Resumen de Matemática LiceoProm14.tk Nomenclatura: (Solo para circunferencias) Rectas perpendiculares Rectas paralelas Teoremas de los ángulos Teorema 1: Los ángulos adyacentes son suplementarios. Teorema 2: Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 1
Previo al teorema 3, hay que definir algunos conceptos: Ángulos externos Son los ángulos que se encuentran fuera de las paralelas Ángulos internos Son los ángulos que se encuentran dentro de las paralelas Ángulos alternos Son parejas de ángulos no adyacentes ubicados en distintos lados de la secante. Pueden ser internos o externos. (No puede se uno interno y otro externo, o ambos internos, o viceversa) Ángulos correspondientes Son parejas de ángulos, uno interno y otro externo, del mismo lado de la secante (Los ángulos correspondientes entre paralelas son congruentes) Ángulos conjugados Son las parejas de ángulos ubicados al mismo lado de la secante. Pueden ser internos o externos. (No puede se uno interno y otro externo, o ambos internos, o viceversa) Teorema 3: Si se tienen dos paralelas y una secante, formara ángulos alternos internos congruentes Usando la figura anterior, y (ángulos alternos internos) Teorema 4: Si se tienen dos paralelas y una secante formarán ángulos alternos externos congruentes Utilizando la figura anterior, (ángulos alternos externos) LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 2
Teorema 5: Si se tienen dos paralelas y una secante formarán ángulos conjugados internos suplementarios. Utilizando la figura anterior, Teorema 6: Si se tienen dos paralelas y una secante formarán ángulos conjugados externos suplementarios. Utilizando la figura anterior, Teorema 7: Para todo triángulo, la suma de sus ángulos internos será igual a 180 Teorema 8: Un ángulo externo al triángulo será igual a la suma de dos internos no adyacentes a el. LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 3
Teorema 9: En todo triángulo se cumple que la suma de sus ángulos externos es igual a 360 Teorema 10: Para que tres números sean medidas de un triángulo, se debe cumplir que la suma de dos de sus lados debe ser mayor que el tercer lado. Relación de medida de los lados y los ángulos de un triángulo. Un triángulo será acutángulo si se cumple que LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 4
Un triángulo será obtusángulo si se cumple que Teorema 11 (Teorema de Pitágoras): En todo se cumple que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de sus catetos. Teorema 12 (Teorema de Thales): Si varias paralelas son cortadas por dos secantes, formarán segmentos correspondientes proporcionales. Considerando que L1, L2 y L3 son paralelas, se cumple que: LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 5
Propiedades Adicionales Propiedad del Boomerang LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 6
Propiedad de la Mariposa Propiedad del pescado LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 7
Rectas dentro de un triángulo Medianas Son rectas trazadas desde cada vértice hasta el punto medio de si respectivo lado opuesto. El punto de corte de las tres medianas recibe el nombre de baricentro. Teorema 13: En todo triángulo, las distancias de cada vértice al baricentro serán de 2/3 de la medida de su respectiva mediana. Teorema 14: En un triángulo rectángulo la mediana que sale del ángulo recto mide la mitad de su hipotenusa. LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 8
Alturas de un triángulo Representan las menores distancias que hay desde cada vértice a su lado opuesto. Son rectas trazadas de cada vértice que llegan de forma perpendicular a su lado opuesto o a su prolongación. El punto de corte recibe el nombre de ortocentro. Nota: En un triángulo rectángulo, el ortocentro queda ubicado en el vértice del ángulo recto. Mediatrices de un triángulo Son rectas trazadas perpendicularmente del punto medio de cada lado. El punto de corte recibe el nombre de circuncentro, que es el centro de una circunferencia inscrita al triángulo. LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 9
Congruencia de triángulos Criterios de igualdad Lado-Lado-Lado Si sus tres lados son iguales, sus ángulos serán iguales, por lo tanto, los triángulos son congruentes. Lado-Ángulo-Lado Si dos lados de un triángulo son iguales, y el ángulo entre ellos es igual, los triángulos serán congruentes. Ángulo-Lado-Ángulo Si en dos triángulos se sabe que tienen un lado igual e iguales ángulos adyacentes, los triángulos serán iguales Semejanza de triángulos Dos triángulos serán semejantes si sus tres ángulos son iguales, y sus lados homólogos proporcionales. (Son homólogos aquellos que tienen el mismo ángulo opuesto) Criterios de semejanza Ángulo-Ángulo Si dos ángulos son iguales en un triángulo, dichos triángulos serán semejantes. Ángulo-Lado-Ángulo Si dos lados son proporcionales y el ángulo entre ellos es igual, los triángulos serán semejantes Lado-Lado-Lado Si los tres lados son proporcionales, los triángulos serán semejantes. Teorema fundamental de la semejanza de triángulos Si dentro de un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lados se formarán dos triángulos semejantes LiceoProm14.tk Tercer Trimestre 10