. Los pesos (en Kgs.) de los niños recién nacidos en una clínica maternal durante el último año han sido: Peso [.5,.75) [.75,3) [3,3.5) [3.5,3.5) [3.5,3.75) [3.75,4) [4,4.5) [4.5,4.5] N o de niños 7 36 85 44 98 56 3 3 a) Construir la tabla de frecuencias. b) Representarla gráficamente en un histograma las frecuencias relativas. Apartado a): Se trata de una variable cuantitativa continua distribuida en intervalos de clase de la misma amplitud. Construimos la tabla de frecuencias absoluta, n i, y relativa, f i. Para completar la tabla, representamos también los porcentajes y las marcas de clase: Peso Frecuencia absoluta (n i ) ( Frecuencia relativa f i = n ) i N % Marca de clase [.5,.75) 7 0.059 5.9 %.63 [.75, 3) 36 0.0706 7.06 %.88 [3, 3.5) 85 0.667 6.67 % 3.3 [3.5, 3.5) 44 0.84 8.4 % 3.38 [3.5, 3.75) 98 0.9 9. % 3.63 [3.75, 4) 56 0.098 0.98 % 3.88 [4, 4.5) 3 0.067 6.7 % 4.3 [4.5, 4.5] 3 0.067 6.7 % 4.38 Total 50 00 % - - - Apartado b): Representamos ahora gráficamente en un histograma las frecuencias relativas. Para ello, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de área proporcional a la frecuencia correspondiente a dicho intervalo. Teniendo en cuenta que los intervalos tienen la misma amplitud, la altura de cada uno de los rectángulos se toma igual a la frecuencia correspondiente. 0.84 0.9 0.667 0.098 0.0706 0.059. Un profesor facilita las notas de sus alumnos por medio de la siguiente tabla: Nota [0,0) [0,30) [30,50) [50,60] N o alumnos 9 3.5.75 3 3.5 3.5 3.75 4 4.5 4.5 peso a) Construir la tabla de frecuencias acumuladas. Calcular la media aritmética y la desviación típica. b) Completar la tabla del apartado anterior con la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas. c) Qué porcentaje de alumnos tienen una nota menor que 30? d) Suponiendo que los datos se distribuyen de modo homogéneo en cada intervalo, qué porcentaje de alumnos tienen una nota menor que 40? Y menor que 38? Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 Curso 03/4
Sol.: a) media=35.777, desviación típica=3.4858; c) 40.73 %; d) porcentaje de alumnos tienen una nota 40: 60.7 %; y 38: 56.8 %. Apartado a): Al tratarse de una variable cuantitativa continua distribuida en intervalos de clase, la media aritmética se calcula considerando las marcas de clases c i y las frecuencias absolutas n i de cada clase: x = N 4 c i n i Así que necesitamos calcular las marcas de cada clase, ampliando la tabla del enunciado en el sentido siguiente: Nota Marca de clase (c i = Li +Li ) n i f i = ni N (c i x) [0, 0) 5 9 0.666 (5 35.777) = 4.85 [0, 30) 5 3 0.407 (5 35.777) = 05.63 [30, 50) 40 0.3888 (40 35.777) =.300 [50, 60) 55 0.037 (55 35.777) = 388.969 Total - - - 54 - - - Aquí, N = 54. La media aritmética, x, viene dada por la expresión: x = N 4 c i n i = 5 9 + 5 3 + 40 + 55 54 = 35.777 y la desviación típica, s: s = N 4 (c i x) n i = = 3.4858 (4.85 9 + 05.63 3 +.300 + 388.969 ) 54 Apartado b): Completamos ahora la tabla anterior con los porcentajes y la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas: Nota Marca c i = L i + L i Fr. absoluta n i Fr. relativa f i = n i N % p i = 00 f i % acumulado i P i = j= p j [0, 0) = [L 0, L ) 5 9 0.666 6.66 6.66 = P [0, 30) = [L, L ) 5 3 0.407 4.07 40.73 = P [30, 50) = [L, L 3 ) 40 0.3888 38.88 79.6 = P 3 [50, 60) = [L 3, L 4 ) 55 0.037 0.37 Total - - - 54 00 % - - - Apartado c): De la tabla anterior se deduce fácilmente que el porcentaje de alumnos con nota menor que 30 es un 40.73 %. Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 Curso 03/4
