Módulo 1 DERIVADAS 1.1 Reglas de diferenciación Reconocimiento de saberes Ejercicio 1 Relacione convenientemente cada una de las siguientes epresiones: (considere > 0 ) ln ( e ) ln ln ( e ) ln e ln + ln e Ejercicio Escriba en las celdas de la tabla los correspondientes valores de a y b, sabiendo que al simplificar P se obtiene Q. P Q a b ( + h) h ( + h) h a + bh a + bh + h + h a h b + h + 1 1 a + h bh h Ejercicio Complete en los casilleros en blanco, valores correspondiente a cada uno de las siguientes relaciones: 5 = 5 = 6 = 7 =
Mapa conceptual Este espacio está reservado para que diseñes tu mapa conceptual
Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Determine la derivada de las siguientes funciones: a) y = + + 8 b) c) d) 7 + 1 7 + + 4 4 e) 5 + 1 1 4 f) + 1 4 + 1 g) 4 8 h) + 4 Ejercicio Determine y ' aplicando la regla del producto y multiplicando los factores para obtener una suma de términos más simples para derivar. a) ( )( + 1) b) ( 1)( + + 1) c) ( + 5)( ) d) ( 1+ )( 1 + 4 ) e) ( 1+ )( 1 ) f) 1 1 + 1+ + 1 + 5+ g) ( ) 1 h) 1 1 + + 1
Ejercicio Determine la derivada de las siguientes funciones. + 5 a) b) c) 4 + 0.5 1 + 1 d) ( 7) 1 ( + 5) e) f) g) h) 1 ( + 1)( + + 1) ( + 1)( + ) ( 1)( ) 5 + 1 1 + Ejercicio 4 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m N. a) a + b a a + b + a b b b) ( ) c) d) e) 5 a + b a b + a a a b + a + b a b f) ab + g) a b a + b m h) ( ) m
Ejercicio 5 Determine y ' aplicando la regla de potencias. a) ( 1+ 4) ( 1+ ) b) ( + 1) ( ) 4 1 c) ( ) + d) 4 e) ( ) 5 f) g) h) + 1 + 1 1 Ejercicio 6 Determine y ' aplicando la regla de la raíz cuadrada. a) b) c) 8 + + 1 4 + 6 + + 4 d) 9+ 9 e) 1 + 1 f) + g) h) 1 + 1 + 1 1 + 1+ 1
Ejercicio 7 Determine y ' aplicando la regla de la inversa. a) 1 b) 1 1 c) 1 1 1 + + + d) 1 1 + + e) 16000 f) + 1 + g) ( + 1) 1 h) + + 1 ( ) Ejercicio 8 Determine y ' aplicando la regla de la eponencial. a) y = e b) e 5 c) y e = d) e) f) e e + e e e g) e + 1 h) e ( e + e )
Ejercicio 9 Determine y ' aplicando la regla de la eponencial. a) 10 4 5 b) + ( 1 5 ) / / c) ( ) / d) 1 e) + + ( + ) e f) g) h) + 1 5 ( 5 + 5 ) Ejercicio 10 Determine y ' aplicando la regla de logaritmos. a) ln b) + ln 1 ln c) d) ln( + e ) e) ln ( 1 ) 1 f) ln g) ln ( + 1 + ) e h) ln 1 + e
Ejercicio 11 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m, n N. b + a a) ( ) b) c) d) e) f) g) a + b a + b a + b b a b + n a + b n a b m b a a + b a a b h) a b a + b Ejercicio 1 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes y m N. a) ln a + b a b) ln ( + + a ) c) d) e) y ln a + b = b + a b m a e ae a b + b f) ( a + b) e a+ b a + b e + g) a b h) m a + e a e
