Departamento de Matemáticas Página 1 Problemas de selectividad. Anális 14.01.- De entre todos los triángulos rectángulos de área 8 cm, determina las dimenones del que tiene la hipotenusa de menor longitud. a 1 14.0.- Sea f : R R la función derivable definida por f ( ) b ln 1 donde ln denota el logaritmo neperiano. a) Calcula a y b. b) Para a = 3 y b = calcula los etremos absolutos de f en el intervalo [ 0, e] (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). 14.03.- Sea f : R R definida por f() = 3 + a + b + c a) Halla a, b y c para que la gráfica de f tenga un punto de infleión de 1 abscisa y que la recta tangente en el punto de abscisa = 0 tenga por ecuación y = 5 6. b) Para a = 3, b = -9 y c = 8, calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se encuentran y valores que se alcanzan). 14.04.- Se desea construir un depóto en forma de cilindro recto, con base circular y n tapadera, que tenga una capacidad de 15 m 3. Halla el radio de la base y la altura que debe tener el depóto para que la superficie sea mínima. a 14.05.- Sabiendo que lím 1 1 ln denota el logaritmo neperiano). es finito, calcula a y el valor del límite (ln e e 14.06.- Condera la función derivable f : R R tal que f ( ) a b a) Calcula a y b. b) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = -1. 0 0 1 14.07.- Sea f la función definida por f ( ) ln para > 0. a) Determina el punto de la gráfica de f en el que la pendiente de la recta tangente es máima. b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. 14.08.- Sea f : R R la función definida por f() = 3 + b + c + d. Halla b, c y f ( ) d sabiendo que f tiene un etremo relativo en = -1 y que lím 4. 1 1 14.09.- Calcula lím 0 tan sen. sen
Departamento de Matemáticas Página 14.10.- Condera la función f : R R definida por f ( ) e a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. 14.11.- Sabiendo que cos (3) e a lím 0 sen es finito, calcula a y el valor del límite. 14.1.- De entre todos los números reales potivos, determina el que sumado con su inverso da suma mínima. cos( ) b sen ( ) 13.01.- Sabiendo que lím 0 3 es finito, calcula b y el valor del límite. e 0 13.0.- Sea la función definida por f ( ) a b 0 1 a) Determina a y b sabiendo que f es derivable en todo su dominio. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0. 13.03.- Sea g la función definida por 3 m g( ) para n. n a) Halla m y n sabiendo que la recta y = 4 es una asíntota de la gráfica de g. b) Determina la gráfica de g es métrica respecto al origen. 3 13.04.- Sea f : R R la función definida por f ( ) a b c. Se sabe que un punto de infleión de la gráfica de f tiene de abscisa = 1 y que f tiene un mínimo relativo en = de valor -9. Calcula a, b y c. 13.05.- Halla las dimenones del rectángulo de área máima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado degual) y 4 metros de alto. 13.06.- Sea f la función definida por f ( ) e para 1, 0. a) Calcula los límites laterales de f en = 0. b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. 13.07.- Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el otro un cuadrado. Halla la longitud de dichos trozos para que la suma de las áreas sea mínima. ln( ) 13.08.- Sea f : ( 0,) R la función definida por f ( ) (donde ln denota el logaritmo neperiano). 1
Departamento de Matemáticas Página 3 a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. 13.09.- Sea f la función definida por f ( ) para > 0, 1 (donde ln ln( ) denota el logaritmo neperiano). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. k 1 13.10.- Sea f la función definida por f ( ) para a y. ( a)( 1) a) Halla a y k sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto ( 0, ) y que la recta = es una asíntota de dicha gráfica. b) Para k = 4 y a = halla los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y sus intervalos de crecimiento y de decrecimiento. 13.11.- Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de 5 cm. de radio, de forma que uno de sus lados está contenido en el diámetro del semicírculo y el lado opuesto tiene sus vértices sobre la semicircunferencia. Calcula las dimenones del rectángulo sabiendo que es el de mayor perímetro poble. 3 13.1.- Condera la función f : R R dada por f ( ) a b c. Determina a, b y c sabiendo que la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 es y + = -3 y que el punto de infleión tiene de abscisa = 1. 1.01.- Sea la función f : ( 0, ) R definida por f ( ) 1 ln( ) donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el intervalo 1, e. e b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = e. 1.0.- Sea f la función definida por f ( ) para ( 1 )( ) 1 y. a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, eiste, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal. 1.03.- Sea la función f :, e R 1 definida por f ( ) 8ln( ) donde ln denota la función logaritmo neperiano.