Apartado d): Se trata de calcular el porcentaje de alumnos con una nota menor que 40. Se observa que 40 [30, 50). Tenemos L = 30 y L 3 = 50, y P = 40.73 y P 3 = 79.6 los porcentajes acumulados correspondientes. El porcentaje buscado es la ordenada, y, de la recta que interpola los valores (L, P ) y (L 3, P 3 ) correspondiente a la abscisa x = 40. Usando la fórmula del polinomio de interpolación lineal, se tiene trivialmente que 00 79.6 40.73 P 3 P de donde es decir, y = P 3 + P 4 P 3 L 4 L 3 (x L 3 ) y = 40.73 + 79.6 40.73 50 30 (x 30), 6.66 y = 40.73 + 3.744 (x 30). L L 3 0 0 30 50 60 Sustituyendo x = 40, obtenemos y = 60.7, luego el porcentaje de alumnos con una nota menos que 40 es un 60.7 %. En otras palabras, el valor 40 es percentil 67.7. Para conocer el número de alumnos con nota menor que 38, sustituimos x = 38 en la recta anterior y obtenemos y = 56.8, luego es un 56.8 %. 3. Las puntuaciones obtenidas por un grupo de universitarios en unas pruebas para acceder a un puesto de trabajo en una industria fueron: Puntuación Frecuencia absoluta (n i ) [0, 0) 0 [0, 0) 34 [0, 30) 48 [30, 40) 7 [40, 50) 64 [50, 60) 4 [60, 70) 8 [70, 80) 78 [80, 90) 40 [90, 00) 34 [00, 0] Total 75 a) Calcular la media aritmética y la desviación típica. b) Si la empresa piensa rechazar al 40 % de los que han sacado peor puntuación, cuál es la puntuación mínima requerida para ser admitido? Sol.: a): media= 54.367, desviación típica=0.9766; b): puntuación mínima=48.35 Apartado a): Al tratarse de una variable cuantitativa continua, necesitamos calcular las marcas de cada clase, ampliando la tabla del enunciado en el sentido siguiente: Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 3 Curso 03/4
Puntuación Marca de clase (c i ) Fr. absoluta (n i ) Fr. relativa (f i = ni N ) [0, 0) 5 0 0.03 [0, 0) 5 34 0.045 [0, 30) 5 48 0.0638 [30, 40) 35 7 0.0957 [40, 50) 45 64 0.8 [50, 60) 55 4 0.888 [60, 70) 65 8 0.569 [70, 80) 75 78 0.037 [80, 90) 85 40 0.053 [90, 00) 95 34 0.045 [00, 0] 05 0.059 Total - - - 75 Aquí, N = 75. La media aritmética, x, viene dada por la expresión: x = N = 75 c i n i (5 0 + 5 34 + 5 48 + 35 7 + 45 64 + 55 4 + 65 8 + 75 78 + 85 40 + 95 34 + 05 ) = 54.367 y la desviación típica viene dada por s = = N (c i x) n i 75 ((5 54.367) 0 + (5 54.367) 34 + (5 54.367) 48 + (35 54.367) 7 + (45 54.367) 64 + (55 54.367) 4 + (65 54.367) 8 + (75 54.367) 78 + (85 54.367) 40 + (95 54.367) 34 + (05 54.367) ) / = 0.9766 Apartado b): Necesitamos completar la tabla anterior con los porcentajes y la distribución de frecuencias porcentuales acumuladas: Puntuación Marca de clase (c i ) Fr. absoluta (n i ) Fr. relativa (f i = ni N ) % % acumulados [0, 0) 5 0 0.033.33.33 [0, 0) 5 34 0.045 4.5 5.85 [0, 30) 5 48 0.0638 6.38.3 [30, 40) 35 7 0.0957 9.57.80 [40, 50) 45 64 0.8.8 43.6 [50, 60) 55 4 0.888 8.88 6.49 [60, 70) 65 8 0.569 5.69 78.8 [70, 80) 75 78 0.037 0.37 88.55 [80, 90) 85 40 0.053 5.3 93.87 [90, 00) 95 34 0.045 4.5 98.39 [00, 0] 05 0.060.6 00 Total - - - 75 00 % - - - Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 4 Curso 03/4
