Humboldt Marine Training INTEGRACIÓN APROXIMADA Preparado por Ing. Boris L. GUERRERO B. Valparaíso, CHILE, 2011. 1
INDICE DE MATERIAS Anexo A.. 3 Método Trapecios. 3 Problema Método Trapecios. 4 1ª Regla de Simpson. 5 Problema de 1ª Regla de Simpson.. 8 2ª Regla de Simpson.. 9 Problema de la 2ª Regla de Simpson. 11 2
INTEGRACIÓN DE ÁREAS Hemos dicho que las naves son diseñadas con formas empíricas de su casco, obtenidas del comportamiento hidrodinámico que se observe en los canales de pruebas de los diseñadores y por la observación del rendimiento que presenten las naves durante sus navegaciones. Además sus formas NO responden a curvas ni ecuaciones matemáticas. Por lo tanto para integrar áreas o volúmenes no podemos recurrir a los procedimientos enseñados en Cálculo Integral. Se han desarrollado procedimientos de integraciones aproximados que producen resultados aceptables y satisfactorios ya que en estabilidad no se requiere trabajar con demasiada exactitud. Haremos mención a los principales métodos usados para las citadas integraciones. Método de los Trapecios Consiste en dividir el área que queremos integrar en una serie de trapecios, mediante líneas verticales (ordenadas) igualmente distanciadas entre sí. Este método es fácil y práctico, aunque es el menos exacto. En cálculos que deben presentarse a la Autoridad Marítima chilenas este procedimiento es aceptado. Veremos un ejemplo para explicarlo. Todas las ordenadas están separadas por una distancia h. Las secciones de áreas obtenidas las aproximaremos a trapecios, al 3
unir los extremos superiores de las ordenadas por líneas rectas. El área de la 1ª sección será por lo tanto: Y 1 + y 2 A1 = h x 2 Si completamos la suma de áreas parciales podremos llegar a la siguiente expresión, luego de factorizar la distancia h, que aparecerá en todos los términos: A = h x (y 1 /2 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 +.. + y n-1 + y n /2) En que : A = Area PROBLEMA h = Distancia entre ordenadas y = Ordenadas Se tiene un área con los siguientes datos: y 1 = 25 cm y 3 = 26 cm y 5 = 21 cm y 2 = 29 cm y 4 = 24 cm y 6 = 18 cm y 7 = 11 cm h = 9 cm Determinar el valor del área por el Método de los Trapecios. 4
RESPUESTA A = h x (y 1 /2 + y 2 + y 3 + y 4 + y 5 + y 6 + y 7 /2) A = 9 x (25/2 + 29 + 26 + 24 + 21 + 18 + 11/2) A = 9 x 136 cm 2 = 1.224 cm 2 Reglas de Simpson Más exactitud podemos conseguir si usamos las reglas de Simpson. En ellas las partes superiores de los trapecios se aproximan a curvas, tal como veremos. La 1ª Regla de Simpson aproxima el trozo de curva a una parábola de segundo grado del tipo: Se emplea para integraciones aproximadas de áreas que se hayan dividido en un cierto número de áreas pares, o lo que es lo mismo, que tenga ordenadas impares. Evidentemente se logrará mayor 5
exactitud si al área que se calculará se ha dividido en un mayor número de áreas parciales. En el gráfico inferior se muestra la función que quiere ser integrada y también se indica la función de 2º grado que considera la 1ª Regla de Simpson (en línea de segmentos rojos). 6
La expresión general que se obtiene al desarrollar esta integración aproximada es: A = h/3 x (y 1 + 4y 2 + 2y 3 + 4y 4 + 2y 5 + 4y 6 +.. + 4y n-1 + y n ) En que: A = Área h = Distancia entre ordenadas y = Ordenadas Podemos observar que obtendremos coeficientes: 1 4 2 4 2 4 2 4 2.. 2 4 1 Para 3 ordenadas tendremos: 1 4 1 Para 5 ordenadas tendremos: 1 4 2 4 1 Para 7 ordenadas tendremos: 1 4 2 4 2 4 1 Para 9 ordenadas tendremos: 1 4 2 4 2 4 2 4 1 Etc. 7
PROBLEMA Se tiene un área con los siguientes datos: y 1 = 25 cm y 3 = 26 cm y 2 = 29 cm y 4 = 24 cm y 5 = 21 cm y 6 = 18 cm y 7 = 11 cm h = 9 cm Determinar el valor del área por medio de la 1ª Regla de Simpson. RESPUESTA A = h/3 x (y 1 + 4 x y 2 + 2 x y 3 + 4 x y 4 + 2 x y 5 + 4 x y 6 + y 7 ) A = 9/3 x (25+ 4 x 29+2 x 26 +4 x 24+2 x 21 +4 x 18 + 11) A = 3 x (25 + 116 + 52 + 96 + 42 + 72 + 11) A = 3 x 414 cm 2 = 1242 cm 2 8
PROBLEMA Dibuje un cuadrante de círculo de radio 12 cm y calcule el área por ambos métodos, dividiendo primero en 4 partes el cuadrante y luego en 8. Compare los resultados con el cálculo geométrico. 2ª Regla de Simpson Es aplicable en los casos que los espacios limitados por las ordenadas sean divisibles por 3. Por ejemplo, si tenemos 4 ordenadas se forman 3 espacios y podemos aplicar la 2ª Regla de Simpson: 9
Área = 3/8 h (a+3b+3c+d) Si tuviéramos 7 ordenadas se formarían 6 espacios (serían divisibles por 3), tendríamos: Multiplicadores: 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 1 Área = 3/8 h (a+3b+3c+2d+3e+3f+g) Y así sucesivamente 10
Se tienen las siguientes semi-mangas del plano de flotación de una embarcación: 0 0,50 0,80 1,10 1,35 1,60 1,40 1,20 1,05 0,32 Las semi mangas están separadas por 0,60 m. Calcular el área del plano de flotación. RESPUESTA Dado que hay 9 tramos igualmente distanciados, podemos aplicar la 2ª Regla de Simpson 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 2 3 3 1 Semi Area = 3/8 0,40 (1x0+3x0,5+3x0,8+2x1,1+3x1,35+3x1,6+2x1,4+3x1,2+ +3x1,05+1x0,32) = 3,2025 m 2 Area = 6,405 m 2 11