Reflexiones sobe las Leyes de la ELECTROSTÁTICA todo empezo con la le Ley de Coulomb... eceta paa calcula E: dada la densidad de caga ρ, se puede (en pincipio) intega y obtene E Luego, desaollamos dos ideas más efinadas : la Ley de GAUSS: E nˆ da = Ciculación CERO del E: S γ E dl Q ε = 0 usamos estas leyes paa deduci cosas aceca de conductoes en equilibio electostático S 0 & foman una nueva fomulación de la electostática (casi) equivalente a la ley de Coulomb y a menudo más útil & NO son una eceta paa calcula E, son equisitos cualquie paeja (E(), ρ()) que satisfagan & son físicamente posible -Y SÓLO ESTAS LO SON- & se llaman «Ecuaciones de Campo» y (E,ρ) que las satisfacen se llaman "soluciones" a las Ecuaciones de Campo Fìsica II, 2004 1 Fìsica II, 2004 2 (i.e. E int =0, cond=supef.equipot., )
(casi) equivalencia con la Ley de Coulomb el campo coulombiano E = k 2 ε de una sola caga puntual, es una solución a & el Pincipio de Supeposición vale poque son lineales en E y ρ (si (E 1, ρ 1 ) y (E 2, ρ 2 ) son soluciones (E 1 +E 2, ρ 1 +ρ 2 ) también lo es) todos los campos E obtenidos a pati de la ley de Coulomb son soluciones a & Fìsica II, 2004 3 q ˆ Cómo usa las «Ecuaciones de Campo» &? tiene que se satisfecha la ley de Gauss, paa cada supeficie ceada S tiene que se satisfecha la ceo ciculación, paa cada cuva (laso) ceado γ E dl = 0 γ es equivalente al equisito de que EXISTE un potencial V() y las componentes de E son (-) las deivadas paciales de V V V V E =,, x y z E nˆ da = QS ε 0 la Ley de Gauss S define la distibución de caga eléctica que coesponde a un campo E dado cualquie potencial V() define una solución! paa la distibución de caga que da la ley de Gauss Fìsica II, 2004 4
Un ejemplo Una caga fuea de un +q conducto plano infinito. Qué pasa? Hay una fueza de atacción poque cagas de signo opuesto se acumulan en el conducto ceca de la caga dada de hecho este efecto es esponsable po el hecho que las cagas móviles de pemanezcan en el conducto (al menos paa metales) aún si este +q estubiese odeado de vacío también funciona paa dipolos como moléculas de agua - - - - - esta fueza también paticipa en la adhesión de substancias a metales (aunque existen otos efectos que contibuyen, y en ealidad es mucho más complicado) Fìsica II, 2004 5 Peo, cuán fuete es esta fueza paa una caga q a una distancia d del conducto? paece bastante dificil de calcula con la ley de Coulomb, ya que no sabemos la distibución de caga Entonces, la idea seá busca un potencial V() que es constante en el conducto (digamos ceo), tenga una sola caga puntual q fuea del conducto, sea continuo sobe la supeficie del conducto si podemos enconta un potencial con una equipotencial plana y una sola caga q a uno de los lados de esta potencial, lo podemos pensa como el potencial fuea del conducto sive el potencial de un dipolo de cagas +q, -q sepaadas una distancia 2d Fìsica II, 2004 6
V ( ) = V 0 ; dipolo ; fuea del conducto dento del conducto E COND E = q = kq 2 ˆ es un potencial que es nulo (ceo) dento del conducto y continuo en la supeficie E fuea del conducto es como el E dipolo E +q -q = E + q + E peo el campo fuea del conducto es ealmente campo debido a q más el campo que genean las cagas aglomeadas ceca de la supeficies del conducto (E cond ) q Fìsica II, 2004 7 la fueza eléctica sobe q es kq ( 2d ) 2 hacia el conducto este método de calcula se llama «Método de las Imágenes», y la ficticia caga -q dento del conducto se llama caga imagen Fìsica II, 2004 8
Una visión LOCAL de nuestas nuevas leyes de campo... Si la ciculación de E en tono de los bodes de dos cuadados vecinos es ceo entonces es ceo en tono de la supeficie conjunta. Si Gauss vale paa dos cubos vecinos entonces vale paa la egión conjunta. = Flujo aquí cancela = flujo total = flujo 1 + flujo 2 = Q 1 /ε 0 + Q 2 /ε 0 = Q total /ε 0 Si dividimos el espacio en pequeños cubitos y Gauss vale paa cada uno entonces Gauss vale paa cada egión hecho de estos cubitos. En el limite de cubitos infinitesimales Gauss equivale a una ecuacion difeencial: E = ρ/ε 0 De la misma manea cuando cuadaditos son infinitesimales ciculación E ceo equivale ota ecuacion difeencial: E = 0 Validez de Gauss paa todas supeficies y ciculación E ceo po todos contonos validez de estas ecuaciones en cada punto del espacio. Estas son la fomas difeenciales de dos de las ecuaciones de Maxwell La foma de los leyes de electomagnetismo que mas se usa en la páctica. Fìsica II, 2004 9 Fìsica II, 2004 10