Para rechazar el 40 % de los que han sacado peor puntuación (suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo), construimos la recta que interpola los puntos (40,.80) y (50, 43.6), que es: es decir, y =.80 + 43.6.80 (x 40), 50 40 00 87.8 6.49 P 5 43.6 y =.80 +.8 (x 40). P 4.8 Por tanto, para conocer cuál es la puntuación mínima requerida para ser admitido, sustituimos y = 40 en.3 5.85 L L la recta anterior, y obtenemos x = 48.35, que es la 4 5.33 nota buscada. 0 0 0 30 40 50 60 70 80 90 00 0 En otras palabras, el valor 48.35 es un percentil 40, es decir deja a su izquierda un 40 % de los alumnos y los demás a su derecha. 4. La talla (en centímetros) de 00 reclutas está recogida en la siguiente tabla: Talla (x i ) [60,64) [64,68) [68,7) [7,76) [76,80) [80,84] Fr. absoluta (n i ) 8 0 60 5 30 0 Calcular el porcentaje de reclutas cuya altura está en el intervalo (x s, x + s), siendo s la desviación típica y x la media aritmética. Sol.: intervalo (x s, x + s) = (66.83, 77.8); el porcentaje es: 65.705 % Se trata de una variable cuantitativa continua. Para calcular la media y la desviación típica, necesitamos calcular las marcas de cada clase. También añadimos los porcentajes, que utilizaremos para responder al enunciado: Talla (x i ) Marca de clase (c i = Li +Li ) Fr. absoluta (n i ) Fr. relativa (f i = ni N ) % % acumulado [60, 64) 6 8 0.09 9 % 9 % [64, 68) 66 0 0. 0 % 9 % [68, 7) 70 60 0.3 30 % 49 % [7, 76) 74 5 0.6 6 % 75 % [76, 80) 78 30 0.5 5 % 90 % [80, 84) 8 0 0. 0 % 00 % Total - - - 00 00 % - - - Para calcular el porcentaje de reclutas en el intervalo (x s, x + s), necesitamos calcular la media aritmética, x, y la desviación típica, s. La media aritmética, x, viene dada por: x = N c i n i = 00 (6 8 + 66 0 + 70 60 + 74 5 + 78 30 + 8 0) = 7.3 y la desviación típica, s, por la expresión: Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 5 Curso 03/4
s = = N (c i x) n i 00 ((6 7.3) 8 + (66 7.3) 0 + (70 7.3) 60 + (74 7.3) 5 + (78 7.3) 30 + (8 7.3) 0) / = 5.4898 Entonces, (x s, x + s) = (7.3 5.4898, 7.3 + 5.4898) = (66.83, 77.8) Veamos qué porcentaje corresponde a cada uno de los extremos del intervalo anterior. Para ello (suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo), necesitamos construir dos rectas: La recta que interpola los puntos (64, 9) y (68, 9), que es; es decir, y = 9 + 9 9 (x 64), 68 64 00 90 75 y = 9 + 5 (x 64). Si sustituimos x = 66.83, obtenemos el tanto por ciento de reclutas cuya talla es menor que 66.83, y que es y = 6.075 %. 49 9 9 0 60 64 68 7 76 80 84 La recta que pasa por los puntos (76, 75) y (80, 90): es decir, y 75 = 90 75 (x 76), 80 76 y = 75 + 5 4 (x 76). Si sustituimos x = 77.8, obtenemos el tanto por ciento de reclutas cuya talla es menor que 77.8, y que es y = 8.78 %. En conclusión, el porcentaje de reclutas con talla en el intervalo (66.83, 77.8) es 8.78 % 6.075 % = 65.705 %. 5. Se ha aplicado un test de aptitudes a los empleados de una factoría. Las puntuaciones (x i ), agrupadas en clases, están recogidas en la siguiente tabla: Puntuación (x i ) [38,50) [50,56) [56,6) [6,68) [68,80] Fr. absoluta (n i ) 5 5 5 8 5 a) Dibujar el histograma de distribución de frecuencias absolutas. b) Calcular la media aritmética y la desviación típica. c) Suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, hallar la puntuación por encima de la cual queda el 30 % de los empleados. d) Calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está en el intervalo (50,70). Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 6 Curso 03/4