Departamento de Matemáticas Página 4 a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los etremos absolutos y relativos de la función (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Estudia los intervalos de concavidad y conveidad. 1.04.- Sea la función f : R R definida por f ( ) e ( 1). a) Calcula lím f ( ) y lím f ( ). b) Halla los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan), determinando son máimos o mínimos. c) Determina las abscisas de los puntos de infleión de la gráfica de f. 1.05.- Un alambre de longitud metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de su altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado. Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y el cuadrado resultantes sea mínima. 1.06.- Sea la función f : R R definida por f ( ) ln( 3 3 ) donde ln denota la función logaritmo neperiano. a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = -. a sen( ) e 1.07.- Sabiendo que lím dicho límite. 0 es finito, calcula el valor de a y el de 1.08.- la función f : R R definida por f ( ) e ( ). a) Calcula las asíntotas de f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento. c) Determina, eisten, los puntos de infleión de la gráfica de f. 1.09.- Sea la función continua f : R R definida por k 0 f ( ) e 1 0 a) Calcula el valor de k. b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa = -1. e 1.10.- Sea la función f definida por f ( ) para 1. 1 a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f. b) Halla los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Departamento de Matemáticas Página 5 1.11.- Se condera la función derivable f : R R definida por a 1 f ( ) b a Calcula los valores de a y b. 1 1 1.1.- De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimenones del de área máima. 11.01.- Una ventana normanda conste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m., halla las dimenones del marco de la de área máima. 1 1 ln( ) a 11.0.- Sea f :,4 R e la función definida por f : e b 1 ln() 4 1 a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo (,4). e b) Para a = 0 y b = 1/ halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 11.03.- Calcula la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro 8 y de área máima. 4 3 1 11.04.- Sea f la función definida por f ( ) para 0. 3 a) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función. b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 3 11.05.- Dada la función f : R R definida por f ( ) a b c, determina a, b y c sabiendo que su gráfica tiene un punto de infleión en ( 1, 0), y que la recta tangente en ese punto tiene por ecuación y = -3 + 3. 11.06.- En el primer cuadrante representamos un rectángulo de tal manera que tiene un vértice en el origen de coordenadas y el vértice opuesto en la parábola y 3. Determina las dimenones del rectángulo para que su área sea máima. 11.07.- Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular para unos caballos en una zona llana. Cada metro del lado del cercado que está junto a la carretera nos cuesta 100 euros, mientras que para el resto del cercado nos cuesta 10 euros el
Departamento de Matemáticas Página 6 metro. Cuáles son las dimenones del prado de área máima que podemos cercar con 3000 euros? 11.08.- En una empresa los ingresos (en euros) dependen de la edad. Si la edad,, es de 18 a 50 años, los ingresos vienen dados por la fórmula 70, mientras que para edades iguales o superiores a 50 años los ingresos están determinados por la 400 epreón. 30 Calcula cuál es el máimo de ingresos y a qué edad se alcanza. 11.09.- Un alambre de 100 m. de longitud se divide en dos trozos. Con uno de ellos se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base es doble que su altura. Calcula las longitudes de cada uno de los trozos con la condición de que la suma de las áreas de estas dos figuras sea mínima. 11.10.- Sea f : R R la función definida por f ( ) 4. a) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa =. b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta y 0. 11.11.- Se desea construir un depóto cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste tenga volumen máimo. 11.1.- Sea f :, R 1 la función definida por f ( ) 1. Determina el punto P de la gráfica de f que se encuentra a la menor distancia poble del punto A (,0). Cuál es esa distancia? a b 10.01.- Sea f la función definida por f ( ) para a. a a) Calcula a y b para que la gráfica de f pase por el punto (, 3) y tenga una asíntota oblicua con pendiente -4. b) Para el caso a =, b = 3, obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. e e 10.0.- Calcula lím 0 sen. 10.03.- La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 90 cm. Si se hace girar alrededor de uno de sus catetos, el triángulo engendra un cono. Qué medidas han de tener los catetos del triángulo para que el volumen del cono engendrado sea máimo? 1 (Recuerda que el volumen del cono es: V r h ). 3 10.04.- Sea f la función definida como 3 ( ) para 1. 1 f
Departamento de Matemáticas Página 7 a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Esboza la gráfica de f. 10.05.- Entre todos los triángulos rectángulos de 5 m. de hipotenusa, determina los catetos del de área máima. 10.06.- Sea f: ( 0, + ) R la función definida por f ( ) ln( 3 ). a) Determina, eisten, los puntos de la gráfica de f en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta de ecuación y 1 0. b) Halla la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 3. 10.07.- Una hoja de papel tiene que contener 18 cm de teto. Los márgenes superior e inferior han de tener cm cada uno y los laterales 1 cm. Calcula las dimenones de la hoja para que el gasto de papel sea mínimo. a b 0 10.08.- Sea la función f: [ 0, 4] R definida por f ( ) c 4 a) Sabiendo que f es derivable en todo el dominio y que verifica que f(0) = f(4), determina los valores de a, b y c. b) Para a = -3, b = 4 y c = 1 halla los etremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan). e ( a ) 0 10.09.- Sea la función f: R R dada por f ( ) b c. 0 1 Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1 tiene pendiente 3. 3 10.10.- Sea f: R R la función definida como f ( ) ( 1 ) 3. Halla las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = -5 y en el punto de abscisa =. 10.11.- Dada la función f: R R definida como f ( ) a sen ( ) b c d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene tangente horizontal en el punto ( 0, 4) y que la segunda derivada de f es f () =3 sen () 10. e 0 10.1.- Condera la función f: R R definida por f ( ) 1 0 1 1 1 Estudia su continuidad y derivabilidad. Determina la función derivada de f.