Ejercicio 1 En cada caso calcule el valor de la constantes a y b. 1 1 b dy + a = + ln = dy a = + 1 d + 1 b a) y ln ( b ) b) b + b d 4 1 1 dy d ( ) c) ( ) e = e a + b Autoevaluación Ejercicio 1 Calcule el valor de las constantes a y b: Ejercicio ( ) dy ln + + 1 = f = ln 4 + 9 Calcule la derivada de la siguiente función: ( ) Ejercicio Derive y simplifique la función 5 ( ) a d + b a + b, donde a y b son constantes. Ejercicio 4 Resuelva la ecuación: f '( ) = 0, siendo f ( ) = 8 + 1 Ejercicio 1 4 4 4a 9 Respuesta a = b = 1 f '( ) = ln 4 + 9 + y ' = 4 + 9 ( ) 5 5 a + b = ±1 Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/inde.htm Referencia http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/curso-elsie/derivadafuncion/html/derivadas.pdf
1. Derivada de funciones trigonométricas Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Determine la derivada de las siguientes funciones: a) sen5 b) cos sen 4 4 + 7 c) ( ) 5 d) cos ( 5 ) e) sen f) cos ( 6) g) cos 8 h) cos 1 Ejercicio Determine la derivada de las siguientes funciones: a) b) cos 4 5 sen 4 c) 4 sen ( ) d) e) 1 cos 6 sen 4 ( ) f) sen ( ln ) g) cos ( cos ) 5 h) sen 1 cos
Ejercicio Determine la derivada de las siguientes funciones: a) tan( ) cot + 6 b) ( ) 4 c) 7 tan( 5 7) d) tan sen 4 e) tan 6 4 5 f) tan cos g) cot 5 ( 5) 7 h) cot ( 1 ) Ejercicio 4 Determine la derivada de las siguientes funciones: a) tan 5 7 b) 9 cot ( 8 ) c) 7 7 cot ( 7 7) tan 1 d) ( ) 7 e) 4 cot 5 6 ( 7) f) 5 ( ) tan g) cot tan h) ( ) 7
Ejercicio 5 Determine la derivada de las siguientes funciones: a) sec 1 b) csc 7 c) sec + d) csc( + 6) e) sec7 1 = csc f) y ( 5 ) g) h) 5 cscsen sec 1 5 ( )
1. Derivada de orden superior Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Calcule la segunda derivada de las siguientes funciones: 6 5 a) 4 + 11 7 + 9 b) cos 8 c) d) ln 5 e 5 8 e) ( ) 7 f) tan g) 8 h) y 5 = 1 Ejercicio Evalúe las derivadas de orden superior en los puntos indicados: d f 1 a a) f ( ) = e + b, ( ) d d f 1 b) f ( ) = ln + 1, ( ) d 4 d f 0 4 5 4 c) f ( ) = + a + b + c, ( ) 1, 1 d d f d) f ( ) = ( ) + d 10 d f 10 d 4 e) f ( ) = a + b + c, ( ) n d f f) f ( ) = ln ( a ), ( ) d g) f ( ) = e, ( ) π e n n d f d h) ( ) 5 f = + e, ( ) n d f 0 d
Considere a, b y c como constantes no nulas. Ejercicio y Demuestre que ( ) = 0,5 e satisface la siguiente ecuación diferencial: y'' y' + e. Ejercicio 4 Demuestre que ( ) 4 y = c e + c e satisface la siguiente ecuación diferencial: 1 Considere c 1 y c como constantes. d y dy + = 4y d d Ejercicio 5 Determine el valor de k, si f ( ) = e sen satisface la siguiente ecuación diferencial: Ejercicio 6 ( ) ( ) ( ) f '' f ' + k f = 0. Determine el valor de k, si ( ) ( ) f = ke + 1 k e satisface la siguiente ecuación diferencial: ( ) + ( ) + ( ) = f '' f ' f e.
1.4 Derivación implícita Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 En los siguientes casos, use derivación implícita para calcular dy d. a) y + 6 y b) ( ) c) d) y 1 = + 1 y = + y e) ( y ) f) g) h) + tan = 0 y cos 1 = + y y y Ejercicio e + = y y + 4 En los siguientes casos, use derivación implícita para calcular dy d. a) b) c) d) e) e + y y = = y 7 5 ( + 1) ( 18) 8 5 Ejercicio y Sea f ( ) definida implícitamente por y + = 5. Obtenga la ecuación de la recta y 1 tangente a la gráfica de esa función en el punto de abscisa = 0.