Sol.: b): media=59.0, desviación típica=9.54; c): 64.; d): 68.74 % Apartado a): Se trata de una variable cuantitativa continua y los intervalos [L i, L i ) tienen amplitudes diferentes. Para construir el histograma, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de altura h i conocida como densidad de frecuencia del intervalo [L i, L i ): h i = n i a i siendo a i = L i L i la amplitud del intervalo correspondiente. Completamos la tabla del enunciado con los datos que nos hacen falta y dibujamos el histograma: x i c i n i N i a i h i = n i c i a i [38, 50) 44 5 5.5 936 [50, 56) 53 5 30 6.5 809 [56, 6) 59 5 55 6 4.7 348 [6, 68) 65 8 73 6 3 45 [68, 80] 74 5 88.5 5476 Total - - - 88 - - - - - - - - - - - - Apartado b): La media aritmética, x, viene dada por la expresión: 4.7 3.5.5 38 50 56 6 68 80 x = N c i n i = 88 (44 5 + 53 5 + 59 5 + 65 8 + 74 5) = 59. y la desviación típica, s, por la expresión (los valores de c i están en la tabla anterior): s = N c i n i x = (936 5 + 809 5 + 348 5 + 45 8 + 5476 5) 59. 88 = 3595.34 3504.64 = 90.7 = 9.54 Apartado c): El valor que deja por encima el 30 % de los empleados es el que deja por debajo el resto, es decir, el 70 % de empleados. Se trata de calcular entonces el percentil 70. Calculamos los porcentajes acumulados. La tabla con los porcentajes acumulados viene dada en el siguiente apartado y el polígono de frecuencias porcentuales acumuladas está representado en la figura de la derecha. Se observa que: P 3 = 6.48 % < 70 % < P 4 = 8.93 % 00 8.93 6.48 34.08 7.04 P 4 P 3 L 3 L 4 0 38 50 56 6 68 80 Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 7 Curso 03/4
Tenemos L 3 = 6 y L 4 = 68. Necesitamos construir una recta que pasa por los puntos (L 3, P 3 ) = (6, 6.48) y (L 4, P 4 ) = (68, 8.93). Dicha recta viene dada por y = P 3 + P 4 P 3 L 4 L 3 (x L 3 ) = 6.48 + 8.93 6.48 68 6 (x 6) = 6.48 + 0.45 (x 6) 6 Sustituyendo en esta ecuación y = 70, despejamos x (que es la puntuación buscada): 0.45 x = 70 6.48 + 0.45 6 6 0.45 x = 8.8367 x 64. 6 Apartado d): Para calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está en el intervalo (50,70), de nuevo usamos los porcentajes acumulados: x i c i n i Fr. relativa (f i = n i N ) % % acumulado (P i) [38, 50) 44 5 0.704 7.04 % 7.04 % [50, 56) 53 5 0.704 7.04 % 34.08 % [56, 6) 59 5 0.84 8.4 % 6.48 % [6, 68) 65 8 0.045 0.45 % 8.93 % [68, 80] 74 5 0.704 7.04 % 00 % Total - - - 88 00 % - - - Es claro, a partir de los valores de la tabla, que el porcentaje de empleados cuya puntuación está por debajo de 50 es 7.04 %. Vamos a calcular el porcentaje de empleados cuya puntuación está por debajo de 70 y luego restaremos del valor obtenido el 7.04 %. Tenemos que 70 (68, 80). Suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, vamos a construir la recta que pasa por los puntos (L 4, P 4 ) = (68, 8.93) y (L 5, P 5 ) = (80, 00): 00 8.93 6.48 34.08 P 5 P 4 00 8.93 y = 8.93+ (x 68) = 8.93+ 7.04 80 68 (x 68). L 4 L 5 0 38 50 56 6 68 80 Si sustituimos x = 70, obtenemos el porcentaje de empleados con puntuación inferior a 70 es y = 85.78 %. Por tanto, el porcentaje de empleados con la puntuación comprendida entre 50 y 70 es 7.04 85.78 % 7.04 % = 68.74 %. 