Departamento de Matemáticas Página 8 09.01.- Sea f: R R la función definida por 3 f ( ) a b c d. Calcula los valores de a, b, d y d sabiendo que f verifica: El punto ( 0, 1) es un punto de infleión de la gráfica de f. f tiene un mínimo local en el punto de abscisa = 1. La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 1. 09.0.- Se divide un segmento de longitud L = 0 cm. en dos trozos. Con uno de los trozos se forma un cuadrado y con el otro un rectángulo en el que la base es el doble de la altura. Calcula la longitud de cada uno de los trozos para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea mínima. 09.03.- Se condera la función f: [ 1, + ) R definida por f ( ). Determina la asíntota de la gráfica de f. 09.04.- De todos los rectángulos cuya área mide 16 cm, determina las dimenones del que tiene diagonal de menor longitud. 1 09.05.- Calcula el guiente límite (ln denota logaritmo neperiano), lím 1 ln 1 1 09.06.- Sea f: R R la función definida por f ( ) 1 3 1 a) Estudia su continuidad y derivabilidad. b) Determina sus asíntotas y sus etremos relativos. c) Esboza la gráfica de f. 0 0 09.07.- Sea f: R R la función definida por f ( ) 3 a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f. b) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. Calcula sus etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (ln ) 1 a 1 a) Sabiendo que f es continua, calcula a (ln denota el logaritmo neperiano) b) Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, determina su ecuación. 09.08.- Sea f: ( 0, + ) R la función dada por f ( ) 1 09.09.- Se sabe que la función f: R R definida como b 1 1 f ( ) es derivable. Determina los valores de a y b. a 5 a 1
Departamento de Matemáticas Página 9 3 09.10.- Se sabe que la función f: R R definida como f ( ) a b c d tiene etremos relativos en ( 0, 0) y en (, ). Calcula a, b, c y d. 09.11.- Sea f: R R la función definida por f ( ) e. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f, así como los etremos relativos o locales de f. b) Determina las asíntotas de la gráfica de f. c) Esboza la gráfica de f. 09.1.- De todos los triángulos cuya base y altura suman 0 cm. qué base tiene el de área máima? 08.01.- Sean f: R R y g: R R las funciones definidas por ( 1 ) f ( ) a b y g( ) c e. Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto (-1, ) y tienen en ese punto la misma recta tangente. a) Calcula los valores de a, b y c. b) Halla la ecuación de dicha recta tangente. a 3 08.0.- Condera la función f: R R definida por f ( ). b 4 a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R. b) Determina la recta tangente y la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa = 3. 08.03.- De entre todas las rectas del plano que pasan por el punto ( 1, ), encuentra aquella que forma con las partes potivas de los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de dicho triángulo. 08.04.- Sea f la función definida, para 0, por 1 f ( ) e. Determina las asíntotas de la gráfica de f. 08.05.- De entre todos los rectángulos de perímetro 8 cm. determina las dimenones del que tiene diagonal de menor longitud. 1 08.06.- Dada la función f: R R definida por f ( ), determina la ecuación e de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. 08.07.- Sea la función f: [ 0, 4] R definida por a b 0 f ( ). c 1 4 a) Determina a, b y c sabiendo que f es continua en el intervalo cerrado [ 0, 4], derivable en el intervalo abierto ( 0, 4) y que f(0) = f(4).
Departamento de Matemáticas Página 10 b) En qué punto del intervalo se anula la derivada de la función? 08.08.- Sea f: [ 0, π] R la función definida por f ( ) e ( sen cos ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los puntos de infleión de la gráfica de f. 08.09.- Sea f: R R la función definida por f ( ) ( 3 ) e. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Calcula los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). 08.10.- Dada la función f definida, para 0, por asíntotas de su gráfica. f ( e 1 ) determina las e 1 3 1 definida por f ( ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula el punto de infleión de la gráfica de f. 07.01.- Sea f : 0, R 07.0.- Determina una función f: R R sabiendo que su derivada viene dada por f' ( ) 6 y que el valor que alcanza f en su punto de máimo (relativo) es el triple del valor que alcanza en su punto de mínimo (relativo). 07.03.- Determina dos números reales potivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máimo. 3 07.04.- Sea f: R R la función definida por f ( ) 1 a b. Determina a y b sabiendo que la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión es la recta de ecuación y = + 3. 07.05.- Dada la función f: R R definida por f ( ) Ln( 1 ), halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas. 07.06.- Sea f : (0, ) R la función definida por f ( ) Ln( ). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa e. 07.07.- Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados
Departamento de Matemáticas Página 11 tiene que ser 1 metro. Cómo hemos de elegir los lados de los cuadrados queremos que el coste total sea mínimo? 07.08.- De entre todos los rectángulos tuados en el primer cuadrante que tienen dos de sus lados sobre los ejes coordenados y un vértice en la recta r de ecuación y 1 (ver figura), determina el que tiene mayor área. 07.09.- Sea f: R R definida por f ( ) e. a) Determina los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. 07.10.- Sea f: R R la función definida por f ( ) ( 3 )e. a) Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en su punto de infleión. 3 07.11.- Sea f la función definida, para - y, por f ( ). 4 a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan). c) Esboza la gráfica de f. 07.1.- Determina la función f: R R sabiendo que f'' ( ) 1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 0 es la recta y = 1. 07.13.- Se quiere construir un depóto en forma de prisma de base cuadrada n tapadera que tenga una capacidad de 500 m 3. Qué dimenones ha de tener el depóto para que su superficie sea mínima? 06.01.- Sea f: R R definida por f() = Ln( + 1). a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de infleión de abscisa negativa. 1 1 06.0.- Calcula lím Ln 1. 1 06.03.- Sea f: R R la función definida por f ( ). a) Estudia la derivabilidad de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Departamento de Matemáticas Página 1 c) Calcula los etremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función). 06.04.- Un alambre de longitud 1 m. se divide en dos trozos; con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima. 06.05.- Halla la función f: R R sabiendo que f () = 1 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene de ecuación 4 y 7 = 0. 06.06.- Determina un punto de la curva de ecuación de la recta tangente sea máima. y e en el que la pendiente 4 3 06.07.- Sea f la función definida por f ( ) para 0. a) Halla, eisten, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de la gráfica de f. b) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de f. c) Esboza la gráfica de f. 1 06.08.- Sea f: R R definida por f ( ). 1 a) Estudia eisten y calcula, cuando sea poble, las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los etremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f. c) Esboza la gráfica de f. 06.09.- Sea f: (1, + ) R la función dada por f ( ) ( Ln ) ( 1 ). Estudia la eistencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que eista, hállala. 06.10.- Sea f: [0, 4] R una función tal que su función derivada viene dada por: 0 3 f ' ( ) 3 8 3 4 16 a) Determina la epreón de f sabiendo que f ( 1 ). 3 b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. 06.11.- Se sabe que la función f: [0, 5] R definida por: f ( a b ) 4 1 es derivable en el intervalo (0, 5). a) Calcula las constantes a y b. 0 5