En luga de desaolla fomalismo de ecauciones difeenciales vamos hace algo mas sencillo y casi equivalente: Reticulado tidimensional... Constuyendo el «Reticulado tidimensional» poniendo cubitos Supongamos que epesentamos al mundo po un eticulado tidimensional de lado pequeño a. Esta idea de modela al espacio como un conjunto de cubitos y sus puntos de intesección -los vétices de los cubitoslos espacios disponibles donde las cosas pueden ubicase, se lo denomina Fìsica II, 2004 11 «discetización del espacio» Existen deteminados puntos del eticulado donde pueden vivi (esto es existi ó habita) las cagas elécticas, estos puntos están conectados mediante segmentos ó tamos que deteminan justamente la estuctua del eticulado (gilla). (Esta técnica es muy Fìsica empleada II, 2004 en simulaciones 12 computacionales, paa estudia distintos fenómenos)
Bajo esta concepción del espacio, se pueden da una vesión apoximada ( discetizada ) de las leyes & que involucan las componentes del campo eléctico E tangentes a los tamos En esta visión nuestas leyes quedan: Ciculación de E = 0: al ecoe un camino ceado deteminado a tavés de los segmentos ó tamos de la gilla del eticulado la suma de las componentes tangentes del E a cada segmento = 0 la Ley de GAUSS, Paa cada punto del eticulado el flujo eléctico a tavés la supeficie de un cubo de lado a centado en el punto es a 2 (E 1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6 ), y debe se igual a q/ε 0 con q la caga en el punto. 2 3 1 E 4 6 5 E E Fìsica II, 2004 13 Fìsica II, 2004 14
4 Ciculación E = 0 podemos defini potencial φ en cada punto del eticulado de la misma manea como en espacio continuo. Paa cada segmento φ fin - φ oigen φ = -a E E = - φ/a o vesión disceta de E x = - φ/ x Convesamente, si hay φ automáticamente la ciculación de E = 0. 1 3 2 a (E 1 + E 2 + E 3 + E 4 ) = suma de cambios de φ po el contono y Gauss? - calculamos q en cada punto del eticulado a pati de E usando Gauss. Paa estos q Gauss vale. q = 6aε 0 (φ - <φ> vecinos ) vesión disceta de ecuación de Laplace: 2 φ = -ρ/ε 0 Fìsica II, 2004 15 Un último vistazo al potencial... Pensemos en nuesto eticulado peo ahoa, paa simplifica ideas, en el caso bi-dimensional, es deci, en el plano La difeencia ente dos puntos del eticulado detemina el valo del campo eléctico; de foma tal que: ae = V ( 2) V (1) esto pemite pensa en una analogía ente esta estuctua eticula y una tela donde en cada punto del tejido epesenta los puntos del etículo donde pueden vivi las cagas y los tamos que unen los puntos del etículo seían los hilos que confoman el tejido y se Fìsica II, 2004 16 inteceptan en los nudos del tejido
De esta manea, se puede pensa al potencial como una epesentación de la altua a la cual se encuenta cada nudo del tejido, la tensión en los hilos del tejido ente los distintos nudos epesentaía -en este modelo- el campo eléctico. Uno podía pensa en cieta manea, en que el efecto de pone cagas sobe el etículo es como pone cada punto del tejido a distintas altua de foma tal que la foma que el tejido tomase seía la Fìsica II, 2004 17 foma del potencial Las leyes físicas que gobienan estos fenómenos no son exclusivas del electomagnetismo, apaecen en muchas otas áeas; como po ejemplo, pocesos difusivos, tales como, disipación de calo, Fìsica II, 2004 18 pocesos de mofogénesis (patones de fomación de manchas ó pelajes), etc...
RESUMEN fomulamos dos leyes que desciben los fenómenos elécticos (junto con otas dos leyes más, estas 4 ecuaciones igen el electomagnetismo -ecuaciones de Maxwell-) vimos un método paa detemina el potencial eléctico: «Método de las Imágenes» vimos una técnica paa discetiza el espacio: no sólo útil paa detemina potenciales elécticos, sino paa otas aplicaciones (simulaciones computacionales, etc...) Fìsica II, 2004 19