III: Geometría para maestros. Capitulo : Figuras geométricas SELECCIÓN DE EJERCICIOS RESUELTOS SITUACIONES INTRODUCTORIAS En un libro de primaria encontramos este enunciado: Dibuja un polígono convexo de siete lados y traza sus diagonales. Cuántas diagonales tiene? Resuelve este enunciado así como las siguientes variantes y generalizaciones:. Cuántas diagonales tendrá un polígono convexo de n lados?. Cuánto mide el ángulo central de un polígono regular de n lados?. Cuánto suman los ángulos interiores de un polígono convexo de n lados?. Cuánto suman los ángulos exteriores de un polígono convexo de n lados? Se espera que el alumno trace todas las diagonales y las cuente. Aunque también se puede observar que por cada vértice se pueden trazar diagonales; coma hay 7 vértices en total se trazan 8 segmentos; pero el número de diagonales será sólo la mitad, ya que cada segmento se traza dos veces (por los vértices opuestos. Así pues el número de diagonales será (x7)/ =. El número de diagonales de un polígono convexo de n lados se puede calcular con la expresión: ( n ). n D = G F A E B D C
. El ángulo central de un polígono regular de n lados será, 60º/n.. La suma de los ángulos interiores Sa i de cualquier polígono convexo se puede calcular mediante la expresión: Sa i = (n-).80º. Una manera de justificar esta fórmula es viendo que el polígono se puede descomponer en n triángulos a partir de cualquier punto interior. La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 80º, luego en total los ángulos que se forman suman 80.n; pero debemos restar la suma de los ángulos centrales, que es 60º, o sea.80. Finalmente queda: n.80.80 = (n-).80 ae ai ac. La suma de los ángulos exteriores Sa e de cualquier polígono convexo vale siempre 60º cualquiera que sea el número de lados. Esta proposición se puede demostrar del siguiente modo: ai + ae = 80º; Sai + Sae = n.80º Como Sa i = (n-).80º, sustituimos en la expresión anterior y despejamos Sa e : Sa = n.80º ( n ).80º = 60º e EJERCICIOS 7. Un material didáctico conocido como geoplano es una.... herramienta útil en el estudio de los polígonos. Un geoplano x. consiste en una plancha de madera y clavos dispuestos según.... una malla cuadrada, como se indica en la figura. Se emplean. gomas de colores para formar diversos polígonos tomando los clavos como sus vértices. Cuántos cuadrados se pueden formar en este geoplano? 6 de x, 9 de x, de x, de x Usando las diagonales: 9 de x y de x Total: 9
9. Un rectángulo ha sido dividido en dos partes congruentes. Qué forma pueden tener las partes formadas? Se pueden tener infinitas formas, como se sugiere en esta figura: (triángulos rectángulos; rectángulos, o cualquiera, ya que las línea trazada en el interior puede ser irregular) A B 0. He aquí una serie de triángulos con unas medidas determinadas. Trata de construirlos. Señala cuál de las reglas anteriores no cumplen aquellos que no se puedan construir: Debería ser equilátero Para ser rectángulo la hipotenusa debería medir 0 No cumple la desigualdad triangular Al lado que mide 8 se debería oponer un ángulo mayor que el que se opone al lado que mide 7. En todo triángulo obtusángulo se cumple C > a + b (Aquí debe ser, 8 > 6 + 9 = 8, y no lo es) 7. Cuáles de los siguientes polígonos recubren el plano? (Reproduce en cartulina las figuras y experimenta con ellas) (a) Triángulo escaleno: (b) Cuadrilátero convexo: (c) Cuadrilátero no convexo (d) Pentágono con un par de lados parelelos:
a) SI b) SI O La figura muestra cómo se puede recubrir c) SI La figura muestra cómo se puede recubrir. La figura muestra cómo se puede recubrir d) SI La figura muestra cómo se puede cubrir 8. Imagínate un prisma hexagonal regular recto. a) Cuáles son las medidas de los ángulos diedros formados por las caras que se cortan? b) Cuántos pares de planos paralelos contienen a las caras de este prisma? a) Las caras laterales entre sí forman ángulos diedros de 0 grados (medida de los ángulos interiores de un hexágono regular). Cada cara lateral forma un ángulo de 90º con las bases. b) Tres pares de planos paralelos forman las seis caras laterales. Además hay que contar con el par de planos que forman las bases.
