c e c = e c c... c n n n n n n c c c n c cn c n c consiuyen una base orogonal. Enonces c c B n { c c c },,, = es una base oronormal. 4. Proyecciones en Espacios Euclídeos. 4. Proyección orogonal de un vecor sobre oro. Sea v E, v 0. Todo vecor u E se descompone como: u v v v u = v + w. siendo el vecor w un vecor orogonal a v. El vecor u v v vv es la proyección orogonal de u sobre v. 4. Proyección Orogonal de un vecor sobre un subespacio S. Sea S un subespacio de E. Todo vecor u de E se descompone de n 66

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. manera única de la forma u = s + w, siendo s S y w orogonal a S. El vecor s es la proyección orogonal de u sobre S. 4. Expresión maricial del vecor proyección sobre un subespacio. Sea u E. Sea S = L{ a, a,, ak} ( ai, linealmene independienes) un subespacio de E, y sea A la mariz cuyas columnas son las coordenadas de los vecores a i en una base B de E. El vecor proyección, s, del vecor u sobre S viene dado por: NOTAS: = ( ) s A A A Au. La exisencia de la mariz ( AA) queda garanizada por ser linealmene independienes los vecores a i, para i =,,, k.. Obsérvese que en el caso paricular de ( ) dim S =, S L{ v} =, la expresión del vecor proyección s de u sobre S sería: u v v v s = v = v v v v u ( ) ( ) que corresponde a la forma ( ) = omando A la mariz s A A A Au columna de las coordenadas de v. En ese caso = y v v A A u v = Au. 4.5 Mariz Proyección asociada a un subespacio S. Sea S un subespacio de E y B = { a, a,, a } una base de dicho k subespacio. Sea A la mariz cuyas columnas son las coordenadas de los vecores a i en una ciera base de E. La mariz proyección para el subespacio S es la mariz: 67

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. ( P = A A A) A. S El produco Pu S para cualquier vecor u E nos proporciona la proyección orogonal de u sobre el subespacio S. 4.6 Teorema. Sea S un subespacio vecorial de E y B = { a, a,, a } S una base del mismo. Sea B una base de E y A la mariz n k, cuyas columnas son las coordenadas de los vecores a i respeco a la base B. La mariz proyección: = ( PS A A A) A es la única mariz con la propiedad de que para odo vecor u vecor Pu S es la proyección de u sobre S. k E NOTA: El eorema anerior nos dice que la mariz proyección es única, independiene de la base elegida en el subespacio. 4.7 Propiedades de la mariz proyección. La mariz proyección P S saisface:, el 7. ( P ) S = PS, es decir, S P es idempoene. 8. ( P ) S = P, es decir, P S es simérica. S 4.8 Caracerización de las marices proyección. La condición necesaria y suficiene para que una mariz n n sea una mariz proyección es que sea idempoene y simérica. En ese caso, la mariz es la mariz proyección para el subespacio generado por sus columnas. 4.9 Mariz proyección uilizando bases oronormales. Si A es una mariz n k de columnas oronormales, AA es la mariz 68

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. idenidad. En esa propiedad simplifica en gran medida la expresión de la mariz proyección. Sea E un subespacio vecorial de dimensión n, S un subespacio y { } B = a, a,, a una base oronormal del mismo. Si A es la mariz k cuyas columnas son los vecores a i, enonces la mariz proyección para el subespacio S, al ser AA = I, es PS = AA. 5. Méodo de los Mínimos Cuadrados 5. Planeamieno del Problema. Traaremos de aplicar el esudio realizado sobre las proyecciones a problemas de análisis de daos, que nos conducen a sisemas con mayor número de ecuaciones que de incógnias (sisemas sobredeerminados) que, normalmene, son incompaibles. A pesar de la no exisencia de solución exaca en dichos sisemas. Los sisemas incompaibles surgen en siuaciones reales y hay que inenar enconrar la mejor solución posible. El problema será enconrar un vecor que minimice el error que comeemos al suponer que dicho vecor es la solución del sisema. 5. Méodo de los Mínimos Cuadrados. Sea el sisema Ax = b, siendo A una mariz m n, con m> n, cuyas columnas son linealmene independienes, es decir, rang( A) = n. Si b no es combinación lineal de las columnas de A, el sisema lineal anerior Ax = b es incompaible. Se raa enonces de enconrar un vecor x * que minimice el vecor error Ax minimizar su norma euclídea: b que para nosoros significará 69