Ejercicio 4 La curva ocho Determine las pendientes de la curva muestran: 4 y en los dos puntos que se Ejercicio 5 La cisoide de Diocles Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la cisoide de Diocles: y ( ) = en el punto ( ) 1; 1. Ejercicio 6 Determine los dos puntos donde la curva la curva en dichos puntos son paralelas. + y + 7 corta al eje, y muestre que las tangentes a Ejercicio 7 4 Dada la curva definida por y + : a) Determine las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva en los puntos de ordenada 1. b) Determine los puntos de la curva de tangente horizontal.
Ejercicio 8 Demuestre que la ecuación de la recta tangente a la elipse ( ; ) y tiene por ecuación 0 0 a y y b 0 0 + = 1. y a b + = 1 en el punto de la elipse Ejercicio 9 En cada caso, calcule los puntos sobre la curva a) La recta tangente a la curva sea paralela al eje. b) La recta tangente a la curva sea paralela al eje y. + y + 7 que cumpla la condición: Ejercicio 10 Derive las siguientes funciones: a) arcsen b) ( arcsen ) c) arctan( +1) d) arccos + 1 e) arcsen f) arctan g) e arctan 1 cos 1+ cos 1 h) arctan 1 Ejercicio 11 Determine y ' sabiendo que a y b son constantes. a) arcsen a b) arctan( + a ) c) a + aarcsen a d) e) 1 a b arctan tan a b + a b + a arctan 1 a
arctan a f) a g) arctan a a e e h) arctan Ejercicio 1 Determine los valores de a y b sabiendo que al calcular / obtiene a 1 ( b) dy d de y arcsen ( ) arccos ( ) = se
1.5 Aplicaciones de las derivadas - Valores etremos Reconocimiento de saberes Ejercicio 4 Relacione convenientemente cada una de las siguientes epresiones: (considere > 0 ) ln ( e ) ln ln ( e ) ln e ln + ln e Ejercicio 5 Escriba en las celdas de la tabla los correspondientes valores de a y b, sabiendo que al simplificar P se obtiene Q. P Q a b ( + h) h ( + h) h a + bh a + bh + h + h a h b + h + 1 1 a + h bh h Ejercicio 6 Complete en los casilleros en blanco, valores correspondiente a cada uno de las siguientes relaciones: 5 = 5 = 6 = 7 =
Mapa conceptual Este espacio está reservado para que diseñes tu mapa conceptual
Ejercicios de aplicación Ejercicio 14 Determine a partir de la gráfica si la función tiene valores etremos absolutos en [ a, b ]. Ejercicio 15 En los siguientes ejercicios, encuentre los valores etremos y determine en donde se alcanzan.