6. Los pesos en miligramos de 50 pastillas de ciertos medicamentos distintos vienen dados por la siguiente tabla: Peso (mg.) [00,0) [0,5) [5,0) [0,30) [30,40] N o pastillas 3 0 4 3 0 a) Dibujar el histograma de frecuencias absolutas. b) Suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo, calcular el tanto por ciento de pastillas con peso menor que mg. c) Calcular el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 5 % de las mismas, y el peso por encima del cual se encuentra el 74 % de las pastillas de medicamentos. Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 8 Curso 03/4
Sol.: b:) 4 %; c:).5 mg. Apartado a): Se trata de una variable cuantitativa continua y los intervalos [L i, L i ) tienen amplitudes diferentes. Para construir el histograma, se levanta sobre cada intervalo de clase un rectángulo de altura h i conocida como densidad de frecuencia del intervalo [L i, L i ): Completamos la tabla del enunciado con los datos que nos hacen falta: h i = n i a i siendo a i = L i L i la amplitud del intervalo correspondiente. Peso (mg.) c i = Li +Li Fr. absoluta (n i ) Fr. relativa (f i = ni N ) a i = L i L i h i = ni a i [00, 0) 05 3 0.06 0 0.3 [0, 5).5 0 0. 5 [5, 0) 7.5 4 0.8 5.8 [0, 30) 5 3 0.6 0.3 [30, 40] 35 0 0. 0 Total - - - 50 - - - - - - El histograma de frecuencias absolutas es de la forma:.8.3 0.3 00 0 5 0 30 40 peso Apartado b): Para responder a este apartado, es más cómodo trabajar con frecuencias relativas y con porcentajes acumulados. Completamos la tabla anterior: Peso (mg.) c i Fr. absoluta (n i ) Fr. relativa (f i = n i N ) % % acumulados [00, 0) 05 3 0.06 6 % 6 % [0, 5).5 0 0. 0 % 6 % [5, 0) 7.5 4 0.8 8 % 54 % [0, 30) 5 3 0.6 6 % 80 % [30, 40] 35 0 0. 0 % 00 % Total - - - 50 00 % - - - Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 9 Curso 03/4
Para saber qué tanto por ciento de pastillas tiene peso menor que mg, observemos que (0, 5) y vamos a construir la recta que pasa por los puntos (0, 6) y (5, 6), que es; y = 6 + 6 6 (x 0) = 6 + 4 (x 0). 5 0 Por tanto, para conocer cuál es la cantidad que corresponde a mg., sustituimos x = en la ecuación anterior, y obtenemos y = 4, que es el tanto por ciento buscado. Apartado c): Para conocer el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 5 % de las pastillas (suponiendo que los datos se distribuyen de manera homogénea en cada intervalo), usamos la ecuación de recta del apartado anterior. Ahora, debemos sustituir y = 5, de manera que obtenemos x =.5 mg. que es el peso buscado. Conocer el peso de las pastillas por encima del cual se encuentra el 74 % de las pastillas es equivalente a conocer cual es el peso de las pastillas por debajo del cual se encuentra el 6 %. Observemos que de la tabla se puede ver que corresponde a 5 mg. Dpto. EDAN - 6 de septiembre de 03 0 Curso 03/4