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. ( ) Ax b = d, d,, d =+ d + d + + d. m Pero minimizar su norma es equivalene a minimizar su norma al cuadrado, es decir, Ax b = d + d + + d. m Esa es la razón del nombre del méodo de los mínimos cuadrados. Para odo vecor x, el vecor Ax perenece al subespacio S generado por las columnas de A ; además, el error Ax m b es la disancia de b a Ax. Enonces, buscar la mejor solución * x del sisema con el méodo * de los mínimos cuadrados, equivale a enconrar el vecor x, al que la disancia de * Ax a b sea la menor posible. De odos los vecores Ax de S, el que minimiza Ax b es el vecor proyección de b sobre S, es decir el vecor lo obendremos de resolver: AAA ( ) Ab, el vecor * x =. ( Ax A A A) A b Muliplicando la igualdad anerior por ( )( ) A queda: = = AAx AA AA Ab Ab = Ab, * Es decir x, es la solución del sisema lineal compaible y deerminado: AAx = Ab (Noa: El sisema anerior es compaible y deerminado ya que la mariz AA es una mariz cuadrada de orden n, regular). La solución del sisema anerior, al ser A de rango máximo, es ( ) =, que nos da la solución ópima del sisema Ax = b, * x AA Ab 70

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. en el senido de mínimos cuadrados. NOTA: Si sisema Ax ser AA = I A M m n iene columnas oronormales, la solución del = b por el méodo de los mínimos cuadrados es x = Ab, al * 6. Ajuse de daos con el méodo de mínimos cuadrados 6. Reca de ajuse de daos en el plano. Supongamos que parimos de una colección de daos ( x y ) i,, i =,,, m, que nos proporcionan un conjuno de punos en el plano. El objeivo es hallar una función lineal y = f( x), que represene lo mejor posible dichos valores. Geoméricamene, significa que la gráfica de la función y = f( x) debe aproximarse lo más posible a la colección de punos. El problema será deerminar los valores de a y b ales que la reca y = f( x) = a+ bx, denominada reca de ajuse, se adape lo mejor posible a nuesros daos. Susiuyendo ( x y ) y = a+ bx, i =,,, m. i i i, en la anerior igualdad se obiene: i Salvo en el caso de que los daos esén sobre una reca del plano, se obiene un sisema sobredeerminado incompaible que se puede expresar maricialmene: y x y x a = y = Ax Ax = y b y m x 4 i 7

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. La solución que minimiza el error en érminos de mínimos cuadrados es la solución del sisema AAx = Ay, que es: = * ( x AA) Ay NOTA: ( AA ) es inverible siempre que las columnas de A sean linealmene independienes, que, en ese caso, equivale a decir que los valores i x no sean odos iguales, es decir, que los punos ( x y ) odos en una reca verical. i, no esén n+ 6. Ajuse de daos en por una función lineal. Cuando los daos ienen más de dos componenes, se obienen sisemas con más de dos incógnias por lo general sobredeerminados. Supongamos que enemos los daos: ( ) xk, x k,, xkn; yk, k =,,, m, m> n+ y se quieren ajusar por la relación lineal y = s0 + sx+ + snxn. Se obiene enonces el sisema: y = s + s x + + s x, k =,,, m. k 0 k n kn Maricialmene se expresa como: y x x s n 0 y x x n s = y m xm x mn s n de forma abreviada y = As As = y. Si rang( A) = n +, esamos ane un problema que se puede resolver con el méodo de los mínimos cuadrados, siendo la solución ópima la solución del sisema AAs 6. Oras funciones de ajuse. * = Ay, que es ( ) s = A A A y. i 7