Ejercicio 16 En los siguientes ejercicios, relaciones cada tabla con una de las gráficas. no eiste no eiste no eiste
Ejercicio 17 En los siguientes ejercicios encuentre los valores máimo y mínimo absolutos de cada función en el intervalo dado. Después grafique la función. Identifique en la gráfica los puntos en donde se alcanzan los etremos absolutos e incluya sus coordenadas. i) f ( ) = 5, f j) ( ) k) ( ) = 1, 1 f = 4, 1 f l) ( ) m) ( ) = 1, 0.5 f = n) ( ) 4, 1 f = 5, 5 0 Ejercicio 18 Determine los valores máimos y mínimos absolutos de f ( ), si eiste, sobre los intervalos indicados: i) f ( ) = 5 +, [ 0;] j) f ( ) = +, [ 0;] 4 + 1 k) f ( ) =, [ ; ] l) ( ) = + 4, ] 0; [ f 1 m) f ( ) = + 6 11 50, ] 0;[ 5 n) f ( ) = 5 +, ] 0; [ o) f ( ) = ( ) + 1, ] ; [ p) f ( ) = +, ] ; [ Ejercicio 19 Determine los puntos críticos de las siguientes funciones: i) f ( ) = 4 9 1 + f j) ( ) + 1 = + + 1 k) f ( ) =
l) f ( ) = e m) f ( ) = ln ( + 1) f 1 6 n) ( ) o) f ( ) 4 = + + = e 1 Ejercicio 0 Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de cada una de las siguientes funciones: f = 4 i) ( ) j) f ( ) = ( 1) 5 f = 1 k) ( ) ( ) 5 l) f ( ) = + 1 f = 8 m) ( ) n) f ( ) = ln ( + 1) Ejercicio 1 Determine los intervalos de concavidad y el punto de infleión de las siguientes funciones: 4 f = 1 i) ( ) f = + 1 j) ( ) f 1 6 k) ( ) 4 = + + l) ( ) = ( + ) f 1 ln 1 m) f ( ) = e f = + 5 n) ( ) 5 1 Ejercicio Determine los valores etremos de las siguientes funciones: 1 a) f ( ) = 4 f = 6 + 9 b) ( )
c) f ( ) = e + d) f ( ) = + ln ( + ) f = e e) ( ) 1 Autoevaluación Ejercicio 5 Determine los valores máimos y mínimos absolutos de f ( ), si eiste, sobre el intervalo indicado: Ejercicio 6 Demuestre que toda función cuadrática ( ) = + 16, [ 1, ] f ( ) tiene eactamente un punto crítico en la recta real. Ejercicio 7 Determine los intervalos de monotonía de f ( ) Ejercicio 8 f = a + b + c, a 0 = + ( 1 ) = 1. Determine los intervalos de concavidad y los puntos de infleión de ( ) ( ) f Ejercicio 1 4 Concava para Má abs: f ( 1) = 17 Punto crítico: Crece: ], 1 [,] 1, [ arriba: ],0 [, 5, Respuesta Mín abs: f ( ) = 8 = b a Decrece: ] 1,1[ abajo: 0, 5 Referencias bibliográficas y digitales Referencia http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/inde.htm Referencia 4 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/curso-elsie/derivadafuncion/html/derivadas.pdf
1.6 Aplicaciones de las derivadas Gráfica de funciones Ejercicios de aplicación Ejercicio 1 Para cada una de las siguientes funciones, determine: i. Los intervalos de monotonía y sus valores etremos. ii. Los intervalos de concavidad y sus puntos de infleión. iii. La gráfica de dicha función. i) + 6 + 1 j) ( ) k) 4 4 6 l) ( ) m) 1 9 6 Ejercicio Elabore la gráfica de una función que tenga las propiedades siguientes: f ( ) > 0 cuando > < cuando < 0 y cuando 0 < < f ( ) 0 = 0 no está en el dominio de f Ejercicio Elabore la gráfica de una función que tenga las propiedades siguientes: f ( ) < 0 cuando < 1 f > cuando 1 < < y cuando > ( ) 0 f ( ) f ( ) ' 1 = 0, ' = 0 Ejercicio 4 Trace la gráfica de una función f que tenga las siguientes propiedades: Lim f ( ) =, Lim f ( ) = +, Lim f ( ) =, Lim f ( ) 0 0 + 0 f ( ) < 0 cuando ] 1; 0 [ ] 0; [ f ( ) > 0 cuando ] ; 1[ ] ; + [ f ''( ) < 0 cuando ] ;0 [ ] 1; [ ] ; [ f ''( ) > 0 cuando ] 0 ; 1 [ f ( 1) = 1 y f ( 1) = 0 Ejercicio 5 Dada la función ( ) f a b c d f =, Lim ( ) = 1, Lim f ( ) = = + + + ; determine el valor de las constantes a, b, c y d si se cumplen las siguientes condiciones: su gráfica tiene un punto de infleión en ( 1; 6), presenta un mínimo relativo en el punto de abscisa y la recta tangente a la gráfica en el punto de infleión tiene pendiente 1.