TALLER MATEMÁTICO. Determinar la medida del P si las rectas AB y CD son paralelas. 0 0 0 0 0 P mide 90º como se muestra en la figura adjunta. Qué proposición se está demostrando en la siguiente secuencia de dibujos? Explícalo con un breve párrafo. Que la suma de la medida de los ángulos interiores de un triángulo es 80º. Observa que el lápiz primero barre el ángulo y se pone hacia arriba; después barre el ángulo, y finalmente barre el ángulo, quedando con la punta justamente en la misma dirección inicial, pero en sentido opuesto, o sea, que girado en total 80º.. Resuelve los siguientes ejercicios sobre medidas de los lados y ángulos en los cuadriláteros:. En un trapecio rectángulo la medida de uno de sus ángulos interiores es 8º. Cuánto miden los otros ángulos interiores? [SOLUCIÓN: 90, 90 y ]. En un romboide la medida de uno de sus ángulos exteriores es 7º. Determina la medida de todos los ángulos interiores de ese romboide. [SOLUCIÓN: y 7 ]. Cuál es la medida del lado del cuadrado cuya diagonal mide cm.? [SOLUCIÓN: R= 7 ]. Determina la diagonal del rectángulo cuyos lados miden cm. y cm. [SOLUCIÓN: ]
. Determina la suma de las diagonales del cuadrado cuyo lado mide 8 cm. [SOLUCIÓN: R = 6 ] 6. Señala el tipo de triángulo que se determina al trazar las diagonales de un cuadrado. [SOLUCIÓN: Rectángulo isósceles ] 7. En un rombo, una diagonal es el doble de la otra. Determina el perímetro del rombo sabiendo que la diagonal menor mide 6 cm. [SOLUCIÓN: R = ] 8. Dos cuadrados de 80 cm. de perímetro se unen de manera que forman un rectángulo. Determina la medida de la diagonal del rectángulo formado. [SOLUCIÓN: R = 0 ]. Dibujar figuras que satisfagan las siguientes condiciones: a) Una curva cerrada no simple poligonal de lados b) Un pentágono no convexo c) Un cuadrilátero equiángulo d) Un octógono convexo a) b) c) c) 6. La media aritmética de la medida de los ángulos interiores de polígono de n lados es de 7º. a) Cuántos lados tiene) b) Supongamos que el polígono tiene uniones flexibles en los vértices. Si el polígono se deforma de manera rígida, qué ocurre con la medida media de los ángulos interiores? Explica tu razonamiento. a) La amplitud media de los ángulos se obtiene dividiendo la suma de todos los ángulos interiores por el número de sumandos, o sea, n: ( n ).80 = 7; Despejando n se obtiene, n =7 n b) Algunos ángulos aumentan y otros disminuyen de tamaño, pero la media aritmética de la medida de los ángulos es la misma. 7. El polígono de la izquierda de la figura adjunta contiene un punto S en su interior que se puede unir a los vértices mediante segmentos interiores al polígono. Al trazar todos estos segmentos obtenemos una S S triangulación del interior del polígono. Trazando un punto S en 6
el interior de un polígono de n lados, explicar cómo usar la triangulación que se obtiene para deducir la fórmula (n-).80º para la suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono. Porque se forman n triángulos, es decir, hay 80.n grados entre los ángulos interiores del polígono y el ángulo central. Es necesario restar el ángulo del centro (60º), o sea hay que restar el equivalente a dos triángulos, luego la formula es 80(n-). 9. Un tetraminó es una tesela formada uniendo cuatro cuadrados congruentes, de manera que los cuadrados adyacentes deben tener un lado común. a) Formar los cinco tetraminós con formas diferentes. b) Se puede recubrir un rectángulo de por con los cinco tetraminós? a) Estos son los cinco tetraminós. Los cuadrados se han coloreado en blanco y negro, como en un tablero de ajedrez. En los cuatro primeros hay dos blancos y dos negros, mientras que en el quinto hay tres negros y un blanco. b) No se puede recubrir un rectángulo de x. Si coloreamos un rectángulo de x como un tablero de ajedrez habría 0 teselas blancas y 0 negras. Esto muestra que los tetraminós no recubren completamente el rectángulo de x. 0. Recortar en cartulina varias copias de un hexágono convexo no regular que tenga cada par de lados opuestos congruentes y paralelos. a) Se puede recubrir el plano con estas teselas? Es necesario rotar el hexágono para ponerlo en las posiciones sucesivas? b) Repetir la actividad anterior pero tomando un hexágono convexo con sólo un par de lados opuestos que sean congruentes y paralelos. a) b) En este caso no hay que rotar el hexágona; basta sólo trasladar las figuras En este caso sí hay que rotar las teselas 7
. El vértice de la pirámide que muestra en la figura adjunta está en el centro del cubo trazado en líneas de puntos. Cuál es el ángulo diedro que forma cada cara lateral de la pirámide con (a) la base cuadrangular (b) una cada lateral adyacente? grados en ambos casos. En esta figura se muestra una vista lateral; los segmentos que unen el centro del cubo con los centros de las aristas forman º con las caras laterales con perpendiculares a las bases. 8