Departamento de Matemáticas Página 13 b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. 06.1.- Sea f: R R definida por f() = 3 + a + b + 1. a) Determina a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto (, ) y tiene un punto de infleión de abscisa = 0. b) Calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de infleión. 06.13.- Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 00 cm. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máimo. 05.01.- De la función f: R R definida por f() = a 3 + b + c +d se sabe que tiene un máimo en = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa = - y tiene un punto de infleión en el punto de abscisa = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = tiene pendiente 9. 1 05.0.- Sea f la función definida para 0 por f ( ). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. e 05.03.- Sea f la función definida para 1 por f ( ). 1 a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Determina los intervalos de concavidad y de conveidad de f. d) Esboza la gráfica de f. 05.04.- Determina los puntos de la parábola de ecuación y = 5 que están más próimos al origen de coordenadas. Calcula la distancia entre los puntos obtenidos y el origen de coordenadas. sen 05.05.- Se sabe que lím 0 límite. es finito. Determina el valor de α y calcula el 05.06.- Condera las tres funciones cuyas epreones respectivas vienen dadas, para 0 por 1 f ( ), g( ) e, h( ) Ln a) Halla las ecuaciones de las asíntotas de las gráficas de f, g y h. 1
Departamento de Matemáticas Página 14 b) Identifica, entre las que guen, la gráfica de cada función, justificando la respuesta. Gráfica 1 Gráfica Gráfica 3 Gráfica 4 5 8 05.07- Sea f: R R definida por f ( ). 1 a) Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. b) Halla las asíntotas de la gráfica de f. c) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). d) Esboza la gráfica de f. 05.08.- De un terreno se desea vender un solar rectangular de 1800 m dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones entre las parcelas) determina las dimenones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima. 4 3 05.09.- Sea f la función definida para por f ( ). a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Calcula, eisten, el máimo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [ 0, ) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). a b 05.10.- De la función f : (0, ) R definida por f ( ) se sabe que la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa =1 viene dada por y = -. a) Calcula a y b. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. 05.11.- Sea f: R R definida por f() = ( 1) e -. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, eisten, sus etremos relativos o locales y sus etremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de la función f.
Departamento de Matemáticas Página 15 05.1.- De una función f: [0, 5] R se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada está dada por 5 0 1 f' ( ) 6 8 1 5 a) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 3. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). 04.01.- Sea f: R R definida por f ( ) e. a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus etremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). c) Esboza la gráfica de f. 04.0.- Halla una función f: R R tal que su gráfica pase por el punto M ( 0, 1), que la tangente en el punto M sea paralela a la recta y + 3 = 0 y que f () = 3. 04.03.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1 /cm y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimenones de la caja para que su coste sea mínimo. 04.04.- De una función f: [ 0, 4] R se sabe que f(1) = 3 y que la gráfica de su función derivada es la que aparece en el dibujo. a) Halla la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa = 1. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. En qué punto alcanza la función f su máimo absoluto? c) Estudia la concavidad y conveidad de f. 04.05.- Se sabe que la función f: (-1, 1) R definida por 1 c 1 0 f ( ) 1 0 1 es derivable en el intervalo (-1, 1). a) Determina el valor de la constante c.
Departamento de Matemáticas Página 16 b) Calcula la función derivada f. c) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f que son paralelas a la recta de ecuación y = -. 04.06.- Sea la función f: [ 0, π] R definida por f() = e ( cos + sen ) a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Halla los etremos relativos (locales) y absolutos (globales) de f. 04.07.- a) Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola y = que es paralela a la recta de ecuación -4 + y + 3 = 0. b) Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la parábola y = que pasan por P (, 0). 04.08.- Se quiere fabricar una caja abierta de chapa con base cuadrada y con 3 litros de capacidad. Halla las dimenones de la caja que precisa menor cantidad de chapa. 04.09.- Sea f: R R la función definida por f() = //. a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f en = 0. c) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa =. 1 a 04.10.- Se sabe que lím es finito. Determina el valor de a y calcula 0 e 1 el límite. 04.11.- Condera f: R R la función definida por f() = ( + 1)( 1)( ). a) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto = 1. b) Determina los intervalos de concavidad y conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f? 04.1.- Se sabe que la función f : ( 1, ) R definida por 4 3 1 0 ( ) a 0 1 es continua en ( 1, ). a) Halla el valor de a. Es f derivable en = 0? b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. f 1.- Estudia la derivabilidad de la función f: R R definida por sen f ( ) 1 0 0
Departamento de Matemáticas Página 17.- De entre todos los rectángulos que tienen uno de sus vértices en el origen de coordenadas, el opuesto de este vértice en la curva y (>1), uno de sus 1 lados tuado sobre el semieje potivo de abscisas y otro lado sobre el semieje potivo de ordenadas, halla el que tiene área mínima. 3.- Calcula ln(1 ) sen lím 0 sen 4.- Condera la función f definida por f ( ) para 1. 1 a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Estudia la poción de la gráfica de f respecto de sus asíntotas. 5.- Estudia la derivabilidad de la función f: ( 0, + ) R definida por 3 0 1 f ( ) 1 1 Calcula la función derivada de f. 9 3 6.- Condera la función f: R R definida por f ( ) para 0 y. a) Calcula las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. c) Con los datos obtenidos, esboza la gráfica de f. 7.- Condera la función f: R R definida por f 3a b 0 ( ) ( ab e ) 0 Determina a y b sabiendo que f es derivable. 1 8.- Condera el recinto limitado por la curva y y la recta y = 9. 3 De entre los rectángulos tuados como en la figura, determina el que tiene área máima. 1 9.- Condera la función f: R R definida por f ( ) e a) Calcula las asíntotas de f.