Ejercicio 6 A continuación se presentan las gráficas de la primera y la segunda derivada de f : a) Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f. Eplique. b) Determine los intervalos de concavidad de la función f. Eplique. c) Construya la gráfica de f, si Lim f ( ) = + y los puntos ( 0; ), ( ; 6 5), ( ; 17 5), ( 8 5;0 ) Ejercicio 7 ± y ( 19 5;0 ) pertenecen a la gráfica de la función. Sea f una función continua cuya gráfica pasa por los puntos ( 0; 0) y ( 0) la gráfica de su derivada: ;. A continuación se muestra Esbozar una posible gráfica de f.
Autoevaluación Ejercicio 1 Dada la función f ( ) =, determine: + ( 1 ) a) Las ecuaciones de sus asíntotas. b) Los intervalos de monotonía, indicando sus valores etremos. c) Los intervalos de concavidad, indicando los puntos de infleión. d) La gráfica de la función. Ejercicio Halle los valores de a, b y c de manera que ( 1; ) sea punto de infleión de la gráfica de la función ( ) f a b c = + + y la pendiente de la recta tangente en el punto de infleión sea. Ejercicio A continuación se presentan las gráficas de la primera y la segunda derivada de f a) Determine los intervalos de monotonía de f b) Determine los intervalos de concavidad de la función f c) Construya una posible gráfica de f si los 0 0 4 ; 6 pertenecen a la puntos ( ; ), ( ; ) y ( ) gráfica de la función. Ejercicio 4 Responda igual que en el Ejercicio 1 para la función cos, 0 π. Ejercicio 1 4 Respuesta Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/aplicacionesder.pdf
1.7 Aplicaciones de las derivadas - Optimización Ejercicios de aplicación En cada uno de los siguientes ejercicios, deberá justificar su resultado; para esto, indique el criterio que empleado. Ejercicio 1 Disponiendo de un cartón rectangular de 45 decímetros hagamos una caja sin tapa; para esto, recortemos cuadrados de igual tamaño en las cuatro esquinas del cartón y doblemos las cejas con el fin de formar los lados. Qué dimensiones deberá tener la caja para obtener su máima capacidad? Ejercicio Una pieza de cartulina mide 0 por 45 cm. Como se muestra en la figura, se han quitado dos cuadrados en las esquinas del lado que mide 0 cm. Además, se han quitado dos rectángulos de las otras dos esquinas, de manera que las cejas puedan doblarse para formar una caja rectangular con tapa. 0 cm Base Tapa 45cm Determine las dimensiones de la caja de volumen máimo. Ejercicio Se desea construir una caja rectangular con tres clases de materiales: un material A que se usará en la parte lateral de la caja, un material B que se usará en la base de la caja y un material C que se usará en la tapa de la caja. Se sabe que el costo de B es el doble de A por unidad de área y que el costo de C es el triple de B por unidad del área. Si se requiere que la caja sea de un volumen V = 88 cm, y que su largo sea el doble de su ancho, determine las dimensiones de la caja las cuales hacen que el costo total sea mínimo. Ejercicio 4 Un tanque rectangular abierto, cuyo volumen es de 15 m, tiene base cuadrada. El costo del material para la base es de $4 por m y el del material para los lados es de $1. Determine las dimensiones del tanque de modo que el costo del material sea mínimo. Ejercicio 5 Una lata de volumen 144π cm tiene la forma de cilindro. Cuál debe ser la relación entre la altura h y el diámetro R para que se emplee en su fabricación la cantidad de material mínima? Ejercicio 6 Un minero desea cavar un túnel desde un punto A hasta un punto B 00 metros por debajo y 600 metros al Este de A. Bajo el nivel de A el lecho es rocoso y encima tierra blanda. Si el costo del túnel a través de la tierra es de 5 dólares por metro lineal y de 1 dólares a través de la roca. Determine el costo mínimo de un túnel.
