92 Medición Área 1. División del paralelogramo con resto Reflexiones adicionales Las imágenes de los paralelogramos de la página 3 plantean una situación interesante que no se hace explícita en el texto: los tres paralelogramos tienen el mismo perímetro (sus lados tienen igual longitud), sin embargo, sus áreas son diferentes. Esto puede motivar el interés del alumno. Este problema puede ser planteado así: de todos lo paralelogramos posibles con lados de 5 y 6 unidades, cuál es el que tiene mayor área? Un problema diferente que involucra a los paralelogramos anteriores es: de todos los paralelogramos de perímetro de 22 unidades, cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área? Esta clase de problemas son casos elementales de la clase de problemas denominados isoperimétricos: entre todas las curvas cerradas en el plano que tienen el mismo perímetro, qué curva (si la hay) maximiza el área de la región que encierra? Si la parte de la curva que está por debajo de la línea roja se refleja, aumenta el área pero no el perímetro. Si la elipse vertical se modifica como lo indican las flechas aumenta el área pero no cambia el perímetro. http://es.wikipedia.org/ Isoperimetría En las páginas 3 a 8 del Tomo V, Vol. 2, se abunda en el tema del paralelogramo. Los antecedentes del tema del cálculo de área de un paralelogramo que se han abordado en el texto son: Área del rectángulo: base altura. Área de figuras compuestas por rectángulos. El propósito de la página 3 (Fig. 1) es que el alumno piense cómo calcular el área de varios paralelogramos, sabiendo que: 1. Los tres paralelogramos tienen lados de la misma medida. 2. El alumno puede calcular el área de (a). 3. El alumno puede estimar las otras dos áreas contando cuadrados (unidad de área) completos, o que se pueden completar entre ellos. En la página 4 (Fig. 2) se presenta la solución prevista para el paralelogramo (a). La solución mostrada para el paralelogramo (b) introduce un conocimiento nuevo. La esencia de esta solución es que se transforma el paralelogramo en un rectángulo y entonces el problema se reduce al caso (a): calcular el área de un rectángulo. La pregunta en este último caso es: al llevar el ángulo ABF a una nueva posición realmente se completa un rectángulo? Lo anterior se cumple si el triángulo CDE es igual al triángulo BAF (Fig. 3). Esto se satisface por lo siguiente: 1. AB es paralela a DC y BE es un segmento de recta que pasa por F y C, entonces: ABF= DCE. 2. DE se construye paralelo a AF para que sean lados opuestos de un rectángulo, entonces: CED= BFA. 3. De los dos pasos anteriores, y porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180, se tiene: CDE = BAF. 4. Además, AB=CD, por ser lados opuestos de un paralelogramo. 5. De los pasos 1, 3 y 4 y el criterio de congruencia ALA, se conluye que: ΔABF=ΔDCE. Por lo tanto la transformación es válida y el cálculo de AF EF proporciona el área del paralelogramo inicial. Hay que hacer notar que EF es la base del rectángulo que se forma con la transformación y AF es su altura. Esta última conclusión se establece en la siguiente página al formalizar la expresión para calcular el área del paralelogramo. Hay que hacer notar tres cosas: La estrategia seguida: transformar el problema en otro del cual se conoce la solución. El hecho de que en el paralelogramo los lados opuestos son paralelos. En la expresión para calcular el área no aparece el concepto rectángulo. Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4
Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Al final de la página 4 se muestra que el niño no corta en una esquina como lo hace la niña, sino que lo hace en algún punto intermedio de ese lado. En la página anterior se justificó la solución de Akira. Explica cómo justificar que la solución del niño también es correcta y conduce al mismo resultado. 2. Resuelve el problema planteado en la columna de Reflexiones adicionales : de todos los paralelogramos cuyo perímetro es 22 unidades, cuáles son las dimensiones del que tiene mayor área? Construye una tabla de resultados que ilustre la respuesta dada al problema al considerar otros casos. 3. Explica a un compañero(a) la idea Kaoru usando tus propias palabras. Después, que sea tu compañero(a) quien te explique la idea de Youichi. Medición 93
94 Medición Área Multiplicación del triángulo (4) Tablas de multiplicar En las páginas 9, 10 y 12 del Tomo V, Vol. 2 se refuerza el conocimiento respecto al área del triángulo. Los antecedentes que se han abordado en el texto sobre este tema son: La expresión para el cálculo del área del rectángulo. La expresión para el cálculo del área del paralelogramo. Los niños de la imagen (Fig. 1) sugieren dos transformaciones con base en sus conocimientos anteriores. La manera en que se ubicaron los triángulos en la malla sugiere cómo hacer las transformaciones para traducir el problema del área del triángulo a otro problema que los alumnos ya saben resolver. Fig.3 Debemos notar que el cálculo del área que se estableció anteriormente es de carácter general, no se encuentra ligado a las particularidades