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. En algunas ocasiones hay que recurrir a oras funciones, como las polinómicas o las exponenciales, para que la curva y = f( x) sea la que mejor se adape a un conjuno de daos ( x y ) i,. Así, por ejemplo, si el ajuse se realiza por una función polinómica = = + + + +, n y f( x) c0 cx cx cnx al susiuir los daos ( x y ) n i 0 i i n i i y = c + c x + c x + + c x, k =,,, m. Maricialmene se expresa como: y x x x n 0 n y x c x x n y m x c m xm x m n i i, en la igualdad anerior se obiene el sisema: = y = Ac Ac = y c siendo la solución ópima por el méodo de mínimos cuadrados la solución del sisema AAc = Ay, que es * ( ) c = A A A y. 7

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. PROBLEMAS. Dado el espacio vecorial V de los polinomios de grado menor o igual que y el produco escalar: 0 p ( x) p ( x) = p ( x) p ( x) dx. Calcular la mariz asociada al produco escalar respeco de la base B = {, x} SOLUCIÓN: Un produco escalar es un caso paricular de forma bilineal simérica, por lo ano exise una mariz simérica A, asociada al produco escalar, respeco de cualquier base B { uv} por: u u u v. u v v v =, de V. Dicha mariz vendrá dada En ese caso paricular enemos que: u = y que v = x. Tal y como se ha definido el produco escalar, lo que sabemos es que: =. dx = dx = 0 0 x=. xdx= xdx= / 0 0 x x x xdx x dx 0 0 =. = = / Luego, la mariz asociada al produco escalar en la base {, x} es: / / /. De un produco escalar definido en respeco de la base 74

{ uv} B =,, se sabe que: i ) u u = ii ) u ( u + v) = 5 iii ) v v = 5( u u) Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. a) Calcular la mariz asociada al produco escalar. b) Calcular (, ) (, 4) SOLUCIÓN: a) u u u v A = u v v v Tenemos que: u u = u ( u + v) = 5 ( u u) + u v = 5 6 + u v = 5 u v = v v = 5( u u) = 0 La mariz asociada al produco escalar es: A = 0 b) (, ) (, 4) = (, ) A = (, ) = 4 0 4. Sea E un espacio vecorial euclídeo de dimensión n y U un subespacio vecorial de E, orogonal de U, calcular: U, el subespacio complemeno a) dim( U U ) b) dim( U + U ) SOLUCIÓN: 75

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. a) Sabemos que la suma de U y U es direca, por ano U U = {0} con lo cual dim( U U ) = 0. b) Además de ser suma direca se iene que, U U = V, direcamene se obiene que dim( U + U ) = dim( V ) = n. 4. Sea F {( x y z) x y z 0} oronormal de F. =,, / + =, calcular una base SOLUCIÓN: Primero hallaremos una base de F, si es orogonal, basaría con normalizar y el problema esaría resuelo, sino aplicaremos el méodo de Gram-Schmid para ransformarla en ora base de F que sea oronormal. {( ) 0 } {( ) } {( xy x y) xy } (0 ) (0) F= xyz,, / x+ y z= = xyz,, / z= x+ y = =,, + /, =<,,,,, > 0 Una base para F es B = {0, } = { u, u } que sus vecores no son 0 orogonales ya que u u = (, 0, ) = 0 Aplicamos el méodo de Gram-Schmid v = u = 0 76

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. 0 5 v u u v v = = 5 0 v v = 5 B 5 = {0, } 5 es una base orogonal de F y normalizando los 5 0 0 5 0 vecores de B se obiene B 5 = { 0, } que es una base oronormal de F. n 5. Sea F, B una base oronormal de F, B una base oronormal de F, demosrar que B = B B es una base oronormal de SOLUCIÓN: n. Sabemos que F F = {0}, como el vecor nulo no perenece a ninguna base, los vecores de B son linealmene independienes con los de B. Si la dim( V ) = k enonces dim( V ) = n k, luego una base de F unida con una base de F son k+ ( n k) = n vecores linealmene independienes n de, por ano forman una base de n. Por ora pare los vecores de B son oronormales, es decir, odos ienen norma igual a y son orogonales enre si, lo mismo ocurre con los vecores de B y los vecores de B respeco de los de B ambién son orogonales ya que los de B son vecores de F y los de B lo son de 77