Ejercicio 7 Una central hidroeléctrica está situada en la orilla de un río y una fábrica a la cual debe entregarle energía se encuentra en la orilla opuesta y 1000 un río abajo. Considerando que el río tiene un ancho de 1000 m y que sus orillas son paralelas, cuál es la ruta más económica sobre la cual se debe tender el cable? El tendido de la línea por tierra cuesta $1 por metro y $0 por metro bajo el agua. Ejercicio 8 Determina el punto Q de la parábola y ;0. = que está más próimo al punto ( ) Ejercicio 9 Una página rectangular debe tener 96 cm de área de teto. Los márgenes superior e inferior tienen cm de ancho y los laterales cm, qué dimensiones debe tener la página para que sea mínima la cantidad de papel requerida? Ejercicio 10 En una página de un libro el teto impreso debe ocupar s cm. Los márgenes superior e inferior deben ser iguales a a cm, los de izquierda y de derecha, iguales a b cm. Si tomamos en consideración sólo la economía del papel, qué dimensiones de la página serían las más ventajosas? Ejercicio 11 Un automóvil que viaja a una rapidez de 0 pies/seg, se aproima a un cruce. Cuando el automóvil está a 10 pies del cruce, un camión, que viaja a 40 pies/seg en una carretera perpendicular a la carretera del automóvil, pasa por el cruce. En qué tiempo, los vehículos están más cercanos? Ejercicio 1 Una ventana tipo Norman consiste de un rectángulo coronado por un semicírculo. Si el perímetro de una ventana Norman es de pies, determine cuánto debe medir el radio del semicírculo y la altura del rectángulo de modo que la ventana admita la mayor cantidad de luz. Ejercicio 1 Resuelva el ejercicio anterior considerando ahora que en la ventana el semícirculo transmite sólo la mitad de luz que el rectángulo por pie cuadrado de área. Ejercicio 14 De todos los rectángulos que posean dos vértices en el eje y los otros dos vértices en la gráfica de 1 6, determine las dimensiones del rectángulo de área máima. Ejercicio 15 Si un proyectil se lanza desde el nivel del suelo con una velocidad inicial v 0 y ángulo de inclinación α ignorando la resistencia del aire, entonces su recorrido (la distancia horizontal que viaja) es 1 R = v0 senα cosα 16 Qué valor de α maimiza R? v 0 α R Suelo
Ejercicio 16 Determine las dimensiones del cono de mayor área lateral que puede inscribirse en un cono circular recto de radio 1 cm y altura cm, como se muestra en la figura siguiente: h r Ejercicio 17 Dos fábricas están situadas en las coordenadas (0; a) y (0;-a) y su central de suministro de energía en el punto (h; 0). Calcular el valor de que hace mínima la longitud de la conducción de energía a las dos fábricas. Ejercicio 18 En un fundo agrícola se construyeron canales, perpendiculares entre sí, para transportar agua, con anchos de y 4 metros respectivamente. Calcule la longitud de la balsa más grande que podría cruzar por la intersección de estos dos canales. 4 m m
Autoevaluación Ejercicio 1 Un recipiente rectangular para almacenamiento, con la parte superior abierta, debe tener un volumen de 10 m. El largo de su base es el doble del ancho. El material para la base cuesta $10 por metro cuadrado. El material para los lados laterales, $6 por metro cuadrado. Encuentre las dimensiones del recipiente más económico. Ejercicio Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río que mide km de ancho. El punto C está en la misma ribera que B, pero a 6 km río debajo de B. Se desea tender un cable de A a C. Si el costo por km de cable es $500 en el agua y $400 en tierra. Cómo deberá tenderse el cable para que el costo del mismo sea mínimo? Ejercicio Se tiene un jardín semicircular de 4 metros de radio y se desea construir un patio con forma de trapecio isósceles. Determine las dimensiones del patio de mayor área posible. Ejercicio 4 Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen máimo inscrito en un cono circular recto de 5 cm de radio y 1 cm de altura. Referencias bibliográficas y digitales Referencia 1 http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/calculodiferencial/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/aplicacionesder.pdf