del triángulo usado ni a sus dimensiones o a la cuadrícula. Esto es así porque el razonamiento que se empleó para obtener las soluciones de la página 10 es válido en general y no depende de la cuadrícula, aunque ésta es un auxiliar indispensable en virtud de la corta edad de los alumnos. Fig.1 Se muestran cuatro soluciones en la página 10 (Fig. 2) que se explican por sí mismas y en que hacen ver el potencial heurístico de la cuadrícula para apoyar la explicación. Fig.4 La altura es un concepto que requiere atención para el cálculo de áreas del triángulo y del cuadrilátero. La altura es un concepto que está atado al lado que se toma como la base, por lo que se resalta que no tiene por qué ser el lado que está en posición horizontal. Este concepto es la razón de ser del contenido de las páginas 6 (Fig. 4) y 12 (Fig. 5). Fig.2 El problema se plantea en el contexto del cálculo de áreas de rectángulos y paralelogramos, se aplica la forma de calcular el área de éstos para calcular la del triángulo con las transformaciones que las soluciones gráficas indican. En la página 12 (Fig. 3) se establece lo siguiente: Fig.5
Medición 95 Actividades que se sugieren para los futuros docentes 1. Explica a un compañero (a) con tus propias palabras las ideas de Tomoko y Akira. Después, que sea tu compañero (a) quien te explique las ideas de Masaru e Hitomi. 2. Resuelve el problema: 3. Resuelve los siguientes ejercicios:
96 Medición Triangulación Reflexiones adicionales Un propósito central de la formación en matemáticas es que el alumno aprenda a utilizarlas como herramienta para resolver problemas. Uno de los más relevantes conocedores del tema fue George Pólya (1887-1985). Que caracteriza en cuatro pasos la solución de problemas: 1. Comprender el problema. 2. Concebir un plan para descubrir la solución. 3. Ejecución del plan. 4. Verificación del procedimiento y la comprobación del resultado. Con respecto a los problemas que nos ocuparon, la comprensión del problema pasa por el conocimiento de las imágenes que en todos los casos forman parte del enunciado y apoyan su comprensión. Para los problemas de triangulación, en todos los casos las ilustraciones que se emplean prefiguran un plan solución. El siguiente paso es ejecutarlos. Sin embargo, no es explícito el paso 4, verificación del procedimiento y comprobación del resultado. Este aspecto se aborda en el problema de la página 87, donde la cuadrícula claramente sugiere una solución y una forma para verificarla. En los otros casos este paso se apoya principalmente en la corrección del procedimiento realizado. En las páginas 8, 14, 15, 20 y 87 del Tomo V, Vol. 2, se estudia la triangulación. Al llegar a estas páginas el alumno conoce: 1. Área del paralelogramo = base altura 2. Área del triángulo = base altura 2 El uso de estas fórmulas requiere conocer los valores de la base y la altura. En la página 8 (Fig. 1), la imagen plantea el problema inverso, que en este caso significa conocer el área y uno de los datos, base o altura; ahora el problema es calcular el otro dato que se desconoce. Esta variación da lugar a los problemas 5 y 6 de la página 14. En el 5, el dato por calcular es la base del paralelogramo, mientras que en el 6 lo que hay que calcular es la altura del triángulo (Fig. 2). Estos problemas tienen interés formativo en tanto que flexibilizan estructuras conceptuales como las de los incisos 1 y 2. Para el problema 5 la solución es base = área altura y para el problema 6 la solución es altura = área 2 base. Las soluciones requieren aplicar una operación inversa respecto a las de las de los incisos 1 y 2. Triangulación: En esta imagen de la página 15 (Fig. 3) se describe la estrategia de triangulación para calcular áreas de cuadriláteros y pentágonos. En realidad la idea es no solamente usar triángulos, sino dividir las áreas que se quieren calcular utilizando cualesquiera figuras de las cuales se sepa y se pueda calcular su área. Por ejemplo, para los tres problemas de la imagen de la página 20 (Fig. 4), se procede de las siguientes formas: Para 1: la imagen se divide en siete paralelogramos: cuatro azules y tres blancos, y para todos se pueden conocer sus dimensiones para calcular sus áreas. Para 2: Conviene considerar el área rosa como el resultado de restar las áreas de dos triángulos: uno mayor de altura 10 y base 12 y el blanco, de altura 5 y base 12. Para 3: La figura es un trapecio y tiene dos lados paralelos, entonces basta dividirlo por una de sus diagonales, forman dos triángulos cuyas dimensiones se conocen. Para el pentágono de la página 87 (Fig. 5), es una solución inmediata que se apoya en el uso de la cuadrícula. Fig.1 Fig.2 Fig.3 Fig.4 Fig.5
Actividades que se sugieren para los futuros docentes. 1. Enlista los antecedentes que poseen los alumnos al momento de iniciar la realización de las actividades de las páginas analizadas. 2. Para los problemas de triangulación, desarrolla el plan de solución delineado en la lección y verifica si el procedimiento que utilizaste es correcto. 3. Realiza las actividades de la página 86 del libro. Aritmética 97