Departamento de Matemáticas Página 18 b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos relativos de f ( puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). 10.- Sea f: R R definida por f() = 3-5 + 5 + 3 y sea la recta de ecuación + y = 6. a) Determina, es poble, un punto de la gráfica de f en el que la recta tangente sea r. b) Hay algún punto de la gráfica de f en el que la recta normal a la gráfica sea r?. Justifica la respuesta. 3 11.- Condera la curva de ecuación y 3 a) Determina sus asíntotas. b) Corta la curva a alguna de sus asíntotas en algún punto? Justifica la respuesta. 1.- De entre todas las rectas que pasan por el origen de coordenadas, determina las que 1 son tangentes a la curva de ecuación y 4 4.Calcula los puntos de 4 tangencia correspondientes. 13.- Condera la función f: R R definida por f ( ) e. a) Calcula lím f ( ) y lím f ( ). c) Calcula los intervalos de monotonía y los etremos locales de f ( puntos donde se obtienen y valor que alcanzan). 14.- Calcula a y b sabiendo que la función f: R R definida por a 5 f ( ) a b es derivable. 15.- De entre todos los rectángulos de 40 km de perímetro, calcula las dimenones del que tiene área máima. 1 1 16.- Condera la función f: R R definida por f ( ) 1 e 0 a) Calcula los límites laterales de f en =0. Es f continua en =0? b) Calcula el valor de la derivada de f en =1. 0 0 17.- Determina una función polinómica de grado 3 sabiendo que verifica que alcanza un máimo en =1, que su gráfica pasa por el punto ( 1, 1) y que la recta de ecuación y = es tangente a su gráfica en el punto de abscisa =0.
Departamento de Matemáticas Página 19 18.- Sea f la función definida para - por f ( ) a) Halla las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento, y los etremos locales de f. c) Teniendo en cuenta los resultados de los apartados anteriores, haz un esbozo de la gráfica de f. 19.- Se ha observado que en una carretera de salida de una gran ciudad la velocidad de los coches entre las h. y las 6 h. de la tarde viene dada por v(t) = t 3-15t + 7t + 8 para t [,6 ]. a) A qué hora circulan los coches con mayor velocidad?. Justifica la respuesta. b) A qué hora circulan los coches con menor velocidad?. Justifica la respuesta. 0.- Una empresa quiere fabricar vasos de cristal de forma cilíndrica con una capacidad de 50 cc. Para utilizar la mínima cantidad poble de cristal, se estudian las medidas apropiadas para que la superficie total del vaso sea mínima. Cuáles deben ser dichas medidas?. Justifica la respuesta. 1.- Condera la función f: R R definida por 1 3 3 3 f ( ) 0 1 1 3 1 3 3 Estudia la derivabilidad de f..- Sea f: [- 1, 4] R una función cuya derivada tiene por gráfica la de la figura: a) Estudia el crecimiento y el decrecimiento de f y determina los valores donde alcanza sus etremos relativos. b) Estudia la concavidad y la conveidad de f. Tiene puntos de infleión la gráfica de f?. 3.-Determina el valor de las constantes c y d sabiendo que la gráfica de la función f: R R definida por f() = 3 + 3 + c + d tiene como recta tangente en su punto de infleión a la recta y= 3 + 4. 1 cos( 1 ) 4.- Calcula lím 1 )). ( Ln(
Departamento de Matemáticas Página 0 5.- Una compañía aérea ofrece vuelos para grupos de estudiantes con las guientes condiciones: para organizar un vuelo, el número mínimo de pasajeros debe ser de 80, los cuales pagarían 10 euros cada uno. Esta tarifa se reduce en un euro por cada pasajero que eceda el número de 80. Suponiendo que la capacidad de cada avión es de 105 pasajeros y que el coste para la compañía es de 100 euros por plaza ocupada, qué número de pasajeros ofrecen el máimo y, respectivamente, el mínimo beneficio para la compañía? 6.- Se quiere construir un envase cerrado con forma de cilindro cuya área total (incluyendo las tapas) sea de 900 cm. Cuáles deben ser el radio de la base y la altura para que el volumen del envase sea lo más grande poble? Cuánto vale ese volumen máimo? 7.- Condera la función f: R R definida por f() = ( 3 ) e. a) Estudia el crecimiento y decrecimiento de f. b) Calcula los máimos y los mínimos relativos de f. 8.- Sea f: (-π, π ) R la función derivable que para 0 verifica Ln ( 1 ) f ( ). sen ( ) a) Cuánto vale f(0)? b) Cuánto vale f (0)? 9.- Determina las dimenones de una puerta formada por un rectángulo y un semicírculo (como en la figura ), sabiendo que tiene perímetro mínimo entre las que tienen de área igual a m. 30.- Un hilo de alambre de 1 m. de longitud se corta en dos trozos formando con uno de ellos una circunferencia y con otro un cuadrado. Prueba que la suma de las áreas es mínima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio de la circunferencia. 31.- Condera la función f: [0,3] R definida por f () = 3. Calcula el punto de la gráfica de f más cercano al punto (, 6 ) y calcula también el más alejado. a 6 3.- Condera la función f ( ) 5 10 a) Determina el valor de a sabiendo que f es continua y que a>0. b) Esboza la gráfica de f. c) Estudia la derivabilidad de f. 33.- Determina a sabiendo que eiste y es finito el límite e e a lím 0 sen 34.- Estudia la continuidad de la función f: R R definida por f ( ) 3 y represéntala gráficamente.
