Tema 5: Ángulos entre retas y planos. Triedros Angulo de dos retas. El ángulo de dos retas es una de las magnitudes de las formas planas, y para obtener su verdadera magnitud se aplia el ambio de plano, giro o abatimiento, vistos anteriormente. En la figura se muestra la M de AC y en el aso de que las retas estén de perfil, en la proyeión sobre el 2º vertial se enuentran en M. D'' ' ' D''' ' A' C' A' H C' M ' D' Figura. erdadera Magnitud de ángulos de retas. Angulo de reta y plano. El proedimiento general se realiza, (según se india en la figura 2, en la que se muestra la propuesta de un ejeriio, en el que el plano α está dado por las retas m,n, el esquema en geometría del espaio y su resoluión diédria), trazando:. por un punto de r, reta s perpendiular al plano α. 2. se obtiene el ángulo omplementario a Θ, entre r y α trazando su M (por abatimiento, ambio de plano, ) Si se desea obtener el ángulo Θ, es preiso obtener sobre α la proyeión t de r, es deir, la interseión t de δ(r,s) on α. Para ello: 3. Se obtienen los puntos interseión: r α =2 y s α = 3; 2-3 = t. 4. t-r en verdadera magnitud es el ángulo Θ pedido.
Planteamiento m'' n'' ' r m' n' s 3 t 2 (m,n) Resoluión '' ' v'' h'' m'' n'' s'' o so ro v' h' m' ( m, n,h,v) (r,s) n' s' 3' 3o to t' 2' 2o Charnela (reta htal. del plano δ (r,s) ) ' Figura 2: Ángulo reta-plano. Propuesta de ejeriio, esquema en geometría del espaio y resoluión diédria. Otro proedimiento de resoluión es mediante ambios de plano. En la figura 3 se muestra su resoluión. Previamente, en el aso de que la reta esté de punta, on un ambio de plano para situarlo de perfil, se obtiene el ángulo pedido en verdadera magnitud.
En el aso general, es preiso haer dos ambios de plano para situar la reta de punta y otro para que el plano α quede de perfil y obtener el ángulo pedido. Angulo reta-plano, uando la reta está de punta. m'' n'' h'' ' ' m' n' Resoluión 2 h ' (m,n) m'' n'' m' n' ' m'' n'' h'' '2 h' m' n ' (m,n) Figura 3: Ángulo reta-plano. Resoluión mediante ambios de plano.
Angulo de una reta on los planos de proyeión. P P ' Perspetiva aballera. PH H ' r ' Plano de dibujo. H PH ' H Figura 4: Ángulo de la reta on los planos de proyeión. Se resuelve on failidad mediante ambios de plano, según muestra la figura 4. Angulo de un plano on los de proyeión. Perspetiva aballera. Plano de dibujo. P P v'' ' A' H C' PH h' ' h' Figura 5: Angulo de un plano on los de proyeión. Se ve on laridad en la figura 5, la obtenión del ángulo pedido mediante ambios de plano.
Angulo de dos planos. Para onoer el ángulo que forman dos planos, según los datos de partida, se aplian los siguientes proedimientos. Planteamiento Resoluión D'' D'' i'' i'' s A' ' A' ' s C' i' D' C' i' D' D'' i' ' Figura 6: Angulo de dos planos. A' En el aso del sistema diédrio tradiional, se resuelve trazando por un punto, retas perpendiulares a los dos planos dados. Así, el ángulo que forman esas dos retas es el suplementario del que forman los planos. El plano formado por ambas retas es perpendiular a los otros dos y a su interseión (Figura 6, izquierda). Si los planos están dados por medio de figuras planas y se onoe la interseión entre ellos, se resuelve on laridad por medio de dos ambios de plano, situando diha interseión de punta, según se muestra en el ejeriio de la figura 6. Estudio de triedros. - Definiión, elementos prinipales y relaiones que limitan su existenia. Un triedro es una figura onstituida por tres aras, las uales se ortan en un punto o vértie y en tres aristas (Figura 7). Se puede onsiderar omo una pirámide triangular sin su base. Las aras del triedro están definidas por el ángulo que forman sus dos aristas, α, β, γ. Las aristas a, b, son las interseiones de los planos y onvergen en el punto, vértie del triedro. Las aras, dos a dos forman los ángulos diedros A,, C. (Los lados de dihos ángulos son perpendiulares a las aristas). El riterio para denominar a los
elementos del triedro, es que la arista esté frente a la ara homónima, es deir, a frente a α, b frente a β, frente a γ. = α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α 0 < α + β + γ < 360º 80º < A + +C < 3x80º (540) Figura 7. Elementos de un triedro y relaiones que limitan su existenia. Las ondiiones que deben umplir los datos de un triedro para que exista, se deduen on failidad de la figura 7, son: 0 < α + β+ γ < 360º 80º < A + + C < 3x80º (=540º) α + β > γ; α + γ > β; β + γ > α. En que la suma de dos aras es mayor que la terera. Se trata de resolver los triedros, es deir, onoer los datos α, β, γ, A,, C, siendo onoidos tres de ellos, por onsiguiente hay seis asos, en los que los datos son:. Las tres aras: α, β, γ. 2. Dos aras y el diedro omprendido, por ejemplo: α, β, C 3. Dos diedros y la ara opuesta a uno de ellos, por ejemplo: α, A,. 4. Los tres diedros: A,, C. 5. Dos diedros y la ara que los ontiene, por ejemplo: A,, γ. 6. Dos aras y un diedro de la otra ara, por ejemplo: α, A, β. - Triedro suplementario. División del espaio por los planos de un triedro. Si desde un punto se trazan líneas perpendiulares a las aras de un triedro (figura 8), se obtiene un nuevo triedro de vértie s, denominado suplementario, en el que: α + As = 80º β + s = 80º γ + Cs = 80º A + α s = 80º + β s = 80º C + γ s = 80º Se observa que los tres últimos asos de triedros se pueden resolver mediante su suplementario, reduiéndolos a los tres primeros:
. α, β, γ. 4. A,, C. Suplementario αs=80º-a, βs=80º-, γs=80º-c 2. α, β, C 5. A,, γ. Suplementario αs=80º-a, βs=80º-, Cs=80º-γ 3. α, A,. 6. A, α, β. Suplementario αs=80º-a, As=80º-α, s=80º-β. Una vez resuelto, se transforman los resultados al triedro pedido que ya se puede trazar. Figura 8: Triedro suplementario. División espaial de los planos del triedro. Los planos del triedro dividen el espaio en oho partes, que son iguales dos a dos, los opuestos por el vértie. Considerando el semiespaio superior del plano horizontal α, observando en sentido horario los uatro triedros resultantes, según se apreia en la figura 8, tienen las magnitudes relaionadas omo sigue: Triedro Triedro 2 Triedro 3 Triedro 4 α 80-α α 80-α β 80-β 80-β β γ γ 80-γ 80-γ A 80-A A 80-A 80-80- C C 80-C 80-C bs'' s'' ' bs' '' a'' s'-as' ' s'' a' s' b' b'' β = γ = 90º α = β = γ = 90º Figura 9: Representaión diédria del triedro suplementario. Triedro on dos aras que miden 90º. Triedro trirretángulo, las tres aras miden 90º. Si el triedro tiene dos aras iguales, dos de los uatro triedros de la tabla son iguales. Si las dos aras iguales miden 90º, hay sólo dos triedros diferentes. El triedro trirretángulo se arateriza por tener todos los ángulos retos, on lo que sólo hay un tipo de triedros (figura 9). Esto, junto on el triedro suplementario failita la resoluión de triedros en los que los datos de partida son muy grandes.
- Caso º. Construir un triedro, dadas las tres aras α, β, γ. Figura 0: Obtenión de los elementos del triedro, dadas las tres aras. En este aso se visualiza la forma de obtener los elementos del triedro, que será apliable a los demás. En la figura 0 se india, en el espaio, omo determinar la verdadera magnitud de los tres diedros A, y C, para ello:. Se abate la arista a, a ambos lados on harnela b y mediante los ángulos β y γ. 2. Se toma un punto o que equidista de, se traza desde o perpendiular a b y respetivamente y se obtiene. Completando el proeso inverso al abatimiento, se tienen los ángulos y C y la ota del punto. 3. El ángulo A se obtiene sabiendo que sus lados son perpendiulares a la arista a, por lo que trazando desde o perpendiular a ao, (ya que en el abatimiento se onserva la perpendiularidad), hasta ortar a las aristas b y, desde donde se trazan sendos aros que ortan a en o, que es el vértie del ángulo en verdadera magnitud. En la figura se muestra su resoluión diédria en el plano de dibujo. a'' a 45 60 b ' '' '' o A a' b' b'' C ' a o o ' o Figura : Resoluión del triedro, en el plano de dibujo. ao
- Caso 2º. Construir un triedro dadas dos aras y el diedro omprendido: α, β, C. En este aso se trata de determinar A,, γ, para ello se siguen los pasos siguientes (figura 2):. Se dibuja, b,, α. Se traza el ángulo β, la arista a o y un punto o, el ual se desabate apliando el ángulo C, obteniéndose el punto y su ota. 2. Se abate el punto on la harnela b, y se obtiene y γ. 3. El ángulo A, se obtiene omo en el aso anterior, figuras 0 y. b a' Datos: α, β, C ' C o ao ao o Figura 2: Resoluión del Caso 2º de triedros: α, β, C. - Caso 3º. Construir un triedro onoidos dos diedros y la ara opuesta a uno de ellos: α, A,. Para resolver el triedro es preiso obtener β, γ, C, pudiendo tener dos soluiones, según se apreia en las figuras 3 y 4, para lo ual se siguen los pasos: a a' ' A ' A o b b' o b b' a a' o o Figura 3: Resoluión del Caso 3º de triedros: α, A,.. Se traza la arista del diedro, ontiguo a la ara onoida (es deir, del que no se onoe la ara opuesta).
2. Se traza el ángulo en un punto ualquiera de la arista, se asigna una ota y se abate el punto, obteniendo o. 3. Se traza desde o, o que forma el ángulo α on b y se obtiene. 4. Por se traza la base del ono orrespondiente al ángulo A y altura la ota de. 5. Desde, las tangentes a la base del ono son las dos aristas a soluión que puede tener el triedro, de donde se obtienen los ángulos γ posibles. 6. El ángulo β se obtiene por abatimiento de la arista on harnela a y el ángulo C omo en asos anteriores, figuras 0 y. A ' o A ' o o a' ' b' o o a b o a' ' b' o o Figura 4: Resoluión diédria del 3 er aso. - Caso 5º. Construir un triedro definido por una ara y sus dos diedros adyaentes. A,, γ. Por su fáil visualizaión, se muestra en la figura 5 la resoluión en perspetiva y diédria de este 5º aso. a b = = C ' C C o b' ao ' ao o Figura 5: Resoluión perspetiva y diédria del 5 er aso. '