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. F. En definiiva los vecores de B esán normalizados y son odos orogonales enre si, forman una base oronormal de 6. Dados los subespacios de = ( x, y, z) / F x y z = 0 y z = 0 y { } F = ( x, y, z) / x+ y+ z = 0 Calcular dim( F F) SOLUCIÓN: dim( F ) = rango = = ; 0 ( ) dim( F ) = rango = = ; B B = {(4,, )} = { w } F = {(,, 0),(, 0, )} = { v, v } F n. { } F = { x / x w = 0} = ( x, y, z) / 4x+ y+ z = 0 B = {(, 0, 4),(0,, )} = { u, u } F Sabemos que 78

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. dim( F F) = dim( F ) + dim( F) dim( F + F) = + rango( u u v v) = 0 = 4 rango 0 0 = 4 0 0 = 4 rango 0 0 = 4 = 0 0 = 4 = 7. Un produco escalar en con respeco a la base B = {0 (,, ),( 0,, ),( 0},, ) iene por mariz asociada G =, calcular la norma del vecor v que en la base 4 canónica iene por coordenadas ( 4,, ) SOLUCIÓN: Lo primero que enemos que hacer es expresar el vecor v respeco a la base B. Sabemos que la relación enre las coordenadas de un vecor respeco de ambas bases es x = Px Sabemos que la mariz P cambio de base de B ' a la base canónica es: P = 0 0, por lo ano, se cumple que: 0 4 x 0 0 y = 0 z siendo x, y, z las coordenadas de v respeco a la base B '. Por lo ano: 79

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. x y z 4 = 0 0 = 0 4 0 0 = Una vez que enemos expresado el vecor v respeco de la base B, su norma será: v = v v = v Gv = ( ) = ( ) = 4 5 4 8. Si V es un espacio vecorial de dimensión n = 5 y { 0} W = x V : Ax = es un subespacio vecorial de V. Jusificar cuales de las siguienes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas: a) W es el núcleo de la aplicación lineal f : V V definida por f ( x) = Ax. b) dim( W ) coincide con el rango de A. c) Todas las filas de la mariz A perenecen a W d) Si dim( W ) =, el rango de A es. SOLUCIÓN: Sabemos que: i ) Al esar W definido como solución de un sisema de ecuaciones homogéneo, dim( W ) = dim( V ) rango( A) = n rango( A) = 5 rango( A) ii ) dim( W ) + dim( W ) = dim( V ) a) Verdadera Para verlo, basa considerar la definición de núcleo de una aplicación lineal: 80

Si enemos la aplicación lineal: f V Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. : V definida por f ( x) = Ax, por definición de núcleo se iene que: { } { } Ker( f) = x V / f( x) = 0 = x V / Ax = 0 = W. b) Verdadera Tenemos que: dim( W ) + dim( W ) = dim( V ) dim( W ) + dim( W ) = n dim( W ) = n dim( W ) = n ( n rango( A)) = rango( A) c) Verdadera Sabemos que para cada w W, enonces: Aw = 0, por lo ano, al muliplicar cada fila de la mariz A por w, el resulado es 0. En realidad eso es equivalene a decir que cada vecor fila de la mariz A muliplicado por el vecor w, usando el produco escalar usual, nos da 0, es decir que cada vecor fila de la mariz A es orogonal a odos los vecores de W, por lo ano cada vecor fila de la mariz A perenece a W. d) Falsa El subespacio vecorial W se puede ver como el núcleo de la aplicación f : V V definida por f ( x) = Ax. Por la fórmula de las dimensiones sabemos que: dim( V ) = dim( Ker( f )) + dim( Im( f )). y ambién sabemos que dim( Im( f )) = rango( A). Luego, como dim( V ) = 5 y dim( W ) = dim( Ker( f )) =, enonces dim( Im( f )) = 5 = luego rango( A ) =. 8