Departamento de Matemáticas Página 1 35.- En una circunferencia de radio 4 se inscribe un rectángulo (mira la figura). Cuáles son las dimenones del que tiene mayor área? 36.- a) Halla los puntos de la gráfica de la función f definida por f() = 4 + en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante. b) Calcula el límite lím tg( ) Ln( ) 0 37.- Dados tres números reales, a, b y c sea f la función real definida por c f (. a b c a) Determina a y b en función de c para que sea derivable en c. b) Para c = y sabiendo que f es derivable en, halla un punto del intervalo [ 1, 3] en el que la tangente de la gráfica de f sea paralela a la recta que pasa por los puntos ( 1, f(1)) y ( 3, f(3)). 38.- Cómo hay que doblar un trozo de alambre de 4 metros de longitud para que forme un rectángulo cuya área sea lo más grande poble? 39.- Calcula : 1 1 3 a) lím b) lím e 0 3 f ( ) f ( 0 ) f ( 0 ) f (0 ) f (0 ) 40.- Calcula lím 6 en cada uno de los 0 casos guientes: 7 1 sen ( ) a) f() = sen b) f ( ) ( ) sen( ) cos ( ) 3 41.- Sea f: R R la función definida por f ( ). Sea P el punto 1 de corte de la gráfica de f con su asíntota. Determina la recta tangente a la gráfica de f en el punto P. 4.- Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos y absolutos de la función f dada por en que está definida. f ( ) 4 en el intervalo cerrado 43.- Condera f: R R definida por f() = / + 3 /. a) Estudia la derivabilidad de f. b) Dibuja las gráficas de f y f.
Departamento de Matemáticas Página 44.- a) Determina el valor de las constantes a y b sabiendo que la gráfica de f: R R e 0 definida por f ( ) admite recta tangente en el punto ( 0, 1 ). a b 0 b) Eisten constantes c y d para las cuales la función e 0 g( ) admita recta tangente en el punto ( 0, 1 )?. ( Justifica la c d 0 respuesta). 45.- Sea f: R R la función definida por f () e. a) Halla los máimos y los mínimos relativos de esta función. b) Calcula lím f (). 46.- Dada la función f: R R definida por f() = 3 6 + halla la ecuación de la recta tangente a su gráfica en su punto de infleión. 47.-a) Si el precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso, demuestra que empre se pierde valor al partirlo en dos trozos. b) Como puedes suponer, puede partirse en dos trozos con diferentes pesos de múltiples formas. Determina la partición que origina la máima pérdida de valor. Razona tu respuesta. 48.- Se condera la función f: [ 1, + ) R definida por f () 1 Calcula, de manera razonada, su función derivada. 49.- Sobre un terreno con forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden, respectivamente, 100 y 00 metros, se quiere construir un edificio de planta rectangular como se muestra en la figura. Halla las dimenones que debe tener dicha planta para que su superficie sea máima.. 50.- Fíjate en la gráfica guiente y deduce de ella todos los datos que puedas sobre la función que representa. Justifica puede pertenecer a alguna de las funciones f, g o h, definidas como gue: 3 f () 1 4 1 g() 1
Departamento de Matemáticas Página 3 h(). 1 51.- Determina el punto de la curva cuya ecuación es y = que está más cerca del punto A ( 3, 0). 5.- Halla todas las pobles rectas tangentes a la curva y = 4 que pasan por el punto (, 0) (ten en cuenta que este punto no está en la curva). 1 1 53.- Condera la función f definida por f () 1 Ln(). 1 1 a) Determina el dominio de definición de f. b) Determina el conjunto de puntos en los que f es continua. c) Determina las asíntotas de f. 54.- Calcula de forma razonada el valor de a sabiendo que se cumple que sen 3 a lím 3 0. 0 55.- En un triángulo isósceles ABC, el lado degual AC mide a y la altura correspondiente a ese lado mide h. Determina el punto P sobre la altura mencionada de forma que la suma de las distancias desde P a los tres vértices sea mínima. 56.- El alcalde de un pueblo quiere cercar un recinto rectangular cerrado para celebrar las fiestas. Para ello aprovecha una tapia eistente como uno de los lados y dispone de 300 m. de tela metálica para hacer los otros tres. a) Podrías indicar las dimenones del recinto acotado de esa forma cuya área es la mayor poble? b) La comión de fiestas del pueblo ha calculado que para montar las atracciones, pista de baile, etc., necetan 8.000 m. Teniendo en cuenta los cálculos realizados en el apartado anterior, será suficientemente grande el recinto que quiere preparar el alcalde? 57.- De una función f se sabe que es polinómica de tercer grado, que sus primeras derivadas en los puntos = 3 y = -1 son nulas, que f() = 5, que f(1) = y que lím f (). Haz un esbozo de la gráfica de f n realizar ningún cálculo justificando cómo lo haces a partir de los datos. 58.- Condera la función f definida para 0 por la relación 4 3 4 f (). a) Halla sus asíntotas. b) Determina sus etremos locales. c) Dibuja la gráfica de f indicando su poción respecto de las asíntotas.
Departamento de Matemáticas Página 4 59.- Dada una circunferencia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman como diámetros de dos circunferencias tangentes interiores a la circunferencia dada. Qué longitud debe tener cada uno de esos diámetros para que sea máima el área de la región comprendida entre las circunferencias interiores y la eterior (la región rayada en la figura)? 60.- Determina el valor de la constante k sabiendo que la curva de la ecuación determinada por 3 k 1 y posee una asíntota que pasa por el punto ( 1, 3). 1 61.- Dado un triángulo isósceles de base 8 cm. y altura 5 cm., calcula las dimenones del rectángulo de área máima que puede inscribirse dentro de dicho triángulo como se indica en la figura: 6.- Una cierta función p se define como el cociente de dos funciones derivables f y g, es decir, p() = f()/g(). En un punto a de su dominio la función p tiene un mínimo relativo y sabemos que f (a)=6 y g (a)=. Puedes obtener el valor de p(a)? Razona tu respuesta. 63.- Desde la Tierra, que suponemos tuada en el origen de coordenadas del plano, se observa un objeto que gue una trayectoria de ecuación y = 16 (donde las distancias se miden en años-luz ). Cuáles son las coordenadas del punto de la trayectoria cuya distancia a la Tierra es mínima y cuánto vale dicha distancia? 64.- La gráfica de la función derivada de una función f: [- 4, 9] R es: a) Dónde es la función f creciente, dónde es decreciente y dónde es constante?
Departamento de Matemáticas Página 5 b) Dónde tiene f, los tiene, sus máimos locales, sus mínimos locales y sus puntos de infleión? 65.- Sea f: R R la función dada por f ( ) 8 a) Esboza la gráfica y halla los etremos relativos de f ( dónde se alcanzan y cuáles son sus respectivos valores). b) Calcula los puntos de corte de la gráfica con la recta tangente a la misma en el punto de abscisa = -. 66.- Una partícula que se mueve en el plano XOY baja deslizándose a lo largo de la curva de ecuación y 9. En el punto P ( 4, 5) abandona la curva y gue por la recta tangente a dicha curva. a) Calcula el punto R del eje OY por el que pasará la partícula. b) Contesta razonadamente a la guiente pregunta: eiste otro punto Q de la curva tal que la recta tangente a la curva en el punto Q corte al eje OY en el mismo punto R anterior? 67.- La recta de ecuación y = a + b se llama asíntota de la gráfica de la función f se cumple que límf () (a b) 0. 3 5 a) Encuentra α de manera que y = + α sea asíntota de f (). 1 b) Para dicho valor de α analiza la gráfica de la función está por encima, por debajo o corta a la asíntota en el intervalo ( 0, 3). 68.- Determina los números reales m y n para los que la función f : ( 0, ) R m definida por f () n tiene en el punto ( 1, 4) un punto de infleión. 69.- Calcula lím 0 e 3 1 sen 70.- Sabemos que la temperatura en el interior de una cámara frigorífica viene dada por la epreón f(t) = at + bt + c donde t representa las horas transcurridas desde que fue conectada a la red eléctrica y a, b y c son constantes reales. Al conectarla, por efecto del calor del motor, la temperatura asciende y alcanza su máimo a los tres cuartos de hora. A partir de ese momento comienza a descender y, transcurrida una hora desde su coneión, alcanza los cero grados centígrados. A las dos horas de su coneión la temperatura es de 3 º C. A partir de estos datos, determina razonadamente los valores de a, b y c. 71.- Halla los límites laterales, cuando tiende a 1, de la función f definida para 1 por f (). Eiste el límite en dicho punto? 7.- Si para el curso Octubre 000-Septiembre 001 epresamos el tiempo t en días, correspondiendo t=0 al día primero de Octubre de 000, el número de horas
Departamento de Matemáticas Página 6 dedicadas al estudio por un estudiante, de un país lejano, a lo largo del curso y hasta el 30 de Mayo gue la ley: 4 N(t) (número de horas que ha estudiado el día t) t t 3. (91) 91 a) A qué fecha corresponde el día del curso en el que menos ha estudiado y cuántas horas estudió dicho día? b) En qué fecha de 001 el número de horas de estudio es el mismo que el primer día del curso? 73.- Se quiere construir un depóto cilíndrico abierto de 3 m 3 de capacidad. La chapa para hacer la base cuesta 300 pts. el m y la chapa de la pared lateral 100 pts. el m. Calcula las dimenones más económicas. 74.- Sea f: R R la función dada por f() = a 3 + b + c +d. Calcula, a, b, c y d sabiendo que la gráfica de f tiene un punto de infleión en Q = (-1, 3) y que la tangente a dicha gráfica en el punto M ( 0, 1) es horizontal. 75.- Sea f: (0, + ) R la función logaritmo neperiano, f () = Ln (). a) Prueba que la función derivada f es decreciente en todo su dominio. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función g: (0, f () + ) R dada por g(). 1 76.- Calcula lím 1 1 ln 77.- Se sabe que la función f: [ 0, 5] R dada por a b 0 f () es derivable en el intervalo ( 0, 5) y verifica f(0) = c 1 5 f(5). Cuánto valen a, b y c? 78.- Dos partículas A y B se mueven en el plano XOY. En cada instante de tiempo t las pociones de las partículas son respectivamente, 1 3 A (t 1), (1 t) y B t, 0. Determina el instante t0 en el que las partículas están más próimas entre sí y a qué distancia se halla una de otra en ese instante. 79.- La función f: R R dada por en el punto =0. Cuánto valen b y c? b c f () Ln( 1) 0 0 es derivable 80.- Sea función f: R R definida por f() = 3 5 +. a) Demuestra que la recta de ecuación y = - + 1 es tangente a la gráfica de la función y halla el punto de tangencia correspondiente.