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. 9. Sea V un espacio vecorial euclídeo y U un subespacio vecorial de V, U el subespacio complemeno orogonal de U. Jusificar cuales de las siguienes afirmaciones son verdaderas y cuales falsas: a) dim( U ) = dim( U ) b) dim( U U ) = 0 c) dim( U U ) = dim( V ) d) ( U ) = { 0} SOLUCIÓN: a) Falso Veamos el siguiene conraejemplo. Consideramos V =, espacio vecorial euclídeo con el produco escalar usual, ( ) ( ) x, x, x y, y, y = x y + x y + x y, y el subespacio U = ( 0,, ). Veamos cuál es su complemeno orogonal: {( ) ( ) ( 0 ) 0 con el produco escalar usual} U = x, y, z : x, y, z,, =, = {( ) } ( ) { } ( )( ) = xyz,, : x+ y= = xyz,, : x= y =,,,,, dim( U ) = y sin embargo dim( U ) = 0 0 0 0 b) Verdadera Una de las propiedades del subespacio complemeno orogonal nos dice que: U U = V de donde se deduce inmediaamene que { 0} U U =, o equivalenemene: dim U U = 0 c) Falsa 8

Sabemos que U U { 0} Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. =, por lo ano la dimensión de esa inersección nunca puede ser igual a la dimensión de V porque se pare de la hipóesis de que el espacio vecorial V es no nulo. d) Falsa. ( U ) = U, por lo ano, siempre que U sea disino del subespacio nulo, ( U ) { 0}. 0. El vecor v = ( 0,, ) F, siendo ( 0) ( ) F =,,,,,. Calcular el vecor de F que mejor se aproxima a v en el senido de mínimos cuadrados. SOLUCIÓN: El vecor que mejor se aproxima a v en el senido de mínimos cuadrados es su proyección orogonal sobre F, dicha proyección orogonal viene dada por ( ) w A A A Av = siendo A la mariz cuyas columnas son los vecores de la base que genera al subespacio F. NOTA : Una condición necesaria para que exisa la mariz ( AA) es que los vecores que definen las columnas de la mariz A sean linealmene independienes, es decir, no basa con que generen a F, es necesario que sean base de F. ( ) w= A A A Av 0 0 0 0 = = 0 8

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. 0 8 9 0 = = 9 9 0 0 5 9 8 8 = = 9 9 9 0 0 6 7 = = 6 6 Ora forma de enfocar y resolver el problema es sabiendo que el vecor v = ( 0,, ) F, siendo F ( 0) ( ) u, u =<,,,,, >=< >, quiere decir que el sisema: 0 0 α α α + = = α 0 0 es un sisema incompaible. Se planea y resuelve el sisema AA α = Av, obeniéndose α α = 6 que son las coordenadas de la proyección orogonal de v sobre F, el vecor proyección de v sobre F es por ano α 6 7 6 α 6 ( u u ) 0 Aα = = =.. Sea el espacio vecorial, y el subespacio ( 0)( 0) W =,,,,,. 84

Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. Si u = ( 40,, ), u W. Calcular el vecor de W que mejor se aproxima a u en el senido de mínimos cuadrados. SOLUCIÓN: El vecor de W que mejor se aproxima a u en el senido de mínimos cuadrados es su proyección orogonal sobre W. Dicha proyección orogonal viene dada por la siguiene expresión: ( ) x AAA Au =, siendo A la mariz cuyas columnas son las coordenadas de un sisema generador, linealmene independiene de W. Por lo ano, se iene que: ( ) x = AAA Au 0 0 4 0 0 = 0 0 0 = 0 0 0 = 0 0 = 0 0 4 0 4 0 = 0 = 0 0 5 7. Dado el sisema: x+ y = 0 x+ y =, calcular la mejor solución por x+ y = mínimos cuadrados. SOLUCIÓN: 85