Departamento de Matemáticas Página 7 b) Corta esta recta tangente a dicha gráfica en algún punto distinto del de tangencia? 81.- Sea k un número real y sea función f: R R definida por f() = cos () + k. a) Determina todos los valores de k para los que la función anterior es creciente en todo su dominio. b) Para k=1 halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa =0. 8.- De todos los rectángulos inscritos, como indica la figura, entre la gráfica de la función f: R R 1 definida por f () y el eje OX, halla el de mayor área. 1 4 83.- Sea f la función definida para cada Є R, -, por f (). a) Determina eisten y, en ese caso halla, el valor de los límites lím f () límf (). b) Representa gráficamente la función f. y 84.- Una partícula se mueve a lo largo de la gráfica de la curva y para 1 >1. En el punto P (, - 4/3 ) la abandona y gue desplazándose a lo largo de la recta tangente a dicha curva. a) Halla la ecuación de dicha recta tangente. b) Si el desplazamiento es de izquierda a derecha, encuentra el punto en el que la partícula encuentra al eje OX. c) Si el desplazamiento es de derecha a izquierda, encuentra el punto en el que la partícula encuentra a la asíntota vertical más próima al punto P. 85.- En un terreno llano, se desea acotar una parcela rectangular usando 80 m. de tela metálica para vallarla, pero dejando en uno de sus lados una abertura de 0 m. n vallar tal y como se muestra en la figura: abertura
Departamento de Matemáticas Página 8 Halla las dimenones de la parcela rectangular de área máima que puede acotarse de esa manera y el valor de dicha área. 86.- Se toma una cuerda de 5 metros de longitud y se unen los etremos. Entonces podemos construir con ella triángulos isósceles de diferentes medidas. Calcula, de manera razonada, las dimenones del que tiene mayor área. 87.- Sea f la función derivada de una función derivable f: R R. Se sabe que es f continua y que i) f (0) = 0 ; f ( ) = 1 ; f ( 3 ) = 0 ; f ( 4 ) = -1 ; f ( 5 ) = 0. ii) f es estrictamente creciente en los intervalos ( -, ) y ( 4, + ). iii) f es estrictamente decreciente en el intervalo (, 4 ). iv) La recta de ecuación y = + 3 es una asíntota oblícua de f cuando +. a) Esboza la gráfica de f. b) En qué valores de alcanza f sus máimos y mínimos relativos? 88.- Determina el dominio y la epreón de la función derivada de cada una de las guientes funciones: a) f: R R es la función cuya gráfica es la recta que pasa por los puntos P ( 0, 5) y Q ( 5, 0). b) g: R R dada por g () = / + 1/. c) h: R R dada por h () = //. 89.- a) Halla el punto P de la gráfica de la función f definida para -3 por f () 6 que está más próimo al origen de coordenadas. b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en P. 90.- Las gráficas (a), (b) y (c) corresponden, respectivamente, a tres funciones derivables f, g y h. Podrían representar las gráficas (r), (s) o (t) a las gráficas de f, g o h (no necesariamente en ese orden)?. Justifica la respuesta en cada caso. (a) (b) (c)
Departamento de Matemáticas Página 9 (r) (s) (t) 91.- Calcula las asíntotas de la gráfica de la función f definida para -1 por f () 3 1 1 y estudia la poción de dicha gráfica con respecto a ellas. 9.- Una partícula se desplaza a lo largo de la curva de ecuación y = f (), endo f () 0 0 la función dada por f (). e 0 a) Hay algún punto en la trayectoria de la partícula en el que dicha curva no admite recta tangente? b) Determina las coordenadas del punto de la trayectoria en el que se alcanza la máima altura. c) A qué recta se aproima la trayectoria cuando? Justifica la respuesta. 93.- La población de una colonia de aves evoluciona con el tiempo t, medido en años, según la función P: [, 1] R dada por 10 (t 6) P(t ) t9 8 t 10 10 t 1 a) Representa gráficamente la función P e indica en qué periodos de tiempo crece o decrece la población. b) Indica los instantes en los que la población alcanza los valores máimo y mínimo. c) Si la población evolucionara a partir de t = 1 con la misma función que para 10 < t 1 llegaría a etinguirse? Justifica la respuesta dando, en caso afirmativo, el instante de la etinción. sen( ) 94.- Calcula lím. 0 tan( ) 95.- Determina el valor de las constantes a, b y c sabiendo que la gráfica de la función f definida por f() = (a + b + c ) tiene un punto de infleión en (-, 1) y que en dicho punto la recta tangente tiene por ecuación 10 + y + 8 = 0. 96.- Dada la función f: [ 1, e ] R definida por f () = 1/ + Ln (), determina cuál de las rectas tangentes a la gráfica de f tiene la máima pendiente. 97.- Condera la curva de ecuación y = + 3..
Departamento de Matemáticas Página 30 a) Halla una recta que sea tangente a dicha curva y forme un ángulo de 45 º con el eje de abscisas. b) Hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal? En caso afirmativo, halla la ecuación de dicha recta tangente; en caso negativo, eplica por qué. 98.- a) Halla las asíntotas de la gráfica de la función definida para > 0 por. 1 f ( ) b) Halla las regiones de crecimiento y decrecimiento de f, indicando sus máimos y mínimos locales y globales, los hay. c) Esboza la gráfica de f. 99.- Sea la función definida para 1 por f ( ) 1 a) Determina las asíntotas de la gráfica de f. b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f. c) Esboza la gráfica de f. 100.- Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de t segundos, viene dada por h (t) = 5 5t 5e -t. a) Calcula el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máima y el valor de ésta. b) Teniendo en cuenta que la velocidad es v (t) = h (t), halla la velocidad al cabo de segundos. 101.- Se dispone de 88.000 pts. para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 800 pts./metro y el de la valla de los restantes lados 100 pts./metro, cuáles son las dimenones y el área del terreno rectangular de área máima que se puede vallar? 10.- Determina a, b y c para que la curva y a sea la guiente: b c 103.- La capacidad de concentración de una saltadora de altura en una reunión atlética de tres horas de duración viene dada por la función f: [ 0, 3 ] R definida por f (t) = 300 t ( 3 t ) donde t mide el tiempo en horas. a) Calcula los intervalos en los cuales la capacidad de concentración aumenta y los intervalos de tiempo en los que disminuye. Cuándo es nula?
Departamento de Matemáticas Página 31 b) Cuál es el mejor momento, en términos de capacidad de concentración, para que la saltadora pueda batir su propia marca? c) Representa gráficamente la función de la capacidad de concentración.