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. Si llamamos A a la mariz de los coeficienes y b a la mariz de los érminos independienes del sisema anerior, como las columnas de A son linealmene independienes, sabemos que la mejor solución por mínimos cuadrados viene dada por: ( ) x = AA Ab 0 = = 6 6 = = 6 0 0 0 5 = 5 5 Luego, la mejor solución por mínimos cuadrados es: y =. 5 0 5 x = e 0. Uilizando el méodo de los mínimos cuadrados, calcular una solución aproximada del sisema de ecuaciones SOLUCIÓN: La mariz de los coeficienes del sisema es rango( A ) =. x+ y = x y = 0 x y = A =, La mariz de los érminos independienes es b = 0. 86

El sisema no iene solución ya que Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. rango( A ) = rango( A b) = rango 0 = = rango( A) x Tenemos el sisema: Ax = b, siendo x = y. La solución ópima del sisema en el senido de los mínimos cuadrados, es la solución del sisema AAx máximo, viene dada por: = ( ) Es decir: x * = Ab como la mariz A es de rango * x AA Ab = 0 = 5 5 0 = 4 5 75 5 4 5 4. Dado el sisema x + x = 0 x+ x = x+ x = calcular la solución por mínimos cuadrados. SOLUCIÓN: La mariz de coeficienes del sisema es A =, rango( A ) =. 87

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. La mariz ampliada es 0 A =, rango( A ) =, por ano el sisema es incompaible, luego no iene solución exaca. Se planea el nuevo sisema AAx = Ab, siendo 0 x x = y b = - x, para enconrar solución aproximada al sisema por el méodo de mínimos cuadrados, el nuevo sisema a resolver es: 0 x = x x x = x+ x = 0 cuya solución exaca es x =, x =. 4 4 5. Calcular la reca que mejor se ajusa en el senido de mínimos cuadrados al conjuno de punos siguiene {(, )(,, 0)(0,, )(4)},, SOLUCIÓN: Buscamos la reca, y = mx+ n, que mejor se ajuse al conjuno de punos, primero se inenará enconrar una reca que conenga a los cuaro punos, si no exise, se buscará la que menor error cuadráico comea. (, ) = m+ n m+ n = (, 0) 0 = m+ n m n 0 + = ; (0,) = 0m+ n n = (, 4) 4 = m+ n m+ n = 4 88

A Espacios vesoriales euclídeos. Proyecciones orogonales. Mínimos cuadrados. 0 =, si hallamos una forma escalonada equivalene de A 0 4 obenemos 0, 0 0 0 0 0 direcamene se observa que rango( A ) = y rango( A ) = Sisema incompaible, no hay una reca que pase por los cuaro punos. Se planea el nuevo sisema A Ax = A b. m Siendo A 0 =, x = y b = y nos queda: 0 n 4 6m n = 0 m+ 4n = 5 cuya solución exaca es m =, n =. La reca es por ano y = x+ 89

Guerra, N.; López, B.; Quinana, M.P.; Suárez, A. Bibliografía [] BURGOS, J. Álgebra Lineal y Geomería Caresiana. McGraw- Hill. Madrid, 999. [] DE LA VILLA, A. Problemas de Álgebra. Clagsa. Madrid, 994. [] GROSSMANN, S.I. Álgebra Lineal con aplicaciones. McGraw- Hill. México, 996. [4] GUERRA, N.; LÓPEZ, B. Problemas resuelos ipo es de Álgebra Lineal (Con esquemas eóricos). El Libro Técnico. Las Palmas de G.C., 999. [5] LAY DAVID C. Algebra lineal y sus aplicaciones. Addison Wesley Longman. México 999. [6] NOBLE, B.; DANIEL, J.W. Álgebra Lineal Aplicada. Prenice- Hall, Inc. México, 989. 90